第02讲 平面向量的运算（十大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（寒假预习讲义）-2026年高一数学寒假预科讲义（人教A版）

专题02 平面向量的运算 【人教A版】 模块一 平面向量的线性运算 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量加法的三角形法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量加法的平行四边形法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 2．向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 3．向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是零向量. (2)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作，，则.即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 4．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： ①； ②当λ>0时，的方向与的方向相同；当λ<0时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设为实数，那么①；②；③. 特别地，我们有，. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数，恒有 . 5．向量共线定理 (1)向量共线定理 向量(≠)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如)表示向量,，设(≠)，化成 关于的方程，由于不共线，则解方程组即可. 6．利用共线向量定理解题的策略 (1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线. (3)若与不共线且，则. (4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1. 【题型1 向量的加减运算】 【例1】（24-25高一下·广东·期中）（    ） A．0 B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一下·福建·期末）（    ） A． B．0 C． D． 【变式1.2】（24-25高一下·福建龙岩·期末）下列结果不是零向量的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高一下·北京通州·期中）如图，在平行四边形中，连结，下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 平面向量的混合运算】 【例2】（25-26高二上·广东佛山·月考）（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一下·福建宁德·期中）设向量，，满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二上·海南·开学考试）化简： (1)； (2)； (3) 【变式2.3】（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【题型3 由平面向量的线性运算求参数】 【例3】（24-25高三上·安徽宣城·期末）在所在平面中有一点P满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高一下·甘肃定西·期末）在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 【变式3.2】（2025高三·全国·专题练习）在矩形中，已知，，为的中点，且，则 ． 【变式3.3】（2025高一·全国·专题练习）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则 ． 【题型4 向量共线定理及其应用】 【例4】（24-25高一下·湖南邵阳·期中），，，且A、C、D三点共线，则k=（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4.1】（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【变式4.2】（24-25高一下·重庆·期末）如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，，，，，则一定共线的三点是（   ） A．A，B，D B．A，B，C C．A，C，D D．B，C，D 【题型5 向量线性运算的几何应用】 【例5】（24-25高一下·全国·课后作业）设四边形中，有且，则这个四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 【变式5.1】（25-26高三上·浙江温州·月考）点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（2025高一·全国·专题练习）在五边形中，点分别是的中点，点和分别是和的中点，求证：且． 【变式5.3】（2025高一·全国·专题练习）根据下列各小题的条件，试判断四边形的形状． (1)； (2)； (3)且． 模块二 向量的数量积 1．向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=，其中θ是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量，如图所示，O是平面上的任意一点，作，，则∠AOB= 叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即. (4)向量的投影 如图，设是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 2．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设是非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量，则 ①. ②. ③当与同向时，；当与反向时，. 特别地，或. ④，当且仅当向量共线，即时，等号成立. ⑤. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量和实数，有 ①交换律：； ②数乘结合律：； ③分配律：. 3．向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3)； (4)； (5)，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号 成立. 以上结论可作为公式使用. 4．向量数量积的两大应用 (1)夹角与垂直 根据平面向量数量积的性质：若与为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)向量的模的求解方法： ①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用勾股定理、余弦定理等方法求解. 【题型6 向量数量积的计算】 【例6】（24-25高一下·陕西渭南·期末）设向量，的夹角为，，，则（   ） A． B．1 C． D．2 【变式6.1】（24-25高一下·湖南岳阳·期末）在中，为的中点，则（   ） A． B． C． D．16 【变式6.2】（24-25高一下·河北承德·月考）已知非零向量在向量上的投影向量为，，则（   ） A． B． C． D． 【变式6.3】（24-25高一下·贵州毕节·月考）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形.已知正八边形的边长为为正八边形内的一点（含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型7 求投影向量】 【例7】（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高一下·安徽宣城·期末）已知非零向量，满足，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式7.3】（24-25高一下·福建漳州·期末）在中，，，，是边上的中线，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【题型8 向量夹角（夹角的余弦值）的计算】 【例8】（24-25高一下·贵州·月考）已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D．或 【变式8.1】（24-25高一下·新疆·期末）已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式8.3】（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知两个单位向量满足，则夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【题型9 垂直关系的向量表示】 【例9】（24-25高一下·重庆·期末）已知向量，满足，，，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 【变式9.1】（24-25高一下·河南·期中）在中，角的对边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式9.2】（24-25高一下·江西宜春·期末）已知平面向量，满足：，，． (1)求； (2)当时，求实数k的值． 【变式9.3】（24-25高一下·江苏·月考）如图所示，在边长为2的正方形中，分别是的中点， (1)求证：； (2)求的值. 【题型10 向量的模长问题】 【例10】（24-25高一下·北京延庆·期中）已知，，，则（   ） A．4 B．2 C．12 D．13 【变式10.1】（24-25高一下·四川遂宁·期末），则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【变式10.2】（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知与是非零向量，，且． (1)求与的夹角； (2)求． 【变式10.3】（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 一、单选题 1．（24-25高一下·福建三明·期末）化简等于（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖北孝感·月考）已知非零向量满足，且，则与的夹角为（       ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东佛山·期末）已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 4．（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·吉林松原·期末）已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·全国·课堂例题）在四边形中，，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 7．（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 二、多选题 9．（24-25高一下·江西上饶·月考）下列能化简为的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·四川资阳·期末）若向量，满足，，则（   ） A．与的夹角为 B． C． D．在上的投影向量为 11．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）如图，在中，点是的上一点（不包括端点），过点的直线分别交直线，于不同的两点，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．若是的中点，则 C．若是的中点，则 D．若，则 三、填空题 12．（24-25高一下·浙江宁波·开学考试）化简 . 13．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非零向量、满足，且，则与的夹角为 （用弧度表示）． 14．（24-25高一下·吉林松原·期末）如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是 . 四、解答题 15．（24-25高一下·江苏淮安·月考）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 16．（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）已知. (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值. 17．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知向量，不共线，且，，． (1)若，求的值； (2)若，求证：，，三点共线． 18．（24-25高一下·云南楚雄·月考）已知是非零向量，，且. (1)求. (2)求在方向上的投影向量； (3)求. 19．（24-25高一下·安徽宣城·期末）在直角梯形中，已知，，，，，动点E、F分别在线段和上，和交于点M，且，，. (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面向量的运算 【人教A版】 模块一 平面向量的线性运算 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量加法的三角形法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量加法的平行四边形法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 2．向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 3．向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是零向量. (2)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作，，则.即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 4．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： ①； ②当λ>0时，的方向与的方向相同；当λ<0时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设为实数，那么①；②；③. 特别地，我们有，. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数，恒有 . 5．向量共线定理 (1)向量共线定理 向量(≠)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如)表示向量,，设(≠)，化成 关于的方程，由于不共线，则解方程组即可. 6．利用共线向量定理解题的策略 (1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线. (3)若与不共线且，则. (4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1. 【题型1 向量的加减运算】 【例1】（24-25高一下·广东·期中）（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用向量的加法的三角形法则即可求解. 【解答过程】. 故选：B. 【变式1.1】（24-25高一下·福建·期末）（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【解题思路】利用向量加减法法则求解即得. 【解答过程】. 故选：D. 【变式1.2】（24-25高一下·福建龙岩·期末）下列结果不是零向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用向量的线性运算法则，逐项计算，即可求解. 【解答过程】对于A中，由，所以A不符合题意； 对于B中，由，所以B符合题意； 对于C中，由，所以C不符合题意； 对于D中，由，所以D不符合题意. 故选：B. 【变式1.3】（24-25高一下·北京通州·期中）如图，在平行四边形中，连结，下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用向量加法和减法法则即可. 【解答过程】由向量加法的三角形法则得，，故A错误； 由向量加法的平行四边形法则得，，故B正确； 由向量的减法法则得，，，故CD错误. 故选：B. 【题型2 平面向量的混合运算】 【例2】（25-26高二上·广东佛山·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由向量的线性运算求解即可. 【解答过程】 ． 故选：C． 【变式2.1】（24-25高一下·福建宁德·期中）设向量，，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据平面向量的线性运算化简求解. 【解答过程】因为，所以. 故选：D. 【变式2.2】（24-25高二上·海南·开学考试）化简： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 【变式2.3】（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】根据平面向量的数乘运算及线性运算计算即可. 【解答过程】（1）原式． （2）原式． （3）原式． 【题型3 由平面向量的线性运算求参数】 【例3】（24-25高三上·安徽宣城·期末）在所在平面中有一点P满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】应用向量加减的运算法则得，结合已知即可得答案. 【解答过程】由题设，则， 即，则， 又，所以 . 故选：C. 【变式3.1】（24-25高一下·甘肃定西·期末）在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】由向量的线性运算即可求解. 【解答过程】 因为在中，M为边中点，N为的中点， 所以， 所以. 故选：C. 【变式3.2】（2025高三·全国·专题练习）在矩形中，已知，，为的中点，且，则 ． 【答案】 【解题思路】根据平面向量的线性运算求解即可. 【解答过程】如图，由可得， 则 ， 则，，故． 故答案为：. 【变式3.3】（2025高一·全国·专题练习）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则 ． 【答案】 【解题思路】根据五角星中的长度关系，由平面向量的线性运算即可求解. 【解答过程】由题意：， 则， 因为，同样, 所以， 则． 故答案为：. 【题型4 向量共线定理及其应用】 【例4】（24-25高一下·湖南邵阳·期中），，，且A、C、D三点共线，则k=（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据A、C、D三点共线，由求解. 【解答过程】因为，，， 所以， 又A、C、D三点共线，所以， 则，解得， 故选：B. 【变式4.1】（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】A 【解题思路】利用平面向量共线定理求解. 【解答过程】由题可得，， 对于A，，所以三点共线，故A正确； 对于B，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故B错误； 对于C，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故C错误； 对于D，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故D错误. 故选：A. 【变式4.2】（24-25高一下·重庆·期末）如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由三点共线的向量表示即可求解. 【解答过程】由，结合， 可得：， 即， 因为三点共线， 所以， 解得：， 故选：C. 【变式4.3】（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，，，，，则一定共线的三点是（   ） A．A，B，D B．A，B，C C．A，C，D D．B，C，D 【答案】A 【解题思路】利用向量的共线定理一一判断即可. 【解答过程】因为，故A，B，D三点共线，A对； 因为，，故，不一定共线，B错； 因为，，所以，不一定共线，C错； 因为，，则，不一定共线，D错. 故选：A. 【题型5 向量线性运算的几何应用】 【例5】（24-25高一下·全国·课后作业）设四边形中，有且，则这个四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 【答案】C 【解题思路】由向量相等，确定平行关系及长度关系即可判断； 【解答过程】因为， 所以且， 所以四边形是梯形． 又，所以四边形是等腰梯形． 故选：C. 【变式5.1】（25-26高三上·浙江温州·月考）点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由结合，可得点是线段上靠近点的四等分点，结合图形分析可得答案. 【解答过程】， 因为中点，则， 代入可得，从而三点共线，， 即点是线段上靠近点的四等分点. 则，而，故. 故选：B. 【变式5.2】（2025高一·全国·专题练习）在五边形中，点分别是的中点，点和分别是和的中点，求证：且． 【答案】证明见解析 【解题思路】法一：由向量的加法和数乘运算得到，证明结论； 法二：设为平面上任意一点，由向量的减法和数乘运算得到，证明结论； 法三：连结，取的中点，连结，由向量的加法和数乘运算得到，证明结论. 【解答过程】法一：因为， 所以，即， 所以且． 法二：设为平面上任意一点， ， 所以且． 法三：如图，连结，取的中点，连结． ， 则且． 【变式5.3】（2025高一·全国·专题练习）根据下列各小题的条件，试判断四边形的形状． (1)； (2)； (3)且． 【答案】(1)梯形 (2)平行四边形 (3)四边形是夹角为的菱形 【解题思路】（1）利用向量线性运算的几何意义及梯形的概念求解即可； （2）利用向量线性运算的几何意义及平行四边形的概念求解即可； （3）解法1：根据平行四边形法则得四边形是平行四边形，再根据向量的加法运算得，即可判断四边形是夹角为的菱形； 解法2：根据平行四边形法则得四边形是平行四边形，根据向量的几何意义得是的角平分线且，即可判断． 【解答过程】（1）因为，所以且， 即四边形是梯形． （2）因为，即，所以， 所以四边形是平行四边形． （3）解法1：因为，根据平行四边形法则，四边形首先是平行四边形． 又因为，所以， 即，所以， 即，所以四边形是夹角为的菱形，如图． 解法2：因为，根据平行四边形法则，四边形是平行四边形． ，分别为与和同向的单位向量， 它们的和在的角平分线上． 又因为的几何意义是与同向的单位向量为与和同向的单位向量之和， 所以是的角平分线且，即四边形是夹角为的菱形． 模块二 向量的数量积 1．向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=，其中θ是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量，如图所示，O是平面上的任意一点，作，，则∠AOB= 叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即. (4)向量的投影 如图，设是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 2．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设是非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量，则 ①. ②. ③当与同向时，；当与反向时，. 特别地，或. ④，当且仅当向量共线，即时，等号成立. ⑤. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量和实数，有 ①交换律：； ②数乘结合律：； ③分配律：. 3．向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3)； (4)； (5)，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号 成立. 以上结论可作为公式使用. 4．向量数量积的两大应用 (1)夹角与垂直 根据平面向量数量积的性质：若与为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)向量的模的求解方法： ①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用勾股定理、余弦定理等方法求解. 【题型6 向量数量积的计算】 【例6】（24-25高一下·陕西渭南·期末）设向量，的夹角为，，，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解题思路】根据向量数量积运算律进行计算，求出答案. 【解答过程】. 故选：D. 【变式6.1】（24-25高一下·湖南岳阳·期末）在中，为的中点，则（   ） A． B． C． D．16 【答案】B 【解题思路】根据平面向量的线性运算可得，，再根据数量积的定义及运算律求解即可. 【解答过程】由为的中点，得， 又， 则． 故选：B. 【变式6.2】（24-25高一下·河北承德·月考）已知非零向量在向量上的投影向量为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由投影向量的求法得，再应用向量数量积的运算律求结果. 【解答过程】非零向量在向量上的投影向量为，， 则，所以， 故． 故选：C. 【变式6.3】（24-25高一下·贵州毕节·月考）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形.已知正八边形的边长为为正八边形内的一点（含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用平面向量数量积的几何意义可解问题. 【解答过程】过点、分别作的垂线，垂足分别为点、，如下图所示： 其中，故， 当点在线段上时，取最小值， 此时，， 当点在线段上时，取最大值， 此时， ， 综上所述，. 故选：D. 【题型7 求投影向量】 【例7】（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据投影向量的定义即可求解． 【解答过程】因为且， 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：D． 【变式7.1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用向量数量积的定义求得，再根据投影向量的概念计算即可. 【解答过程】依题意，， 则， 于是，向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 【变式7.2】（24-25高一下·安徽宣城·期末）已知非零向量，满足，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由，两边平方可求得，进而利用投影向量的定义求解即可. 【解答过程】因为，所以，所以， 又，，所以，的以， 所以在上的投影向量为. 故选：C. 【变式7.3】（24-25高一下·福建漳州·期末）在中，，，，是边上的中线，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求出，然后利用投影向量公式求解. 【解答过程】由题意得，， ， 根据投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量是. 故选：C. 【题型8 向量夹角（夹角的余弦值）的计算】 【例8】（24-25高一下·贵州·月考）已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解题思路】根据题意，，进而得到，再求夹角即可． 【解答过程】在上的投影向量的模等于， 又，所以， 因为， 所以或． 故选：D． 【变式8.1】（24-25高一下·新疆·期末）已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据已知及向量数量积的运算律得、、，再应用向量夹角公式求余弦值. 【解答过程】因为，两边平方得， 所以，则， ， 则向量与的夹角的余弦值为. 故选：D. 【变式8.2】（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用向量数量积的定义式和运算律化简已知式，结合向量夹角的范围即可. 【解答过程】已知，，设与的夹角为， 由， 解得，则与的夹角． 故选：C. 【变式8.3】（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知两个单位向量满足，则夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据向量数量积的运算律进行运算. 【解答过程】因为均为单位向量，所以. 由 . 即 . 所以. 故选：A. 【题型9 垂直关系的向量表示】 【例9】（24-25高一下·重庆·期末）已知向量，满足，，，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据平面向量数量积的定义先求出的值，再由得到，将，，代入计算即可求出. 【解答过程】因为，，， 所以. 因为，所以， 所以. 故选：A. 【变式9.1】（24-25高一下·河南·期中）在中，角的对边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【解题思路】利用向量数量积的运算律整理得到，取中点，结合向量的加法，得出，即可判断出是等腰三角形． 【解答过程】由，得， 取中点，因为，则，即， 所以是等膜三角形， 故选：A． 【变式9.2】（24-25高一下·江西宜春·期末）已知平面向量，满足：，，． (1)求； (2)当时，求实数k的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据数量积可得，再根据模长的平方关系结合数量积的运算律求解； （2）根据向量垂直的可得，结合数量积的运算律求解. 【解答过程】（1）因为，，，则， 又因为，所以． （2）因为，则， 可得， 即，解得. 【变式9.3】（24-25高一下·江苏·月考）如图所示，在边长为2的正方形中，分别是的中点， (1)求证：； (2)求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】(1)利用向量的线性运算和数量积运算可判断垂直； (2) 利用向量的线性运算和数量积运算，即可求值. 【解答过程】（1） 由 因为正方形的边长为，所以有： ， 所以，即； （2）由， 因为正方形的边长为，所以有： ， 即. 【题型10 向量的模长问题】 【例10】（24-25高一下·北京延庆·期中）已知，，，则（   ） A．4 B．2 C．12 D．13 【答案】B 【解题思路】对两边平方可得答案. 【解答过程】因为，，， 所以. 故选：B. 【变式10.1】（24-25高一下·四川遂宁·期末），则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，先求，再利用向量的模长公式可得即可求解. 【解答过程】设，则， ， 当时取等，所以的最大值是. 故选：C. 【变式10.2】（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知与是非零向量，，且． (1)求与的夹角； (2)求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用向量垂直得，然后由向量夹角公式计算可得结果； （2）利用数量积的运算律先求，即可得到的值. 【解答过程】（1）因为，所以，即， 又，所以，所以， 又，可得与的夹角为． （2）因为，， 所以， 所以． 【变式10.3】（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题设条件得到，然后利用数量积的定义求夹角； （2）将表示为的函数，然后求该函数的最小值. 【解答过程】（1）由，可得， 又，所以，又，所以； （2）因为， 所以. 所以的最小值为，此时. 一、单选题 1．（24-25高一下·福建三明·期末）化简等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用向量加法直接得到答案. 【解答过程】. 故选：C. 2．（25-26高二上·湖北孝感·月考）已知非零向量满足，且，则与的夹角为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由得到，再由向量夹角公式即可求解. 【解答过程】设与的夹角为， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴，∵， ∴． 故选：D． 3．（24-25高一下·广东佛山·期末）已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】利用平面向量共线定理即可求解. 【解答过程】向量，是两个不共线的向量，， ，存在唯一实数使得，即， ，. 故选：A. 4．（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用投影向量的定义，结合向量的运算求解即可. 【解答过程】由于向量，满足，，， 所以，解得， 则在方向上的投影向量为. 故选：B. 5．（24-25高一下·吉林松原·期末）已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意知，由投影向量公式解得，然后由向量的数量积公式求得结果. 【解答过程】由题意可知，且， ∴， ∴. 故选：D. 6．（24-25高一下·全国·课堂例题）在四边形中，，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【解题思路】利用向量的运算得到，即可得到答案. 【解答过程】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. 故选：A. 7．（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用向量数量积运算，来求和向量的模即可. 【解答过程】因为，，若与的夹角为，所以， 则， 故选：C. 8．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【解题思路】将点共线转化成向量共线，结合条件，利用两向量共线的充要条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，因为，，则， 若，则，又为不共线的非零向量， 则，无解，则不共线，所以三点不共线，故A错误， 对于B，因为，，，则， 所以，则三点共线，故B正确， 对于C，，，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以C错误， 对于D，由选项A知，又，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以D错误， 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高一下·江西上饶·月考）下列能化简为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】根据向量的线性运算依次判断即可. 【解答过程】对于A，，正确； 对于B，，正确； 对于C，，正确； 对于D，，不正确. 故选：ABC. 10．（24-25高一下·四川资阳·期末）若向量，满足，，则（   ） A．与的夹角为 B． C． D．在上的投影向量为 【答案】BD 【解题思路】由已知可得可判断B；利用向量的夹角公式求解可判断A；求得可判断C；利用投影向量的定义求解可判断D. 【解答过程】因为，所以，又， 所以，所以，故B正确； 所以，又，所以，故A错误； ，所以与不垂直，故C错误； 因为， 所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：BD. 11．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）如图，在中，点是的上一点（不包括端点），过点的直线分别交直线，于不同的两点，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．若是的中点，则 C．若是的中点，则 D．若，则 【答案】BCD 【解题思路】根据向量的数乘运算法则和向量的共线定理逐一判断各选项即可. 【解答过程】解：，A错误； 若是的中点，则， 由三点共线可设，则， ∴， ∴，得，B，C正确； 设，则， ∵三点共线，∴，得，D正确； 故选：BCD. 三、填空题 12．（24-25高一下·浙江宁波·开学考试）化简 . 【答案】 【解题思路】根据向量的加法、减法运算可得答案. 【解答过程】 . 故答案为：. 13．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非零向量、满足，且，则与的夹角为 （用弧度表示）． 【答案】 【解题思路】由题意得，，然后再结合夹角公式即可求解. 【解答过程】因为，且， 所以，所以， 因为，所以. 故答案为：. 14．（24-25高一下·吉林松原·期末）如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是 . 【答案】 【解题思路】用表示出，然后根据向量数量积的运算性质求解可得. 【解答过程】因为为上靠近于C的三等分点，所以， 所以， 又，所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·江苏淮安·月考）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据向量的线性运算化简即可； （2）根据向量的线性运算化简即可； （3）根据向量的加法法则化简即可. 【解答过程】（1）. （2）. （3） . 16．（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）已知. (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）首先求出，然后再根据模长公式即可求解； （2）根据夹角公式即可求解. 【解答过程】（1）， 所以. （2）. 17．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知向量，不共线，且，，． (1)若，求的值； (2)若，求证：，，三点共线． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）根据向量的共线定理即可求解； （2）由向量的线性运算，可求出、，再根据向量的共线定理，即可证明. 【解答过程】（1）若，则，即， 可得，解得，， 所以. （2）若，则， 所以，， 所以，则，，三点共线． 18．（24-25高一下·云南楚雄·月考）已知是非零向量，，且. (1)求. (2)求在方向上的投影向量； (3)求. 【答案】(1)18 (2) (3) 【解题思路】（1）利用可得，展开进行计算即可； （2）利用投影向量的计算公式计算即可； （3）利用即可得解. 【解答过程】（1），，即， ，，； （2）在方向上的投影向量为； （3）， . 19．（24-25高一下·安徽宣城·期末）在直角梯形中，已知，，，，，动点E、F分别在线段和上，和交于点M，且，，. (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)的取值范围是 【解题思路】（1）利用向量的线性运算可得，，结合数量积的定义运算求解即可； （2）根据题意整理可得，，利用三点共线求得，可求； （3）整理可得，两边平方，结合数量积运算律运算求解即可. 【解答过程】（1）当时，，所以， 所以， ， 又， 所以 ； （2）当时，，所以， 所以， ， 因为三点共线，所以存在，使， 又因为三点共线，所以，解得， 所以，所以； （3）因为， ， 所以， ， 所以， ， ， 由题意知， 所以当时，取到最小值， 当时，取到最大值， 所以的取值范围是. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $