精品解析：北京市丰台区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

九年级数学样题 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 中国经典纹样，千古流传，深受人们喜爱．下列纹样示意图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 如意纹 B. 风车纹 C. 冰裂纹 D. 柿蒂纹 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据顶点式的顶点坐标为：，判断即可. 【详解】抛物线中， ∴抛物线的顶点坐标是 故选B. 【点睛】此题考查的是顶点式的顶点坐标，掌握顶点式的顶点坐标为：是解决此题的关键. 3. 不透明袋子中仅有1个红球、2个黄球和3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率公式，根据概率公式，白球数量除以总球数即可得出概率． 【详解】解：∵袋子中仅有1个红球、2个黄球和3个白球，从袋子中随机摸出一个球， ∴摸出的球是白球的概率是． 故选：C． 4. 如图，点A，B，C，D在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接四边形，利用圆的内接四边形对角相加等于直接解题即可． 【详解】解：∵点A，B，C，D在上， ∴四边形是的内接四边形， ∴， ∵ ∴， 故选：C． 5. 下列事件：①掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上；②足球队员在射门时，球射入球门内；③将抛物线沿x轴翻折得到的抛物线经过原点，其中是随机事件的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查判断随机事件，随机事件是指可能发生也可能不发生的事件. 事件①和②结果不确定，是随机事件；事件③翻折后抛物线必过原点，是必然事件． 【详解】解：∵ 事件①：掷硬币正面朝上，结果不确定，是随机事件； ∵ 事件②：足球射门进球，结果不确定，是随机事件； ∵ 事件③：翻折后抛物线为 ，代入 恒成立，是必然事件； ∴ 随机事件的是①②， 故选：A． 6. 如图，在正方形网格中，一个飞机图案绕某点旋转一定角度后能与另一个飞机图案重合，则旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，旋转中心的确定． 根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图，连接两个飞机图形的飞机头，连接两个飞机图形的两个左翼， 利用格点性质以及勾股定理可求出两个飞机头的点到的距离都为， ∴点在两个飞机头的连线的垂直平分线上， 两个左翼到点的距离都为， ∴点在两个左翼的连线的垂直平分线上， ∴旋转中心为点， 故选：D． 7. 二次函数中的x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 4 y 2 7 若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则的值所在的范围是（ ） A. 到之间 B. 到0之间 C. 1到2之间 D. 2到3之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，结合当时，，得到当时，，再进一步作答即可． 【详解】解：∵当时，y的值都为， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵时，， ∴当时，， 又∵时，， ∴的一个较小的实数根， 故选：B． 8. 如图1，点A，B是上的两个定点，动点P从点A出发，在上按逆时针方向匀速运动到点B停止．设点P的运动时间为x（单位：s），线段的长为y（单位：），表示y与x的函数关系的图象如图2所示，点M是图象的最高点．给出下面四个结论： ①的半径为； ②点P的运动速度为； ③当点P不与点A，B重合时，连接，则的度数为或； ④以点A，B，P为顶点的三角形的面积的最大值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是动点图象问题，圆周角定理等知识点，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系． 由题图②得，抛物线顶点坐标，即时，最长，即此时是直径，据此可判定①，然后通过弧长公式即可判断②；根据可知点运动到点时，为等边三角形，进而可对③进行判断，先判断出三点在一条直线上时，最大此时的面积最大，再根据面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题图②得，当时，达到最大值，此时，即此时A、O、P三点共线，则的半径，故①正确； 点P从点A运动到A、O、P三点共线的位置时，走过的角度为，则走过的弧长为，运动时间为， ∴点P的运动速度是，故②错误； 当点运动到点时，，即，如图： 是等边三角形， ， ∴，故③错误； 过点作，垂足为， ∵可以看成为底为高三角形， ∴的面积最大时要求长度最长， ∵， ∴三点在一条直线上时，最大，如下图： ∵为等边三角形，，， ∴， ∴， ∴， ∴此时， 故④正确； 故正确的有：①④； 故选：B． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 方程的解为______． 【答案】 或 【解析】 【分析】本题考查利用直接开方法求解方程，利用直接开平方法求解方程即可． 【详解】解： ， 两边同时开平方，得 ，即 ． 故答案为：或． 10. 如图，内接正五边形的半径为5，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形与圆、弧长公式等知识，得出圆心角度数是解题关键． 利用正五边形的性质得出中心角度数，进而利用弧长公式求出即可． 【详解】解：如图所示：连接、． ∵内接正五边形的半径为5， ∴，， ∴的长为． 故答案为：． 11. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是__________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，即， 解得：， ∴的取值可以是． 故答案为：0（答案不唯一） 12. 已知，则代数式的值为______． 【答案】 9 【解析】 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，掌握整体代入法是解题的关键．将代数式整理得 ，然后利用已知条件得到 ，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 13. 已知二次函数的图象经过原点，且当时，y随x的增大而减小，写出一个符合题意的二次函数的解析式______． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，由图象经过原点可得；由当时，y随x的增大而减小，可知抛物线开口向下且对称轴不在y轴右侧，进而可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过原点， ∴可设二次函数解析式为：， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向下，且对称轴不在y轴右侧， ∴可令，对称轴为轴， 此时二次函数解析式为， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，在中，，，，则的内切圆半径______． 【答案】1 【解析】 【分析】设的内切圆与各边相切于D，E，F，连接，求出的长，利用切线长定理用半径表示和，而它们的和等于，得到关于r的方程，即可求解． 此题主要考查了勾股定理以及直角三角形内切圆半径求法等知识，熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，设的内切圆与各边相切于D，E，F，连接， 则，，， ∵， ∴四边形是正方形， 设半径为r，， ，，， ， ，， ， ， 的内切圆的半径为1； 故答案为：1． 15. 投壶是中国古代一种宴饮游戏和礼仪活动．某小组统计了小新在同一条件下投壶投中的次数，绘制了如图所示的折线统计图： 据此估计小新投壶一次投中的概率为______（结果保留小数点后一位）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了模拟试验、由频率估计概率、近似数等知识点，掌握用频率估计概率是解题的关键． 根据图中的数据即可解答． 【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，投中的频率逐渐稳定在附近， ∴投中的概率约为，结果保留到小数点后1位为． 故答案为：． 16. 某工厂安排70名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件．在该时段内，每名工人只能加工A零件2件，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少10件．若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利24元；加工B零件总数为10件时，每件获利100元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少2元；加工C零件每件获利48元． （1）当安排37名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为______； （2）合理安排工人分工可使工厂在规定时段内获利最大，最大利润为______元． 【答案】 ①. 11 ②. 4006 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，理解题意找到等量关系列出方程和函数表达式是解题的关键． （1）设加工A零件的工人数为x，加工C零件的工人数为z，根据总工人数70和A、C零件总数相等，列出方程组解答即可； （2）设加工A零件的工人数为x，加工B零件的工人数为y，加工C零件的工人数为z，总利润为W，根据题意得到，，分别表示出A、B、C零件的利润表达式，进而将W表示为x的函数，利用二次函数性质求最大值即可解答． 【详解】解：（1）设加工A零件的工人数为x，加工C零件的工人数为z， 依题意得 解得； （2）设加工A零件的工人数为x，加工B零件的工人数为y，加工C零件的工人数为z，总利润为W， 则， ∴ ∴， ∵B零件总数至少10件， ∴， ∴ ∵A零件每件获利24元，利润为； C零件每件获利48元，利润为； B零件总数为y，每件获利为，利润为； ∴总利润， ∵，x为整数，且，， ∴当时，， 时，， ∵， ∴当加工A零件的工人数为17人时，可获得最大利润，最大利润为4006元． 故答案为：11；4006． 三、解答题（共68分，第17-21题每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题每题6分，第27-28题每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的配方法是解题关键． 通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，再开平方求解得出方程的两个根． 【详解】解：， 配方得，即， 开方得， 解得，． 18. 已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）当0≤x≤3时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1）详见解析；（2）≤≤0 【解析】 【分析】（1）按照列表，取点，连线的步骤画图即可； （2）根据图象即可得出答案. 【详解】解：（1）列表如下： -2 -1 0 1 2 3 5 0 -3 -4 -3 0 函数图象如下图所示： （2）由图象可知，当0≤x≤3时，≤≤0． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键. 19. 已知：如图，及外一点． 求作：过点的的一条切线． 作法：①作射线，交于点，； ②以点为圆心，的长为半径作弧，再以点为圆心，的长为半径作弧，两弧在上方交于点； ③连接交于点； ④作直线． 直线就是所求作的的一条切线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． 由作图可知，，∴为等腰三角形． ∵，， ∴，即点为的中点． ∴（______）（填推理的依据）． ∵为的半径， ∴直线是的切线（______）（填推理的依据）． 【答案】（1）见解析 （2）三线合一，经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，等腰三角形三线合一，关键是通过作图构造等腰三角形和三线合一． （1）根据要求画出图形即可； （2）根据等腰三角形三线合一即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 证明：连接． 由作图可知，， ∴等腰三角形． ∵，， ∴，即点为的中点． ∴（三线合一）． ∵为的半径， ∴直线是的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线）． 故答案为：三线合一，经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程及根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． （1）根据根的判别式即可求出答案． （2）根据因式分解法求出两根，然后列出不等式即可求出答案． 【小问1详解】 解：由题意可知：， ∵， ∴方程总有两个实数根． 【小问2详解】 解： ， 解得：或 ∵方程有一个根为负数， ∴． ∴． 21. 近年来，人工智能技术飞速发展，作为其硬件核心的芯片的算力（通常以为单位衡量）也在持续提升．某科技公司在2023年底发布了一款新型训练芯片“玄光Ⅰ代”，其单芯片峰值算力为（）．在2025年底，其新一代芯片“玄光Ⅲ代”的单芯片峰值算力达到．求该公司这款芯片的单芯片峰值算力的年平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设年平均增长率为x，根据题意列出方程，然后求解方程得到x的值即可． 【详解】解：设年平均增长率为x，由题意得：， 解得：（舍），， ∴年平均增长率为． 22. 《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系，第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表述为：“如图，是的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长，”请你解答这个问题． 【答案】直径的长为寸 【解析】 【分析】连接，设的半径为r，利用垂径定理得到寸，再利用勾股定理求解即可． 【详解】接：连接，设的半径为r， ∵是的直径，， ∴，， 在中，根据勾股定理得， ∴，解得， ∴，即直径长为寸． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键． 23. 某校在读书节期间对做《西游记》手抄报获奖同学进行表彰，奖品采用分组抽盲盒的方式颁发．每组均有四个外观完全相同的盲盒，每个盒里装有一个西游记人物小摆件，分别是唐僧、孙悟空、猪八戒、沙和尚，每名同学只能抽取一个盲盒．若某一组中只有小文和小利两位同学依次抽盲盒，请用列表或画树状图的方法，求唐僧和孙悟空小摆件被两人抽中的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用列表或画树状图的方法求概率，根据题意正确画出树状图是解题的关键；画树状图列出所有等可能的结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙和尚分别记作， ∴画树状图如下： 共有12种等可能的结果数，其中他们恰好抽到“A唐僧”和“B孙悟空”盲盒的结果数为2． ∴唐僧和孙悟空小摆件被两人抽中的概率为． 24. 如图，中，，点O在上，以点O为圆心，为半径的圆与相切于点D，交于点E，连接． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由是的切线，可得，证得，进而可得，根据平行线的判定定理可得； （2）连接CE，由，，，可得是等边三角形，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得，再由特殊角的三角函数和勾股定理即可解答． 【小问1详解】 证明：连接， 是的切线， ，即， 在和中， ， ， ， ， 又， ， ； 【小问2详解】 解：如图， ，， ， ， 是等边三角形， ， 由（1）知， ， 在中，， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定以及直角三角形的性质，掌握圆的切线性质是解题的关键． 25. 某科研团队模仿自然界生物的跳跃机制研发了仿生跳跃机器人，将其用于灾害救援、地形勘察等场景．将机器人看作一点，其起跳后的运动路线可看作抛物线的一部分，且每次运动路线的形状保持不变．在模拟实验中，如图，机器人从水平地面上点O起跳，落在水平地面上的点M，以点O为原点，所在直线为x轴，过点O且与水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．在机器人跳跃正前方的水平地面上有一个长方体障碍物，其与机器人的运动路线在同一平面内的截面是矩形．机器人从障碍物上方越过，且与障碍物无接触，则视为顺利越过障碍物．实验测得，运动路线最高点距水平地面，，，． 若机器人从点处起跳，其他所有条件均不变． （1）当时，判断它能否跳跃一次顺利越过障碍物，并说明理由； （2）当它跳跃一次顺利越过障碍物，且落在水平地面上的区域内（不含点E，点F）时，，，直接写出p的取值范围． 【答案】（1）不能，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据起跳点与落地点的距离为，运动路线最高点距水平地面，列出顶点式，把代入，求出函数解析式，然后利用从点处起跳，求出新的抛物线解析式，进而代入，判断此时的值是否大于1即可； （2）机器人从点处起跳，此时机器人运动轨迹的新抛物线解析式为：，然后将三点的坐标分别代入，分别求出，进而可知的取值范围． 【小问1详解】 解：不能，理由如下： ∵机器人运动路线最高点距水平地面，且， ∴机器人运动路线的最高点为， ∴可设二次函数的解析式为：， 又∵函数过原点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 若机器人从起跳，相当于抛物线上移2个单位，此时机器人运动轨迹的新抛物线解析式为：， 当时，此时， ∴当时，它跳跃一次不能越过障碍物； 【小问2详解】 解：机器人从点处起跳，此时机器人运动轨迹的新抛物线解析式为：， 当跳跃一次顺利越过障碍物时，此时代入解析式得到，解得， ∵要求当它跳跃一次顺利越过障碍物， ∴； ∵机器人要落在水平地面上的区域内（不含点E，点F），，， ∴， 当机器人落在点时，代入解析式得到，解得； 当机器人落在点时，代入解析式得到，解得； ∴综上，当机器人跳跃一次顺利越过障碍物，且落在水平地面上的区域EF内（不含点E，点F）时，的取值范围为． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴是． （1）用含t的式子分别表示b和c； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，且点M与点N不重合． ①若，直接写出的长； ②点P在x轴上运动的过程中，的长随t的增大而增大，求t的取值范围． 【答案】（1）； （2）①2；②或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用数形结合的思想方法是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴是，抛物线经过点，即可解答； （2）①由（1）可知，抛物线为，则当时，，然后分别求得当时，抛物线和直线对应的y的值，从而得到点M、N的坐标，即可解答；②分别求得当时，抛物线和直线的对应的y的值，从而得到点M、N的坐标，进而求得，然后求得该函数的对称轴、与x轴的交点，画出图象，利用数形结合的方法，即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴是， ∴， ∴； ∵抛物线经过点， ∴； 【小问2详解】 解：①由（1）可知，抛物线为， 当时，，且， ∵过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N， ∴对于，令，则；对于，令，则， ∴，， ∴； ②∵过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N， ∴对于，令，则； 对于，令，则， ∴，， ∴， 令，其对称轴为， 当时，即， 解得，， ∵， ∴的图象如图所示， 又∵M与点N不重合， ∴的长随t的增大而增大时，t的取值范围为或， 27. 如图，中，，将绕点C顺时针旋转一个角度，使点B的对应点D在的内部，得到，延长交于点F． （1）求证：； （2）连接，，延长交于点G． ①补全图形； ②用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析 （2）①图见解析；②，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的证明性质，以及旋转的基本性质，能够正确作出辅助线是解题关键； （1）连接，通过旋转性质得到，，进而得到，从而可得证； （2）①按题意补全图形即可； ②在上截取，先利用证得，得到，再利用角度之间的关系得到，进而得到，再通过等量代换即可得到． 【小问1详解】 证明：连接， ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①补全图形如下： ②，理由如下： 如图，在上截取， ∵旋转， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和图形，给出如下定义：若图形上存在点，使得，且点绕点逆时针旋转得到的对应点在图形上，则称点是图形的关联点． （1）已知点，． ①点，，中是线段的关联点的是______； ②若直线上存在线段的关联点，直接写出的取值范围； （2）已知点，点是直线上的动点，是以点为圆心，为半径的圆．若线段上存在的关联点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1）①，；② （2）或或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，一次函数的平移，圆与直线的位置关系，勾股定理； （1）①分析新定义可得图形上存在线段，将点绕点顺时针旋转得到点，根据题意画出图形，根据旋转的性质，即可求解； ②根据①的结论，画出图形，即可求解， （2）根据新定义可得点的轨迹为以为圆心，为半径的圆或点，即的关联点为以为圆心，为半径的圆，或点，进而根据点或半径为的与线段的位置关系分析，即可求解． 【小问1详解】 解：图形上存在点，使得，且点绕点逆时针旋转得到的对应点在图形上，则称点是图形的关联点 即图形上存在线段，将点绕点顺时针旋转得到点， 如图， ∵点，． ∴ 取点，则 以为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到点，以为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到点， 取点，将绕顺时针旋转得到点 以为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到点，以为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到点， ∴线段的关联点是， 故答案为：，． ②如图， ∵直线上存在线段的关联点， 当过点时，，解得 当过点时，，解得 结合函数图象可得 【小问2详解】 解：如图，的半径为 ∵点是的关联点， ∴是边长为等边三角形， ∴点与重合或在的外侧, ∵是等边三角形， 如图，连接交于点， ∴，则 ∴点的轨迹为以为圆心，为半径的圆或点，即的关联点为以为圆心，为半径的圆，或点 如图，点是直线上的动点，过点作轴于点，取的中点， 设，则 ∴， ∴，， ∵是的中点，则 ∴ ∴是等边三角形， ∴，即与轴的较小夹角为, 设的横坐标为 ①如图，当，经过点时，过点作轴的垂线，垂足为， ∴， ∵，则， ∴，即， ②当经过点时，连接，过点作轴于点， ∴， ∵点，则， ∴，， ∴， 在中，， 即， 解得：或（舍去） 由①②可得：线段上存在的关联点时，， ③当，重合时，，即， ④当经过点时，同①可得， ⑤当与相切时，过点作轴于点， ∵， ∴， 由④⑤可得：线段上存在的关联点时，， 综上所述，线段上存在的关联点时，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学样题 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 中国经典纹样，千古流传，深受人们喜爱．下列纹样示意图中既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ） A. 如意纹 B. 风车纹 C. 冰裂纹 D. 柿蒂纹 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 不透明的袋子中仅有1个红球、2个黄球和3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A，B，C，D在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件：①掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上；②足球队员在射门时，球射入球门内；③将抛物线沿x轴翻折得到的抛物线经过原点，其中是随机事件的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 6. 如图，在正方形网格中，一个飞机图案绕某点旋转一定角度后能与另一个飞机图案重合，则旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 7. 二次函数中的x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 4 y 2 7 若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则的值所在的范围是（ ） A. 到之间 B. 到0之间 C 1到2之间 D. 2到3之间 8. 如图1，点A，B是上的两个定点，动点P从点A出发，在上按逆时针方向匀速运动到点B停止．设点P的运动时间为x（单位：s），线段的长为y（单位：），表示y与x的函数关系的图象如图2所示，点M是图象的最高点．给出下面四个结论： ①的半径为； ②点P运动速度为； ③当点P不与点A，B重合时，连接，则的度数为或； ④以点A，B，P为顶点的三角形的面积的最大值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 方程的解为______． 10. 如图，内接正五边形的半径为5，则的长为______． 11. 若关于一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是__________．（写出一个即可） 12. 已知，则代数式的值为______． 13. 已知二次函数的图象经过原点，且当时，y随x的增大而减小，写出一个符合题意的二次函数的解析式______． 14. 如图，在中，，，，则的内切圆半径______． 15. 投壶是中国古代一种宴饮游戏和礼仪活动．某小组统计了小新在同一条件下投壶投中的次数，绘制了如图所示的折线统计图： 据此估计小新投壶一次投中的概率为______（结果保留小数点后一位）． 16. 某工厂安排70名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件．在该时段内，每名工人只能加工A零件2件，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少10件．若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利24元；加工B零件总数为10件时，每件获利100元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少2元；加工C零件每件获利48元． （1）当安排37名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为______； （2）合理安排工人分工可使工厂在规定时段内获利最大，最大利润为______元． 三、解答题（共68分，第17-21题每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题每题6分，第27-28题每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程：． 18. 已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）当0≤x≤3时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 19. 已知：如图，及外一点． 求作：过点的的一条切线． 作法：①作射线，交于点，； ②以点为圆心，的长为半径作弧，再以点为圆心，的长为半径作弧，两弧在上方交于点； ③连接交于点； ④作直线． 直线就是所求作的的一条切线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． 由作图可知，，∴为等腰三角形． ∵，， ∴，即点为的中点． ∴（______）（填推理的依据）． ∵为的半径， ∴直线是的切线（______）（填推理的依据）． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围． 21. 近年来，人工智能技术飞速发展，作为其硬件核心的芯片的算力（通常以为单位衡量）也在持续提升．某科技公司在2023年底发布了一款新型训练芯片“玄光Ⅰ代”，其单芯片峰值算力为（）．在2025年底，其新一代芯片“玄光Ⅲ代”的单芯片峰值算力达到．求该公司这款芯片的单芯片峰值算力的年平均增长率． 22. 《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系，第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表述为：“如图，是的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长，”请你解答这个问题． 23. 某校在读书节期间对做《西游记》手抄报获奖同学进行表彰，奖品采用分组抽盲盒的方式颁发．每组均有四个外观完全相同的盲盒，每个盒里装有一个西游记人物小摆件，分别是唐僧、孙悟空、猪八戒、沙和尚，每名同学只能抽取一个盲盒．若某一组中只有小文和小利两位同学依次抽盲盒，请用列表或画树状图的方法，求唐僧和孙悟空小摆件被两人抽中的概率． 24. 如图，中，，点O在上，以点O为圆心，为半径的圆与相切于点D，交于点E，连接． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 25. 某科研团队模仿自然界生物的跳跃机制研发了仿生跳跃机器人，将其用于灾害救援、地形勘察等场景．将机器人看作一点，其起跳后的运动路线可看作抛物线的一部分，且每次运动路线的形状保持不变．在模拟实验中，如图，机器人从水平地面上点O起跳，落在水平地面上的点M，以点O为原点，所在直线为x轴，过点O且与水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．在机器人跳跃正前方的水平地面上有一个长方体障碍物，其与机器人的运动路线在同一平面内的截面是矩形．机器人从障碍物上方越过，且与障碍物无接触，则视为顺利越过障碍物．实验测得，运动路线最高点距水平地面，，，． 若机器人从点处起跳，其他所有条件均不变． （1）当时，判断它能否跳跃一次顺利越过障碍物，并说明理由； （2）当它跳跃一次顺利越过障碍物，且落在水平地面上的区域内（不含点E，点F）时，，，直接写出p的取值范围． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴是． （1）用含t的式子分别表示b和c； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，且点M与点N不重合． ①若，直接写出的长； ②点P在x轴上运动的过程中，的长随t的增大而增大，求t的取值范围． 27. 如图，中，，将绕点C顺时针旋转一个角度，使点B的对应点D在的内部，得到，延长交于点F． （1）求证：； （2）连接，，延长交于点G． ①补全图形； ②用等式表示与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和图形，给出如下定义：若图形上存在点，使得，且点绕点逆时针旋转得到对应点在图形上，则称点是图形的关联点． （1）已知点，． ①点，，中是线段的关联点的是______； ②若直线上存在线段的关联点，直接写出的取值范围； （2）已知点，点是直线上的动点，是以点为圆心，为半径的圆．若线段上存在的关联点，直接写出点的横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $