第十五章 一元一次不等式（举一反三讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

该初中数学讲义通过“基础巩固-能力提升-思维拓展”三层题型框架系统梳理一元一次不等式全章内容，以18个专题题型为脉络，涵盖定义、性质、解集、解法及应用等核心知识，用清晰的题型分类呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“举一反三”分层练习设计，每个题型含例题与变式题，如实际购物方案问题（题型12）培养模型意识，长方形动点面积问题（题型18）发展几何直观，既帮助基础学生掌握运算推理，又助力进阶学生提升创新思维，为教师分层教学与学生自主复习提供精准支持。

第十五章 一元一次不等式（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材沪教版五四制】 【基础巩固】 1 【题型1 认识不等式】 1 【题型2 不等式的性质】 2 【题型3 不等式的解集】 2 【题型4 一元一次不等式（组）的定义】 3 【题型5 解一元一次不等式（组）】 3 【题型6 由实际问题抽象出一元一次不等式（组）】 3 【能力提升】 4 【题型7 求一元一次不等式（组）的整数解】 4 【题型8 在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集】 5 【题型9 方程与一元一次不等式（组）的综合运用】 5 【题型10 根据一元一次不等式（组）的解集求参数】 6 【题型11 根据两个一元一次不等式的解之间的关系求参数】 6 【题型12 一元一次不等式（组）的应用】 7 【思维拓展】 8 【题型13 根据不等式（组）的整数解的值求参数范围】 8 【题型14 不等式组的有解或无解问题】 9 【题型15 根据不等式（组）的整数解的个数求参数取值范围】 9 【题型16 利用不等式基本性质求式子的取值范围】 10 【题型17 解特殊不等式（组）】 10 【题型18 利用一元一次不等式（组）解决几何问题】 11 【基础巩固】 【题型1 认识不等式】 【例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】（24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）若是不等式，则“”代表的符号可以是（　　） A． B．+ C． D．× 【变式1-2】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知当时x的最小值为a，当时x的最大值为b，则 ． 【变式1-3】某天庄河的最高气温是，最低气温是，则当天庄河气温的变化范围是（   ） A． B． C． D． 【题型2 不等式的性质】 【例2】（24-25七年级下·甘肃武威·期中）若，下列不等式能成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25七年级下·河南周口·期中）如图，有三种不同的小球，质量分别如下图所示，放置在天平的托盘中，结果天平右侧倾斜，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级下·辽宁丹东·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·四川成都·一模）已知实数，满足，并且，，若，则的取值范围是 ． 【题型3 不等式的解集】 【例3】（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）在数轴上所表示的关于的不等式的解集如图所示，则该解集为 ． 【变式3-1】请写出一个关于x的不等式，使，3都是它的解 ． 【变式3-2】）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【变式3-3】（24-25七年级下·山西吕梁·期中）在“，，，，”这五个数中，是不等式的解的数共有 个． 【题型4 一元一次不等式（组）的定义】 【例4】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 【变式4-1】（24-25七年级下·四川内江·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25七年级下·安徽宣城·期中）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为 ． 【题型5 解一元一次不等式（组）】 【例5】（24-25七年级下·河南郑州·期末）若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25七年级下·甘肃武威·期中）解不等式或不等式组． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式5-2】（24-25七年级下·甘肃武威·期中）若，不等式组的解集是 ． 【变式5-3】（24-25七年级下·广西百色·期中）如图所示的是小娴同学设计的一种运算程序，从“输入实数”到“结果是否”为一次程序操作．若输入实数后程序操作仅进行了一次就停止了，则的取值范围是 ． 【题型6 由实际问题抽象出一元一次不等式（组）】 【例6】（24-25七年级下·上海闵行·期中）小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组 ． 【变式6-1】（24-25七年级下·河南洛阳·期末）某商店将定价为元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过件，按原价付款；若一次性购买件以上，超过部分打八折小芬有元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小芬可以购买该种商品件，则根据题意，可列不等式为 ． 【变式6-2】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）第十四届冬运会期间，某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，冬运会结束后，商店准备将这批服装降价处理，打折出售，使得每件衣服的利润率不低于，根据题意可列出来的不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【能力提升】 【题型7 求一元一次不等式（组）的整数解】 【例7】（24-25七年级下·河北保定·期末）求不等式组所有整数解的和 ． 【变式7-1】（25-26八年级上·浙江金华·阶段练习）不等式的最大整数解是 ． 【变式7-2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）不等式组的最大整数解是（    ） A． B． C．2 D．3 【变式7-3】（24-25八年级下·甘肃平凉·阶段练习）对于任意实数p、q，定义关于“”的一种运算如下：．例如：． (1)若，求y的取值范围； (2)若，求x的最大整数解． 【题型8 在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集】 【例8】（2025·河北沧州·模拟预测）将关于x的不等式组|的解集表示在数轴上图所示，则a的值为 ． 【变式8-1】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）解不等式，并把解集表示在数轴上． (1) (2) (3) (4) 【变式8-2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ）． A． B． C． D． 【变式8-3】关于的一元一次不等式组的两个不等式的解集在数轴上表示如图，则的值为 ． 【题型9 方程与一元一次不等式（组）的综合运用】 【例9】（24-25七年级下·全国·期末）已知不等式组的解集是，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25七年级下·广西贵港·阶段练习）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是 ． 【变式9-2】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知关于x的方程的解是关于x的不等式的一个解，则a的取值范围是 ． 【变式9-3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如果关于x的方程的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组 的解满足，则满足条件的整数a有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【题型10 根据一元一次不等式（组）的解集求参数】 【例10】（24-25六年级下·上海·期末）关于的不等式的解集为一切实数，则所有符合题意的实数满足（　　） A． B． C． D． 【变式10-1】若关于x的不等式3m－2x＜5的解集是x＞2，则实数m的值为 ． 【变式10-2】（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）不等式组的解集是，则的值是 ． 【变式10-3】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）对x，y定义一种新运算※，规定：（其中a，b均为非零常数）．已知，，的解集为，则m的值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【题型11 根据两个一元一次不等式的解之间的关系求参数】 【例11】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）若不等式组的解集中的任何一个x的值均不在范围内，则a的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【变式11-2】（2025·四川绵阳·二模）不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ． 【变式11-3】（24-25七年级下·福建漳州·期中）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【题型12 一元一次不等式（组）的应用】 【例12】（24-25八年级下·辽宁丹东·阶段练习）【问题背景】 小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需250元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需550元．    素材2 该商店龙年迎新春促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）； 线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 【问题解决】 (1)某商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？ (2)小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（），若在线下商店购买，共需要______元；若在线上淘宝店购买，共需要______元．（均用含m的代数式表示）请你帮小明算一算，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线上购买方式更合算？ 【变式12-1】（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）某社区开展“垃圾分类”入户宣传活动，需要准备两种宣传物资：A物资（宣传折页）每份成本1.5元，B物资（定制垃圾袋）每份成本3元．已知本次活动共需准备200份物资，为了达到更好的宣传效果，要求B物资的数量不低于A物资数量的一半． (1)若同时采购A、B两种物资刚好花了450元，请问A物资和B物资各买了多少份？ (2)为控制预算，A物资和B物资共花费的成本不超过420元，在满足所有条件的情况下，A物资最多可以买多少份？ 【变式12-2】（25-26八年级上·广西南宁·阶段练习）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围． 【变式12-3】（25-26八年级上·重庆·阶段练习）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某班班委会决定组织同学统一到体育用品专卖店购买体育运动跑鞋，以供同学们课外活动使用． 素材一 A型运动跑鞋比B型运动跑鞋每双的单价多20元； 素材二 购买2双A型与3双B型运动跑鞋共需费用640元； 素材三 该班委会通过班级调研确定A型和B型运动跑鞋共需购买50双，且购买A型运动跑鞋的数量少于30双，购买B型运动跑鞋的数量不超过购买A型运动跑鞋的． 素材四 体育用品专卖店给出了优惠活动：一次购买A型运动跑鞋不超过15双不优惠，超过15双后，超过的部分每双按单价打七五折；一次购买B型运动跑鞋不超过20双不优惠，超过20双后，超过的部分每双按单价打八折． 素材五 购买A型和B型跑鞋的总费用不超过6012元． 请完成下列任务： 任务一 A型、B型运动跑鞋的单价分别是多少元？ 任务二 有哪几种购买方案？ 【思维拓展】 【题型13 根据不等式（组）的整数解的值求参数范围】 【例13】对于整数a，b，c，d，定义，如：． (1)求当时，x的值是多少？ (2)求，关于x的不等式的负整数解为时，求k的取值范围． 【变式13-1】（24-25七年级下·湖南郴州·期末）已知关于的不等式的最大整数解是3，则a的取值范围是 ． 【变式13-2】（24-25七年级下·江苏南通·期末）若关于的不等式组，的所有整数解的和为，则的取值范围是 ． 【变式13-3】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）对于，定义一种新运算，规定：，即：当时，；当时，，这里等式左边括号里及等式右边的运算都是通常的四则运算． (1)_______；________． (2)解不等式组； (3)若关于的不等式的最大整数解为，则________． 【题型14 不等式组的有解或无解问题】 【例14】已知关于x、y的方程组, (1)求方程组的解（用含m的代数式表示）； (2)若，试化简：； (3)若，且x有解，求a的取值范围． 【变式14-1】（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是 ． 【变式14-2】（24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）已知关于x的不等式组有解，则所有满足条件的正整数m的和为 ． 【变式14-3】（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）若不等式（组）①的解集中的任意一个解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②覆盖，例如：不等式被不等式覆盖；特别地，若一个不等式（组）无解，则它被其他任意不等式（组）覆盖．例如：不等式组无解，它被其他任意不等式组覆盖．若关于x的不等式组，被覆盖，则a的取值范围是 ． 【题型15 根据不等式（组）的整数解的个数求参数取值范围】 【例15】（24-25七年级下·重庆万州·期末）若a使得关于x的不等式组有且仅有2个整数解，且使得关于y的方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【变式15-1】（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）关于的一元一次不等式至少有两个负整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】（25-26八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式15-3】（24-25七年级下·河南周口·期末）已知关于的不等式组有解但没有整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C．0 D．0 【题型16 利用不等式基本性质求式子的取值范围】 【例16】若，且，，设，则t的取值范围为 ． 【变式16-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若实数、、满足，．若，，则的取值范围是 ． 【变式16-2】已知a、b是非负实数，，，则c的取值范围为 ． 【变式16-3】已知，，，记，且关于x的不等式组恰有三个整数解，则t的取值范围为 ． 【题型17 解特殊不等式（组）】 【例17】阅读： 我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解:（1）当，即时： 解这个不等式，得： 由条件，有： （2）当，即 时， 解这个不等式，得： 由条件，有： ∴   如图， 综合（1）、（2）原不等式的解为： 根据以上思想，请探究完成下列个小题： ； 【变式17-1】若|2a﹣6|＞6﹣2a，则实数a的取值范围是 ． 【变式17-2】我们用表示不大于的最大整数，例如请解决下列问题： （1）= ． = ．（其中为圆周率）； （2）已知满足方程组求的取值范围． 【变式17-3】先阅读，再解答:写出关于的不等式的解集， 解:利用不等式的性质，不等式两边都除以， 因不知的符号，所以应分情况讨论: 当即时， 当即时，； 当，即时，此不等式为无解． 请根据以上解不等式的思想方法，解关于的不等式． 【题型18 利用一元一次不等式（组）解决几何问题】 【例18】（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）如图：在长方形中，，，动点从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点停止运动，设点运动的时间为秒． (1)①当点在上时，的面积与时间的关系________． ②当的面积时，时间________秒． (2)点整个运动过程中，是否存在这样的，使得的面积？如果存在，请求出的取值范围；如果不存在，请说明理由． (3)若另一动点与动点同时从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点后立即原路返回，并且在边，上的速度等于原速，当点停止时点也随之停止．在整个运动过程中，是否存在时间使得的面积总大于的面积，如果存在，直接写出的取值范围；如果不存在，请说明理由． 【变式18-1】用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式18-2】如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 ． 【变式18-3】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 一元一次不等式（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材沪教版五四制】 【基础巩固】 1 【题型1 认识不等式】 1 【题型2 不等式的性质】 3 【题型3 不等式的解集】 5 【题型4 一元一次不等式（组）的定义】 6 【题型5 解一元一次不等式（组）】 7 【题型6 由实际问题抽象出一元一次不等式（组）】 9 【能力提升】 12 【题型7 求一元一次不等式（组）的整数解】 12 【题型8 在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集】 14 【题型9 方程与一元一次不等式（组）的综合运用】 17 【题型10 根据一元一次不等式（组）的解集求参数】 19 【题型11 根据两个一元一次不等式的解之间的关系求参数】 21 【题型12 一元一次不等式（组）的应用】 24 【思维拓展】 29 【题型13 根据不等式（组）的整数解的值求参数范围】 29 【题型14 不等式组的有解或无解问题】 32 【题型15 根据不等式（组）的整数解的个数求参数取值范围】 35 【题型16 利用不等式基本性质求式子的取值范围】 37 【题型17 解特殊不等式（组）】 41 【题型18 利用一元一次不等式（组）解决几何问题】 44 【基础巩固】 【题型1 认识不等式】 【例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，注意：用不等号，，，，表示不等关系的式子，叫不等式． 根据不等式的定义逐个判断即可． 【详解】解：依题意，不等式有：①，②，⑤，⑥，共4个， 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）若是不等式，则“”代表的符号可以是（　　） A． B．+ C． D．× 【答案】A 【分析】本题主要考查的是不等式的定义，含有不等号的式子为不等式，直接根据定义进行判断即可． 【详解】解：是不等式， 则“”代表的符号可以是， 故选：A． 【变式1-2】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知当时x的最小值为a，当时x的最大值为b，则 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式，代数式求值．先求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵当时x的最小值为a，当时x的最大值为b， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】某天庄河的最高气温是，最低气温是，则当天庄河气温的变化范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的定义，将实际问题抽象出一元一次不等式组，抓住关键词语、列出不等式组是解答本题的关键．先根据最高气温与最低气温列出不等式组，然后再确定其解集即可解答． 【详解】解：由题意可得：， 当天气温的变化范围是． 故选：D． 【题型2 不等式的性质】 【例2】（24-25七年级下·甘肃武威·期中）若，下列不等式能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式的基本性质，逐一分析四个答案的真假，即可求解． 【详解】解：A、若，则，故正确，符合题意； B、若，则，故错误，不符合题意； C、若，当时，，当时，，当时，，故错误，不符合题意； D、若，当时，，当时，，当时，不存在，故错误，不符合题意． 故选：A． 【变式2-1】（24-25七年级下·河南周口·期中）如图，有三种不同的小球，质量分别如下图所示，放置在天平的托盘中，结果天平右侧倾斜，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等关系表示实际生活中的情境，涉及不等式性质，根据题意，数形结合得到不等式，再由不等式性质化简求解即可得到答案，将实际生活情境转化为不等式表示是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ， 解得， 故选：C． 【变式2-2】（24-25八年级下·辽宁丹东·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的基本性质、解一元一次不等式，根据把不等式两边同时除以时，不等号的方向改变，可知，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：关于的不等式的解集为， ， 解得：． 故选：B． 【变式2-3】（2025·四川成都·一模）已知实数，满足，并且，，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式的性质，根据已知易得，从而可得，进而可得，然后结合已知易得，从而进行计算即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3 不等式的解集】 【例3】（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）在数轴上所表示的关于的不等式的解集如图所示，则该解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，数轴的某一段上面，实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，向右，向左． 【详解】解：由图可知，该解集为：． 故答案为： 【变式3-1】请写出一个关于x的不等式，使，3都是它的解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查不等式的解集．由，3均小于4可得． 【详解】解：由，3均小于3可得， 所以符合条件的不等式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3-2】）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键． 根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即． 【详解】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25七年级下·山西吕梁·期中）在“，，，，”这五个数中，是不等式的解的数共有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式以及一元一次不等式解的定义，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．先求出不等式的解集，然后在，，，，这五个数中找出符合条件的解，即可得解． 【详解】解：∵， 解得， 在，，，，这五个数中， 是不等式解的有，，，共个． 故答案为：． 【题型4 一元一次不等式（组）的定义】 【例4】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 【答案】 【分析】利用一元一次不等式的定义得到，即可求解． 本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式4-1】（24-25七年级下·四川内江·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 根据一元一次不等式的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 是一元一次不等式，该选项符合题意； B. 不是一元一次不等式，该选项不符题意； C. 不是一元一次不等式，该选项不符题意； D. 不是一元一次不等式，该选项不符题意； 故选：A． 【变式4-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键. 根据一元一次不等式组的定义逐项判断即可 【详解】解：A、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； B、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； C、 是一元一次不等式组，故该选项符合题意； D、 不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； 故选：C 【变式4-3】（24-25七年级下·安徽宣城·期中）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，解一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义可得，则，再解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴， ∴原不等式为， 解得， 故答案为：． 【题型5 解一元一次不等式（组）】 【例5】（24-25七年级下·河南郑州·期末）若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，解一元一次不等式组．数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数，由此列不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：由题意得 解不等式得：， 解不等式得：， 所以该不等式组的解集为， 故选：B． 【变式5-1】（24-25七年级下·甘肃武威·期中）解不等式或不等式组． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1） 解：移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：， （2） 解：去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得：， （3） 解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， （4） 解：去分母得：， 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：， 【变式5-2】（24-25七年级下·甘肃武威·期中）若，不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的解集，解题关键是掌握“同小取小”的不等式组解集确定原则（即两个不等式都是小于或小于等于，取较小的那个范围）．根据不等式组解集确定原则求解即可． 【详解】解： ，不等式组的解集是． 故答案为： 【变式5-3】（24-25七年级下·广西百色·期中）如图所示的是小娴同学设计的一种运算程序，从“输入实数”到“结果是否”为一次程序操作．若输入实数后程序操作仅进行了一次就停止了，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式是解题的关键．根据运行程序，列出不等式，然后求解即可． 【详解】解：根据输入m后程序操作仅进行了一次就停止可知： ， 解得， 则的取值范围是． 故答案为： 【题型6 由实际问题抽象出一元一次不等式（组）】 【例6】（24-25七年级下·上海闵行·期中）小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式组．先求得调整后咖啡浓度为，再根据“调整后的咖啡浓度既不低于又不超过”列出不等式组即可． 【详解】解：由题意倒掉了x毫升咖啡液，此时剩余的咖啡质量为克， 调整后咖啡浓度为， 根据题意得， 故答案为：． 【变式6-1】（24-25七年级下·河南洛阳·期末）某商店将定价为元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过件，按原价付款；若一次性购买件以上，超过部分打八折小芬有元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小芬可以购买该种商品件，则根据题意，可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是列不等式，设小芬可以购买该种商品件，结合题意可得，根据一次性购买件以上，超过部分打八折，进一步列不等式即可． 【详解】解：设小芬可以购买该种商品件， 根据题意得：， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式6-2】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）第十四届冬运会期间，某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，冬运会结束后，商店准备将这批服装降价处理，打折出售，使得每件衣服的利润率不低于，根据题意可列出来的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据打折出售，得出折后的售价为，再结合利润率的公式，进行列式，即可作答． 【详解】解：依题意，打折出售，得出折后的售价为 ∵每件进价为200元，且每件衣服的利润率不低于， ∴， 故选：B． 【变式6-3】（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式组，审清题意、找准不等关系是解题的关键． 设九（1）班有学生x人，由于“每人分4本，则还剩77本书”，则共有本书；由于“每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本每位学生分6本书”列出不等式组即可． 【详解】解：设九（1）班有学生x人，则共有本书， 若每位学生分6本书，则有一名学生能分到书但少于5本， 则． 故选：C． 【能力提升】 【题型7 求一元一次不等式（组）的整数解】 【例7】（24-25七年级下·河北保定·期末）求不等式组所有整数解的和 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查求不等式组的整数解，掌握解不等式组的方法是解题的关键．根据不等式的性质分别求出两个不等式的解集，再确定不等式组解集，结合解集取整数，再求和即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组解集是， ∴不等式组整数解是， ∴， 故答案为：6． 【变式7-1】（25-26八年级上·浙江金华·阶段练习）不等式的最大整数解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，求不等式的最大整数解，熟练掌握解不等式是解答此题的关键． 解不等式，得到解集，再找最大整数解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴最大整数解是． 故答案为：． 【变式7-2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）不等式组的最大整数解是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题考查求不等式组的整数解，先解不等式，得到不等式组的解集，即可得到不等式组的最大整数解． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得 ∴不等式组的解集为 ∴不等式组的最大整数解为2， 故选：C． 【变式7-3】（24-25八年级下·甘肃平凉·阶段练习）对于任意实数p、q，定义关于“”的一种运算如下：．例如：． (1)若，求y的取值范围； (2)若，求x的最大整数解． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了实数范围的新定义运算以及解不等式，准确理解新定义的公式是解题关键． （1）根据新定义得出不等式，解不等式即可； （2）根据新定义得出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：， ， ， 即为， 解得． （2）解：， ， ， 即为， 解得， ∴最大整数解为2 【题型8 在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集】 【例8】（2025·河北沧州·模拟预测）将关于x的不等式组|的解集表示在数轴上图所示，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，根据所给数轴，得出不等式组的解集，据此进行计算即可． 【详解】解：由所给数轴可知，不等式组的解集为：． 由得，； 由得，， 则， 解得． 故答案为：． 【变式8-1】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）解不等式，并把解集表示在数轴上． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 (3)，数轴见解析 (4)，数轴见解析 【分析】考查一元一次不等式的解法及求一元一次不等式组解集的方法，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的解法及一元一次不等式组解集的求解法则“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”是解决问题的关键． （1）根据解一元一次不等式的方法步骤求解，并把解集表示在数轴上； （2）根据解一元一次不等式的方法步骤求解即可得到答案，并把解集表示在数轴上； （3）根据解一元一次不等式组的方法步骤求解即可得到答案，并把解集表示在数轴上； （4）根据解一元一次不等式组的方法步骤求解即可得到答案，并把解集表示在数轴上． 【详解】（1）解： 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得； （3）解： 由①得； 由②得； 原不等式组的解集为； （4）解： 由①得； 由②得； 原不等式组的解集为． 【变式8-2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，关键是正确计算出不等式的解集． 首先解出不等式的解集，再在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， 解得， 把解集在数轴上表示如下： ， 故选：B． 【变式8-3】关于的一元一次不等式组的两个不等式的解集在数轴上表示如图，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确得出关于a，b的等式是解题关键．先解不等式组的解集，再结合数轴得出解集得出关于a，b的等式，进而得出答案． 【详解】解： ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 结合数轴可得：，， ∴ ∴， 故答案为：3． 【题型9 方程与一元一次不等式（组）的综合运用】 【例9】（24-25七年级下·全国·期末）已知不等式组的解集是，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查解一元一次方程，解一元一次不等式组．解题关键在于掌握其方法步骤． 解不等式组，根据其解集得出关于a、b的方程，解之求得a、b的值，再还原方程，解方程即可． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得． ∵不等式组的解集是， ∴． ∴，． ∴． ∴方程为． 解得． 故选：D． 【变式9-1】（24-25七年级下·广西贵港·阶段练习）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，求不等式的解集，掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法及不等式求解的方法是关键． 根据解一元一次方程的方法得到解，再根据解为正数列不等式求解即可． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， ∵方程的解为正数， ∴，即， 解得，， 故答案为： ． 【变式9-2】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知关于x的方程的解是关于x的不等式的一个解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、不等式的解集等知识点，根据题意得到关于a的不等式是关键． 先解方程求得，然后代入得到关于a的不等式求解即可． 【详解】解：关于x的方程可得：， 把代入得：，解得：． 故答案为：． 【变式9-3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如果关于x的方程的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组 的解满足，则满足条件的整数a有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据方程和方程组的解的情况求参数，解一元一次不等式，求不等式组的整数解，先解一元一次方程得到，根据方程的解为非负数列出不等式可求出a的取值范围；把方程组中的两个方程相加推出，则可得到，解不等式可确定a的取值范围，据此可得答案． 【详解】解： 去括号得， 解得， ∵关于x的方程的解为非负数， ∴， ∴； 得， ∴， ∵关于x，y的二元一次方程组 的解满足， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数a有，共5个， 故选：B． 【题型10 根据一元一次不等式（组）的解集求参数】 【例10】（24-25六年级下·上海·期末）关于的不等式的解集为一切实数，则所有符合题意的实数满足（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的性质、解不等式等知识点，发现解集为一切实数的条件解题的关键． 由题意可得，由题意可得且，解答且，然后判断各选项即可解得． 【详解】解： ， ∵关于的不等式的解集为一切实数， ∴且， ∴且， ∴． 故选B． 【变式10-1】若关于x的不等式3m－2x＜5的解集是x＞2，则实数m的值为 ． 【答案】3 【详解】3m－2x<5的解集为： ， 因为解集是x>2， 则 ． 故答案：3． 【点睛】本题考查了解不等式，以及求不等式里参数，解题的关键是能用参数表示出不等式的解集． 【变式10-2】（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）不等式组的解集是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法，注意找准对应关系．根据题目中的不等式组可以求得、的值，从而可以求得的值． 【详解】解：由不等式组 得：． ∵不等式组的解集是， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 【变式10-3】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）对x，y定义一种新运算※，规定：（其中a，b均为非零常数）．已知，，的解集为，则m的值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式以及一元一次不等式的解． 首先利用已知条件建立二元一次方程组求出a和b的值，再代入不等式条件解出m． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∵： ∴根据定义得：， 解得： 由解集得：， 解得：， 故选：B． 【题型11 根据两个一元一次不等式的解之间的关系求参数】 【例11】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的解集，不等式的性质，正确计算是解题的关键．先整理不等式，再根据其解集得出之间的关系以及的取值范围，再解不等式即可． 【详解】解：， ， ∵关于的不等式的解集为， ∴， 解①，得， 即， 把代入②，得， 解得， ∴关于的不等式的解集为， ∴， 即， 故选：B． 【变式11-1】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）若不等式组的解集中的任何一个x的值均不在范围内，则a的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】解不等式组，求出x的范围，根据任何一个x的值均不在的范围内列出不等式，解不等式得到答案． 本题考查了不等式的解集的确定，根据不等式的解法正确解出不等式是解题的关键． 【详解】解：由，得：； 由，得：， 不等式的解集为：， ∵x的值均不在的范围内， 如图， ∴不等式的解集中的最小值应不小于5或者最大值不超过2， ∴a的取值范围是：或， 即a的取值范围是：或． 【变式11-2】（2025·四川绵阳·二模）不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组．先求出不等式组的解集，再根据题意建立关于a的不等式组即可解决问题． 【详解】解：解不等式得，； 解不等式得，， 所以不等式组的解集为：， 则此不等式组的整数解为0，1． 又因为此不等式组的整数解均满足不等式组， 所以， 解得． 故答案为：． 【变式11-3】（24-25七年级下·福建漳州·期中）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，由不等式的解集求参数，首先解不等式得，且，然后求出，然后代入求解即可． 【详解】解： ∵关于的不等式的解集为， ∴，且 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：B． 【题型12 一元一次不等式（组）的应用】 【例12】（24-25八年级下·辽宁丹东·阶段练习）【问题背景】 小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需250元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需550元．    素材2 该商店龙年迎新春促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）； 线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 【问题解决】 (1)某商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？ (2)小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（），若在线下商店购买，共需要______元；若在线上淘宝店购买，共需要______元．（均用含m的代数式表示）请你帮小明算一算，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线上购买方式更合算？ 【答案】(1)A款盲盒销售单价为6元，B款盲盒销售单价为16元； (2)；；当购买A款盲盒的数量在时，线上购买方式更合算． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际问题，列代数式表示实际问题等知识点，理解题意并列出方程、代数式、不等式并求解是解题的关键． （1）设某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）分别求出在线下商店购买和在线上淘宝店购买的所需费用，再根据线上购买方式更合算，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，由题意得： ， 解得， 答：某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为6元，B款盲盒销售单价为16元； （2）解：依题意得： 在线下商店购买，共需要（元）， 在线上淘宝店购买，共需要（元）， ∵线上购买方式更合算， ∴， 解得， ∵， ∴， 答：当购买A款盲盒的数量在时，线上购买方式更合算． 【变式12-1】（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）某社区开展“垃圾分类”入户宣传活动，需要准备两种宣传物资：A物资（宣传折页）每份成本1.5元，B物资（定制垃圾袋）每份成本3元．已知本次活动共需准备200份物资，为了达到更好的宣传效果，要求B物资的数量不低于A物资数量的一半． (1)若同时采购A、B两种物资刚好花了450元，请问A物资和B物资各买了多少份？ (2)为控制预算，A物资和B物资共花费的成本不超过420元，在满足所有条件的情况下，A物资最多可以买多少份？ 【答案】(1)A物资买了100份，B物资买了100份； (2)133 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式组的应用，根据关系列出等式和不等式即可； （1）设A物资买了份，B物资买了份；列出方程，求解即可；             （2）设A物资买了份，B物资买了份；列出不等式，再根据B物资的数量不低于A物资数量的一半，列出不等式即可，求解即可. 【详解】（1）解：设A物资买了份，B物资买了份； ， 解得：， B物资：， 答：A物资买了100份，B物资买了100份； （2）设A物资买了份，B物资买了份； ， 解得：， ∵B物资的数量不低于A物资数量的一半， ∴，   解得：， ∴， ∴A物资最多可以买133份. 【变式12-2】（25-26八年级上·广西南宁·阶段练习）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围． 【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元 (2)共有4种建造方案，方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩；方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩；方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩； (3) 【分析】（1）设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据“新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要1万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据“该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各建造方案； （3）分别求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积，结合“在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择”，即可确定a的取值范围． 【详解】（1）解：设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据题意得： ， 解得：； 答：该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元； （2）解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据题意得： ， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为20，21，22，23， ∴共有4种建造方案， 方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩； 方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩； 方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩； 方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩； （3）解：选择方案1时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案2时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案3时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案4时新建充电桩的总占地面积为． ∵在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择， ∴． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积． 【变式12-3】（25-26八年级上·重庆·阶段练习）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某班班委会决定组织同学统一到体育用品专卖店购买体育运动跑鞋，以供同学们课外活动使用． 素材一 A型运动跑鞋比B型运动跑鞋每双的单价多20元； 素材二 购买2双A型与3双B型运动跑鞋共需费用640元； 素材三 该班委会通过班级调研确定A型和B型运动跑鞋共需购买50双，且购买A型运动跑鞋的数量少于30双，购买B型运动跑鞋的数量不超过购买A型运动跑鞋的． 素材四 体育用品专卖店给出了优惠活动：一次购买A型运动跑鞋不超过15双不优惠，超过15双后，超过的部分每双按单价打七五折；一次购买B型运动跑鞋不超过20双不优惠，超过20双后，超过的部分每双按单价打八折． 素材五 购买A型和B型跑鞋的总费用不超过6012元． 请完成下列任务： 任务一 A型、B型运动跑鞋的单价分别是多少元？ 任务二 有哪几种购买方案？ 【答案】任务一：A型、B型运动跑鞋的单价分别是140元、120元；任务二：见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，准确列出方程和不等式是解题的关键． 任务一：设B型运动跑鞋的单价为元，则A型运动跑鞋的单价为元，根据素材二列出一元一次方程，解方程即可解答； 任务二：先根据素材三设A型运动跑鞋买 双，则B型运动跑鞋买双，，再得，解不等式；再根据素材四分别计算出购买A型运动跑鞋的费用和购买B型运动跑鞋的费用，然后据素材五得，，解不等式，综合后可得m的取值范围，进而可得购买方案． 【详解】解：任务一：设B型运动跑鞋的单价为元，则A型运动跑鞋的单价为元， 根据素材二得， 解得， 则， 答：A型、B型运动跑鞋的单价分别是140元、120元； 任务二：设A型运动跑鞋买 双，则B型运动跑鞋买双， 根据素材三得， 解得； 根据素材四得， 购买A型运动跑鞋的费用为：（元）， 购买B型运动跑鞋的费用为：（元）； 根据素材五得，， 解得， 综上所述，． 所以有以下四种方案： 方案一：购买A型运动跑鞋20双，购买B型运动跑鞋30双； 方案二：购买A型运动跑鞋21双，购买B型运动跑鞋29双； 方案三：购买A型运动跑鞋22双，购买B型运动跑鞋28双； 方案四：购买A型运动跑鞋23双，购买B型运动跑鞋27双． 【思维拓展】 【题型13 根据不等式（组）的整数解的值求参数范围】 【例13】对于整数a，b，c，d，定义，如：． (1)求当时，x的值是多少？ (2)求，关于x的不等式的负整数解为时，求k的取值范围． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次不等式及一元一次不等式的整数解等知识，正确求解是解题的关键； （1）根据定义的法则，可得关于x的一元一次方程，解方程即可； （2）根据定义的法则，可得关于x的一元一次不等式，解不等式，根据解集的负整数解为，可得关于k的不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 解得：， 即x的值为6； （2）解：由，得， 解得：； 由于关于x的不等式的负整数解为，则， 解得：， 即满足条件的k的取值范围为：． 【变式13-1】（24-25七年级下·湖南郴州·期末）已知关于的不等式的最大整数解是3，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式的解的情况求参，熟练掌握解一元一次不等式（组）是解题的关键． 先解不等式，求得，再根据不等式的最大整数解是3，得出，求解即可． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式的最大整数解是3， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式13-2】（24-25七年级下·江苏南通·期末）若关于的不等式组，的所有整数解的和为，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于的不等式组是解此题的关键. 先求出不等式组的解集，再根据已知得出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 关于的不等式组的所有整数解的和为， 不等式组的解集为， 当时，这两个整数解一定是和，此时， ， ， 当时，有， ， ， 的取值范围是或． 故答案为：或． 【变式13-3】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）对于，定义一种新运算，规定：，即：当时，；当时，，这里等式左边括号里及等式右边的运算都是通常的四则运算． (1)_______；________． (2)解不等式组； (3)若关于的不等式的最大整数解为，则________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】此题考查了新定义、解一元一次不等式组和一元一次不等式，正确列出不等式和不等式组是关键． （1）根据题意代入数值计算即可； （2）根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可； （3）根据题意列出一元一次不等式，解不等式得到，再根据关于的不等式的最大整数解为进行求解即可 【详解】（1）解：由题意可得，，， 故答案为： （2）由题意可知可化为 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集是 （3）由题意可得， 解得， ∵关于的不等式的最大整数解为， ∴ 解得 ∵为整数， ∴或 故答案为：或 【题型14 不等式组的有解或无解问题】 【例14】已知关于x、y的方程组, (1)求方程组的解（用含m的代数式表示）； (2)若，试化简：； (3)若，且x有解，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）根据（1）中结果和题设条件得到关于m的一元一次不等式组，再根据绝对值的意义化简绝对值即可求解； （3）先用含x的式子表示y，再根据x有解列关于a的不等式，进而可得a的取值范围． 【详解】（1）解：解方程组， ，得，则， 将代入①中，得，则， ∴方程组的解为； （2）解：∵， ∴，即， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∵x有解， ∴，则． 【点睛】本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式（组）和不等式组的解、化简绝对值，理解题意，（1）中关键是正确求得二元一次方程的解；（2）中关键正确化简绝对值；（3）中关键是正确得到关于a的不等式． 【变式14-1】（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集，难度适中．先求出两个不等式的解集，然后根据不等式组无解得出m的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于x的一元一次不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式14-2】（24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）已知关于x的不等式组有解，则所有满足条件的正整数m的和为 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集的情况可得答案． 【详解】解：由得：， 由得：， 不等式组有解， ， 则正整数m的和为． 故答案为：6． 【变式14-3】（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）若不等式（组）①的解集中的任意一个解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②覆盖，例如：不等式被不等式覆盖；特别地，若一个不等式（组）无解，则它被其他任意不等式（组）覆盖．例如：不等式组无解，它被其他任意不等式组覆盖．若关于x的不等式组，被覆盖，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组及其应用．先求出不等式的解集，根据新定义列出关于a的不等式（组），即可求解． 【详解】解：解不等式组得， ∵该解集被覆盖， ∴或， 解得或． 故答案为：或． 【题型15 根据不等式（组）的整数解的个数求参数取值范围】 【例15】（24-25七年级下·重庆万州·期末）若a使得关于x的不等式组有且仅有2个整数解，且使得关于y的方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【答案】12 【分析】本题考查不等式组的求解、一元一次方程的求解；根据不等式组解的情况构建关于参数的不等式是解题的关键．求解不等式组，根据解的约束条件得关于参数的不等式，，解得，解含参数的方程，根据解的条件得不等式，解得，于是，从而满足条件的整数a有，求和即可． 【详解】解： 解得， 不等式组有且仅有两个整数解， ∴， 解得． 由，得， ∵方程的解是非负整数， ∴， 解得， ∴， ∵为非负整数， ∴满足条件的整数a有，则和为． 故答案为：． 【变式15-1】（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）关于的一元一次不等式至少有两个负整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式，根据不等式解的个数求参数，理解负整数解的概念是解题的关键． 解一元一次不等式，根据不等式负整数解的个数，即可确定的取值范围． 【详解】解：解不等式得：， 又∵关于的一元一次不等式至少有两个负整数解， ∴， 即：， 故选：C． 【变式15-2】（25-26八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的解的应用，解此题的关键是求出关于a的不等式组． 求出每个不等式的解集，求出不等式组的解集，根据已知得出关于a的不等式组，求出解集即可． 【详解】解：由得：， 由得：， 不等式组只有4个整数解， 不等式组的整数解为2、3、4、5， ， 解得， 故选：D． 【变式15-3】（24-25七年级下·河南周口·期末）已知关于的不等式组有解但没有整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C．0 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是明确题意，会解一元一次不等式组． 根据解不等式组的方法可以求出不等式组的解集，又因为关于x的不等式组有解但没有整数解，从而可以得到a的取值范围． 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 则不等式组的解集为， ∵关于的不等式组有解但没有整数解， ∴． 故选：D． 【题型16 利用不等式基本性质求式子的取值范围】 【例16】若，且，，设，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由条件可得先求解b的取值范围，再把化为，再结合不等式的基本性质可得答案． 【详解】解： ，， ∴ 解得： 而， ∵， ∴ ∴t的取值范围是： 故答案为： 【点睛】本题考查的是不等式的性质，方程思想的应用，求解及是解本题的关键． 【变式16-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若实数、、满足，．若，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，根据已知条件，利用含的代数式分别表示出，，从而得到关于的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：， ，， ， ， 整理得：，， ，， ， 解得：， 故答案为：． 【变式16-2】已知a、b是非负实数，，，则c的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，不等式的性质，根据题意求出的取值范围是解题关键．由题意可知，进而得到，根据a、b是非负实数列不等式组，求得的取值范围，进而得到c的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵a、b是非负实数， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式16-3】已知，，，记，且关于x的不等式组恰有三个整数解，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，不等式组的整数解，先利用不等式的性质求出，再求出原不等式组的解集，根据恰有三个整数解求出，即可求出最后结果． 【详解】解：， ，， ， ， ，， ，， ，， ， ， ； ， 解不等式①，， 解不等式②，， ∴不等式组的解集为， 恰有三个整数解， ∴一定存在一个整数k，满足下列关系： ， 解不等式③得：， 解不等式④得：， 当时，即时，则， 于是，解得， ， 为整数， ， ， ； 当时，即，不存在整数k，此时无解； 当时，此时无解； 当时，即，则； 于是，解得， ，不存在整数k，此时无解； ， 又， ， 故答案为：． 【题型17 解特殊不等式（组）】 【例17】阅读： 我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解:（1）当，即时： 解这个不等式，得： 由条件，有： （2）当，即 时， 解这个不等式，得： 由条件，有： ∴   如图， 综合（1）、（2）原不等式的解为： 根据以上思想，请探究完成下列个小题： ； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分①x+1≥0，即x≥-1，②x+1<0，即x<-1，两种情况分别求解可得； （2）分①x-2≥0，即x≥2，②x-2<0，即x<2，两种情况分别求解可得． 【详解】， ①当，即时：， 解这个不等式，得： 由条件，有：； ②当，即 时： 解这个不等式，得： 由条件，有：, ∴   综合①、②，原不等式的解为：． （2） ①当，即时： 解这个不等式，得： 由条件，不符合，舍去； ②当，即时：， 解这个不等式，得： 符合条件 综合①、②，原不等式的解为： 【点睛】考查解一元一次不等式，读懂题目中含绝对值的不等式的解题的方法是解题的关键. 【变式17-1】若|2a﹣6|＞6﹣2a，则实数a的取值范围是 ． 【答案】a＞3． 【分析】分三种情况考虑：当2a﹣6＞0，2a﹣6=0，与2a﹣6＜0时，利用绝对值的代数意义化简，即可求出a的范围． 【详解】解：当2a﹣6＞0，即a＞3时，不等式变形为2a﹣6＞6﹣2a， 解得：a＞3； 当2a﹣6＝0，即a＝3时，不等式不成立； 当2a﹣6＜0，即a＜3时，不等式不成立， 综上，实数a的范围为a＞3． 故答案为：a＞3． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，以及绝对值的代数意义，利用了分类讨论的数学思想，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的而关键． 【变式17-2】我们用表示不大于的最大整数，例如请解决下列问题： （1）= ． = ．（其中为圆周率）； （2）已知满足方程组求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求出所求； （2）求出方程组的解得到[x]与[y]的值，即可确定出x与y的范围． 【详解】（1）[π]=3，[2-π]=-2； 故答案为：3；-2； （2）解方程组得：， 则-1≤x＜0，2≤y＜3． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式17-3】先阅读，再解答:写出关于的不等式的解集， 解:利用不等式的性质，不等式两边都除以， 因不知的符号，所以应分情况讨论: 当即时， 当即时，； 当，即时，此不等式为无解． 请根据以上解不等式的思想方法，解关于的不等式． 【答案】或或无解． 【分析】按照题中的思路解不等式即可． 【详解】解:利用不等式的性质，不等式两边都除以， 因不知的符号，所以应分情况讨论: 当即时， 当即时， 当即时，此不等式为无解． 【点睛】本题考查了解不等式的问题，掌握解不等式的思想方法是解题的关键． 【题型18 利用一元一次不等式（组）解决几何问题】 【例18】（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）如图：在长方形中，，，动点从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点停止运动，设点运动的时间为秒． (1)①当点在上时，的面积与时间的关系________． ②当的面积时，时间________秒． (2)点整个运动过程中，是否存在这样的，使得的面积？如果存在，请求出的取值范围；如果不存在，请说明理由． (3)若另一动点与动点同时从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点后立即原路返回，并且在边，上的速度等于原速，当点停止时点也随之停止．在整个运动过程中，是否存在时间使得的面积总大于的面积，如果存在，直接写出的取值范围；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②或 (2)存在；或 (3)存在；或 【分析】（1）①根据三角形面积公式进行求解即可； ②分两种情况：当点在上时，当点P在上时，分别列出方程求出结果即可； （2）分两种情况：当点在上时，当点P在上时，分别列出不等式求出结果即可； （3）分四种情况：当点Q从点A向点B运动时，当点Q从点B向点C运动时，当点Q从点C向点B运动时，当点Q从点B向点A运动时，分别列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：①当点在上时，的面积与时间的关系为： ； ②当时，点P在上，， 解得：； 当时，点P在上，， 解得：， 综上分析可知：或； （2）解：存在； 当时，点在上，， 解得：， ∴此时； 当时，点在上时，， 解得：， ∴此时； 综上分析可知：或； （3）解：存在； 当时，点Q从点A向点B运动，， ∴， ∴当时，； 当时，点Q从点B向点C运动，则， 解得：， ∴当时，； 当时，点Q从点C向点B运动，则， 解得：， ∴此时没有符合条件的t存在； 当时，点Q从点B向点A运动，， 整理得：， ∵此时， ∴， ∴总成立， ∴时，； 综上分析可知：或时，． 【点睛】本题主要考查了列代数式，求不等式的解集，一元一次方程的应用，三角形面积计算，解题的关键是注意进行分类讨论． 【变式18-1】用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 【变式18-2】如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，则，解出，即可． 【详解】解：一颗玻璃球的体积为， ∵将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， ∴， 解得：； ∵五颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ∴， 解得：； ∴一颗玻璃球的体积的取值范围为：， 故答案为：． 【变式18-3】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或 (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次方程的应用，动点问题，解题的关键是分类讨论． （1）先求出运动的路程，再根据时间路程速度，即可求解； （2）分两种情况：当在上运动时，当在上运动时，根据三角形的面积公式列方程即可求解； （3）根据当时，，当时，，即可求解． 【详解】（1）解： ，， 点整个运动过程中，路程为， 点整个运动过程中，所需时间为秒， 故 答 案 为：； （2）当在上运动时，， 解 得：， 当在上运动时，， 解得：， 综上可得的值为或； （3）当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上可得：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $