第02讲 二次根式的乘法与除法（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年人教版八年级数学下册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦二次根式的乘法与除法运算及最简二次根式这一核心知识点，前承二次根式的定义、性质，后续为加减运算奠定基础，构建从概念到运算再到化简的递进式学习支架。 资料通过典例与多层变式题设计，覆盖乘法运算、除法运算及最简二次根式的判定与化简，培养学生运算能力与推理意识，结合实际问题（如车速估计）渗透应用意识，课中助力教师高效授课，课后便于学生回顾练习以弥补知识盲点。

第02讲 二次根式的乘法与除法 考点1：二次根式的定义与有意义条件 考点2：双重非负性的应用 考点3：二次根式性质的正向与逆向运用 考点4：的化简 考点5：性质条件的辨析 重点： （1） 双重非负性 （2）4条核心性质的灵活运用 （2） 与（的区别 难点： （1） 含的字母的化简 （2）非负性的综合应用 知识点1：二次根式的乘法法则 1. 二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广 【题型1 二次根式的乘法运算】 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4)8 【分析】（1）把被开方数相乘即可， （2）先把被开方数相乘，再把结果化成最简形式即可， （3）把被开方数相乘即可， （4）先把被开方数相乘，再把结果化成最简形式即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法则是解答此题的关键． 【变式1】计算：； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，先计算乘法，再化简，即可求解． 【详解】解： ． 【变式2】计算： (1)． (2) (3)． (4)． 【答案】(1)6 (2)10 (3)1 (4) 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可； （2）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可； （3）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （4）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法法则，解题的关键是熟练掌握二次的乘法法则：． 【变式3】计算 （1）     （2） 【答案】（1）45；（2） 【分析】（1）先化简二次根式，然后进行乘法运算，即可求解； （2）先利用二次根式的乘法法则进行乘法运算，再化简，即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘法运算法则——，其中 ， ，还要注意结果要化为最简二次根式． 知识点2：二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广 注意： （1） a≥0，b＞0时，才有意义； （2） 如果被开方数时带分数，应先化成假分数 【题型2 二次根式的除法运算】 【典例2】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二次根式的除法运算． （1）先根据二次根式的性质化简，再计算二次根式的除法即可； （2）根据二次根式的除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】化去下列各式分母中的根号： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的除法运算，利用二次根式的性质化简，熟练掌握除法法则和二次根式的性质是解题的关键： （1）运用除法法则和二次根式的性质化简即可； （2）运用除法法则和二次根式的性质化简即可； （3）运用除法法则和二次根式的性质化简即可； （4）运用除法法则和二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，熟记运算法则是解本题的关键； （1）根据二次根式的除法法则进行计算即可； （2）根据二次根式的除法法则进行计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的除法，熟记运算法则是关键. （1）根据二次根式的除法法则计算即可， （2）根据二次根式的除法法则计算即可， （3）根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； 【题型3 二次根式的乘除法运算】 【典例3】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键． （1）（2）直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键． （1）（2）直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式2】计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 先根据二次根式的性质进行化简，再根据二次根式的乘除混合运算计算即可得解． 【详解】解： ． 【变式3】计算： 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断a的符号，然后根据二次根式的乘除混合运算，根号里面和外面分别计算，最后再化简二次根式即可求解．本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵， ∴， ∴ ． 知识点3：最简二次根式 1. 最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【题型4 最简二次根式的判定】 【典例4】下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式， 最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，逐一分析各选项解答即可． 【详解】解：∵ A：被开方数含分母，不是最简； B:，可开方，不是最简； C:，被开方数含平方因数，不是最简； D:被开方数无分母且无平方因数，是最简． 故选：D． 【变式1】下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的判断，掌握好最简二次根式的定义是关键． 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数，同时选项必须是二次根式，逐一判断即可． 【详解】解：对于A，，可化简为有理数，不是最简二次根式； 对于B，，可化简，不是最简二次根式； 对于C，，被开方数5是质数，无平方因子，且不含分母，是最简二次根式； 对于D，是立方根，不是二次根式，不符合题意． 故选：C． 【变式2】下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，不符合题意； B． ，不是最简二次根式，不符合题意； C． ，不是最简二次根式，不符合题意； D．是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 【变式3】下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥，其中最简二次根式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的识别，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且不含能开方的因数或因式），逐一判断各二次根式是否符合条件． 【详解】解： ① 是三次根式，不是二次根式，故不是最简二次根式； ② 被开方数含分母，故不是最简二次根式； ③ 被开方数9能开方（），故不是最简二次根式； ④ 即 ，被开方数含分母，故不是最简二次根式； ⑤ 被开方数 无分母且不能因式分解为完全平方形式（在实数范围内），故是最简二次根式； ⑥ 即 ，被开方数含能开得尽方的因式 ，故不是最简二次根式； ∴ 只有⑤是最简二次根式，共1个， 故选：A． 【题型5 化为最简的二次根式】 【典例5】化简： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是根据二次根式的性质把二次根式化为最简二次根式． 把二次根式中能开得尽方的因数开出来，即可得到最简二次根式； 把二次根式分母有理化，即可得到最简二次根式； 把根号下的化为分数，再进行分母有理化； 把二次根式分母有理化． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1】化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键；因此此题可根据二次根式的性质及化简进行求解（1）（2）（3）（4）小题即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式2】化简： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查的是二次根式的化简． （1）把原式化为，再进一步化简即可． （2）把原式化为，再进一步化简即可． （3）把原式化为，再进一步化简即可． （4）把原式化为，再进一步化简即可． （5）把原式化为，再进一步化简即可． （6）把原式化为，再进一步化简即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：． 【变式3】化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）把12写成，然后化简； （2）把75写成，然后化简； （3）将分母直接开方化简． （4）将写成，然后直接化简． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： （4）解： 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【题型6 已知最简二次根式求参数】 【典例6】已知最简二次根式与可以合并，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式的定义． 根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式可以合并的条件是被开方数相同． 【详解】解：由题意，与可以合并， 因此它们是同类二次根式， 故被开方数相等， 即， 解方程：， 移项得， 解得． 故答案为：4． 【变式1】若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，熟练掌握“同类最简二次根式的被开方数相同”是解题的关键． 根据同类最简二次根式的定义，令被开方数相等，列方程求解的值． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式2】若最简二次根式和乘积是有理数，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查二次根式的乘除法，最简二次根式，熟练掌握相关运算法则及定义是解题的关键． 将化为，再根据题意得到关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：， 最简二次根式和乘积是有理数， ， 解得：， 故答案为： 【变式3】若是最简二次根式，则整数的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查最简二次根式的定义，二次根式有意义的条件．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．让被开方数为非负数列式求得a的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】解：∵二次根式 有意义， ∴， 解得， 当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意； 当时，二次根式的值为，是最简二次根式， 综上所述：若二次根式是最简二次根式，则整数a的最小值是3． 故答案为：3． 1．下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的定义；根据被开方数为整数或整式，且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简； B、，被开方数为整式，且无平方因式或因数，故为最简； C、，被开方数含平方因数4，不是最简； D、，被开方数含平方因式，不是最简． 故选B． 2．计算的结果是（    ） A．6 B．12 C．18 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键；根据二次根式的乘法计算即可得解． 【详解】解：， 故选：． 3．计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式乘法，利用二次根式的乘法法则，将根号内的数相乘后化简． 【详解】解： ， 故选：B． 4．若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根．先把化为，再根据已知条件求出对应的结果． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：B． 5．化简：（1） （2） 【答案】 4 2 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，正确运用二次根式乘法法则是解题关键． （1）根据算术平方根的定义直接计算； （2）根据二次根式的除法法则，将除法转化为被开方数的除法后再开方． 【详解】解：（1）； （2）． 故答案为：（1）4 （2）2 6．交警通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的公式是．其中（单位：）表示车速，（单位：）表示刹车后车轮滑过的距离，表示摩擦因数．在某次交通事故中，测得，．则汽车的车速是 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查了利用二次根式的乘法公式逆运算进行化简，正确理解题意是解题的关键．直接用题目中速度公式进行计算即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 7．请写出一个正整数m的值使得是最简二次根式， ． 【答案】1 【分析】本题考查的是最简二次根式的含义，根据最简二次根式的定义可得或等，从而可得答案． 【详解】解：∵是最简二次根式，m为正整数， ∴正整数m的值可以为1或3等， 故答案为：1（答案不唯一）． 8．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式化简，涉及二次根式乘法法则及二次根式性质与分母有理化． ()可根据二次根式的乘法法则进行化简； ()根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，再进行分母有理化． 【详解】（1）解： ． （2） ． 9．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练运用二次根式的乘除运算法则是解决问题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则计算即可； （2）根据二次根式的乘法法则化简即可； （3）根据二次根式的除法法则化简即可； （4）根据二次根式的乘除法则化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 10．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先运算乘法，然后化简二次根式即可； （2）先运算二次根式的乘除法，然后化为最简二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 11．阅读下面的材料，并完成相应任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，所以 小明： 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以 任务： (1)猜想：当时和之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算：． (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 【答案】(1) (2)24 (3)16 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的化简与运算是解题的关键． （1）由题意可得，即可解答； （2）根据，即可求解； （3）由长方形的面积可求，再化简求值即可． 【详解】（1）解：由题意可得； （2）解：； （3）解：长方形的长为，宽为， ， 答：这个长方形的面积为16． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 二次根式的乘法与除法 考点1：二次根式的定义与有意义条件 考点2：双重非负性的应用 考点3：二次根式性质的正向与逆向运用 考点4：的化简 考点5：性质条件的辨析 重点： （1） 双重非负性 （2）4条核心性质的灵活运用 （2） 与（的区别 难点： （1） 含的字母的化简 （2）非负性的综合应用 知识点1：二次根式的乘法法则 1. 二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广 【题型1 二次根式的乘法运算】 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】计算：； 【变式2】计算： (1)． (2) (3)． (4)． 【变式3】计算 （1）     （2） 知识点2：二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广 注意： （1） a≥0，b＞0时，才有意义； （2） 如果被开方数时带分数，应先化成假分数 【题型2 二次根式的除法运算】 【典例2】计算： (1)． (2)． 【变式1】化去下列各式分母中的根号： (1) (2) (3) (4) 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)． 【题型3 二次根式的乘除法运算】 【典例3】计算： (1)． (2)． 【变式1】计算： (1)． (2)． 【变式2】计算： 【变式3】计算： 知识点3：最简二次根式 1. 最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【题型4 最简二次根式的判定】 【典例4】下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥，其中最简二次根式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型5 化为最简的二次根式】 【典例5】化简： (1)； (2) (3)； (4)． 【变式1】化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】化简： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式3】化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型6 已知最简二次根式求参数】 【典例6】已知最简二次根式与可以合并，则的值是 ． 【变式1】若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【变式2】若最简二次根式和乘积是有理数，则 ． 【变式3】若是最简二次根式，则整数的最小值为 ． 1．下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（    ） A．6 B．12 C．18 D．36 3．计算的值为（   ） A． B． C． D． 4．若，，则（　　） A． B． C． D． 5．化简：（1） （2） 6．交警通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的公式是．其中（单位：）表示车速，（单位：）表示刹车后车轮滑过的距离，表示摩擦因数．在某次交通事故中，测得，．则汽车的车速是 ．（结果保留根号） 7．请写出一个正整数m的值使得是最简二次根式， ． 8．化简： (1)； (2)． 9．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．计算： (1)； (2)． 11．阅读下面的材料，并完成相应任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，所以 小明： 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以 任务： (1)猜想：当时和之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算：． (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $