14.卷9 月考综合检测卷（二）-【初中上分卷】2025-2026学年八年级下册数学配套课件（湘教版·新教材）

数 学 八年级下册 湘教版 1 2 卷9 月考综合检测卷（二） 考查内容：第1章-第3章 3 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 4 时间： 满分：120分 . 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. （第1题图） 1.[2025湖南长沙调研]如图，一艘中国无人作战艇 在我国的南 疆执行巡航任务.某一时刻，它与灯塔相距90海里.如果灯塔 相 对于作战艇的位置用有序数对（北偏东 ，90海里）来描述， 那么作战艇相对于灯塔 的位置可描述为( ) B A.（南偏西 ，90海里） B.（南偏西 ，90海里） C.（北偏东 ，90海里） D.（北偏东 ，90海里） 【解析】作战艇相对于灯塔的位置可描述为（南偏西 ，90海里），故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 5 （第2题图） 2.传统文化[2025河南商丘月考]中国象棋文化历史悠久，如 图是某次对弈的残图.如果建立平面直角坐标系，使棋子“帥” 位于点 的位置，则在同一坐标系下，“馬”所在位置 是( ) C A. B. C. D. 【解析】根据平面内点的平移规律可得，把“帥”向右平移3个单位，再向上平移3 个单位到“馬”的位置，所以棋子“馬”所在的点的坐标为，即 . 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 6 3.[2025湖南常德月考]在平面直角坐标系中，过， 两点作直线， 下列说法正确的是( ) A A.轴 B.轴 C.在轴右侧 D. 经过原点 【解析】因为，，所以 轴，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 7 （第4题图） 4.跨学科问题[2025湖南长沙雅礼实验中学模拟]如图表示光从空 气进入水时入水前与入水后的光路图，若按如图所示的方式建立 平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的函数表达 式分别为，，则关于与 的关系，下列说法 正确的是( ) D A., B., C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 8 【解析】由图象可知，随的增大而减小，随 的增大而减小， 所以， ，故选项A、B错误，不符合题意.如图，在 两个图象上分别取横坐标为的两个点和 ，则 ，.因为，即 ，所以 .又因为,，所以， ， 故选项C错误，不符合题意，而选项D正确，符合题意.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 9 5.[2025湖南岳阳二模]在同一平面直角坐标系中，一次函数 与正比例函 数，是常数，且 的图象可能是( ) A A. B. C. D. 【解析】因为，所以 的图象经过第二、四象限，所以B、D不符合 题意.A选项，由一次函数的图象可知，，则 ，故此选 项符合题意；C选项，由一次函数的图象可知，，则 ， 与 矛盾，故此选项不符合题意.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 10 上分点拨 一次函数的图象与性质 一次函数中的系数决定随的变化情况，决定图象与 轴相交的位置. 先根据 判断符合条件的正比例函数图象，再根据一次函数的图象与系数的 关系即可得答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 11 （第6题图） 6.[2025湖南常德期中]如图，菱形的对角线， 相交 于点，若，,则 边的长为( ) D A. B.4 C.8 D. 【解析】因为四边形是菱形，所以 ， ，，所以 .因为 ，所以，所以. 在 中， .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 12 （第7题图） 7.[2025湖南长沙质检]如图，点，分别在直线 和直 线上，，是轴上两点.若四边形 是矩形，且 ，则 的值是( ) C A. B. C. D. 【解析】设点的坐标为，则，.因为 ， 所以，所以，所以点的坐标为 .因 为点在直线上，所以，所以 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 13 上分点拨 一次函数与四边形的综合问题 设出点的坐标，结合矩形的性质可得出，，的长.由 可得 出的长，结合可求出的长，进而可得出点 的坐标，再利用 一次函数图象上点的坐标特征即可求出 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 14 （第8题图） 8.新考法[2025福建泉州期末，中]如图，在四边形 中，点 ，，， 分别为各边的中点，按图中的虚线将其分成四个四 边形，再重新拼成一个四边形，则拼成的四边形是( ) B A.对角线不相等的平行四边形 B.对角线相等的平行四边形 C.对角线垂直的平行四边形 D.对角线垂直且相等的平行四边形 【解析】按题图中的虚线将其分成四个四边形，再重新拼成一个四 边形，则拼成的四边形如图，其中点,,,重合于点 ，所以拼 成的四边形为矩形，即对角线相等的平行四边形.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 15 上分总结 四边形的判定和性质 根据有四个直角的四边形为矩形，再根据矩形的对角线相等的性质来进行判断. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 16 9.[2025湖北武汉期末，中]平面直角坐标系中的点 一定不在的象限是 ( ) C A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】假设点在第一象限，则且，解得 ，所以存 在的值使点在第一象限.假设点在第二象限，则且 ，解得 ，所以存在的值使点在第二象限.假设点在第三象限，则 且 ，无解，所以不存在的值使点在第三象限.假设点 在第四象限，则 且，解得，所以存在的值使点 在第四象限.综上，点 一定不在第三象限.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 17 10.[2025湖南株洲月考，偏难]如图，已知点，点是直线 上的动 点，点是轴上的动点，则 的周长的最小值等于( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 18 【解析】如图，设直线与轴相交于点，与 轴相交 于点，作点关于直线的对称点，作点关于 轴的 对称点，连接，交直线于点，交轴于点 ，此 时的周长最小.根据轴对称的性质可得 ， ，所以 的周长的最小值为 .连接.把代入,得 ， 把代入，得，解得，所以， ，所以 ，所以 ，.因为点和点关于直线 对称， 点和点关于轴对称，所以 ，， ， 所以 ，.在 中，根据勾股定理可得 ，所以的周长的最小值为 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 19 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 11.[2025湖南邵阳期末]函数中自变量 的取值范围是______. 【解析】根据二次根式和分式的意义可得，解得，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 20 12.[2025陕西西安雁塔区月考]若把点 向上平移3个单位后，该点正 好落在轴上，则 的值为____. 【解析】根据平移的性质可得,解得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 21 13.[2025湖南衡阳期末]已知点和是一次函数 的图象上 的两点，则___（填“ ”或“ ”）. 【解析】因为，所以随着的增大而增大.因为，所以 ， 故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 22 14.[2025湖北襄阳期末]如图，直线与直线交于点 ，则 关于的不等式 的解集是______. （第14题图） 【解析】根据图象可得当时，直线在直线 的上方，所以 的解集是，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 23 15.[2025山东潍坊期末]如图，中，，， 平分 ，则 ______. （第15题图） 【解析】因为四边形为平行四边形，所以 ， ，，所以.因为平分 ，所以 ，所以，所以 ，所以 ，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 24 （第16题图） 16.[2025湖南娄底期末，中]如图所示的木制活动衣帽架是由三 个全等的菱形构成，菱形的边长 ，根据实际需要可 以调节间的距离.若间的距离调节到，此时 的度数是____. 【解析】示意图如图所示，连接,，交于点.在菱形 中，，，， , ，所以.在 中， ，所以 ，所以菱形 是正方形，所以 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 25 17.[2025福建泉州期末，中]如图，直线与轴、轴分别交于点, ， 的平分线所在的直线 的表达式是_ ____________. （第17题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 26 【解析】对于，当时，，当 时， ，所以,，所以 .如图，设 ，连接交于点，则.因为 是 的平分线， 所以垂直平分，所以为 的中点，所 上分点拨 一次函数与几何结合 结合等腰三角形三线合一的性质和中点坐标的求法确定点 的坐标，再利用待定系 数法来求解函数表达式. 以.设直线的表达式为 ，则 解得所以 .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 18.新定义[2025四川乐山一模，偏难]当，是正实数，且满足 时， 就称点,为“友谊点”.已知点与点都在直线上，点, 是 “友谊点”，且点在线段 上. （1）点 的坐标为______； 【解析】因为且，是正实数，所以，即 ，所 以，所以“友谊点”在直线上.因为点 在直线 上，所以，所以直线的表达式为.因为“友谊点” 在 线段上，所以联立解得所以，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 28 （2）若，，则 的面积为_ __. 【解析】如图，因为一、三象限的角平分线 垂直于二、四象 限的角平分线，而直线与直线 平行，直线 与直线平行，所以直线与直线 垂直. 因为点是“友谊点”，所以点在直线 上，所以 ,所以是直角三角形.因为， ，所以 .因为，所以.又因为 ， 所以 ，所以 .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 29 三、解答题:本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 19.[2025湖南娄底期中]（6分）如图所示，， ， 延长至点，延长至点，使，连接， .求 证： . 【证明】因为，，所以四边形 是平行四 边形，…………（2分） 所以，即 . 又因为，所以四边形 是平行四边形，………… （5分） 所以 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 30 20.[2025山西阳泉期末]（6分）如图，在平面直角坐标系中，直 线与轴交于点，点是该直线上一点，且纵坐标为 ， 过点的直线与轴交于点 . （1）求直线 的函数表达式. 【解】当时，，解得，所以， .…………（1分） 把，代入，得-，解得，所以 ，即直线 的函数表达式为 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 31 （2）求 的长. 【解】令,则 , 所以 .…………（4分） 令，则 ， 所以 ，…………（5分） 所以 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 32 21.[2025湖南衡阳期末]（8分）如图，在平面直角坐 标系中，在坐标系中,其中， ， . （1）在图中画出关于轴的对称图形 ， 并分别写出对应点，， 的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 33 【解】如图， 即为所求.…………（1分） 由图可知，， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 34 （2）求 . 【解】 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 35 22.[2025北京二模]（8分）在平面直角坐标系中，函数 与 的图象交于点 . （1）求， 的值. 【解】将代入得，解得.将， 代入 中，得解得 …………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 36 （2）当时，对于的每一个值，函数 的值既大于函数 的值，也大于函数的值，直接写出 的取值范围. 【解】的取值范围为 .…………（8分） 因为,，所以两个一次函数的表达式分别为, .因为 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数 的 值，也大于函数的值，所以当时，直线 在直线 和直线 的上方，则画出大致图象如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 37 图（1） 图（2） 由图（1）可得当直线与直线 平行时符合题意；由图（2） 可知，当直线与轴的夹角大于直线 与直线 平行时与轴的夹角时也符合题意.因为当直线 与直线 平行时，，所以当时，直线在直线 和直线的上方时，，所以的取值范围为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 38 23.[2025湖南衡阳调研]（9分）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某 校计划购买一批航空、航海模型.已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单 价多35元，用2 000元购买航空模型的数量是用1 800元购买航海模型数量的 . （1）求航空和航海模型的单价. 【解】设航空模型的单价为元，则航海模型的单价为 元.由题意得， ，解得.检验，当时， ，所以 是原方程的解，且符合题意，所以 . 答：航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 39 （2）学校采购时恰逢该商场六一儿童节促销：航空模型打八折.若购买航空、航海 模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的 ，请问分别购买多少个航 空和航海模型，学校花费最少？ 【解】设购买航空模型个，花费为元，则购买航海模型 个.由题意 得，，解得 .（5分） .因为，所以随 的增大而 增大，…………（7分） 所以当时，有最小值，最小值为 ，………… （8分） 此时 . 答：当购买航空模型40个，航海模型80个时，学校花费最少.…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 40 24.[2025江西南昌期末]（9分）如图，平面直角坐标系中，平行四边形 的边 ，， ，点以每秒2个单位的速度从点向点 运动， 设运动时间为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 41 （1）求出点， 的坐标. 图（1） 【解】如图（1），作于点 . 因为 ，所以 ，所以 . 因为,，所以 ，所以 ，所以,.因为四边形 是平行四边 形，所以，，所以 ，所以 ，4 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 42 （2）当为何值时， ？ 【解】如图（2），过点作于点，则 . 图（2） 因为 ，所以 ，所以 ，所 以，解得2.故当的值为2时， .…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 43 25.探究性问题[2025湖南岳阳模拟]（10分）问题： 探究函数 的图象与性质.小华根据学习函 数的经验，对函数 的图象与性质进行了 探究.下面是小华的探究过程，请补充完整： （1）在函数中，自变量 的取值范围是 _________________________. 任意实数…………（1分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 44 （2）［中］下表是与 的几组对应值. … 0 1 2 4 … … 1 0 0 … ①求 的值； 【解】把代入，得 .…………（3分） ②若，为该函数图象上不同的两点，求 的值. 【解】把代入，得，解得 或8，所以 .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 45 （3）在如图所示的平面直角坐标系 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点， 并根据描出的点，画出该函数的图象.根据函数图象解决下列问题： 【解】画出该函数的图象如下：…………（6分） ①［中］求该函数的最小值； 【解】由函数图象可知，该函数的最小值为 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 46 ②［偏难］已知直线与函数的图象交于点,，点 ， 直接写出当时 的取值范围. 【解】 .…………（10分） 如图，在同一平面直角坐标系中画出直线 ， 由函数图象可知当时 的取值范围是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 47 26.[2025湖南常德期末]（10分）如图，在平面直角坐标系 中， 已知点，是函数 图象上的一点， 交轴正半轴于点 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 48 （1）求证： . 【证明】如图，过点作轴于点，作轴于点 . 因为点在函数的图象上，所以.因为轴， 轴，轴轴，所以 ，所以四边形 是矩形， 所以 ，所以 .因为 ，所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 ，所以 .又因为 ，，所以 ，所以 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 （2）［中］设点的横坐标为，点的纵坐标为，求关于 的函数表达式. 【解】如图，因为点的横坐标为，所以.因为点 的坐 标是，所以，所以 .由（1）知 ，所以.由（1）知四边形 是矩形，且，所以四边形 是正方形，所以 ，所以 . 因为点的纵坐标为，所以 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 51 （3）［难］在（2）的条件下，记的面积为，四边形的面积为 ， 当点的纵坐标不超过点的横坐标的时，求 的最大值. 【解】由知， .如 图，因为，所以 ，所以 .因为，所以 .因为 ，所以.根据题意得 ， 即，解得.因为，所以随的增大而增大，所以当 时， 有最大值，为 .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 52 $