2025-2026学年苏科版八年级上册数学第20周《期末复习1》

2025秋八上数学第20周《期末复习1》 敲黑板！注意了： 本周教案要求：在题中标出每题核心条件，题后写出考察知识点、给出研究方案，不要求写出解题过程 1．（2025秋•玄武区期末）已知平面直角坐标系中有一点N（n＋2，2n﹣3）． （1）若点N在x轴上，求此时点N的坐标； （2）若点N在过点A（2，8）且与y轴平行的直线上，求此时n的值； （3）若点N到x轴的距离与到y轴的距离相等，求点N的坐标． （4）求ONmin 2．（2025秋•江宁区校级月考）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则S阴影＝　 　 cm2． 第2题 第3题 第4题 3．（2025秋•玄武区期末）在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，2），C（4，n），若点C在第一象限，且△ABC的面积为10，则n的值为　 　 ． 4．（2025秋•东宝区校级期中）如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下六个结论：①DE＝DP；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④CO平分∠BCD；⑤△CPQ是等边三角形；⑥OA＝OB＋OC．正确的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．（2024秋•秦淮区期末）如图，C是∠MAN的角平分线上一点，CE⊥AN，CF⊥AM，垂足分别为E，F．过点C作CD∥AN，交AM于点D，在射线EN上取一点B，使∠CBE＝∠DAE． （1）求证：DF＝BE； （2）若AB＝13，AD＝5，则DF的长为 　 　 ． 第5题 第6题 6．（2025秋•建邺区校级月考）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求证：DE平分∠ADC； （2）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积． 7．（2015秋•鼓楼区校级期末）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于　 　 ． 第7题 第8题 8．（2020秋•鼓楼区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，则△AEG的周长为　 　 ． 9．（2022秋•南京期末）在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠EAG＝20°，则∠BAC＝　 　 °． 10．（2024秋•玄武区期末）如图，在△ABC中，直线l是BC边的垂直平分线，l与AB边交于点D，与∠BAC的平分线交于点E，连接BE、CE，延长AC至点F． （1）求证：∠ABE＝∠ECF； （2）连接CD，若∠ACD＝30°，则∠ABE＝ 　 　 °． 11．（2022秋•玄武区期末）如图，在△ABC中，l是AB的垂直平分线，与边AC交于点E，点D在l上，且DB＝DC，连接AD． （1）求证：∠CAD＝∠ACD； （2）延长AD，与BC交于点F，若AC＝AB， ①求证：F是BC的中点； ②连接EF，若BD⊥CD，则EF与BC的数量关系是 　 　 ． 第11题 第12题 第13题 12．（2025秋•南京期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，直线m，n分别是AB、AC的垂直平分线，m，n交于点P，连接CP．若∠1＝21°，则∠B的度数为 　 　 ． 13．（2024秋•鼓楼区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是高CE上一点，∠EPB＝2∠PBC． （1）求证：BP⊥AC；（2）若EP＝6，BP＝10，求AB的长． 14．（2025秋•玄武区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）BP＝　 　 （用t的代数式表示） （2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？ （3）当点Q在边CA上运动时，出发　 秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？ 第14题 第15题 15．（2020秋•溧水区期末）已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为　 　 ． 16．（2025秋•南京校级月考）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点． （1）求证：MN⊥DE；（2）若，则∠ECB＋∠DBC＝　 　 °． 第16题 第17题 第18题 17．（2024秋•玄武区校级期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△ADC≌△BOC，连接OD． （1）求证：△COD是等边三角形； （2）当AO＝AD时，α为多少度？ 18．（2025秋•南京月考）如图，△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°，等边三角形DEF的三个顶点分别落在AC，AB，BC上，若CD＝5，BE＝8，求AB的长． 19．（2022秋•溧水区期末）证明：直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半． 20．（2025秋•玄武区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠D＝45°，，点E为四边形ABCD内部一点，且满足CE2﹣AE2＝2BE2，则点E在运动过程中所形成的图形的长为　 　 ． 第20题 第21题 第22题 21．（2023秋•玄武区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AB＋AC＝4，BC＝3，则AD＝　 　 ． 22．（2022秋•玄武区期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是　 　 ． 24．（1）如图①，在△ABC的外部作∠BAE＝∠CAD，且AE＝AB，AD＝AC，连接BE，CD，BD，CE，试猜想BD与CE的数量关系，并说明理由； （2）如图②，四边形ABCD中，AB＝6，BC＝3，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD的长； （3）如图③，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝4，BD＝6，求CD长． 25．（2025秋•玄武区期末） 请求出下列代数式的最小值： ①的最小值为；②2的最小值． 26．（2022秋•江宁区校级月考）如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为BC的中点，AD＝2，若P为AB上一个动点，则PC＋PD的最小值为　 　 ． 第26题 第27题 第28题 27．（2024•黑龙江二模）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边三角形BEF，连接DF，则△BDF周长的最小值为 　 　 ． 28．（2025秋•玄武区期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（﹣2，0），点E在边CD上．将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为（0，6），则点E的坐标为（　　） 29．（2025春•河南期末）如图，△ABC为等边三角形，点P为BC边上一动点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°至线段AQ，点M是边AC的中点，连接QM．若，则MQ的最小值为 　 　 ． 第29题 第30题 第31题 30．（2022•南京一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，BC的延长线交B'C'于点D，若B'C'∥AB，则CD的长为 　 　 ． 31．（2025秋•玄武区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，P为Rt△ABC内一点，连接AP，BP，CP，则PA＋PB＋PC的最小值是　 　 ． 32．（2025春•南京月考）（1）【操作发现】 如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则△ABD是 　 　 三角形． （2）【类比探究】 如图2，在等边三角形ABC内任取一点P，连接PA，PB，PC，若PB＝1，PC＝3，∠APB＝150°，求PA的长． （3）【解决问题】 如图3，在边长为的等边三角ABC内有一点P，∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积． （4）【拓展应用】 如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量∠ACB＝30°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC．求当PA＋PB＋PC的最小时∠APB的度数． （5）如图5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，E，F为AB上的两个动点，且AE＝BF，求CE＋CF的最小值． （6）如图6，在△ABC中，∠ABC＝60°，AC＝5，BC＝4，点D，E分别为AB，AC上的动点，且AD＝CE，请直接写出CD＋BE的最小值． 图5 图6 【解答】解：如图，过点C作x轴的垂线，垂足为点D， ∵A（3，0），B（0，2），C（4，n）， ∴OA＝3，OB＝2，AD＝4﹣3＝1，CD＝n， ∴， 由条件可得， ∴n＝6， 故答案为：6． 三．全等三角形的判定与性质（共1小题） 4．（2025秋•东宝区校级期中）如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下六个结论：①DE＝DP；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④CO平分∠BCD；⑤△CPQ是等边三角形；⑥OA＝OB＋OC．