5.卷3 第2章 一元二次方程 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2025-2026学年八年级下册数学配套课件（浙教版·新教材）浙江专用

该初中数学课件聚焦八年级下册“一元二次方程”核心知识点，涵盖定义、解法（公式法、因式分解等）、根与系数关系及应用。通过各地期末、月考题导入，衔接一元一次方程知识，设置“上分技巧”“警示”等学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点是结合分层真题设计，从基础诊断到综合应用，融入换元法、韦达定理等，培养运算能力与推理意识。新情境题（如文创销售利润）体现模型意识，助力学生用数学语言解决实际问题，教师可直接用于教学，提升学生解题能力与应用意识。

数 学 八年级下册 ZJ 1 2 卷3 第2章基础诊断卷（A卷） 考查内容：一元二次方程 3 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 4 时间： 满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题列出的四 个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1.[2025宁波慈溪月考]下列方程是一元二次方程的是( ) C A. B. C. D. 【解析】A选项,是二元一次方程，不符合题意；B选项, 的 未知数的最高次数是3,不是一元二次方程，不符合题意；C选项, 是一元 二次方程，符合题意；D选项, 的左边不是整式，不是一元二次方程,不 符合题意，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 5 上分技巧 判断一个方程是否为一元二次方程 先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理.若能整理成 的形式，则这个方程就是一元二次方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 2.[2025金华期末]方程 的解是( ) C A. B. C.， D.， 【解析】，，或，所以， .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 3.[2025金华义乌期末]若用公式法解关于 的一元二次方程的根为 ，则这个方程是( ) C A. B. C. D. 【解析】根据公式法可得关于 的一元二次方程的根为 ，,,, 这个方程是 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 上分警示 公式法的应用 利用公式求根时，要注意根号内的被开方数为 ，本题应先 对进行转化，化为,才能找到正确的,, 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 4.[2025绍兴一模]若,是方程的两个根，则 的值为 ( ) D A.6 B. C.4 D. 【解析】根据根与系数的关系得， ，所以 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 5.[2025台州期末]如图,某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成 三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米.为了方便取物，在各个仓库之间 留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门.若设 米，则可列方程( ) D A. B. C. D. 【解析】根据题意得 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 6.[2025嘉兴模拟]我们知道方程的解是， ，现给出 另一个方程 ，它的解是( ) D A.， B.， C.， D.， 【解析】把方程看成关于 的一元二次方程， 所以或，所以， .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 上分点拨 换元法 把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这种方 法叫做换元法.例如,在方程中某个代数式出现多次，通常可以用一个字母来代替它 从而简化问题或达到降次的目的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 7.[2025浙江期末]定义运算：☆ ,例如：3☆ .方程☆ 的根为( ) C A.， B.， C.， D.， 【解析】根据题中的新定义得 ， ，即， 或 ，， .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 8.[2025宁波海曙区期末]若关于的一元二次方程 没有实 数根，则系数， 可能满足( ) D A.， B.， C.， D.， 【解析】 关于的一元二次方程 没有实数根， ， 当时，;当 时， ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 9.[2025温州模拟，中]若关于的方程的两个根， 满足 ，且，则 的值为( ) C A. B.1 C.3 D.9 【解析】，， 或 ，， ， ，解得 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 10.[2025杭州期中，偏难]数学家塔比·伊本·库拉在其研究 中讨论了二次方程的几何解法.例如：可以用如图所示图形 来解关于的方程，其中四边形 为长方形， B A.的长 B.的长 C.的长 D. 的长 【解析】设正方形的边长为 ，则 ， ，即，则方程 的其中一个 正根为 的长.故选B. 四边形为正方形，且，，则方程 的其中一 个正根为( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.[2025浙江期末]把一元二次方程 化为一般形式为_______________， 二次项为____，一次项系数为____，常数项为___. 4 【解析】,，， ， 二次项为，一次项系数为，常数项为4.故答案为,, ,4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 12.[2025杭州模拟]若关于的方程 是一元二次方程， 则 ___. 0 【解析】 关于的方程 是一元二次方程， 解得 .故答案为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 13.[2025宁波宁海期中]若是方程的根，则 的值 为_______. 2 028 【解析】是方程的根，， ， .故答案为2 028. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 14.[2025宁波镇海区月考]点在线段上，若 ，则 的值为_ ____. 【解析】设，则.由题意得 ，整理得 ，解得或 （不符合题意， 舍去），，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 15.[2025宁波江北区期中，中]【问题背景】用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板， 随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的铁钉长度后 一次与前一次的比值为 . 【数学理解】已知一个铁钉受击3次后恰好全部进入木板，且第一次受击后进入木 板部分的铁钉长度是铁钉总长度的，设铁钉总长度为1，则 的值是__. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 【解析】 第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是铁钉总长度的 ，铁钉总长度 为1， 第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是. 每次钉入木板的铁钉长度后 一次与前一次的比值为， 第二次受击后进入木板部分的铁钉长度是， 第 三次受击后进入木板部分的铁钉长度是， 可列方程为 ,解得 或.,.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16.[2025嘉兴南湖区月考,难]设关于的方程的两根是, ， 则关于的方程 的根是_______________. ， 【解析】，, 由根与系数 的关系可得，. , ，③ 把①②代入③得 ， ，，.故答案为， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 三、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤） 17.[2025绍兴上虞区月考]（6分）选择适当方法解下列方程： （1） ； 【解】对于,,,, ， ，， .…………（3分） （2） . 【解】， ，即 ,或，， .………… （6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 18.[2025嘉兴南湖区期末]（8分）习题课上，老师写了一个方程： , 让同学们求解. 嘉嘉的解法：原方程可化为 ，… 第一步 所以，即 ，… 第二步 所以方程没有实数根.…………第三步 琪琪的解法：原方程可化为 ，… 第一步 两边都除以，得 .… 第二步 （1）他们的解法是否正确？如果不正确，请指出从哪一步开始出现错误. 【解】他们的解法都不正确.嘉嘉的解法从第一步开始出现错误,琪琪的解法从第二 步开始出现错误.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 （2）写出正确的解题过程. 【解】原方程可化为，所以 ，即 ，所以或，解得， .………… （8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 19.[2025金华义乌月考]（8分）已知关于的方程 . （1）求证：无论 取何值，此方程总有实数根； 【证明】， 无论 取何值，此方程总有实数根.…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 （2）若等腰三角形的一边长，另两边长, 恰好是这个方程的两根，求 这个等腰三角形的周长. 【解】①当底边长为,腰长为,时，,则 ，解得 ，，解得,即， 此种情 况不成立.②当腰长为时,或，把 代入原方程得 ，解得，，解得 ， ., 能够组成三角形， 等腰三角形 的周长为 . 综上,这个等腰三角形的周长为10.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 20.新情境 [2025浙江一模]（8分）随着电影《哪吒之魔童闹海》的热映，与之相 关的哪吒文创周边销售也异常火爆.某文创店将进价为20元/个的哪吒钥匙扣以30元 /个的价格出售，平均每天能售出50个，该文创店通过调查发现,这种钥匙扣的售价 每上涨1元，每天的销售量就减少2个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为608元， 且售价不能超过38元/个，这种钥匙扣的售价应定为多少？ 【解】设这种钥匙扣的售价为元/个，则每个钥匙扣的销售利润为 元，每 天的销售量为个.根据题意得 ，整 理得，解得， （不符合题意，舍去）. 答：这种钥匙扣的售价应定为36元/个.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 21.阅读理解 [2025杭州拱墅区期中]（10分）【阅读理解】 在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断多项式是不是一个完全平方式. 对一个多项式进行部分因式分解可以解决代数式的最大（或最小）值问题. 【尝试探究】 （1）例如： ① . 是非负数，即， , 代数式的最小值是___，此时 的值是____. 2 【解析】由题意得,代数式的最小值是2，此时的值是 .故答案为2， .…………（1分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 ② . 是非负数，即， , 代数式的最小值是____，此时 的值是___. 2 【解析】由题意得,代数式的最小值是，此时 的值是2.故答案为 ，2.…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 （2）［中］仿照上述方法求代数式 的最大（或最小）值，并写出 相应的 的值. 【解】 是非负数，即,，， 代数式 的最大值为59，此时的值为 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 （3）实践应用： 如图，工人师傅要在等腰直角的内部作一个长方形 ， 其中和分别在两直角边上， ，设长方形的一边 . ①边的长度为_________ . 【解析】为等腰直角三角形， ，. 四边形 为长方形， ，， 为等腰直角三角 形，，则 ，故答案为 .…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 ②［中］请用含的代数式表示长方形的面积，求出当 取何值时，长方形 的面积最大，最大值是多少？ 【解】是非负数，， ， 当时，长方形 的面积最大,最大值为400.…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 22.新定义 [2025绍兴柯桥区月考]（12分）定义：已知关于 的一元二次方程 有两个实数根，，若满足 ，则称 此类方程为“差积方程”. 例如：，即，解得， . ， 是差积方程. （1）方程 ______（填“是”或“不是”）“差积方程”. 不是 【解析】，即，解得 ， ， 方程 不是“差积方程”，故答案为不 是.…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 （2）［中］若关于的方程是“差积方程”，求 的值. 【解】，，解得， . 关于的方程是“差积方程”， . 若，则 ； 若，则 . 综上,的值为或 .…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 （3）［偏难］若关于的方程 是“差积方程”，且它的一个实数根 为，求 的值. 【解】设关于的方程的另一根为，， 关 于的方程是“差积方程”，.若 ,则此 方程无解;若,则,,, .………… （12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 $