精品解析：广西壮族自治区钦州市 浦北县第三中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025年秋季学期阶段性自主评估作业（三） 九年级数学（R） （时间：120分钟 满分：120分） 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. ⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为(　　) A. 点A在⊙O上 B. 点A在⊙O内 C. 点A在⊙O外 D. 无法确定 3. 如图，点、、是上的三点，已知，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A. 点A与点是对称点 B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，其中，则的值为（　　） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 6. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 8. 如图，正六边形F内接于，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 10. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则球的半径为（ ） A. 2cm B. 2.5cm C. cm D. cm 11. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则点一定是抛物线上的一个点．以上结论中，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 将半径为的如图折叠，折痕长为，为折叠后的中点，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上．） 13. 如图是一个风车模型示意图，绕中心点O旋转一定角度后可以与自身重合，这个角度最小是________°． 14. 如图，是的切线，A为切点，的延长线交于点B，连接若，则的度数为______． 15. 要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为______． 16. 如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为____． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 如图，已知，是的直径，，，求的度数． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）如果方程的根的判别式的值为1，求m的值． （2）如果方程有实数根，求m的取值范围． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为、，． （1）画出绕原点按顺时针方向旋转后得到的； （2）写出点的坐标； （3）求出旋转到点所经过的路线长（结果保留）． 20. 如图，一扇形纸扇完全打开后，和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为． （1）求弧的长度； （2）求纸扇上贴纸部分的面积． 21. “十一”前夕，某超市销售一款商品，进价每件75元，售价每件140元，每天销售40件，每销售一件需支付给超市管理费5元．从10月1日开始，该超市对这款商品开展为期一个月的“每天降价1元”的促销活动，即从第一天（10月1日）开始每天的售价均比前一天降低1元．通过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与第x天（，且x为整数）之间存在一次函数关系，x，y之间的部分数值对应关系如下表： 第x天 5 10 15 20 日销售量y（件） 50 60 70 80 （1）直接写出y与x的函数关系式 ； （2）设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？ （3）求超市在这一个月中，该商品的日销售利润不低于3072元的共有多少天？ 22. 如图，是的外接圆，点O在边上，的平分线交于点D，连接、，过点D作的平行线与的延长线相交于点P． （1）求和的长； （2）求证：是的切线． 23. 【问题背景】在和中，，，，连接，． 【特例研究】 （1）如图1，当点在上，时，与的数量关系为____； 【拓展探究】 （2）将绕点旋转至图2位置，（1）中结论是否成立？请说明理由； 【迁移应用】 （3）将绕点旋转，当落在上时，如图3，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期阶段性自主评估作业（三） 九年级数学（R） （时间：120分钟 满分：120分） 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；据此即可求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. ⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为(　　) A. 点A在⊙O上 B. 点A在⊙O内 C. 点A在⊙O外 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【详解】解：将点到圆心的距离记为d，圆的半径记为r, ∵d=OA=3, ∴d<r， ∴点A在圆内， 故选：B． 3. 如图，点、、是上的三点，已知，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．根据图形，利用圆周角定理求出所求角度数即可． 【详解】解：与都对，且， ， 故选：C． 4. 如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A. 点A与点是对称点 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键． 【详解】解：A．∵与关于点O成中心对称， 点A与是一组对称点，故A正确，不符合题意； B．∵对应点到对称中心的距离相等， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵与是对应线段， ∴，故C正确，不符合题意； D．与不是对应角， ∴不成立，故D符合题意． 故选：D． 5. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，其中，则的值为（　　） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于”是解题的关键．利用根与系数的关系，可得出，结合，即可求出的值． 【详解】解：是关于x的一元二次方程有两个实数根， ， 又， ． 故选：A． 6. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． 【详解】解：， 抛物线对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴，关于直线对称， ， ∵点、在对称轴右侧， 时，随增大而减小， ， ， ， 故选：D． 7. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 单循环赛的总比赛场数为队数乘以每队比赛场数除以2，等于总安排场数，据此列方程即可． 【详解】解：∵每个队都与其他队比赛一场， ∴每队比赛场数为场，总比赛场数为． 又∵赛程计划安排7天，每天4场比赛， ∴总比赛场数为． ∴满足的关系式为． 故选B． 8. 如图，正六边形F内接于，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，连接，，根据中心角的定义求出，进而求出，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解∶连接，， ∵正六边形F内接于， ∴， ∴， 又， ∴， 故选∶C． 9. 如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，根据中心对称的性质，得出，求出，，，求出，根据勾股定理得出答案即可． 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 10. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则球的半径为（ ） A. 2cm B. 2.5cm C. cm D. cm 【答案】B 【解析】 【分析】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识．取的中点，作于点，取上的球心，连接，设，则，，然后在中利用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：取的中点，作于点，取上的球心，连接， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， 设，则， ，， 在中，， 即：， 解得：， 答：球的半径为2.5cm． 故选：B． 11. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则点一定是抛物线上的一个点．以上结论中，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质．由抛物线开口和抛物线与轴交点，对称轴，判断①，由抛物线的对称性及经过点可判断②，由抛物线对称轴为直线可得，从而判断③，由抛物线的对称性及经过点可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与轴交点在轴上方， ∴， ∴，①正确； ∵抛物线的顶点为， ∴对称轴为直线， ∵抛物线过点， ∴由对称性可得抛物线经过点， ∴，②错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，③错误； ∵此抛物线经过点，且对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， 即点不是抛物线上的一个点，④错误； 故正确的结论有1个． 故选：A． 12. 将半径为的如图折叠，折痕长为，为折叠后的中点，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换，圆的对称性，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆的对称性及折叠前后的对应关系．延长交于点D，交于点E，连接、、、，根据圆心角、弧、弦、的关系由得到，可以判断是的垂直平分线，则，再利用勾股定理求出，所以，然后利用点C和点D关于对称得出，最后计算即可得出答案． 【详解】解：延长交于点D，交于点E，连接、、、，如图， ∵C为折叠后的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 在中，, ∴， ∵沿折叠得到，， ∴点C和点D关于对称， ∴， ∴， 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上．） 13. 如图是一个风车模型示意图，绕中心点O旋转一定角度后可以与自身重合，这个角度最小是________°． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查了旋转对称图形的知识，正确认识旋转对称图形的性质，能够根据图形的特点观察得到一个图形可以看作几个全等的部分． 这个图形平分成4部分，则旋转的角度是或90度的整数倍能够与原来的图形重合． 【详解】解：依题意可得旋转的角度是． 所以这个角度最小是． 故答案为：90． 14. 如图，是的切线，A为切点，的延长线交于点B，连接若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理求出 【详解】解：如图，连接， 是的切线， ， ， ， 由圆周角定理得：， 故答案为： 15. 要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 水管的高度为， 故答案为：． 16. 如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查切线长定理和直角三角形内切圆半径的求法，求解直角三角形内切圆半径是解题的关键． 首先利用切线长定理求出三角形各边的长度，然后验证出三角形为直角三角形，进而根据等面积法计算半径即可． 【详解】解：∵是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴ ∴是直角三角形， 设内切圆的半径为 ∴ 即 解得， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 如图，已知，是的直径，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握等弧所对的圆心角相等是解题关键． 根据对顶角的性质，得，通过等弧所对的圆心角相等，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）如果方程的根的判别式的值为1，求m的值． （2）如果方程有实数根，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式结合题意可得，求解即可； （2）由题意可得，计算即可得解． 【小问1详解】 解：根据题意：，即， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意可得，即， 解得：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为、，． （1）画出绕原点按顺时针方向旋转后得到的； （2）写出点的坐标； （3）求出旋转到点所经过的路线长（结果保留）． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，勾股定理，求弧长． （1）根据旋转方式结合网格的特点找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据（1）所画图形，写出对应点的坐标即可； （3）由题意得，点A旋转到点所经过的路线长即为的长，先利用勾股定理求出，由旋转的性质可得，再利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知，点； 【小问3详解】 解：由题意得，点A旋转到点所经过的路线长即为的长， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴点A旋转到点所经过的路线长． 20. 如图，一扇形纸扇完全打开后，和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为． （1）求弧的长度； （2）求纸扇上贴纸部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，扇形的面积等知识，解题的关键是记住弧长公式，扇形的面积公式，属于中考常考题型． （1）利用弧长公式求解即可， （2）求出两个扇形面积的差即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 贴纸部分的面积． 21. “十一”前夕，某超市销售一款商品，进价每件75元，售价每件140元，每天销售40件，每销售一件需支付给超市管理费5元．从10月1日开始，该超市对这款商品开展为期一个月的“每天降价1元”的促销活动，即从第一天（10月1日）开始每天的售价均比前一天降低1元．通过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与第x天（，且x为整数）之间存在一次函数关系，x，y之间的部分数值对应关系如下表： 第x天 5 10 15 20 日销售量y（件） 50 60 70 80 （1）直接写出y与x的函数关系式 ； （2）设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？ （3）求超市在这一个月中，该商品的日销售利润不低于3072元的共有多少天？ 【答案】（1） （2）第20天利润最大，最大利润为3200元 （3）这一个月中，超市该商品的日销售利润不低于3072元的共有17天 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设，再把，代入计算，即可作答． （2）结合题意，进行列式整理得结合二次函数的图象性质进行分析，得第20天利润最大，最大利润为3200元，即可作答． （3）依题意，得出，故解得或，因为，所以开口图像向下，即时，，所以从第12天开始到第28天日销售利润不低于3072元，即可作答． 【小问1详解】 解：观察表格可知，y是x的一次函数，设， 把，代入， 得， 解得：， ∴y与x的函数关系式， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意可得， ∵， ∴当时，W有最大值为3200元； ∴第20天利润最大，最大利润为3200元； 【小问3详解】 解：由（）得， 令时，， ∴ 解得或， ∵ ∴开口图像向下 ∴时， ∵x为整数， ∴从第12天开始到第28天日销售利润不低于3072元， 则（天） ∴这一个月中，超市该商品的日销售利润不低于3072元的共有17天． 22. 如图，是的外接圆，点O在边上，的平分线交于点D，连接、，过点D作的平行线与的延长线相交于点P． （1）求和的长； （2）求证：是的切线． 【答案】（1）， （2） 证明：如图，连接，         ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线． 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，勾股定理等知识，解题的关键是正确熟练掌握切线的判定方法． （1）先求出，再判断出，利用勾股定理求出； （2）先判断出，进而判断出，得出即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴， 在中，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 23. 【问题背景】在和中，，，，连接，． 【特例研究】 （1）如图1，当点在上，时，与的数量关系为____； 【拓展探究】 （2）将绕点旋转至图2位置，（1）中结论是否成立？请说明理由； 【迁移应用】 （3）将绕点旋转，当落在上时，如图3，若，，求的长． 【答案】（1）； （2）（1）中的结论成立；理由如下： ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据，，得出，即可得出答案； （2）证明，得出即可； （3）过点A作于点H，证明为等腰直角三角形，得出，根据勾股定理得出，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，点D在上， ∴点E在上， ∵，， ∴， 即； （2） 略 （3）过点A作于点H，如图所示： ∵，， ∴， 由（2）知：， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴， ∵在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 根据解析（2）可知：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $