4.卷1 第1章 四边形 上分专题（二） 正方形中常见的几何模型-【初中上分卷】2025-2026学年八年级下册数学配套课件（湘教版·新教材）

该初中数学课件聚焦八年级下册正方形中的手拉手、对角互补、十字架、半角四种几何模型，通过各地月考真题引入，从正方形性质延伸到模型应用，以辅助线作法、推理步骤解析为学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于专题突破重难，精选典型例题，解析含规范推理与辅助线示范，培养学生几何直观（数学眼光）、推理意识（数学思维）和模型意识（数学语言），如十字架模型中AE⊥DF时AE=DF的证明。助力学生攻克难点，教师可便捷编辑和页面跳转，提升教学效率。

数 学 八年级下册 湘教版 1 2 上分专题（二） 正方形中常见的几何模型 重难上分 攻克难点 3 类型1 手拉手模型 类型2 对角互补模型 类型3 十字架模型 类型4 半角模型 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 4 类型1 手拉手模型 1.[2025湖北武汉武昌区月考，难]如图，在正方形外取一点 ， 连接,,.过点作的垂线交于点，连接 ， ，.下列结论：；②点到直线 的 距离为； .其中正确结论的序号是( ) A A.①③ B.①②③ C.②③ D.①② 1 2 3 4 5 6 7 8 5 【解析】因为四边形是正方形，所以， .因为 ，所以 ，所以 ，所 以.因为，所以 ，所以 ，.因为 是等腰直角三角形，所以 ， ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以①正确.在 中,，即点到直线 的距离为 1，所以②不正确.因为，所以 .因为 1 2 3 4 5 6 7 8 6 ，，,，所以 ，所以③正确.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 2.[2024广东惠州惠阳区月考]如图（1），已知正方形和正方形 有公共 顶点，连接， . （1）请判断与 的数量关系和位置关系，并证明你的结论. 1 2 3 4 5 6 7 8 8 图（1） 【解】，.证明：如图（1），连接 ,设 与交于点.因为四边形和四边形 为正方形， 所以 ，， ，所以 ，所以，所以 ， .综上，， . ，所以在中， ，所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2）如图（2），已知，，当点在边上时，求 的长. 【解】如图（2），过点作于.因为四边形和四边形 为正方 形，所以 ， ，所以 ,所以 为等腰直角三角形.因为，所以 ，所以 ，所以 . 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 10 类型2 对角互补模型 3.[2024广东茂名期中]如图，在四边形中， ， ， 垂足为，且,，则四边形 的面积为____. 25 1 2 3 4 5 6 7 8 11 【解析】把绕点逆时针旋转 ，如图.因为旋转不改 变图形的形状和大小，所以与重合， ， ，.因为在四边形 中， ，所以 ，所以 ， 所以点,,在同一直线上.因为 ， ,所以四 边形 是正方形,所以 .故四边 形 的面积为25.故答案为25. 1 2 3 4 5 6 7 8 12 4.[2025湖南湘潭模拟]如图，在正方形中，点是对角线 上一点，连接 ，交边于点.若，，求正方形 的边长. 1 2 3 4 5 6 7 8 13 【解】连接，过点作于点，于点 ，如图所示. 因为四边形是正方形，所以， ，. 在和中， 所以（边角边），所以 . 1 2 3 4 5 6 7 8 14 因为，，所以 ，所以四边形 是矩形. 因为 ，所以是等腰直角三角形，所以 ，所以矩形 是正方形，所以， ，所以 . 因为，所以 ，所以 . 在和中， 所以（角边角），所以，所以 . 因为，，所以 . 1 2 3 4 5 6 7 8 在中，由勾股定理得 ，所以 ，所以，所以正方形 的边长为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 类型3 十字架模型 5.[2024重庆九龙坡区期末]如图，在正方形中，点， 分别 在边，上，且，连接，，平分交 于点，若 ，则 的度数为( ) A A. B. C. D. 【解析】因为四边形是正方形，所以 ， ，.因为，所以 ， 所以 ，所以 .因为平分 ，所以 ，所以 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 17 6.[2024广东汕头潮阳区期末] 图（1） （1）如图（1），在正方形中，,相交于点且 ,则 和 的数量关系为_________. 【解析】由题意得,, , ,所以 ， ，所以 . 在和中， 所以（角边角），所以.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 18 图（2） （2）如图（2），在正方形中，,,分别是边,, 上的 点，，垂足为.求证： . 图（1） 【证明】如图（1），过点作于点，则四边形 为矩 形，则.在正方形中，，所以 .因为 ，所以 .因为 ，所以 ，所以.在和 中， 所以（角边角），所以 . 1 2 3 4 5 6 7 8 19 图（3） （3）［难］如图（3），在正方形中，,,分别是边, , 上的点，，，，将正方形沿 折叠， 点的对应点恰好与边上的点重合，求 的长度. 图（2） 【解】如图（2），连接.因为，关于对称，所以 . 过点作于点，过点作于点，则 .由 （2）同理可得，所以.因为 ， ，所以.又因为 ，所以 . 1 2 3 4 5 6 7 8 20 类型4 半角模型 7.[2024安徽合肥月考]如图，正方形的边长为4，点， 分别在边 ，上，若 ，则 的周长等于___. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 【解析】因为四边形为正方形，所以 ， ，所以把绕点顺时针旋转 可以得到 ，如图，所以，， ， ,所以 ，所以点在 的延长线上.因 为 ，所以 ，所以 .在和中， 所以 （边角边），所以.又因为 ，所 以，所以 的周长为 .故答案为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 8.[2024江苏宿迁宿豫区期中,难]在正方形中，点,分别在边， 上， 连接, . （1）如图（1），若，，则 的值为__________； （用含, 的代数式表示） 1 2 3 4 5 6 7 8 23 图（1） 【解析】延长至，使,连接 ,如图（1）. 因为四边形是正方形，所以 ， ，所以 ，所以 ，所以， . 因为 ，所以 ，所以 . 因为，所以，所以 . 因为在中，，所以 . 故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 24 （2）如图（2），若过点作，垂足为，求证： ； 【解】【证明】延长至，使，连接 ,如图（2）. 图（2） 由（1）可知，，所以 . 因为，所以 . 又因为,所以，所以 . 1 2 3 4 5 6 7 8 25 （3）如图（3），若过点作，垂足为，连接,求 的度数. 图（3） 【解】过点作交于，延长交于 ，如图（3），所 以 ，所以四边形 是矩形，所以 , ,所以 . 因为，所以 . 因为 ，所以 . 因为 ， ，所以 是等腰直角三角形，所以 ，所以，所以 . 因为，所以，所以 为等腰直角三角形，所以 ，所以 . 1 2 3 4 5 6 7 8 26 $