卷3 第20章 勾股定理 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2025-2026学年八年级下册数学配套课件（人教版·新教材）河北专用

该初中数学课件聚焦八年级下册勾股定理，通过三角形支架选材、旗杆测量等实际问题导入，涵盖勾股数识别、距离计算、翻折变换及规律探究，构建从基础到综合的递进式学习支架。 其亮点在于以情境化问题（如汽车行驶路径、监控布设优化）培养数学眼光，通过逻辑推理（如翻折问题中勾股定理与图形性质结合）发展数学思维，用模型构建（如最短路径问题）提升数学语言表达。分层设计与“上分心得”助力学生巩固，教师可直接用于教学，提升效率。

数 学 八年级下册 人教版 1 2 卷3 第二十章基础诊断卷（A卷） 考查内容：勾股定理 3 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 4 时间： 满分：100分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出 的四个选项中,只有一项是符合题目要求的） 1. 2025年5月10日,江苏省城市足球联赛开幕．在场馆检修中，为了 确保看台的结构稳固，工程师需要制作几个三角形支架，他选用了不同长度的钢 梁作为制作三角形支架的材料，以下各组钢梁的长度数据中，是勾股数的是 ( ) A A.5，12，13 B.4，6，8 C.7，8，14 D.12，24，25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 5 【解析】A选项， ，5，12，13是勾股数，故该选项正确， 符合题意；B选项， ，4，6，8不是勾股数，故该选项错误，不 符合题意；C选项， ，7，8，14不是勾股数，故该选项错误， 不符合题意；D选项， ，12，24，25不是勾股数，故该选 项错误，不符合题意.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 （第2题图） 2.如图，点是平面直角坐标系内一点，则点 到原点的距离 是( ) B A.4 B.3 C.9 D.5 【解析】依题意，得点的坐标为，， 点 到原点的 距离是 ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 （第3题图） 3.如图，在中， ，，，点在 上，， 的长为( ) D A. B. C. D. 【解析】 ，， ， .， ， ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 4.[2025河北邢台月考]一辆汽车从点出发沿正东方向行驶到达点 ，然后 转向行驶到达点，最后从点沿方向直接回到出发点 .如果汽车从出发 到返回出发点共行驶了，那么 的方向是( ) D A.正东或正西 B.正南 C.正北 D.正南或正北 【解析】由题意得，汽车从点沿方向直接回到出发点 行驶了 ，， 的方向是正南或 正北，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 5.在中，，，的对边分别是，， ，则下列条件中不能说明 是直角三角形的是( ) C A. B. C. D. 【解析】，， 是直角三角形，故A选项不符 合题意；， ， ， 是直角三 角形，故B选项不符合题意；, 设，则， ，则 ，不能构成三角形，故C选项符合题意；, 设 ，则， ， ，解得 ， 最大的角为 ， 是直 角三角形，故D选项不符合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 6.[2025河北唐山月考]在中， ，，，则点到 的距离为( ) C A. B. C. D. 【解析】如图，过点作于，则长即为点到 的距离.由勾股定理 得 ， ， ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 7.我国古代的数学家赵爽用数形结合的方法给出了勾股定理的证明.如图，从图（1） 变换到图（2），可以用下列式子来表示的是( ) A 图（1） 图（2） A. B. C. D. 【解析】根据题图（1）可得该几何图形的面积为 ，根据题图 （2）可得该几何图形的面积为， ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 上分心得 勾股定理的证明 证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图 形的面积等于几个小图形的面积和化简整理即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 （第8题图） 8.如图,一支长 的铅笔放在圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径 是，内壁高，那么这根铅笔在笔筒外部分的长度 的范围 是( ) B A. B. C. D. 【解析】当铅笔与笔筒底面垂直时最大，的最大值为 . 当铅笔如图放置时最小，在中，， ，由 勾股定理得， 的最小值为 ，的取值范围是 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 （第9题图） 9.[2025河北衡水月考，中]如图，在中， ，将 绕点沿顺时针旋转一周，则分别以， 为半径的圆形成 一圆环（阴影部分），为求该圆环的面积，只需测量一条线段的长 度，这条线段是( ) A A. B. C. D. 【解析】 在中， ， .又 ， 只需测 量线段 的长度即可计算出圆环的面积.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 （第10题图） 10.［中］如图，要在河边修建一个水泵站，分别向村和 村送水，已知村、村到河边的距离分别为和 ， 且,相距 ，则铺水管的最短长度是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 【解析】如图,作关于的对称点,过作交 的延长 线于,连接交于,连接,则 , , 当水泵站建在点 处时,铺水管的 长度最短,最短为的长.， ， , 易得，, . 在 中， ， 铺水管的最 短长度是 ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 （第11题图） 11.[2025河北保定月考，中]如图，有一张直角三角形纸片 ， ，，，将纸片翻折，使点 落 在直角边的延长线上的点处，折痕为，则 的长为( ) B A. B. C. D. 【解析】在中, ，， ， .根据翻折的性质可知， ， ，故选B. 上分点拨 翻折问题 在直角三角形中利用勾股定理求出 的长，由翻折的性质可知对应边相等，再通 过线段的和差关系即可求解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 （第12题图） 12.规律探究 [2025河北石家庄月考，偏难]如图, ，过点 作且，连接,得；过点 作 且，连接,得；过点 作 且，连接,得 ;…,按照此法继续作 下去，得 ( ) D A. B. C. D. 【解析】，，， ， ，， ， ， ， .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分,共12分） 13.小明爸爸要在高，宽 的栅栏门的对角顶点间加一个加固木板，这条 木板需____ 长.（不考虑木板宽度） 1.7 【解析】这条木板的长为 .故答案为1.7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 （第14题图） 14.[2025河北张家口桥西区月考]如图，数轴上点, 所表示的 数分别是0，3，过点作 数轴，，以 为圆心， 长为半径画弧交数轴于点左侧的一点，则点 表示的数 是_______. 【解析】 数轴， 数轴上点, 所表示的数分别是0，3， ， ， ， 点表示的数是，故答案为 . 上分点拨 求数轴上的点所表示的数 求数轴上的点所表示的数时，关键是计算这个点到原点的距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 （第15题图） 15.[2025河北石家庄新华区月考，中]如图，由于大风，山坡上 的树甲从点处被拦腰折断（ 地面），其顶端恰好落在树 乙（树乙 地面）的根部处.若米， 米，两棵 树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为____米. 19 【解析】如图所示,过点作交的延长线于点 .由题意 可得米，米，米.在 中， 米，米.在 中，（米）， （米）,故树甲折断前的高度是19米.故答案为19. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 16.［偏难］把两个同样大小的含 角的直角三角尺按照如图 所示的方式放置，其中一个三角尺的一个锐角顶点与另外一个 三角尺的直角顶点重合于点，且另三个锐角顶点，， 在同 一直线上.若，则 ___________. 【解析】由勾股定理得， ， .如图，作于 ， .由勾股定理得， ，，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 三、解答题（本大题共6个小题，共52分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤） 17.（7分）如图，在和中， ， ， . （1）求 的长； 【解】在 中，由勾股定理得， .…………（3分） , .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 （2）求 的长. 【解】在 中，由勾股定理得， ， …………（6分） .…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 18.[2025河北廊坊月考]（8分）如图，有一块四边形土地， ， ，，，，求这块土地的面积 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 【解】如图，连接.在 中，由勾股定理，得 ，所以 .…………（4分） 在中， ， 即 , 所以为直角三角形，且 , 所以 ， 所以这块土地的面积为 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 19.新考法（8分）在图（1）中， 的顶点都在网格线的交点上，我们称这种 三角形为格点三角形. 图（1） 图（2） （1）在图（1）中，若每个小正方形的边长为1，则 _____； 【解析】.故答案为 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 （2）在图（2）中，若每个小正方形的边长为 ，请在此网格中画出三边长分别为 ,, 的格点三角形. 【解】如图所示,就是所求作的三角形.其中， ， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 20.（8分）如图，数学兴趣小组要测量旗杆 的高度，同学们发现 系在旗杆顶端 的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将 绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部 的距离为9米. （1）求旗杆 的高度； 【解】设旗杆的高度为米，则为米.在 中， 由勾股定理得，解得 . 答：旗杆 的高度为12米.…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 （2）［中］小明在 处，用手拉住绳子的末端，后退至2米高的台阶上 （即米），此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点 处，问小明需要后退几 米（即的长是多少）？（参考数据: ，结果保留1位小数） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 【解】如图，过作于点，则四边形 是长方形， 米，， （米）.………… （5分） 由（1）可知，（米）.在 中，由勾股定理得 （米），…………（7分） 米，米 2.2米. 答：小明需要后退约2.2米.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 21.（9分）如图，在中， . （1）［中］若是边的中点，连接，求证： ； 【证明】是等腰三角形,,是边的中点,， . 在中,， .（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 （2）［中］若是 边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明;若不 成立，请说明理由. 【解】成立.…………（4分） 证明如下:如图，过作于 . ， ， ， . …………（7分） ， . 又， .（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 22.综合与实践 [2025河北保定月考]（12分）综合与实践 【实践主题】监控器如何布设才最优? 【实践背景】监控器有效监测距离为，最大旋转角度为 .村落、河流如 图所示，河流南岸长（即需要监测的范围为）,监控布设线 距离河 流南岸，上任意两个监控 之间的距离相等. 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 【实践方案】 （1）［中］方案1：如图（1）所示，从河流南岸边缘点处起， ， ，即为监控器 监测范围；以此类推,继续设置监控器，至少需要布 设多少个监控器？ 【解】在中，， ， . 河流南岸长， ， 至少需要布设13个监控器. 答：至少需要布设13个监控器.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 （2）［偏难］方案2：如图（2）所示，为监控器监测范围，为监控器 监测范围,，，此时 ，至少需要布设多 少个监控器？ 【解】如图所示（部分示意图），过点作于点 ， 依题意得 . 在中， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 设，则 . 在中， ， 在中， ， ，解得， . 在中， . 监控器有效监测距离为， 符合题意， . 河流南岸长, ， 至少需要布设8个监控器.…………（11分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【实践总结】 （3）我认为方案___是最优方案. 2 【解析】我认为方案2是最优方案，原因是监控器监测范围 越大，则需布设 的监控器个数越少. 故答案为2.…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 $