8.卷4 第2章 一元二次方程 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2025-2026学年八年级下册数学配套课件（浙教版·新教材）浙江专用

该初中数学课件聚焦八年级下册“一元二次方程”，涵盖概念、解法、根的判别式及应用。通过实际问题（如篮球赛场次、手机用户增长率）导入，衔接一元一次方程知识，构建从基础到综合应用的学习支架。 其亮点在于融合新情境（如DeepSeek对话）、新考法（欧几里得图解法、取整函数），培养抽象能力与推理意识。通过“上分总结”梳理知识体系，结合探究性问题（完美数、配方求最值）提升模型意识，助力学生深化理解，教师可高效开展分层教学。

数 学 八年级下册 ZJ 1 2 卷4 第2章提优验收卷（B卷） 考查内容：一元二次方程 3 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 4 时间： 满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题列出的四 个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1.[2025宁波象山期中]方程是关于 的一元二次方程，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 方程是关于的一元二次方程， ， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 5 2.[2025浙江二模]方程 的解是( ) C A.， B. C.， D. 【解析】，，解得， ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 3.[2025宁波江北区期末]若关于的一元二次方程 有两个不相等的实 数根，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 【解析】 有两个不相等的实数根， ， .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 上分总结 一元二次方程的根与判别式的关系 一元二次方程的根的判别式为 ,根据判别式的值，可 以判断一元二次方程的根的情况：当 时，方程有两个不相等的实数根;当 时，方程有两个相等的实数根;当 时，方程没有实数根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 4.[2025杭州萧山区期末]若关于的方程的一个根是 ，则另 一个根及 的值分别是( ) D A.， B.， C.， D.， 【解析】是方程的一个根，， ， 方程为，解得，， 另一个根的值为3， 的值 为4.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 5.[2025杭州萧山区月考]某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每 两个班之间都比赛一场，共需安排21场比赛.设七年级共有 个班，则下列方程正 确的是( ) B A. B. C. D. 【解析】依题意得 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 6.[2025绍兴期末]设，是方程的两个根，则 的值为 ( ) A A. B. C. D.0 【解析】，是方程的两个根，，，则 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 上分技巧 一元二次方程 的根与系数的关系 牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键.把 变形为 ，根据根与系数的关系得出， ，将 其代入上式即可求解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 （第7题图） 7.新情境 如图是小丽与 的对话， 在深度思考后，给出的答案是 ( ) A A.1 B. C. D.1或 【解析】设这个数为 ，则 ， ， ，解得 ，所以这个 数为1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 8.[2025浙江模拟，中]已知，为任意实数，则, 的大 小关系为( ) A A. B. C. D.不能确定 【解析】，为任意实数 ， ， ，即 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 （第9题图） 9.新考法 [2025杭州上城区期中，中]根据欧几里得的《几何原本》 记载，形如的方程的图解法如图所示,画 ，使 ，，，再在斜边上截取 ,则该 方程的一个正根是( ) A A.的长 B.的长 C.的长 D. 的长 【解析】在中， ,由勾股定理可得 ，， , ， .比较 与方程可得的长是方程 的一个正 根.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 10.[2025浙江模拟，难]已知，是关于 的方程 的两个根，则下列判断正确的是( ) D A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 【解析】， ， ，，.当时， ， 故A选项错误；当时，，故B选项错误； , , , ，故C选项错误；当 ，即时，解得 ，故D选项正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.[2025宁波镇海区月考]写出二次项系数为3，解为1和 的一元二次方程： ___________________. 【解析】根据题意，符合条件的方程为 ，整理，得 ，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 12.[2025湖州期末]用配方法解方程，方程可化为 ，则 ___. 4 【解析】，， ，即 ， .故答案为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 13.[2025温州瓯海区期中]某市2025年4月手机用户数量为25万，同年6月 手机 用户数量增长至36万，则5,6月份 手机用户数量的月平均增长率为_____. 【解析】设5,6月份手机用户数量的月平均增长率为.由题意得 ， 解得,（舍去），故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 上分总结 增长率、下降率问题 求连续两个阶段的平均变化率时,设增长率为,则变化前的量 变化后的 量;设下降率为,则变化前的量 变化后的量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 14.[2025宁波宁海期中，中]已知, 为实数，且满足 ，则代数式 的值为___. 3 【解析】设，则方程化为 ，因式分解得 ，可得或，解得 或 ， .故答案为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 15.[2025湖州吴兴区期末，难]设是满足不等式的正整数，且关于 的二次方程的两根都是正整数，则正整数 的个数为___. 7 【解析】将方程整理得 , .，均是正整数且， 为完全 平方数即可， ,4,9,16,25,36,49,共7个且全部符合题意.故答案为7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 16.新考法 [2025杭州期中，偏难]定义为不大于实数 的最大整数，如 ，，，则方程 的根为___. 0 【解析】当时，，解得（舍去）或 （舍去）；当时，，解得，（舍去）， 方 程的根为 ，故答案为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 三、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤） 17.[2025舟山期中]（6分）解一元二次方程 时，两位同学的解法如下： 甲同学： , , 或 , , 乙同学： ，， , . , 此方程无实数根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果. 甲同学的解法________，乙同学的解法________.（填“正确”或“不正确”） 不正确 不正确 【解析】甲同学的解法不正确，乙同学的解法不正确，故答案为不正确,不正 确.…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 （2）请选择合适的方法解一元二次方程 . 【解】，，， 或 ，， .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 18.[2025温州月考]（6分）若是关于的一元二次方程 的根，求 代数式 的值. 【解】由条件可得， ， .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 19.[2025杭州西湖区期中]（8分）【阅读理解】各类方程的解法不尽相同，但是 它们有一个共同的基本数学思想——转化，我们可以运用转化思想解一些新的方 程.例如，一元三次方程 ，可以通过因式分解把它转化为 ，分别解方程和 ，可得方程 的解. 【解决问题】 （1）方程的解是，____， _____________； 1（或1,） 【解析】，，, 或 或,，，.故答案为 ，1 （或1, ）.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 【尝试探究】 （2）拓展：用“转化”思想求方程 的解. 【解】将方程两边同时平方，得， , ,，, 原方程的解为 .………… （8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 20.[2025浙江期中]（10分）如图，在中， ， ，，，，是关于 的方程 的两根. （1）求， 的值. 【解】,是关于的方程 的两根， ，,,, .由勾股定理得 ，, ,即 ,，（舍去）， 原方程为 ，解得, ,，. …………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 （2），两点分别从， 同时出发，以每秒2个单位和每秒1个单位的速度沿边 ，向终点，运动，其中一点到达终点则两点均停止运动.若 ,求运动时间. 【解】设时,运动时间为秒，则， .由勾股定理得 ,解得，,故时,运动时间为 秒或2 秒.…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 21.[2025浙江期末]（10分）如图（1），为美化校园环境，某校计划在一块长为60 米、宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修 建成同样宽的通道，设通道宽为 米. 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 （1）花圃的面积为____________________平方米（用含 的式子表示）； 【解析】花圃的面积为 平方米.故答案 为 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 （2）［中］如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，求此时通道的宽度； 【解】通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，即花圃所占面积是整个长方形空 地面积的，则，整理得 ,解 得， （不符合题意，舍去）,即此时通道的宽度为5米.………… （6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 （3）［中］已知某园林公司修建通道、花圃的造价（元）, （元）与修建面积 （平方米）之间的函数关系如图（2）所示，如果学校决定由该公司承建此项目， 并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道的宽度为多少时，修 建的通道和花圃的总造价为105 920元？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 【解】由题意得.当 时，花圃面积为 （平方米）,即此时花圃面积最小,为800平方米. 根据图象可设，.将点代入 ， 得，解得,.将点, 代 入,得 解得 花圃面积为 平方米， 通道面积为 , ,解得 ， （舍去）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 答：通道的宽度为2米时，修建的通道和花圃的总造价为105 920元.………… （10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22.探究性问题 [2025宁波海曙区期中]（12分）配方法是指将一个式子的某部分通 过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法经常被用到代数 式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题. 【材料一】我们定义：一个整数能表示成，是整数 的形式，则称这个 数为“完美数”.例如，5是“完美数”，理由：因为 ，再如， ，是整数，所以 也是“完美数”. 【材料二】把二次三项式 进行配方，可求其最值. 解: . 当时，有最小值,为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 阅读以上材料，解决以下问题： 【解决问题】 （1）下列各数中，“完美数”有____（填序号）. ；；； . ② 【解析】，是完美数;11,34,60都不能表示成,是整数 的形式,不是“完美数”.故答案为②.…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 【探究问题】 （2）若可配方成，为正整数，则 的值为___. 9 【解析】，， ， ，故答案为9.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 （3）［中］已知，是整数，是常数，要使 为 “完美数”，试写出符合条件的 值，并说明理由. 【解】.理由如下：， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 【拓展应用】 （4）［难］已知实数，均满足，求代数式 的 最小值. 【解】，，，.当时， 的最小值为2 025.………… （12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 $