第20周 期末复习之二次函数 2025-2026学年 九年级苏科版数学下册

2025秋九上数学第20周《期末复习之二次函数》 【考点1．二次函数图象与性质】 1．（2025秋•秦淮区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，P，Q分别是边AB，CD上的动点，CQ＝2AP，设AP＝x，PQ2＝y，则y关于x的函数图象大致是（　　） A． B．C． D． 2．（2025秋•秦淮区校级月考）若﹣2≤a≤2，则满足a（a+b）＝b（a+1）+a的b的取值范围是　 　 ． 3．（2024秋•玄武区校级月考）已知二次函数y＝﹣x2+mx+2﹣m，当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝﹣x2+mx+2﹣m的最大值为6，则m的值为 　 　 ． 4．（2025秋•玄武区校级月考）二次函数y＝ax2﹣6ax+c（a＜0）的图象过A（x1，m），B（x2，n）两点，其中x1＜3＜x2，则下列说法一定正确的是（　　） A．若x1（6﹣x2）＞0时，则（m﹣c）（n﹣c）＜0 B．若x1（6﹣x2）＜0时，则（m﹣c）（n﹣c）＜0 C．若（6﹣x1）（6﹣x2）＞0时，则（m﹣c）（n﹣c）＞0 D．若（6﹣x1）（6﹣x2）＜0时，则（m﹣c）（n﹣c）＜0 5．（2025秋•玄武区校级月考）若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值8，则y＝﹣a（x﹣3）2+b（x﹣3）+2的最小值为　 　 ． 6．（2025秋•雨花台区校级月考）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+1（a为常数，且a≠0）． （1）该函数的图象必经过两个定点　 　 ，　 　 ； （2）若该函数图象与x轴只有一个交点，求函数图象的顶点坐标； （3）若点A（a，y1），B（a+2，y2），C（a+4，y3）都在该函数图象上，且y1＜y3＜y2，直接写出a的取值范围　 　 ． 7．（2025春•南京校级期末）如图，二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标为（﹣1，﹣4）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当﹣5＜x＜0时，y的取值范围为　 　 ； （3）将该抛物线向上平移　 　 个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点． 【考点2．抛物线与x轴的交点】 8．（2025秋•秦淮区校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其顶点为C，连接AC，若AB＝12，AC＝10，则a的值是 　 　 ． 第8题 第9题 第10题 9．（2025秋•秦淮区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①2a+b＝0；②a﹣b﹣c＞0；③方程ax2+bx+c＝a有两个不相等的实数根；④不等式a（x+2）2+b（x+2）+c＜0的解集是﹣3＜x＜1．其中所有正确结论的序号是　 　 ． 10．（2025秋•秦淮区校级期末）已知抛物线y＝﹣x2+4x+5与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，有一动点D在线段BC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，则DE的最大值为　 　 ． 11．（2023秋•苏州期末）函数y1＝x2+2x﹣3的图象与函数y2＝﹣x+b的图象交于A，B两点，若AB＝5，则当y1＞y2时自变量x的取值范围是 　 　 ． 12．（2025秋•南京校级月考）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象的最低点的坐标为（1，﹣1），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1的根为　 　 ． 13．（2025秋•南京期末）已知ax2+bx+c＝0的一个解是x＝4，二次函数y＝ax2+bx+c﹣1（a≠0）的对称轴是直线x＝3，则方程ax2+bx+c＝0的另一个解是　 　 ． 14．（2025秋•南京校级月考）（1）将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是　 　 ． （2）对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是　 　 ． 15．（2025秋•南京月考）二次函数y＝x2﹣bx﹣1在直线x＝1右侧部分呈上升趋势，则该二次函数与x轴两交点间的距离d的取值范围为　 　 ． 16．（2025秋•南京期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5交x轴于点A，B，已知点A的坐标为（﹣1，0）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）将抛物线顶点向上平移个长度单位得点P，过点P作AB的平行线交抛物线于点C、D，求CD的长． 17．（2025秋•玄武区校级月考）已知函数y＝mx2﹣（m﹣2）x﹣2（m为常数）． （1）求证：不论m取何值时，该函数图象与x轴总有公共点． （2）当﹣2＜x≤2时，y有最大值为2，求m的值． 18．（2025秋•鼓楼区校级月考）已知二次函数y＝x（x﹣m）（m为常数）． （1）①求证：无论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点． ②若该二次函数的图象经过点（﹣2，2），求m的值． （2）已知线段AB，其中点A（﹣2，2），B（4，2），若该二次函数的图象与线段AB只有1个公共点，结合函数的图象，直接写出m的取值范围． 【考点3．二次函数的应用】 19．（2025秋•南京期末）某商店经销的某种商品，每件成本为30元．经市场调研，售价为40元时，可销售600件；售价每提高2元，销售量将减少20件．销售价格是多少时，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 20．（2025秋•秦淮区校级期末）某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示： 销售单价x（元） … 60 65 70 … 周销量y（盒） … 240 210 180 … （1）求y关于x的函数表达式． （2）当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ （3）若规定销售单价需满足50≤x≤80，则每周至少可获得多少利润？ 【考点4．二次函数综合题】 21．（2025秋•秦淮区校级月考）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+4（a≠0）． （1）该函数图象的对称轴是　 　 ； （2）若a＞0，在该函数图象上有两点（m，y1），（m+2，y2），比较y1，y2的大小并说明理由； （3）该函数的图象的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B，若该函数的图象与线段AB恰有一个公共点，结合图象，则a的取值范围是　 　 ． 22．（2025秋•秦淮区校级期末）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，D是抛物线的顶点． （1）求该抛物线的解析式及顶点坐标； （2）P为抛物线上一点，若使得S△PAB＝10，求出点P的坐标； （3）E在y轴上，若△ADE为直角三角形，直接写出点E的坐标． 23．（2025秋•南京校级月考）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为直线x＝2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限． （1）求此抛物线的解析式； （2）当△OAB的面积为15时，求B的坐标； （3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA﹣PB的值最大时，求P的坐标以及PA﹣PB的最大值． ∵﹣2≤a≤2，1＞0， ∴当时，b取得最小值， 当a＝﹣2时，b取得最大值6， 则b的取值范围为， 故答案为：． 3．（2024秋•玄武区校级月考）已知二次函数y＝﹣x2+mx+2﹣m，当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝﹣x2+mx+2﹣m的最大值为6，则m的值为 　8或　 ． 【解答】解：∵y＝﹣x2+mx+2﹣m， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ①当，即m≤﹣2时， 此时对称轴在﹣1≤x≤2右侧，y随x的增大而减小， ∴当x＝﹣1时，y有最大值为6， 即﹣（﹣1）2﹣m+2﹣m＝6， 解得：； ②当时，即﹣2＜m＜4时， 此时对称轴在﹣1≤x≤2之间， ∴当时，y有最大值为6， 即， 解得：， ∵﹣2＜m＜4， ∴（不合题意，舍去）； ③当，即m≥4时， 此时对称轴在﹣1≤x≤2左侧，y随x的增大而增大， ∴当x＝2时，y有最大值为6， 即﹣22+2m+2﹣m＝6， 解得：m＝8， 综上所述，m的值为8或． 故答案为：8或． 三．二次函数图象与系数的关系 4．（2025秋•雨花台区校级月考）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+1（a为常数，且a≠0）． （1）该函数的图象必经过两个定点　（0，1）　 ，　（4，1）　 ； （2）若该函数图象与x轴只有一个交点，求函数图象的顶点坐标； 当x1（6﹣x2）＜0时，则：6﹣x2＞0，如图： ∴x2＜6， ∴n＞c， ∴n﹣c＞0， ∴（m﹣c）（n﹣c）＜0，故B选项符合题意； ②当0＜x1＜3时，则m＞c，即（m﹣c）＞0， 当x1（6﹣x2）＞0时，则：6﹣x2＞0，如图： ∴x2＜6， ∴n＞c， ∴n﹣c＞0， ∴（m﹣c）（n﹣c）＞0， 当x1（6﹣x2）＜0时，则：6﹣x2＜0，如图： ∴x2＞6，∴n＜c，∴n﹣c＜0， ∴（m﹣c）（n﹣c）＜0； 综上，选项A错误，选项B正确； 当（6﹣x1）（6﹣x2）＞0时，如图： ∵x1＜3，∴6﹣x1＞0，∴6﹣x2＞0，∴3＜x2＜6，∴n＞c，∴n﹣c＞0， ∵m可能大于c也可能小于c，则：（m﹣c）（n﹣c）＜0或（m﹣c）（n﹣c）＞0，故选项C错误； 当（6﹣x1）（6﹣x2）＜0时，如图： ∵x1＜3，∴6﹣x1＞0，∴6﹣x2＜0，∴6＜x2，∴n＜c，∴n﹣c＜0， ∴（m﹣c）（n﹣c）＜0； ∵m可能大于c也可能小于c，则：（m﹣c）（n﹣c）＜0或（m﹣c）（n﹣c）＞0，故选项D错误． 故选：B． 五．二次函数的最值 6．（2025秋•玄武区校级月考）若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值8，则y＝﹣a（x﹣3）2+b（x﹣3）+2的最小值为　﹣4　 ． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值8， ∴二次函数y＝﹣ax2+bx﹣2有最小值﹣8， 连接AC，若AB＝12，AC＝10，则a的值是 　　 ． 【解答】解：过C点作CD⊥AB于D点，如图， ∵点C为抛物线的顶点， ∴AD＝BDAB＝6， 在Rt△ACD中，∵AC＝10，AD＝6， ∴CD8， 设A（t，0），则C（t+6，8）， ∴抛物线解析式为y＝a（x﹣t﹣6）2+8， 把A（t，0）代入得0＝a（t﹣t﹣6）2+8， 解得a． 故答案为：． 9．（2025秋•南京校级月考）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象的最低点的坐标为（1，﹣1），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1的根为x1＝x2＝1　 ． 【解答】解：由题意可得：二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝﹣1有且只有一个交点为（1，﹣1）， 则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个相等的实数根为x1＝x2＝1． 故答案为：x1＝x2＝1． 10．（2025秋•秦淮区校级期末）已知抛物线y＝﹣x2+4x+5与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，有一动点D在线段BC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，则DE的最大值为　　 ． 【解答】解：当y＝0时，可得：﹣x2+4x+5＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣1， ∵点A在点B左侧， ∴点B的坐标是（5，0）， 当x＝0时，可得：y＝﹣x2+4x+5＝5， ∴点C的坐标是（0，5）， 设直线BC的解析式是y＝kx+b（k≠0）， 把点B的坐标（5，0），点C的坐标（0，5）代入y＝kx+b（k≠0）， 可得：， 解得：， ∴直线BC的解析式是y＝﹣x+5， 设点D的坐标是（x，﹣x+5），则点E的坐标是（x，﹣x2+4x+5）， ∴， ∵二次项系数为﹣1＜0， ∴DE有最大值，最大值是． 故答案为：． 11．（2025秋•南京期末）已知ax2+bx+c＝0的一个解是x＝4，二次函数y＝ax2+bx+c﹣1（a≠0）的对称轴是直线x＝3，则方程ax2+bx+c＝0的另一个解是x＝2　 ． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c﹣1的对称轴是直线x3， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴也是直线x3， 由题意可知y＝ax2+bx+c﹣与x轴的一个交点为（4，0）， 设y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（x，0）， 根据对称性可得：3 解得x＝2， ∴ax2+bx+c＝0的另一个解为x＝2， 故答案为：x＝2． 12．（2025秋•南京校级月考）（1）将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是k≥3　 ． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣4ax﹣5得a+4a﹣5＝0，解得a＝1， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x﹣5， （2）∵y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9， ∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣9）， ∵抛物线顶点向上平移个单位得点P， ∴， ∵过点P作AB的平行线交抛物线于点C、D， ∴C，D两点的纵坐标都为， 当时，， 解得，， ∴CD的长为：． 15．（2025秋•玄武区校级月考）已知函数y＝mx2﹣（m﹣2）x﹣2（m为常数）． （1）求证：不论m取何值时，该函数图象与x轴总有公共点． （2）当﹣2＜x≤2时，y有最大值为2，求m的值． 【解答】（1）证明：①当m＝0时，函数解析式为y＝2x﹣2，此一次函数与x轴有交点； ②当m≠0时，函数解析式为y＝mx2﹣（m﹣2）x﹣2，令y＝0，则有mx2﹣（m﹣2）x﹣2＝0， Δ＝（m﹣2）2﹣4m×（﹣2）＝m2﹣4m+4+8m＝m2+4m+4＝（m+2）2≥0． ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； （2）解：若m＝0，函数y＝2x﹣2，y随x增大而增大，当x＝2时，y＝2，与题干条件符； 当m≠0时，函数y＝mx2﹣（m﹣2）x﹣2是二次函数， ①当m＞0时，抛物线过（1，0），（0，﹣2）两点，当﹣2≤x≤2的范围中时，y随x的增大而增大， ∴当x＝2时，y＝2， 即2＝4m﹣2（m﹣2）﹣2，解得m＝0（舍去）． ②当m＜0时，开口向下，最大值在顶点，2＝2， 整理得：m2+12m+4＝0， 解得m1＝﹣6+4（舍去），m2＝﹣6﹣4． 综上分析，m＝0或﹣6﹣4． 16．（2025秋•鼓楼区校级月考）已知二次函数y＝x（x﹣m）（m为常数）． （1）①求证：无论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点． ②若该二次函数的图象经过点（﹣2，2），求m的值． （2）已知线段AB，其中点A（﹣2，2），B（4，2），若该二次函数的图象与线段AB只有1个公共点，结合函数的图象，直接写出m的取值范围． 【解答】（1）①证明：二次函数解析式为y＝x（x﹣m）， 当y＝0时，x（x﹣m）＝0， 解得x1＝0，x2＝m， 当m＝0时，方程有两个相等的实数根； 当m≠0时，方程有两个不相等的实数根． ∴无论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点； ②解：把（﹣2，2）代入y＝x（x﹣m）得2＝﹣2（﹣2﹣m）， 解得m＝﹣1， 即m的值为﹣1； （2）解：如图，抛物线开口向上，过原点， 把A（﹣2，2）代入y＝x（x﹣m）得2＝﹣2（﹣2﹣m）， 解得m＝﹣1， 把B（4，2）代入y＝x（x﹣m）得2＝4（4﹣m）， 解得m＝3.5， ∵点A（﹣2，2），B（4，2），该二次函数图象与线段AB有1个公共点， ∴m＜﹣1或m＞3.5． 八．二次函数与不等式（组） 17．（2025秋•秦淮区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①2a+b＝0；②a﹣b﹣c＞0；③方程ax2+bx+c＝a有两个不相等的实数根；④不等式a（x+2）2+b（x+2）+c＜0的解集是﹣3＜x＜1．其中所有正确结论的序号是　①②③④　 ． 【解答】解：∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1，即1． ∴2a+b＝0，所以①正确； ∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0， ∴b＝a+c． 又∵b＝﹣2a， ∴c＝﹣3a． ∴a﹣b﹣c＝a+2a+3a＝6a＞0，所以②正确； ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝a有两个公共点， 即方程ax2+bx+c＝a有两个不相等的实数根，所以③正确； ∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）， ∴方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3， ∴对于方程a（x+2）2+b（x+2）+c＝0有x+2＝﹣1或x+2＝3， 即方程a（x+2）2+b（x+2）+c＝0的解为x1＝﹣3，x2＝1， ∵y＝a（x+2）2+b（x+2）+c的开口向上， ∴当﹣3＜x＜1时，y＜0， 即不等式a（x+2）2+b（x+2）+c＜0的解集是﹣3＜x＜1，所以④正确． 故答案为：①②③④． 18．（2023秋•苏州期末）函数y1＝x2+2x﹣3的图象与函数y2＝﹣x+b的图象交于A，B两点，若AB＝5，则当y1＞y2时自变量x的取值范围是 x＜﹣4或x＞1　 ． 【解答】解：设A，B的横坐标分别为x1、x2， 则x1、x2为方程x2+2x﹣3＝﹣x+b的解， ∴x1+x2＝﹣3①，x1•x2＝﹣3﹣b， ∵AB＝5， ∴x1﹣x2＝5②， 解①②得：x1＝1，x2＝﹣4， ∴当y1＞y2时自变量x的取值范围是：x＜﹣4或x＞1， 故答案为：x＜﹣4或x＞1． 九．二次函数的应用 19．（2025秋•南京期末）某商店经销的某种商品，每件成本为30元．经市场调研，售价为40元时，可销售600件；售价每提高2元，销售量将减少20件．销售价格是多少时，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【解答】解：由题意，设销售价格是x元时，才能获得最大利润，最大利润是w元， ∴w＝（x﹣30）[600﹣20×（）]＝﹣10（x﹣65）2+12250≤12250， （3）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+4的对称轴为x＝1，且对称轴于x轴交于点M， ∴点M的坐标为（1，0）， ∵点M与点A关于y轴对称， ∴点A的坐标为（﹣1，0）， ∵点M向右移3个单位长度得到点B， ∴点B的坐标为（4，0）， 依题意，抛物线与线段AB恰有一个公共点， 把点A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+4可得a； 把点B（4，0）代入y＝ax2﹣2ax+4可得a； 把点M（1，0）代入y＝ax2﹣2ax+4可得a＝4； 根据图象可知抛物线与线段AB恰有一个公共点时可得a或a＝4． 故答案为：a或a＝4． 22．（2025秋•秦淮区校级期末）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，D是抛物线的顶点． （1）求该抛物线的解析式及顶点坐标； （2）P为抛物线上一点，若使得S△PAB＝10，求出点P的坐标； （3）E在y轴上，若△ADE为直角三角形，直接写出点E的坐标． 【解答】解：（1）抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，D是抛物线的顶点．将点A、点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标为D（1，﹣4）； （2）∵A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB＝4， 设点P（x，y），则， ∴|y|＝5， 当y＝5时，得：x2﹣2x﹣3＝5， 解得：x1＝﹣2，x2＝4， 此时P（﹣2，5）或（4，5）； 当y＝﹣5时，得：x2﹣2x﹣3＝﹣5， 此时方程无解； 综上所述，P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）； （3）点E的坐标为或或或．理由如下： 依题意，设E（0，e）， 由（1）得D（1，﹣4）， ∵A（﹣1，0）， ∴AD2＝（﹣1﹣1）2+[0﹣（﹣4）]2＝4+16＝20，ED2＝（0﹣1）2+[e﹣（﹣4）]2＝1+（e+4）2，EA2＝[0﹣（﹣1）]2+（e﹣0）2＝1+e2， 当△ADE为直角三角形时，分三种情况讨论： 当∠EAD＝90°时，如图1， 由勾股定理得：ED2＝AE2+AD2， ∴1+（e+4）2＝1+e2+20， 解得：， 此时； ∴当∠EDA＝90°时，如图2， 由勾股定理得：AE2＝ED2+AD2， ∴1+e2＝1+（e+4）2+20， 解得：， 此时； ∴当∠DEA＝90°时，如图3， 由勾股定理得：AD2＝ED2+AE2， ∴20＝1+（e+4）2+1+e2， ∴（e+2）2＝5， 解得：，， 此时或， 综上所述，点E的坐标为或或或． 23．（2025秋•南京校级月考）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为直线x＝2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限． （1）求此抛物线的解析式； （2）当△OAB的面积为15时，求B的坐标； （3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA﹣PB的值最大时，求P的坐标以及PA﹣PB的最大值． 【解答】解：（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为直线x＝2， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0）， 设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5， 解得：a＝1， ∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x， 故此抛物线的解析式为y＝x2﹣4x； （2）∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限， 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