卷10 第5章 分式与分式方程 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2025-2026学年八年级下册数学配套课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦八年级下册分式与分式方程，涵盖概念、性质、化简及方程解法应用。通过滑雪速度、花店进货等生活实例导入，连接整式运算与分式应用，搭建从基础概念到实际解题的学习支架。 其亮点是精选各地月考期末真题，解析含“上分总结”和技巧，培养数学思维。结合秦始皇度量衡、滑雪训练等情境，引导用数学眼光观察现实，提升应用意识。学生能夯实基础，教师可高效检测教学效果。

数 学 八年级下册 北师大版 1 2 卷10 第五章基础诊断卷（A卷） 考查内容：分式与分式方程 3 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 4 时间：90min 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意） 1.[2025吉林长春月考]在，，，， 中，分式有( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】只有， 两个分式.故选B. 上分总结 分式必须满足的三个条件 （1）形如的式子；（2），都是整式；（3）分母 中含有字母.三个条件缺一 不可.注意 是一个常数，而不是字母. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 5 2.[2025安徽芜湖期末]要使分式无意义， 的取值是( ) A A.3 B. C. D. 【解析】要使分式无意义，则，解得 .故选A. 上分技巧 分式无意义的条件 分式无意义的条件是分式的分母等于0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 3.[2025山东东营月考]下列分式是最简分式的是( ) C A. B. C. D. 【解析】 选项 分析 结论 A ，不是最简分式 不符合题意 B ，不是最简分式 不符合题意 C 是最简分式 符合题意 D ，不是最简分式 不符合题意 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 4.[2025河北邢台月考]若分式的分母通分后为 ，则分子应为 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 .故选C. 5.[2025重庆大渡口区期末]根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形正确的 是( ) D A. B. C. D. 【解析】 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 6.[2025辽宁盘锦模拟]解分式方程 ，去分母得( ) D A. B. C. D. 【解析】解分式方程，去分母得 .故选D. 7.[2025山东济宁金乡一模]分式方程 的解为( ) D A. B. C.或 D.无解 【解析】，去分母，得，即.经检验， 是分式方程的增 根， 原分式方程无解.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 8.新考法[2025河北秦皇岛山海关区月考，中]秦始皇统一度量衡意义重大，这一 举措极大地方便了生产与生活.如图（1）和图（2），欣欣通过两把不同刻度的直 尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴，则由两 幅图可得方程( ) A 图（1） 图（2） A. B. C. D. 【解析】根据题图（1）和题图（2）， 直尺A的对应长度分别为24，9，直尺B 的对应长度分别为32，， 列方程为 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 9.[2025四川遂宁中考，中]若关于的分式方程无解，则 的值为 ( ) D A.2 B.3 C.0或2 D. 或3 【解析】原方程两边同乘，得 ,化简得 ，整理得,当整式方程无解时, 且 ，则 ，此时原分式方程无解；当整式方程的解为分式方程的增根 时,，解得.综上，的值为 或3.故选D. 上分心得 分式方程无解 将分式方程化为整式方程后，①当整式方程无解时，分式方程无解；②当整式方 程有解，但所有解都是分式方程的增根时，分式方程也无解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 10.[2025河南平顶山月考，偏难]若，则代数式 的值为 ( ) C A. B. C.2 D. 【解析】 ． 故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.[2025河北秦皇岛期末]分式，， 的最简公分母为_______. 【解析】分式，，的最简公分母为.故答案为 . 12.开放性试题[2025江苏南京月考]已知一个分式中含有的字母仅是 ，且对于任 意实数 ，分式的值始终为正数，则这个分式是___________________． （写出一个正确的答案即可） （答案不唯一） 【解析】 一个分式中含有的字母仅是，且对于任意实数 ，分式的值始终为正 数， 这个分式可以是（答案不唯一）.故答案为 （答案不唯一）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 13.[2025福建漳州校级月考]化简 ___. 【解析】.故答案为 . 上分警示 分式化简的结果 注意分式化简的结果应为最简分式或整式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 14. 在滑雪训练中，运动员需滑完一段长为1 200米的赛道.若将速 度提高4米/秒，则滑完该赛道所用时间是提速前的 .提速前的速度是____米/秒. 20 【解析】设提速前的速度为米/秒，则提速前滑完赛道所用时间为 秒，提速后 速度为米/秒，提速后滑完赛道所用时间为 秒.根据题意，得 ，解得.经检验， 是原方程的解，且符合实际意义， 故答案为20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 15.[2025江苏南京模拟，中]若关于的分式方程的解为负数，则 的取值 范围为_________________. 且 【解析】由解得.由该方程的解是负数，得 且 ，且，的取值范围是且 .故答 案为且 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 16.[2025山东潍坊月考，偏难]阅读资料： 使等式成立的的值为或 ； 使等式成立的的值为或 ； 使等式成立的的值为或 ；…. 按此规律，使等式成立的 的值为_______. 10或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 【解析】，， ，即 ，，即 .根据题意，可得 或，解得或.经检验，或 是原方程 的解，故答案为10或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.[2025甘肃陇南模拟]（8分）解方程： . 【解】去分母，得 . 去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 .…………（5分） 检验:当时， . 原分式方程的解是 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 18.[2025广东深圳模拟]（10分）在化简 的过程中，小深、小圳同 学分别给出了如下的部分运算过程. 小深：原式 … 小圳：原式 … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 （1）小深解法的依据是____，小圳解法的依据是____.（填序号） ①等式的基本性质； ②分式的基本性质； ③乘法分配律； ④乘法交换律. ② ③ 【解】小深的解法是将括号内的分式进行通分，利用的是分式的基本性质，小圳 利用的是乘法分配律，故答案为②，③.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 （2）试选一种解法，写出完整的解答过程. 【解】选择小圳的解法.解答过程如下： 原式 …………（6分） （…………8分） .…………（10分） （也可选择小深的解法进行解答） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 19.新考法[2025江苏泰兴期末]（10分） 题目:某花店准备购买康乃馨和百合花，康乃馨每枝的进价比百合花每枝的进价 多2元，用300元购买康乃馨的数量与用240元购买百合花的数量相同.求康乃馨和 百合花每枝的进价各是多少元 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系:康乃馨数量 百合花数量 解法二 设…… 等量关系:康乃馨每枝的进价-百合花每枝 的进价 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （1）解法一所列方程中的表示__________________，解法二所列方程中的 表示 __________________________； 康乃馨每枝的进价 康乃馨（或百合花）的数量 【解】解法一所列方程中的表示康乃馨每枝的进价，解法二所列方程中的 表示 康乃馨（或百合花）的数量. 故答案为康乃馨每枝的进价，康乃馨（或百合花）的数量.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 （2）请选择一种解法，求康乃馨和百合花每枝的进价. 【解】选择解法一.设康乃馨每枝的进价为 元. 根据题意，得 ，…………（6分） 解得 .…………（7分） 经检验， 是方程的解，且符合题意.…………（8分） 百合花每枝的进价为 （元）. 答：康乃馨每枝的进价为10元，百合花每枝的进价为8元.…………（10分） （也可选择解法二进行解答） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 20.[2025上海浦东新区期中]（12分）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义： ①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有 相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断一元一次方程与分式方程 是不是“相 似方程”，并说明理由； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 【解】一元一次方程与分式方程 不是“相似方 程”.…………（1分） 理由如下： 解一元一次方程 ， 得 .…………（2分） 解分式方程 ， 得 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 检验：当时， ， 原分式方程无解， 一元一次方程与分式方程 不是“相似方 程”.…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 （2）［中］已知关于，的二元一次方程与 是“相伴方程”， 求正整数 的值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 【解】由题意得两个方程有相同的整数解. 令 ， .…………（8分） 当 时，方程无解； 当，即时， ， 即 .…………（10分） ，均为整数，的值可以为1，2，，， 的值可以为2，3，0， . 又 为正整数， 或3.…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 21.[2025黑龙江牡丹江模拟]（12分）某商场购进甲、乙两种手机共50部.已知一部 甲种手机比一部乙种手机的进价少0.3万元，用36万元购进甲种手机的数量是用48 万元购进乙种手机数量的3倍.请解答下列问题： （1）甲、乙两种手机每部进价各是多少元？ 【解】设甲种手机每部进价是元，则乙种手机每部进价是 元. 由题意得， ， 解得 .（2分） 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， . 答：甲种手机每部进价是1 000元，乙种手机每部进价是4 000元.（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 （2）［中］若商场预计投入资金超过10万元，且购进甲种手机超过30部，商场有 哪几种进货方案？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 【解】设购进甲种手机部，则购进乙种手机 部. 根据题意得 （6分） 解得 . 为正整数， ，32，33， 商场有以下3种进货方案： ①购进甲种手机31部，乙种手机19部； ②购进甲种手机32部，乙种手机18部； ③购进甲种手机33部，乙种手机17部.…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 （3）［中］若甲种手机每部售价1 100元，乙种手机每部售价4 300元，甲、乙两 种手机各有一部按八折出售，其余全部按标价售出，商场从销售这50部手机获得 的利润中拿出2 520元作为员工福利，剩下的利润恰好又可以购进甲、乙手机各1 部，请直接写出该商场购进的这50部手机中，甲、乙两种手机各几部. 【解】购进甲种手机32部，乙种手机18部.…………（12分） 设购进甲种手机部，则购进乙种手机 部.由题意，得 ， 解得， 购进甲种手机32部，乙种手机18部. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 22.探究性试题[2025湖南郴州期中]（14分）【阅读】在处理分式问题时，一些分 式由于分子的次数不低于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们 可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，再分析解决问题，我 们称之为分离整式法． 例：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则 ． 原式 , ． 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式 的和的形式． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 【应用】 （1）使用分离整式法将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和 的形式，结果为________； 【解】 . 故答案为 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 （2）［中］将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； 【解】设，则 ，…………（4分） ，…………（6分） .…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 【拓展】 （3）［偏难］已知分式的值为整数，求正整数 的值． 【解】设，则 ， , .…………（10分） 分式的值为整数，且是整数，或 .由 ，得或 ， 由，得或 . 又是正整数， 正整数 的值为4或2或16．…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 $