正确的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【解答】解：∵△ABC和△CDE为等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CBE＝∠CAD， 又∵∠BCQ＝180°﹣∠BCA﹣∠DCE＝60°， ∴∠ACP＝∠BCQ， ∴△CQB≌△CPA（ASA）， ∴AP＝BQ，CP＝CQ， 故③正确； 又∵∠PCQ＝60°， ∴△PCQ为等边三角形， 故⑤正确； ∴∠PQC＝∠DCE＝60°， ∴PQ∥AE， 故②正确； ∵∠QCP＝60°，∠DPC＝∠BCA＋∠PAC＞60°， ∴PD≠CD， ∴DE≠DP， 故①错误； 如图，在AP上截取PN＝OQ，连接CN， ∵△CQB≌△CPA， ∴CP＝CQ，∠CPN＝∠CQO，BQ＝AP， 在△CPN和△CQO中， ， ∴△CPN≌△CQO（SAS）， ∴CN＝CO，∠BCN＝∠OCQ， ∴∠ACN＝∠BCO，∠NCO＝60°， 在△ACN和△BCO中， ， ∴△ACN≌△BCO（SAS）， ∴BO＝AN， ∵∠NCO＝60°，CO＝CN， ∴△NCO是等边三角形， ∴NO＝CO， ∴AO＝AN＋NO＝BO＋CO， 故⑥正确； ∵OC不一定垂直AE， ∴∠ACO不一定等于∠ECO， ∴∠BCO不一定等于∠DCO， ∴CO不一定平分∠BCD， 故④错误； 综上所述，正确的有②③⑤⑥，一共4个． 故选：B． 四．角平分线的性质（共3小题） 5．（2024秋•秦淮区期末）如图，C是∠MAN的角平分线上一点，CE⊥AN，CF⊥AM，垂足分别为E，F．过点C作CD∥AN，交AM于点D，在射线EN上取一点B，使∠CBE＝∠DAE． （1）求证：DF＝BE； （2）若AB＝13，AD＝5，则DF的长为 　4　 ． 【解答】（1）证明：∵AC平分∠MAN，CE⊥AN，CF⊥AM， ∴CF＝CE， ∵CD∥AN， ∴∠FDC＝∠DAE， ∵∠CBE＝∠DAE， ∴∠CBE＝∠FDC， 在△CFD和△CEB中， ， ∴△CFD≌△CEB（AAS）， ∴DF＝BE； （2）解：在Rt△ACF和Rt△ACE中， ， ∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL）， ∴AF＝AE， ∴5＋DF＝13﹣DF， ∴DF＝4， 故答案为：4． 6．（2025秋•建邺区校级月考）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求证：DE平分∠ADC； （2）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积． 【解答】（1）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，如图： ∵EF⊥AB，∠AEF＝50°， ∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°， ∵∠BAD＝100°， ∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°， ∴∠FAE＝∠CAD＝40°， 即CA为∠DAF的平分线， 又EF⊥AB，EG⊥AD， ∴EF＝EG， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴EF＝EH， ∴EG＝EH， ∴点E在∠ADC的平分线上， ∴DE平分∠ADC； （2）解：设EG＝x， 由（1）得：EF＝EH＝EG＝x， ∵S△ACD＝15，AD＝4，CD＝8， ∴AD•EGCD•EH＝15， 即：4x＋8x＝30， 解得：x＝2.5， ∴EF＝x＝2.5， ∴S△ABEAB•EF7×2.5． 7．（2015秋•鼓楼区校级期末）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于　5　 ． 【解答】解：过E作EF⊥BC于点F， ∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC， ∴DE＝EF＝2， ∴S△BCEBC•EF5×2＝5， 故答案为：5． 五．线段垂直平分线的性质（共4小题） 8．（2020秋•鼓楼区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，则△AEG的周长为　11　 ． ∵直线l是BC边的垂直平分线， ∴BE＝CE， ∵AE平分∠BAC，EG⊥AB，EH⊥AF， ∴GE＝HE， ∴Rt△BEG≌Rt△CEH（HL）， ∴∠ABE＝∠ECF． （2）解：∵直线l是BC边的垂直平分线， ∴BD＝CD，BE＝CE， ∴∠DBC＝∠DCB，∠EBC＝∠ECB， ∴∠DBE＝∠DCE， 由（1）可知∠ABE＝∠ECF． ∴∠DCE＝∠ECF（180°﹣∠ACD）75°． 故答案为：75． 11．（2022秋•玄武区期末）如图，在△ABC中，l是AB的垂直平分线，与边AC交于点E，点D在l上，且DB＝DC，连接AD． （1）求证：∠CAD＝∠ACD； （2）延长AD，与BC交于点F，若AC＝AB， ①求证：F是BC的中点； ②连接EF，若BD⊥CD，则EF与BC的数量关系是 EFBC ． 【解答】（1）证明：∵l是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∵DB＝DC， ∴DA＝DC， ∴∠CAD＝∠ACD； （2）①证明：延长AD，与BC交于点F， ∵AC＝AB， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵DB＝DC， ∴∠DBC＝∠DCB， ∴∠ACD＝∠ABD， 在△ACD和△ABD中， ， ∴△ACD≌△ABD（SAS）， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵AC＝AB， ∴F是BC的中点； ②解：EFBC，理由如下： 如图，连接EF， ∵BD＝CD，BD⊥CD， ∴△BDC是等腰直角三角形， ∵BD＝CD，BF＝CF， ∴DF⊥BC， ∴△DFC是等腰直角三角形， ∴∠CDF＝∠DCB＝45°， ∴∠CAD＋∠ACD＝∠CDF＝45°， ∵∠CAD＝∠ACD＝∠BAD＝∠DBA， ∴∠CAD＋∠BAD＝45°， ∴∠EAB＝45°， ∵EA＝EB， ∴∠EAB＝∠EBA＝45°， ∴∠AEB＝90°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴∠CEB＝90°， ∵F是BC的中点， ∴EFBC． 故答案为：EFBC． 六．等腰三角形的性质（共2小题） 12．（2025秋•南京期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，直线m，n分别是AB、AC的垂直平分线，m，n交于点P，连接CP．若∠1＝21°，则∠B的度数为 　67°　 ． 【解答】解：连接PA，PB，PC，设直线m交AC于点D，如图所示： 设∠PAC＝α， ∵直线m，n分别是AB、AC的垂直平分线，m，n交于点P， ∴PA＝PB，PA＝PC， ∴PA＝PB＝PC，∠PAC＝∠PCA＝α， ∴PA是线段BC的垂直平分线， ∵AB＝AC， ∴∠PAB＝∠PAC＝α， ∴∠BAC＝∠PAB＋∠PAC＝2α， ∵∠1＝21°， ∴∠PDA＝∠1＋∠PCA＝21°＋α， ∵∠PDA＋∠BAC＝90°， ∴21°＋α＋2α＝90°， 解得：α＝23°， ∴∠BAC＝2α＝46°， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠BAC）（180°﹣46°）＝67°， ∴∠ABC的度数为67°． 故答案为：67°． 13．（2024秋•鼓楼区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是高CE上一点，∠EPB＝2∠PBC． （1）求证：BP⊥AC； （2）若EP＝6，BP＝10，求AB的长． 【解答】（1）证明：延长BP交AC于D， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠EPB＝2∠PBC＝∠PBC＋∠PCB， ∴∠PBC＝∠PCB， ∵点P是高CE上一点， ∴CE⊥AB， ∴∠PBC＋∠ACB＝∠PCB＋∠ABC＝90°， ∴∠BDC＝90°， ∴BP⊥AC； （2）解：设AB＝AC＝a，则AE＝AB﹣EB＝a﹣EB， ∵CE⊥AB，EP＝6，BP＝10， ∴BE＝8， ∵∠PBC＝∠PCB， ∴CP＝BP＝10， ∴CE＝EP＋CP＝16， 在Rt△ACE中，AE2＋CE2＝AC2， ∴（a﹣8）2＋162＝a2，解得a＝20， ∴AB＝20． 七．等腰三角形的判定（共2小题） 14．（2025秋•玄武区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）BP＝　（16﹣t）cm （用t的代数式表示） （2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？ （3）当点Q在边CA上运动时，出发 　11秒或12　 秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？ 【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t， ∵AB＝16cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm， 故答案为：（16﹣t）cm； （2）当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ， 即16﹣t＝2t，解得t， ∴出发秒后，△PQB能形成等腰三角形； （3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示， 则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ＋∠ABQ＝90°． ∠A＋∠C＝90°， ∴∠A＝∠ABQ， ∴BQ＝AQ， ∴CQ＝AQ＝10（cm）， ∴BC＋CQ＝22（cm）， ∴t＝22÷2＝11； ②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示， 则BC＋CQ＝24（cm）， ∴t＝24÷2＝12， 综上所述：当t为11或12时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形． 故答案为：11秒或12． 15．（2020秋•溧水区期末）已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为　70°或40°或20°　 ． 【解答】解：如图，有三种情形： ①当AC＝AD时，∠ACD＝70°． ②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°． ③当AC＝AD″时，∠ACD″＝20°， 故答案为70°或40°或20° 八．等腰三角形的判定与性质（共1小题） 16．（2025秋•南京校级月考）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点． （1）求证：MN⊥DE； （2）若，则∠ECB＋∠DBC＝　45　 °． 【解答】（1）证明：连接EM、DM， ∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°， ∵M是BC的中点， ∴， ∴DM＝EM（等量代换）， ∵N是DE的中点， ∴MN⊥ED； 【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，如图所示： 则∠DHE＝∠C＝90°， 在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°， ∴∠A＝60°，AB＝2AC， ∴∠2＋∠ADE＝120°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝DF，∠EDF＝60°， ∴∠1＋∠ADE＝120°， ∴∠2＝∠1， 在△DHE和△FCD中， ， ∴△DHE≌△FCD（AAS）， ∴HE＝CD＝5， ∴HB＝HE＋BE＝5＋8＝13， ∴AB＝BH＋AH＝13＋AH， 在Rt△ADH中，∠A＝60°， ∴∠ADH＝30°， ∴AD＝2AH， ∴AC＝CD＋AD＝5＋2AH， ∵AB＝2AC， ∴13＋AH＝2（5＋2AH）， ∴AH＝1， ∴AB＝13＋AH＝14． 故答案为：14． 19．（2022秋•溧水区期末）证明：直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，　∠A＝30°　 ． 求证：BCAB ． 证明：　取AB的中点D，连接CD， ∵∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CDAB＝BD， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝90°﹣30°＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴BC＝CD， ∴BCAB ． 【解答】已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°． 求证：BCAB． 证明：取AB的中点D，连接CD， ∵∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CDAB＝BD， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝90°﹣30°＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴BC＝CD， ∴BCAB． 故答案为：∠A＝30°．BCAB．取AB的中点D，连接CD，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CDAB＝BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BC＝CD，∴BCAB． 十一．勾股定理（共3小题） 20．（2025秋•玄武区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠D＝45°，，点E为四边形ABCD内部一点，且满足CE2﹣AE2＝2BE2，则点E在运动过程中所形成的图形的长为　π　 ． 【解答】解：作AE和BE的垂直平分线，这两条垂直平分线相交于点O，以OA长为半径画圆，点G是优弧上任意一点，连接GA和GB，如图所示： 将△ABE绕点B顺时针旋转90°，得到△BCF， ∵BE＝BF， 则△EBF是等腰直角三角形， ∴EF2＝BE2＋BF2， ∴EF2＝2BE2 ∵CE2﹣AE2＝2BE2，AE＝CF， ∴CE2＝CF2＋EF2， ∴∠EFC＝90°． ∵∠EFB＝45°， ∴∠AEB＝∠BFC＝135°， ∴∠AGB＝180°﹣∠AEB＝180°﹣135°＝45°， ∴∠AOB＝90°， ∴点E的运动轨迹是弧AB，圆心角∠AOB＝90°． ∵OA＝OB，，OA2＋OB2＝AB2， ∴， ∴OA＝OB＝2， ∴点E在运动过程中所形成的图形的长：． 故答案为：π． 21．（2023秋•玄武区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AB＋AC＝4，BC＝3，则AD＝　　 ． 【解答】解：∵AB＋AC＝4， ∴（AB＋AC）2＝16， ∴AB2＋AC2＋2AB•AC＝16， ∵AB2＋AC2＝BC2＝9， ∴AB•AC， ∵， ∴AD， 故答案为：． 22．（2022秋•玄武区期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是　2.5　 ． 【解答】解：过D作DE⊥AB于E， 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3， ∴BC4， ∵AD平分∠BAC， ∴DE＝DC， ∵AC•BCAC•CDAB•DE，即3×43CD5CD， 解得CD＝1.5， ∴BD＝4﹣CD＝4﹣1.5＝2.5． 故答案为：2.5． 十二．勾股定理的应用（共1小题） 23．（2025秋•鼓楼区校级月考）笔直的河流一侧有一旅游地点G，河边有两个漂流点A、B，且点A到点B的距离等于点A到点G的距离．近阶段由于点G到点A的路线处于维修中，为方便游客决定在河边新建一个漂流点C（点A、B、C在同一条直线上），并新建一条路GC，测得BG＝5km，GC＝4km，BC＝3km． （1）判断△BCG的形状，并说明理由； （2）求原路线GA的长． 【解答】解：（1）△BCG是直角三角形，理由如下： ∵BG＝5km，GC＝4km，BC＝3km， ∴42＋32＝52， ∴GC2＋BC2＝BG2， ∴△BCG是直角三角形； （2）∵点A到点B的距离等于点A到点G的距离， ∴AG＝AB， ∵由（1）易知△ACG是直角三角形， 设AG＝AB＝x（km），则AC＝（x﹣3）km， 在Rt△ACG中，AC＝（x﹣3）km，GA＝x（km），GC＝4km， ∵AC2＋GC2＝GA2， ∴（x﹣3）2＋42＝x2， 解得：， ∴． 十三．平行四边形的性质 十四．四边形综合题（共1小题） 24．（1）如图①，在△ABC的外部作∠BAE＝∠CAD，且AE＝AB，AD＝AC，连接BE，CD，BD，CE，试猜想BD与CE的数量关系，并说明理由； （2）如图②，四边形ABCD中，AB＝6，BC＝3，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD的长； （3）如图③，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝4，BD＝6，求CD的长． 【解答】解：（1）猜想：BD＝CE，理由如下： ∵∠BAE＝∠CAD， ∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC， 即∠EAC＝∠BAD， 在△EAC和△BAD中， ， ∴△EAC≌△BAD（SAS）， ∴BD＝CE； （2）如图②，过A作AE⊥AB，过B作BE⊥BC，AE，BE交于E， ∵∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°， ∴∠ABE＝∠AEB＝∠ACD＝∠ADC＝45°， ∴AE＝AB，AC＝AD， ∵∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC， ∴∠EAC＝∠BAD， 在△EAC和△BAD中， ， ∴△EAC≌△BAD（SAS）， ∴BD＝CE， ∵AE＝AB＝6， ∴BE， ∵∠EBC＝∠ABE＋∠ABC＝45°＋45°＝90° ∴△EBC是直角三角形， ∴CE9， ∴BD＝9； （3）如图③，∵AB＝BC，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， 把△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，连接DE， ∴∠DCE＝60°，则AE＝BD＝6，△CDE是等边三角形， ∴CD＝DE，∠EDC＝60°， ∵∠CAD＝30°，AD＝4， ∴∠ADE＝∠ADC＋∠CDE＝30°＋60°＝90°， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE， ∴CD＝DE＝2． 十五．作图—应用与设计作图（共1小题） 25．（2025秋•玄武区期末）如图，一条河流的BD段长为12km，在B点的正北方4km处有一村正A，在D点的正南方2km处有一村庄E，计划在BD上建一座桥C，使得桥C到A村和E村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题： （1）将桥C建在何处时，可以使得桥C到A村和E村的距离和最小？请在图中画出此时C点的位置； （2）小明发现：设BC＝x，则CD＝12﹣x，则AC＋CE，根据（1）中的结论可以求的最小值为 　　 ； （3）结合（1）（2）问，请求出下列代数式的最小值： ①的最小值； ②2的最小值． 【解答】解：（1）如图，连接AE交BD于点C，点C即为所求； （2）如图所示，过点A作AJ⊥ED，交ED延长线于点J，连接AE交BD于C′， 由题意得，AB⊥BD，DE⊥BD， ∴AB∥EJ，AJ∥BD， ∴DJ＝AB＝4km，AJ＝BD＝12km， ∴JE＝DJ＋DE＝6km， 由勾股定理得， 由（1）的结论可知AC＋CE的最小值为， 由勾股定理得， 由勾股定理得， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）解：①如图所示，AB＝4，DE＝3，BD＝24，过点A作AJ⊥ED，交ED延长线于点J，连接AE交BD于C′， 设CD＝x 则BC＝24﹣x， 同理可得AJ＝BD＝24，DJ＝AB＝4， ∴JE＝DJ＋DE＝7， 由勾股定理得， ∴由（1）的结论可知AC＋CE的最小值为25， 由勾股定理得， 由勾股定理得， ∴， ∴的最小值为25； ②如图所示，AB＝5，DE＝4，BD＝6，过点A作AJ⊥ED，交ED延长线于点J，连接AE交BD于C′， 设CD＝2x 则BC＝6﹣2x， 同理可得AJ＝BD＝6，DJ＝AB＝5， ∴JE＝DJ＋DE＝9， 由勾股定理得， ∴由（1）的结论可知AC＋CE的最小值为25， 由勾股定理得， 由勾股定理得， ∴， ∴的最小值为； ∵， ∴的最小值为． 十六．轴对称－最短路线问题（共2小题） 26．（2022秋•江宁区校级月考）如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为BC的中点，AD＝2，若P为AB上一个动点，则PC＋PD的最小值为　　 ． 【解答】解：如图所示，作点D关于AB的对称点E，连接PE，BE， 则DB＝EB，DP＝EP，∠ABC＝∠ABE＝45°，∠CBE＝90°， ∵D是BC的中点， ∴BDBC＝2， ∴BE＝2， ∵PC＋PD＝PC＋PE， ∴当C，P，E在同一直线上时，PC＋PE的最小值等于CE的长，此时，PC＋PD最小， ∵AC＝BC＝4，D为BC的中点， ∴CD＝DB＝BE， 又∵∠ACD＝∠CBE＝90°， ∴△ACD≌△CBE（SAS）， ∴CE＝AD＝2， ∴PC＋PD的最小值为2． 故答案为：2． 27．（2024•黑龙江二模）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边三角形BEF，连接DF，则△BDF周长的最小值为 　　 ． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点， ∴∠BAD＝30°，BDBC＝1， 如图，作直线CF， ∵△ABC、△BEF都是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，BE＝EF＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠BEF＝∠BFE＝60°， ∴∠ABC﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD， ∴∠ABE＝∠CBF， 在△BAE和△BCF中， ， ∴△BAE≌△BCF（SAS）， ∴∠BCF＝∠BAD＝30°， ∴点F与C的连线与CB始终成30°， 如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，连接FG， 则FD＝FG，CD＝CG， ∴△BDF周长＝FB＋FD＋BD＝FB＋FG＋1≥BG＋1， ∴△BDF周长的最小值为BG＋1， 由轴对称的性质，可得∠DCG＝2∠BCF＝60°，CD＝CG， ∴△DCG是等边三角形， ∴DG＝DC＝DB， ∴∠CGB＝∠CGD＋∠DGB＝∠GCB＋∠GBC＝90°， 在Rt△CBD中， BG＝BC•sin∠BCG＝2×sin60°， ∴△BDF周长的最小值是， 故答案为：． 十七．翻折变换（折叠问题）（共1小题） 28．（2025秋•玄武区期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（﹣2，0），点E在边CD上．将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为（0，6），则点E的坐标为（　　） A．（2，8） B．（3，10） C．（4，6） D．（3，8） 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，边AB在x轴上， ∴AD＝AB＝CD＝CB，AD⊥x轴，CD⊥y轴， 由折叠得FB＝CB，FE＝CE， 设CD交y轴于点G，AD＝AB＝CB＝CD＝m，则BF＝OG＝m， ∵A（﹣2，0），F（0，6）， ∴OA＝GD＝2，OF＝6， ∴OB＝m﹣2， ∵∠BOF＝∠EGF＝90°， ∴OB2＋OF2＝BF2， ∴（m﹣2）2＋62＝m2， 解得m＝10， ∴AD＝OG＝CD＝10， ∴FG＝10﹣6＝4，FE＝CE＝10﹣2﹣GE＝8﹣GE， ∵GE2＋FG2＝FE2， ∴GE2＋42＝（8﹣GE）2， 解得GE＝3， ∴E（3，10）， 故选：B． 十八．旋转的性质（共3小题） 29．（2025春•河南期末）如图，△ABC为等边三角形，点P为BC边上一动点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°至线段AQ，点M是边AC的中点，连接QM．若，则MQ的最小值为 　　 ． 【解答】解：取AB的中点N，连接NP， ∵BC＝CA＝AB，∠BCA＝∠ABC＝∠BAC＝60°， ∵， ∴， 由题意可得：AP＝AQ，∠PAQ＝60°， ∴∠NAP＝60°﹣∠PAC＝∠MAQ， ∵， ∴△NAP≌△MAQ（SAS）， ∴NP＝MQ， 过点N作NG⊥BC于点G， 则NP的最小值为NG， ∴， ∴， ∴NP的最小值为， 故答案为：． 30．（2022•南京一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，BC的延长线交B'C'于点D，若B'C'∥AB，则CD的长为 　2　 ． 【解答】解：设CE＝x， ∵B′C′∥AB， ∴∠BAB′＝∠B′， 由旋转的性质得：∠B＝∠B′，AC＝AC′＝6， ∴∠BAE＝∠B， ∴AE＝BE＝8﹣x， ∴（8﹣x）2＝x2＋62， ∴x， ∴CE， ∴AE＝BE＝8， ∵AB＝AB′， ∴B′E＝AB′﹣AE， ∵B′C′∥AB， ∴∠EB′D＝∠BAE＝∠ABE＝∠EDB′， ∴DE＝B′E， ∴CD＝DE﹣CE＝2， 故答案为：2． 31．（2025秋•玄武区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，P为Rt△ABC内一点，连接AP，BP，CP，则PA＋PB＋PC的最小值是　2　 ． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AC＝2， ∴AB＝2AC＝4，（根据直角三角形中30°所对直角边是斜边的一半） ∴． 如图，将△BPA绕点B逆时针旋转60°得到△EFB，连接CE，PF， E 由旋转的性质得BE＝AB＝4，AP＝EF，PB＝BF，∠PBF＝60°＝∠ABE， ∴△PBF是等边三角形， ∴PB＝PF， ∴PA＋PB＋PC＝EF＋PF＋PC≥CE， 当点P，F在直线CE上时，等号成立，PA＋PB＋PC取最小值． 又∵∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝30°＋60°＝90°， ∴在Rt△BCE中，． ∴PA＋PB＋PC的最小值为． 故答案为：． 十九．几何变换综合题（共2小题） 32．（2025春•南京月考）（1）【操作发现】 如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则△ABD是 　等边　 三角形． （2）【类比探究】 如图2，在等边三角形ABC内任取一点P，连接PA，PB，PC，若PB＝1，PC＝3，∠APB＝150°，求PA的长． （3）【解决问题】 如图3，在边长为的等边三角ABC内有一点P，∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积． （4）【拓展应用】 如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量∠ACB＝30°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC．求当PA＋PB＋PC的最小时∠APB的度数． 【解答】解：（1）如图1中，连接BD． ∵△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE， ∴AD＝AB，∠DAB＝60°， ∴△DAB是等边三角形， 故答案为：等边． （2）如图，将△BPC绕点B逆时针方向旋转60°，得△BP′A，连接PP′， ∵PC＝P′A＝3，PBP′＝60°， ∴△BPP′是等边三角形， ∴PP′＝PB＝1， ∠BPP′＝60°， ∵∠APB＝150°， ∴∠APP′＝90°， 在Rt△APP′中，； （3）如图3中，∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C， ∴△APP′是等边三角形， ∴∠AP′C＝∠APB ＝360°﹣90°﹣120°＝150°， ∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°， ∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°， ∴， 即， ∵∠APC＝90°， ∴AP2＋PC2＝AC2， 即， ∴PC＝2， ∴， ∴； （4）如图4中，将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，连接PD、BE． ∴△APC≌△EDC，∠PCD＝60°， ∴CD＝CP，DE＝PA，∠CDE＝∠APC， ∴△CPD是等边三角形， ∴∠CPD＝∠CDP＝60°，PC＝PD， ∴PA＋PB＋PC＝PB＋PD＋DE， ∴当B、P、D、E在一条直线上时，PA＋PB＋PC最小， 当PA＋PB＋PC最小时，∠BPC＝∠CDE＝120°， ∴∠APC＝120°， ∴∠APB＝360°﹣120°﹣120°＝120°． 33．（2023秋•秦淮区期末）回顾旧知 （1）如图①，已知点A，B和直线l，如何在直线l上确定一点P，使PA＋PB最小？将下面解决问题的思路补充完整． 解决问题的思路 可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中!据此，在l上任取一点P'，作点A关于l的对称点A'，AA'与直线l相交于点C．连接P'A'，易知△AP'C≌　△A′P'C ，从而有P'A＝P'A'．这样，在△A'P'B中，根据“ 　两点之间，线段最短　 ”可知A'B与l的交点P即为所求． 解决问题 （2）如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，E，F为AB上的两个动点，且AE＝BF，求CE＋CF的最小值． 变式研究 （3）如图③，在△ABC中，∠ABC＝60°，AC＝5，BC＝4，点D，E分别为AB，AC上的动点，且AD＝CE，请直接写出CD＋BE的最小值． 【解答】解：（1）在l上任取一点P'，作点A关于l的对称点A'，AA'与直线l相交于点C．连接P'A'， ∴AC＝A′C，∠ACP′＝∠A′CP′， ∵CP′＝∠CP′， ∴△AP'C≌△A′P'C（SAS）， ∴P'A＝P'A'． 在△A'P'B中，根据“两点之间，线段最短”可知A'B与l的交点P即为所求． 故答案为：△A′P'C，两点之间，线段最短； （2）解法一：取AB中点D，连接CD并延长到G，使DG＝CD，连接EG， ∴AD＝BD， ∵AE＝BF， ∴DE＝DF， ∵∠EDG＝∠FDC，DG＝DC， ∴△EDG≌△FDC（SAS）， ∴GE＝CF， CE＋CF＝CE＋EG， 当点E运动到D时，CE＋CF的最小值为CE＋EG＝CG， ∵∠ACB＝90°，AB＝8，D为AB的中点， ∴CDAB＝4， ∴CG＝2CD＝8，即CE＋CF的最小值为8；， 解法二：过点E作ED∥CF，使ED＝CF，连接DF，CD，设CD交AB于O， 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $