卷4 第20章 勾股定理 提优验收卷 （B卷）-【初中上分卷】2025-2026学年八年级下册数学配套课件（人教版·新教材）河北专用

该初中数学课件聚焦八年级下册勾股定理，通过棋局距离、公园路径等实际情境导入，衔接直角三角形性质，构建从基础计算到综合应用的学习支架，帮助学生逐步掌握定理应用与分类讨论。 其亮点在于情境化问题设计与探究性学习结合，如钓鱼竿转动、U形池滑行等问题培养数学眼光，新定义“勾股高三角形”发展推理能力，传统文化题增强数学语言表达。学生提升应用与探究能力，教师可丰富教学资源，提高课堂效率。

数 学 八年级下册 人教版 1 2 卷4 第二十章提优验收卷 （B卷） 考查内容：勾股定理 3 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 4 时间： 满分：100分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出 的四个选项中,只有一项是符合题目要求的） （第1题图） 1.如图是某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形 的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点（小正方形的顶点） 之间的距离为( ) C A. B.3 C. D. 【解析】由题意得，“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 5 2.[2025河北石家庄桥西区月考]分别以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是 ( ) B A.，， B.1，， C.，， D.，， 【解析】， 不能构成直角三角形，故A选项不符合题意； ， 能构成直角三角形，故B选项符合题意； ， 不能构成直角三角形，故C选项不符合题意； ， 不能构成直角三角形，故D选项不符合题意.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 3.若，为的两边长，且满足，则 的斜边长 为( ) D A.4 B. C.4或 D.5或 【解析】，，.当， 是直角边长时，斜边长 为;当 是斜边长时，斜边长为5.故选D. 上分警示 直角三角形的分类讨论 只给出直角三角形的两条边长且这两条边长不相等时，需要分类讨论，斜边可能 是已知的两条边中较长的一条边，也可能是未知的那条边. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 （第4题图） 4.如图是宝安公园一角的平面地图，测得起点 到第一个拐角 处点的距离为30米，点到终点 的距离是30米，如果 ，那么,两点之间的距离大约是 参考数据: ( ) B A.35米 B.42米 C.60米 D.72米 【解析】连接米，米, ， （米），故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 （第5题图） 5.新考法 如图，平面直角坐标系中，点， 的坐标分别是 和，以为圆心，长为半径画弧，交 轴的正半轴 于点，则点 的横坐标是( ) D A. B. C. D. 【解析】 点，的坐标分别是和， ， .在 中，由勾股定理得 .，， 点 的横坐标 为 ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 （第6题图） 6.[2025河北承德月考]如图，长方形中， ， ，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为 ， 则 的长为( ) C A. B. C. D. 【解析】根据折叠可知，.设，则.在 中，，即，解得,的长为 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 （第7题图） 7.如图，在中， ，， 的垂直平分线交 于点，交的延长线于点，垂足为，连接，则 的长度 是( ) A A. B. C.3 D.6 【解析】是线段的垂直平分线， ， , ， 是等腰直角三角形， ，， .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 （第8题图） 8.[2025河北邢台月考，中]如图，钓鱼竿的长为 ，露在水面 上的鱼线长为.钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿 转到 的位置，此时露在水面上的鱼线长为，则 的长为 ( ) A A. B. C. D. 【解析】由题意可得，， ,则 ， ， .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 9.［中］如图（1）是一个可调节平板支架，其结构示意图如图（2）所示，已知平 板宽度为，支架的长度为，当 时，测得 ， 保持此时的形状不变，当平分时，点到 的距离是( ) D 图（1） 图（2） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 【解析】过点作于点，于点，如图所示.平分 ， .在中， ，，， , 由三角形的面积公式得 ， ，， 点到 的距离是 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 （第10题图） 10.［中］如图是一个供滑板爱好者使用的 形池的示意图，该 形池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”，中间可供滑行部 分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点 在上，米，一滑板爱好者从点滑到 点，则他滑行 的最短距离为( ) B A.24米 B.25米 C.26米 D.27米 【解析】如图,将形池展开,由题意得 （米）， 米，米.在 中，由勾股定理得 ，解得 （负值已舍去），故他滑行的最短距离 为25米.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 （第11题图） 11.[2025河北邯郸月考，中]如图，在中，为 上一 点，，，且.记长为，长为 ，当 ， 的值变化时，下列代数式的值不变的是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 【解析】如图,过点作，垂足为，则 ， ，， .在 中，，在 中， ，，， 当， 的 值变化时， 的值不变，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 12.传统文化 [2025河北保定月考，难]我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直 角边中较短边为“勾”，较长边为“股”，斜边为“弦”.如图（1）所示，将“勾股形”分 割成一个正方形和两对全等的直角三角形，借助这种分割方法所得的图形可以证 明勾股定理.如图（2）所示的长方形是由两个如图（1）所示的“勾股形”拼接而成， 若， ，则长方形的面积为( ) C 图（1） 图（2） A.6 B.9 C.12 D.15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 【解析】如图,由题意得 ， .设，， . 在直角三角形中，由勾股定理得 ， ，解得，，， 长方形的面积 为 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分,共12分） 13.在中，若，则 _____ . 【解析】，， 是直角三角形，且 边是斜边， .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 14.如图，货车卸货时挡板折落至处,点在地面上.已知点，， 在一条 直线上，，，，则车高____ . 3.2 【解析】， .在中, ， ，， , ，故答案为3.2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 （第15题图） 15.［中］如图，在四边形中， ，分 别以四边形 的四条边为边，向外作四个正方形，面积分别 为，，，，若，，，则 的值是 ____. 18 【解析】如图，连接，，， ， ，.在与 中，由勾股定理得， ， ， ，故答案为18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 （第16题图） 16.［难］如图，在等腰中，， ， 为的中线，垂直平分交于点，则 _ _. 【解析】如图，连接.因为是的垂直平分线，所以 .因 为，，为 的中线，所以 ，，所以 ，所以 ，所以.设，则 . 由勾股定理得，所以，解得 ，所以 .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 三、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤） 17.（7分）如图，在中，，，， 是 延长线上一点，连接，若，求 的长. 【解】，， ， ， ， ，是直角三角形，且 .…………（4分） ， ， .…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 18.（8分）小丽在物理实验课上利用如图所示的“光的反射演示器” 直观呈现了光的反射原理.她用激光笔从量角器左侧边缘点 处发 出光线，经量角器圆心 处（此处放置平面镜）反射后，反射光线 落在右边光屏上的点处为量角器最右侧边缘点， 为量角器 【解】， .设. ， .…………（3分） 在中，，， ，解得 ，…………（7分） ， 量角器的半径的长为 .…………（8分） 的中心，,,三点共线，，.小丽在实验中还测得 ， .依据以上数据，求量角器的半径 的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 19.（8分）如图,一艘轮船从港向南偏西 方向航行 到达 岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线 的 最短距离是 . （1）若轮船速度为，求轮船从岛沿返回 港所需的时间. 【解】由题意得,,.在 中， ，即, ,…………（2分） , . 答：轮船从岛沿返回港所需的时间为 .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 （2）岛在 港的什么方向？ 【解】, .又 ，, ,…………（7分） ,岛在港的北偏西 方向.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 20.项目式学习 [2025河北秦皇岛月考，中]（8分）某学习小组进行勾股定理的项 目式探究： 利用剪拼法证明勾股定理 背景 意大利著名画家达·芬奇证明勾股定理的剪拼法 步骤 ①在纸片上绘制两个 边长分别为, 的正方 形,并连线 ②将 左、右 两部分 剪开 ③将右 侧部分 翻转 ④将左、右两部分拼接在一起 （提示：相当于两个直角三角 形和一个正方形拼接在一起） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 利用剪拼法证明勾股定理 步骤 ___________________ _____________________ ____________________ ___________________ 说明：①中大正方形有两条边分别与小正方形的两条边在一条直线上；① 中多边形的面积为;④中多边形的面积为 续表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 问题解决 任务 （1）请用含，，的代数式分别表示， 【解】 ，…………（3分） .…………（6分） （2）请利用等积法证明勾股定理 【证明】由得， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 21.探究性问题 [2025河北唐山月考]（9分）新定义一种三角形：若一个三角形中 存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为“勾股高三角形”， 两边的交点为“勾股顶点”. 图（1） 图（2） 【特例感知】①等腰直角三角形____“勾股高三角形”（填“是”或“不是”）； 是 【解析】设等腰直角三角形的直角边长为 ，则斜边长为 ,且等腰直角三角形的一条直角边即为另一条 直角边上的高， 等腰直角三角形是“勾股高三角形”，故答案为是.…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 ②［中］如图（1），已知为“勾股高三角形”，其中为“勾股顶点”， 是 边上的高.若，，试求线段 的长度. 【解】是边上的高，，， ， 为“勾股高三角形”，为“勾股顶点”， 是 边上的高，， ，解得 （负值已舍去）， 线段的长度为 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 【深入探究】 ［中］如图（2），已知为“勾股高三角形”，其中 为“勾股顶 点”，且，是边上的高.试探究线段与 的数量关系，并给予证明. 【解】.证明：为“勾股高三角形”，为“勾股顶点”,且 ， 是边上的高，， .又 ，， .…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 22.（12分）如图，在中， ，，，点 从 点出发，沿着射线以的速度运动，运动时间为,连接 . 备用图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 （1）若，则 的值为_______； 2或14 【解析】在中， ，， ， .由题意得，.当点在点 的左侧时，，当点在点 的右侧时， .，或 ，解得 或 .故答案为2或14.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 （2）［偏难］当时，求 的值； 【解】如图（1）,由题意得，， . 在中，， ， 解得 .…………（8分） 图（1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 （3）［难］当是直角三角形时，求 的值. 图（2） 【解】①当 时，如图（2），此时点与点 重合， ， .…………（10分） 图（3） ②当 时，如图（3）， ， ，.在 中， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 ，在中， ， ，解得.综上所述， 的值为8或 .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 $