第01讲 二次根式及其性质（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年人教版八年级数学下册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦二次根式及其性质核心知识点，系统梳理从定义识别、有意义条件判断到双重非负性、回归性、转化性等性质的正向逆向运用，构建从概念到应用的递进学习支架。 资料以“定义-性质-应用”为主线，设计典例与变式分层训练，如结合数轴化简培养几何直观的数学眼光，通过含字母参数题提升推理能力的数学思维。课中助力分层教学，课后练习题帮助巩固性质应用，查漏补缺，培养用数学语言表达数量关系的能力。

第01讲 二次根式及其性质 考点1：二次根式的定义与有意义条件 考点2：双重非负性的应用 考点3：二次根式性质的正向与逆向运用 考点4：的化简 考点5：性质条件的辨析 重点： （1） 双重非负性 （2）4条核心性质的灵活运用 （2） 与（的区别 难点： （1） 含的字母的化简 （2）非负性的综合应用 知识点1：二次根式的定义及有意义的条件 1.定义：一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 【总结】二次根式满足条件： （1） 必须含有二次根号 （2） 被开方数必须是非负数 2.有意义的条件 ①单个二次根式：被开方数a≥0。 ②多个二次根式：所有被开方数均≥0。 ③含分母：被开方数≥0且分母≠0 【题型1 二次根式的识别】 【典例1】下面是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 求二次根式的值】 【典例2】已知实数，满足，求的值． 【变式1】当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积，用式子可表示为：（其中为三角形的三条边长，S为三角形的面积）．在中，，则的面积为 ． 【变式3】已知是实数，且满足． (1)求和的值； (2)求的值． 【题型3 求二次根式中的参数】 【典例3】n为正整数，且是整数，那么n的最小值是 ． 【变式1】已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 【变式2】已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ． 【变式3】已知是整数，则自然数x的所有取值为 ． 【题型4 二次根式有意义的条件】 【典例4】若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式1】若式子有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】当 时，二次根式无意义． 【变式3】若代数式有意义，则的取值范围是 ． 知识点2：二次根式的性质 （1） 双重非负性≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （3）转化性： 【题型5 利用二次根式的性质化简】 【典例5】已知，化简： ． 【变式1】当时，化简： ． 【变式2】已知，化简： ． 【变式3】当时，代数式的值是 ． 【题型6 数轴与二次根式的化简】 【典例6】已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：试化简：（    ） A．2a B．0 C． D．2b 【变式1】如图，已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是 ． 【变式2】实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C．1 D． 【变式3】如图，在数轴上，点A对应的数为a，点B对应的数为b，则化简后结果正确的是（   ） A． B．b C． D． 1．二次根式有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 2．化简的结果为（   ） A． B． C．7 D． 3．计算的结果为（   ） A． B．3 C．9 D． 4．下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 6．已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 7．化简： ． 8．，其中，则 ． 9．已知，则 ． 10．已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简 ． 11．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．已知实数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，化简：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 二次根式及其性质 考点1：二次根式的定义与有意义条件 考点2：双重非负性的应用 考点3：二次根式性质的正向与逆向运用 考点4：的化简 考点5：性质条件的辨析 重点： （1） 双重非负性 （2）4条核心性质的灵活运用 （2） 与（的区别 难点： （1） 含的字母的化简 （2）非负性的综合应用 知识点1：二次根式的定义及有意义的条件 1.定义：一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 【总结】二次根式满足条件： （1） 必须含有二次根号 （2） 被开方数必须是非负数 2.有意义的条件 ①单个二次根式：被开方数a≥0。 ②多个二次根式：所有被开方数均≥0。 ③含分母：被开方数≥0且分母≠0 【题型1 二次根式的识别】 【典例1】下面是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式是指根指数为的根式，且被开方数非负数． 【详解】解：二次根式需满足根指数为且被开方数是非负数， A选项：为分数，不是二次根式，故A选项不符合题意； B选项：的根指数为，不是二次根式，故B选项不符合题意； C选项：根指数为且被开方数是非负数，是二次根式，故C选项符合题意； D选项：被开方数为，在实数范围内无意义，不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 根据二次根式的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】二次根式需满足根指数为且被开方数， 对于：，根指数为，不是二次根式； 对于：，被开方数，无意义，不是二次根式； 对于：，，，恒成立，是二次根式； 对于：，当时，，被开方数不能保证为非负数，不属于二次根式的式子； 故选． 【变式2】下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的定义，属于基础概念题，难度不大．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式． 结合二次根式的定义即可求解． 【详解】解：A：在中，，不合题意，故错误； B：在中，，符合题意，故正确； C：在中，的正负性不可确定，不合题意，故错误； D：在中，根指数是3，不合题意，故错误； 故答案是：B． 【变式3】下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如的式子”，逐一判断各表达式即可． 【详解】解：下列各式，，，中是二次根式的有，，共2个； 故选B． 【题型2 求二次根式的值】 【典例2】已知实数，满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，积的乘方的逆用，同底数幂乘法的逆用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合二次根式的非负性，得，即，又因为，得，整理，最后代入数值计算，即可作答． 【详解】解：结合二次根式有意义的性质，得， ∴， 即， ∴， 则 ． 【变式1】当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．将代入计算即可． 【详解】解：当时， ． 故选：B． 【变式2】《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积，用式子可表示为：（其中为三角形的三条边长，S为三角形的面积）．在中，，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查代数式求值，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴, ∴， 故答案为：． 【变式3】已知是实数，且满足． (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的求值，根据二次根式有意义的条件求得是解题关键． （1）根据二次根式有意义的条件可得x的值，进而得出y的值； （2）将x，y的值代入计算即可 【详解】（1）是实数，且满足， 解得 ∴； （2）当，时， ； 【题型3 求二次根式中的参数】 【典例3】n为正整数，且是整数，那么n的最小值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的定义，掌握二次根式的性质，二次根式的定义是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简为：，由题意可知，必须是整数，即必须是一个完全平方数，当时，，4是完全平方数，进而得出答案． 【详解】解：为正整数，且是整数， 必须是整数，即必须是一个完全平方数， 当时，，4是完全平方数， 此时， 是整数， 的最小值是． 故答案为：． 【变式1】已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查二次根式．由是整数，可设（为非负整数），则，且，故，枚举值进而求出的可能值，即可得出答案． 【详解】解：∵是整数， ∴设，其中为整数且， 则， ∴． 又∵是自然数， ∴，即， ∴， ∴可取0，1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴的可能值为13，12，9，4，最小值为4． 故选：D． 【变式2】已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ． 【答案】3 【分析】由题意得，，可求，由等腰三角形可知，第三条边为3或6，然后根据三角形三边关系分情况求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 由等腰三角形可知，第三条边为3或6， 当第三条边为3时，此时无法构成三角形，舍去； 当第三条边为6时，此时能构成三角形，则三边分别为6，6，3，底边长为3， 综上所述，以a、b为边的等腰三角形的底边长为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用．熟练掌握二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用是解题的关键． 【变式3】已知是整数，则自然数x的所有取值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如（）的式子叫做二次根式，还考查了二次根式的性质：．由已知可得且为完全平方数求解． 【详解】解：由已知得， 又∵为整数 为完全平方数， 或或或 自然数x的所有取值为：． 【题型4 二次根式有意义的条件】 【典例4】若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式及分式有意义的条件，代数式有意义需满足分母不为零且根号内非负，即且，即可求解． 【详解】解：∵代数式 有意义， ∴，且即， ∴且， 故选：D． 【变式1】若式子有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∴． 因此，x的取值范围是． 故选：D． 【变式2】当 时，二次根式无意义． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是明确“二次根式无意义时，被开方数小于”，进而列不等式求解． 二次根式无意义的条件是被开方数小于，据此分析即可． 【详解】解：二次根式​有意义的条件是被开方数，反之，当被开方数时，二次根式无意义． 解不等式，得： ，即． 故答案为：． 【变式3】若代数式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟记分母不为0，被开方数为非负数是解本题的关键． 根据二次根式中的被开方数是非负数、分母不为零得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，， ∴且． 故答案为：且． 知识点2：二次根式的性质 （1） 双重非负性≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （3）转化性： 【题型5 利用二次根式的性质化简】 【典例5】已知，化简： ． 【答案】6 【分析】本题考查化简二次根式和绝对值，根据二次根式的性质，绝对值的意义，进行化简，求解即可，熟练掌握二次根式的性质和绝对值的意义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：6． 【变式1】当时，化简： ． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式的化简，绝对值的化简，掌握相关知识是解决问题的关键．根据x的取值范围，将算术平方根化为绝对值形式，再根据非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数化简绝对值，最后合并同类项． 【详解】解： ∵， ∴ ． 故答案为：2． 【变式2】已知，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，先去根号，得到绝对值后，再结合的取值范围确定化简后每个绝对值的值，最后进行有理数运算． 【详解】， ， ，， ∴原式． 故答案为：． 【变式3】当时，代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是关键．根据题意得到，据此计算算术平方根，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：2． 【题型6 数轴与二次根式的化简】 【典例6】已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：试化简：（    ） A．2a B．0 C． D．2b 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴、算术平方根．由数轴得，，再利用算术平方根的性质化简式子即可． 【详解】解：由数轴得，，， ∴， ∴ ； 故选：C． 【变式1】如图，已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简是关键．根据点在数轴上的位置得到，再由二次根式的性质得到结果即可． 【详解】解：由实数在数轴上的对应点位置可知， ． 故答案为：． 【变式2】实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴和实数，绝对值的性质，二次根式的性质， 根据数轴可知，进而得，再将原式化为，然后去绝对值即可． 【详解】解：根据数轴可知， ∴， ∴． 故选：C． 【变式3】如图，在数轴上，点A对应的数为a，点B对应的数为b，则化简后结果正确的是（   ） A． B．b C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的点，二次根式的性质以及绝对值的意义，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 先确定的符号，判断的正负，，然后化简绝对值即可． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 1．二次根式有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据被开方数是非负数列出不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 故选D． 2．化简的结果为（   ） A． B． C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的平方运算，掌握积的乘方规则以及二次根式的平方等于其被开方数是解题的关键． 平方运算会使负号消失，因为负数的平方是正数，且平方根平方后得到原数． 【详解】解：∵， ∴结果为7． 故选：C． 3．计算的结果为（   ） A． B．3 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握算术平方根的结果为非负数是解题的关键． 先计算根号内的结果，再根据二次根式的性质化简，最后逐一判断选项． 【详解】解：∵先计算根号内的式子：， ∴原式． ∵算术平方根的结果是非负的， ∴． 故选：B． 4．下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式要求被开方数必须是非负数，即可判断． 【详解】解：A、，被开方数，符合定义； B、，被开方数，符合定义； C、，由于字母a的取值范围不确定，不能保证被开方数，故该式子不一定是二次根式，不符合定义； D、，被开方数，符合定义； 故选：C． 5．已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键． 由题意可得，要使是正整数，即可得出当n最大取2024时，是正整数． 【详解】解： 要使是正整数， 即当时，． 故整数的最大值为2024． 故选：B． 6．已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式乘除运算性质，准确计算是解题的关键． 应用平方根的性质，将根号内的分数分解为分子的平方根除以分母的平方根． 【详解】； 故答案是：． 8．，其中，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，通过将根号内的表达式化为完全平方形式，化简后根据的值确定绝对值，从而求解． 【详解】解：由题意，．， ． 当时，， 故． 因此． 代入，得． 故答案为：． 9．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义得条件，掌握有意义，则是解题的关键． 根据题意，且，可解得，继而得到，接着求即可． 【详解】解：， ， 解得， ， ． 故答案为：． 10．已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴的特点，化简绝对值，二次根式的性质化简，理解数轴上点的符号，掌握二次根式性质化简是关键． 根据数轴的特点到，结合绝对值的性质，二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴ ， 故答案为： ． 11．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了二次根式性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据二次根式的性质进行化简即可； （）根据二次根式的性质进行化简即可； （）根据二次根式的性质进行化简即可； （）根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 12．已知实数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置推出，据此化简绝对值和二次根式即可得到答案． 【详解】解：由数轴，得， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，化简二次根式和绝对值，有理数的加减运算法则，正确推出是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $