20.卷12 期末综合检测卷（二）-【初中上分卷】2025-2026学年八年级下册数学配套课件（湘教版·新教材）

这是一份湘教版初中数学八年级下册期末综合检测卷课件，由必刷题团队打造，考查第1-4章内容，含选择、填空、解答题，配备详细解析及“上分警示”，支持WPS编辑和页面超链接跳转。 资料特色在于结合新情境与跨学科问题，如长征路线坐标确定、弹簧秤力学计算等，培养学生用数学眼光观察现实、用思维分析问题的能力，解析详尽且有方法总结，助力学生巩固知识，为教师教学提供实用资源。

数 学 八年级下册 湘教版 1 2 卷12 期末综合检测卷（二） 考查内容：第1章-第4章 3 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 4 时间： 满分：120分 . 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.[2025山东菏泽期末]下列图象中，能表示是 的函数的是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 5 【解析】对于C选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于 轴的直线， 与图象有且只有一个交点，从而能表示是 的函数；而A、B、D选项中的图象， 在自变量的取值范围内作一条垂直于 轴的直线，与图象有两个或多个交点，不 能表示是 的函数.故选C. 上分警示 由图象判断两个变量是否有函数关系 在自变量的取值范围内任意作一条垂直于 轴的直线，每条直线与图象有且只有 一个交点则表示是 的函数，否则不是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 6 2.[2025湖南衡阳期中]对于圆的周长公式 ，下列说法正确的是( ) D A. ，是变量，，2是常量 B.是变量，， 是常量 C.是变量， ，是常量 D.，是变量，2， 是常量 【解析】对于圆的周长公式，当半径变化时，周长也随之变化，因此 和是变量,而2和 是固定不变的常数，属于常量.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 7 3.[2025湖南长沙模拟]在平面直角坐标系中，点关于 轴的对称点为 ，则 的值为( ) C A. B.4 C.8 D. 【解析】因为点关于轴的对称点为，所以, ，所以 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 8 4.[2025湖南衡阳期中]下列一次函数中，的值随 取值的增大而减小的是( ) B A. B. C. D. 【解析】A选项，，，故的值随 取值的增大而增大，不符合题 意；B选项，，，故的值随 取值的增大而减小，符合题意；C 选项，，，故的值随 取值的增大而增大，不符合题意；D选 项，，，故的值随 取值的增大而增大，不符合题意.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 9 5.[2025湖南长沙一模]根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是 ( ) C A. B. C. D. 【解析】A选项，根据对角线互相平分，可得到四边形是平行四边形，故不符合题 意；B选项，根据两组对边分别相等，可得到四边形是平行四边形，故不符合题意； C选项，根据一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，故 符合题意；D选项，根据两组对边分别平行，可得到四边形是平行四边形，故不符 合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 10 6.新情境[2025陕西榆林期末]如图是红军长征路线部分简 化示意图，若表示会宁会师的点的坐标为 ，表示湘 江战役的点的坐标为 ，则表示吴起镇会师的点的 坐标为( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 11 【解析】因为表示会宁会师的点的坐标为 ，表示湘江战役的点的坐标为 ，所以建立平面直角坐标系，如图所示： 所以表示吴起镇会师的点的坐标为 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 12 7.新情境[2025四川凉山州模拟]在纪录片《舌尖上的中国（第四季）》中，西昌 火盆烧烤向世人展示了它独特的魅力，呈现出西昌这座城市的“烟火”.该片播出后， 某西昌火盆烧烤店一周内每天的评分（当天顾客评分的平均数，满分5分）数据如 下：，，，，，， ，关于这组数据，下列说法正确的是 ( ) B A.平均数为4.5 B.中位数为4.5 C.众数为4.6 D.方差为0.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 13 【解析】这组数据的平均数为 ，故A选项不符合题 意；将这组数据从小到大排列后为，，，，，， ，所以中位 数为，故B选项符合题意；这组数据中出现次数最多的是，所以众数为 ， 故选项C不符合题意；这组数据的方差为 ，故选 项D不符合题意.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 14 （第8题图） 8.[2025山东威海期末]如图，是矩形的对角线 上 一点，，，于点，于点 ， 连接，，则 的最小值为( ) C A. B.4 C. D.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 15 【解析】如图，连接，.因为四边形是矩形，所以 .因为 ，，所以 ,所以四边形 是矩形，所以 ，所以的最小值即为的最小值.当，， 三点共线时， 的值最小，为的长.因为四边形是矩形， ，所以 ，所以的最小值为 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 16 9.[2025河南信阳期末，中]如图，正方形的边长为4，点从顶点 出发沿正 方形的边运动，路线是.设点运动的路程为，的面积是 ， 则下列图象能大致反映与 之间函数关系的是( ) A （第9题图） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 17 【解析】当点在上时，，；当点在 上时，，；当点在 上时， ，，所以能大致反映与 之 间函数关系的图象为 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 18 10.[2025安徽淮南期末，偏难]如图，在中，平分交于点 ， 过点作于点，延长交于点，连接，交于点，连接 , .有下列结论：①四边形是菱形；；③若， ， ，则四边形的面积是 ，其中正确的结论是( ) A A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 19 【解析】因为四边形是平行四边形，所以 ，所以 .因为平分，所以 ，所以 ，所以.因为，所以 .因 为，， ，所以 ，所 以，所以四边形是平行四边形. 又因为，所以四边形 是菱形，故结论①正确.因为四边形是平行四边形，所以， . 因为四边形是菱形，所以，所以，所以四边形 是平 行四边形，所以.又因为，所以是 的中位线，所以 ，故结论②正确.如图，过点作于点 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 20 因为 ，所以 ，所以 ，所以 .因为四边形是菱形， ，所以 ，所以 ，所以 .因为 ，所以 .因为，所以 ，所以 ，故结论③错误.综上所述，正确 的结论是①②.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 11.[2025湖南中考]甲、乙两人在一次100米赛跑过程中， 两人的路程（米）与时间 （秒）之间的函数关系图象如 图所示，____先到终点（填“甲”或“乙”）. 甲 【解析】根据图象可得甲到达终点用时12秒，乙到达终点 用时14秒，所以甲先到达终点，故答案为甲. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 22 12.[2025湖南娄底模拟]函数 的自变量的取值范围是_______________. 且 【解析】因为函数有意义，所以解得且 ，故答 案为且 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 23 上分警示 函数有意义的条件 若一个函数是分式型，则要保证分母不等于0;若一个函数是二次根式型，则要保 证被开方数大于或等于0.若一个函数中，既有分式又有二次根式，则要同时保证分 母不等于0和被开方数大于或等于0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 24 13.[2025湖南涟源一模]如图，已知四边形是菱形，, 交于点 ，请你添加一个条件，使菱形 成为正方形.你添加的条件是 ________________________. （答案不唯一） 【解析】因为四边形 是菱形，所以当有一个内角是直角时，菱形 为正方形，所以当时，菱形 为正方形，故答案为 （答案不唯一）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 25 14.[2025湖南衡阳期中]将直线 向下平移4个单位长度后，经过点 ，则 的值是____. 【解析】将直线 向下平移4个单位长度后所得直线的表达式为 .将代入,可得 ， 故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 26 15.[2025湖南长沙期末]甲参加某商场员工招聘，甲的计算机、语言表达和商品知 识三项测试的成绩分别为80分、90分、94分.若计算机、语言表达和商品知识三项 测试的成绩按，， 的比例计算综合成绩，则甲的综合成绩为____分. 90 【解析】由题意得，甲的综合成绩为 （分），故答案为90. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 16.跨学科问题[2025福建中考]弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测 量物体质量的.胡克定律为在弹性限度内，弹簧弹力 的大小与弹簧伸长 （或压缩）的长度成正比，即，其中 为常数，是弹簧的劲度系数； 质量为的物体重力为，其中 为常数.如图，一把弹簧秤在不挂任何物体 时弹簧的长度为6厘米.在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹 簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为____ 千克. 0.8 【解析】质量为0.5千克的物体的重力为，当时， ， 代入，得，所以，所以.当 时， ，所以,所以 ,所以所挂物体的质量为0.8千 克．故答案为0.8． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 28 17.[2025湖南常德二模，中]如图，在平面直角坐标系中，是 轴上一点，点 在直线上，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，当点 落在 轴负半轴上时，点 的坐标为_______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 29 【解析】如图，过点作轴的垂线，垂足为 .由旋转可知， ， ，所以 ，所以 .在和中， 所以 （角角边），所以，.因为点 在直线 上，所以令点的坐标为.又因为点的坐标为 ，所以 ，，所以 ， 所以点的坐标为.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 30 18.[2025湖北黄石期中，难]如图，点是的边 上的中点， 连接，点为的中点.若，， ，则 的度数为____ ， 的长是_____. 90 【解析】如图，设为的中点，连接并延长交于点.因为 为 的中点，为的中点，为的中点，所以为 的中位线， 所以，，即.因为四边形 为平行四边 形，所以，所以四边形是平行四边形，所以 , ，所以 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 31 在中，，所以.因为 ，所 以 .因为 ，所以 ，是等边三角形，所以 , ,,所以 ，所以 .故答案为90， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 三、解答题:本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 19.[2025河北唐山期末]（6分）如图，在平面直角坐标系中，， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 33 （1）与关于原点对称，在图中画出 ； 【解】如图， 就是所求作的三角形.…………（3分） （2）是绕点顺时针旋转 得到的，在图中画出 ，并写 出点 的坐标. 【解】如图，即为所求作的三角形.点的坐标为 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 34 20.[2025湖南长沙期末]（6分）如图，在平面直角坐标系中，直 线与轴相交于点，与 轴相交于点 ，与直线交于点 . （1）求直线 的表达式. 【解】将，代入，得 …………（1分） 解得 …………（2分） 所以直线的表达式为 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 35 （2）直接写出 的解集. 【解】 .…………（6分） 由题图可得当时，直线在直线 的上方， 所以的解集为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 36 21.[2025湖南长沙质检]（8分）如图，已知菱形 的对角线 相交于点，延长至点，使，连接 . （1）求证： ； 【证明】因为四边形 是菱形， 所以, .…………（1分） 因为，所以 ，…………（2分） 所以四边形 是平行四边形， 所以 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 37 （2）若 ，求 的度数. 【解】由（1）可知，四边形是平行四边形，所以 ，…………（5分） 所以 .…………（6分） 因为四边形是菱形，所以 ， 所以 ，…………（7分） 所以 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 38 22.跨学科问题[2025山东日照期末]（8分）某高铁 站候车厅的饮水机上有温水、开水两个按钮，示意 图如图所示.小明打算接 的水，先接温水再接 开水，设接温水的时间为 ，水杯中水的温度为 生活小贴士:饮水适宜温度是（包括37与44 ）. ，期间不计热损失.根据物理学知识：开水体积×开水降低的温度 温水体积× 温水升高的温度.利用图中的信息解决下列问题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 39 （1）若接温水的时间为 ，求水杯中水的温度； 【解】因为接温水的时间为，水杯中水的温度为 ，所以温水的体积为 ，则开水的体积为 .根据题意可得 ，…………（2分） 解得 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 40 （2）求关于的函数表达式，并直接写出自变量 的取值范围； 【解】由题意得，温水体积为，开水体积为 ，所以 ，整理得 .…………（5分） 当水杯中的水都是温水时，，则-，解得 ；当水杯中 的水都是开水时，，则-，解得 ，所以自变量的取值 范围是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 41 （3）若最终水杯中水的温度为饮水适宜温度，求所接温水体积的取值范围. 【解】由题意可知， ， 所以 解得 .…………（7分） 当时，所接温水的体积为 . 当时，所接温水的体积为 ，所以若最终水杯中水的温度 为饮水适宜温度时，所接温水体积应不少于，不超过 .………… （8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 42 23.新情境[2025湖南娄底三模]（9分）湖南作为伟人故乡和红色圣地，积累了丰 富的红色历史文化资源，为更好地传承红色文化，增强学生爱国主义情感，某校 组织七、八年级学生前往湖南博物院开展研学活动，并要求学生写观后感，对其 观后感进行评价.为了解本次活动的效果，校宣传部随机抽取七、八年级各20名学 生对他们的观后感成绩 （单位：分，满分100分）进行收集、整理和分析： 【收集数据】 抽取七年级学生成绩在 这一组的数据为85，86，87，87，88，89，89； 抽取八年级学生的成绩数据为81，83，84，85，86，87，87，88，89，90，92， 92，93，95，95，95，99，99，100，100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 43 【整理数据】将抽取的七、八年级学生的成绩数据整理成如下不完整的频数分布表： 七年级 4 7 2 7 八年级 3 4 7 【分析数据】 抽取七、八年级学生的成绩数据的平均数、中位数、众数（单位：分）如下表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91 97 八年级 91 91 请结合以上信息回答下列问题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 44 （1）在这次调查活动中，采取的调查方式是__________（填写“全面调查”或“抽 样调查”）； 抽样调查 【解析】因为校宣传部随机抽取七、八年级各20名学生对他们的观后感成绩进行 收集、整理和分析，所以在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查，故答 案为抽样调查.…………（2分） （2）填空：___，____， ____； 6 89 95 【解析】根据题意得到，， ，故答 案为6，89,95.…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 45 （3）样本数据中，七年级学生甲和八年级学生乙的成绩都是90分，请判断两位学 生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由； 【解】七年级学生甲在本年级的排名更靠前.…………（6分） 理由如下：因为抽取八年级学生成绩的中位数是91分，抽取七年级学生成绩的中 位数是89分，， ，所以七年级学生甲在本年级的排名更靠 前.…………（7分） （4）若该校七、八年级各有200名学生，假设全部参加此次研学活动并完成了观 后感，请估计这两个年级学生的观后感成绩不低于90分的总人数. 【解】 （名）. 答：这两个年级学生的观后感成绩不低于90分的总人数约为200名.…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 46 24.探究性问题[2025湖南长沙期中]（9分）如图（1），在正方形中， 是 上一点，是延长线上一点，且，连接, . 图（1） 图（2） 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 47 （1）求证： . 【证明】因为四边形是正方形，所以， ，所以 .…………（1分） 在和中， 所以 （边角边），…………（2分） 所以 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 48 （2）在图（1）中，若在上，且 ，连接，请判断， ， 三条线段之间的数量关系，并说明理由. 【解】 .…………（4分） 理由如下：因为 ， ，所以 .因为 ，所以 ，所以 ，所以 .…………（5分） 在和中， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 49 所以 （边角边）， 所以 . 因为，所以 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 （3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题： ①［中］如图（2），在四边形中，， ， ，是的中点，且 ，求 的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 51 【解】如图（1），过点作，交的延长线于点 . 图（1） 易得,四边形是正方形，所以.设 ，则 ，.在中，由勾股定理得 ，所以 ，解得 ，…………（7分） 所以 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 52 ②［中］如图（3），在菱形中， ，，分别在边和 上， 且 ，连接.若，，求线段 的长度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 53 图（2） 【解】如图（2），作射线使得 ，作射线 使得 ，射线与交于点,过作 交 延长线于，连接,易得 ， 所以， ， 又因为，,所以，所以 .因为 ，所以 ，所以 ，所以 ， 所以 ，所以 .………… （9分） ，，所以 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 54 25.[2025湖南长沙期末]（10分）为探究气温与海拔高度的关系， 同学们在气象人员的指导下利用探测气球进行了试验.选用的1号 气球、2号气球从海拔10米的地方同时出发，其中1号气球以8米/ 秒的速度匀速上升，2号气球以6米/秒的速度匀速上升，30秒时， 1号气球悬浮在空中不再继续上升，等2号气球达到同一高度时， 1号气球匀速下降，2号气球继续上升.又过了40秒，1号气球降落 到出发点.设1号、2号气球在飞行过程中的海拔高度分别为 （米）,（米），它们的飞行时间为（秒）,如图为,关于 的函数图象. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 55 （1） 点坐标为_________； 【解析】1号气球以8米/秒的速度匀速上升，30秒时上升的高度为 （米）. 因为1号气球是从海拔10米的地方出发，所以 点所对应的海拔高度为 （米），易得点坐标为 .因为2号气球以6米/秒的速度匀 速上升，所以到达250米海拔高度所需时间为（秒），所以 点坐标为，故答案为 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 56 （2）直接写出2号气球在飞行过程中的海拔高度（米）关于飞行时间 （秒）的 函数表达式； 【解】 .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 57 （3）［中］求出线段对应的海拔高度（米）关于飞行时间 （秒）的函数表 达式，并说明一次项系数的实际意义是什么; 【解】由题意得，.设线段对应的海拔高度（米）关于飞行时间 （秒）的函数表达式为.把， 代入得 解得所以线段 对应的函数表达式为 .…………（8分） 由题意可知，一次项系数 的实际意义是1号气球匀速下降的速度为6米/ 秒.…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 58 （4）［难］直接写出两个气球从出发到1号气球返回出发点这个时间段里，两气 球高度之差 小于或等于60米的总时长是多少. 【解】45秒.…………（10分） 因为，,所以可得线段 对应的表达式为 . 当时，， ，此时两气球高度之差 ，令，即，解得 ， 所以在这个时间段内两气球高度之差 总是小于或等于60米，时长为30秒. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 59 当时，， ，此时两气球高度之差 ，令，即 ，解得 ，所以在这个时间段内两气球高度之差 总是小于或等于60米, 时长为 （秒）. 当时，， ，此时两气球高度之差 ，令 ，即 ，解得，所以在 这个时间段内两气球高度之差 小于或等于60米,时长为 （秒）. 综上，两气球高度之差小于或等于60米的总时长为 （秒）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 26.[2025湖北随州期末]（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线 与轴，轴分别交于，两点，直线与轴， 轴分别交于 ，两点，这两条直线相交于点，其中 . 备用图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 61 （1）求直线的表达式及点 的坐标； 【解】当时，，所以，所以.因为 ， 所以，，，所以，,0， .…………（1分） 设直线的表达式为，把,0代入,得，解得 ，所 以直线的表达式为 .…………（2分） 将代入，得，解得，所以直线 的表达式为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 62 联立解得 所以, .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 （2）［中］若点是直线上一点，点的横坐标为，过点作 轴交直线 于点，设的长度为，用含的式子表示 ； 【解】因为点是直线上一点，点的横坐标为，所以 , . …………（5分） 因为轴交直线于点 ， 所以 ，…………（6分） 所以 …………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 64 （3）［难］点是轴上一点，为平面内一点，当以点，，， 为顶点的四 边形是菱形时，请直接写出点 的坐标. 【解】点的坐标为或或或 .…………（10分） 设 . ①当时，，解得，所以.易得 . ②当时，，解得或（舍），所以 .易得 . ③当时，，解得或 ，所以 或.易得或 . 综上所述，点的坐标为或或或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 65 $