江苏省南京市第十三中学2025-2026学年高一上学期数学周测7

2025级高一第一学期数学周测7（20250112） 班级________姓名________学号________ 考试时间：100分钟 满分：120分 命题人：瞿兵 做题人：胡志强 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．已知P(1，3)为角α终边上一点，则＝ A． －7 B． －1 C． 1 D． 3 2．已知集合M＝{a|∈N*，且a∈Z}，则M等于 A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，6} D．{－1，2，3，4} 3．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(x＋)(a＞0且a≠1)的图象可能是 A． B． C． D． 4．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝0，则不等式xf(x－1)＞0的解集为 A．(－∞，0)∪(3，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，3) C．(－2，0)∪(0，2) D．(－3，0)∪(0，3) 5．如图，一个半径为4 m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2 m．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位:m)(在水面下则d为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位:s)之间的关系可以表示为 A．d＝4sin(t－)＋2 B．d＝4sin(t＋)＋2 C．d＝4sin(t－)＋2 D．d＝4sin(t＋)＋2 6．围棋是一种古老的智力游戏，相传是中国“五帝”之一的尧帝发明的，至今已有4000多年的历史．围棋最早被称为“弈”或“棋”．后来，人们根据下棋时黑白双方总是互相攻击，互相包围的特点，称“下棋”是“围棋”．这样，“围棋”作为一个专门名词就固定下来．南北朝时候，棋盘定型为现在的19道棋盘(即棋盘上有纵横各19条线段将棋盘分成361个交叉点)．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是(参考数据:lg3≈0.48) A． 1093 B． 1073 C． 1053 D． 1033 7．函数f(x)＝ln(x2－2ax－3a)在区间(－∞，－1]内为减函数，则实数a的取值范围为 A． [－1，0) B． [－1，1] C． [－1，1) D． [－1，＋∞) 8．已知函数f(x)＝sin(2x＋)，x∈(0，)．若方程f(x)＝的两个解为x1，x2，则sin(x1＋x2)＝ A． － B． C． D． － 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分． 9．已知x＞0，y＞0且3x＋2y＝10，则下列结论正确的是 A．xy的最大值为 B．＋的最大值为2 C．＋的最小值为 D．x2＋y2的最大值为 10．设函数f(x)＝sin(4x＋)的图象为曲线E，则下列结论中正确的是 A．点(－，0)是曲线E的一个对称中心 B．为了得到曲线E的图像，只需将函数y＝sin4x的图像向左平移个单位 C．若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝0，则|x1－x2|的最小值为 D 函数f(x)＝sin(4x＋)在区间[－，－]上单调递减 11．已知函数f(x)＝，若f(x)＝a有三个不等实根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则 A． f(x)的单调递增区间为(－∞，0]∪[1，＋∞) B． a的取值范围是(0，2) C． x1x2x3的取值范围是(－2，0] D． 函数g(x)＝f(f(x))有4个零点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12．()＋log27＝                ． 13．已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω＞0)在[0，]上单调递增，则ω的取值范围为                ． 14．已知f(x)＝，g(x)＝ax＋1，若任给x1∈[2，4]，存在x2∈[－2，1]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数a的取值范围                ．（用区间表示） 四、解答题：本大题共4小题，共47分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分10分） 已知. （1）若角的终边过点，始边为非负半轴，求； （2）若，分别求和的值. 16．（本题满分11分） 已知函数的部分图象如下图所示. （1）求函数的解析式，并写出函数的单调递增区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数的图象关于直线对称，求函数在区间上的值域． 17．（本题满分11分） 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得在区间上的取值范围是？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 18．（本题满分15分） 设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，且，则称为“自关联函数”，请根据上述定义回答下列问题： （1）判断函数和是否为“自关联函数”； （2）若为上的“自关联函数”，当时，，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出的所有值，若不存在，请说明理由； （3）若为上的“自关联函数”，其函数值恒大于0，且在上是减函数．设，且，解不等式． 2025级高一第一学期数学周测7 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一第一学期数学周测7（20250112） 班级________姓名________学号________ 考试时间：100分钟 满分：120分 命题人：瞿兵 做题人：胡志强 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．已知P(1，3)为角α终边上一点，则＝ A． －7 B． －1 C． 1 D． 3 【答案】C  【解析】P(1，3) 为角 α 终边上一点，故 tanα＝3 ，故 ＝＝＝1 ．故选:C． 2．已知集合M＝{a|∈N*，且a∈Z}，则M等于 A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，6} D．{－1，2，3，4} 【答案】D  【解析】因为集合M＝{a|∈N*，且a∈Z}，所以5－a可能为1，2，3，6，对应a的值为4，3，2，－1，所以M＝{4，3，2，－1}．故选：D． 3．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(x＋)(a＞0且a≠1)的图象可能是 A． B． C． D． 【答案】D  【解析】由函数y＝，y＝loga(x＋)，当a＞1时，可得y＝是递减函数，图象恒过(0，1)点， 函数y＝loga(x＋)，是递增函数，图象恒过(，0)；当0＜a＜1时，可得y＝是递增函数，图象恒过(0，1)点，函数y＝loga(x＋)，是递减函数，图象恒过(，0)；∴满足要求的图象为:D．故选：D． 4．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝0，则不等式xf(x－1)＞0的解集为 A．(－∞，0)∪(3，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，3) C．(－2，0)∪(0，2) D．(－3，0)∪(0，3) 【答案】B  【解析】∵f(x)是定义在R上的偶函数，在 [0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝0， ∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(－2)＝0， ∵xf(x－1)＞0，所以分两种情况讨论． ∴ ，∴ ，解得0＜x＜3，  ，∴ ，解得x＜－1， ∴不等式xf(x－1)＞0的解集为(－∞，－1)∪(0，3)．故选：B． 5．如图，一个半径为4 m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2 m．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位:m)(在水面下则d为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位:s)之间的关系可以表示为 A．d＝4sin(t－)＋2 B．d＝4sin(t＋)＋2 C．d＝4sin(t－)＋2 D．d＝4sin(t＋)＋2 【答案】A  【解析】设d＝Asin(ωt＋φ)＋b，其中A＞0，ω＞0，－＜φ＜，由题意可知，dmax＝A＋b＝6， dmin＝A－b＝－2，解得A＝4，b＝2， 函数d＝4sin(ωt＋φ)＋2(A＞0，ω＞0，－＜φ＜)的最小正周期为T＝＝40， 则ω＝＝＝，当t＝0时，d＝4sinφ＋2＝0，可得sinφ＝－，又因为－＜φ＜，则φ＝－， 故d＝4sin(－)＋2．故选:A． 6．围棋是一种古老的智力游戏，相传是中国“五帝”之一的尧帝发明的，至今已有4000多年的历史．围棋最早被称为“弈”或“棋”．后来，人们根据下棋时黑白双方总是互相攻击，互相包围的特点，称“下棋”是“围棋”．这样，“围棋”作为一个专门名词就固定下来．南北朝时候，棋盘定型为现在的19道棋盘(即棋盘上有纵横各19条线段将棋盘分成361个交叉点)．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是(参考数据:lg3≈0.48) A． 1093 B． 1073 C． 1053 D． 1033 【答案】A  【解析】令＝＝t，则lgt＝lg＝361lg3－80≈361×0.48－80≈93．故＝t≈1093．故选A． 7．函数f(x)＝ln(x2－2ax－3a)在区间(－∞，－1]内为减函数，则实数a的取值范围为 A． [－1，0) B． [－1，1] C． [－1，1) D． [－1，＋∞) 【答案】C  【解析】设t＝x2－2ax－3a，函数g(t)＝lnt，函数f(x)＝ln(x2－2ax－3a)在区间(－∞，－1]内为减函数， 得函数t＝x2－2ax－3a在区间(－∞，－1]上是递减函数，且t＞0在(－∞，－1]上恒成立， ∴，解得:－1≤a＜1，则实数a的取值范围为[－1，1)．故选:C． 8．已知函数f(x)＝sin(2x＋)，x∈(0，)．若方程f(x)＝的两个解为x1，x2，则sin(x1＋x2)＝ A． － B． C． D． － 【答案】B  【解析】函数f(x)＝sin(2x＋)，x∈(0，)，2x＋∈(，)．易知函数f(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减，所以x1＋x2＝2×＝．故sin(x1＋x2)＝sin＝．故选：B． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分． 9．已知x＞0，y＞0且3x＋2y＝10，则下列结论正确的是 A．xy的最大值为 B．＋的最大值为2 C．＋的最小值为 D．x2＋y2的最大值为 【答案】BC  【解析】x＞0，y＞0且3x＋2y＝10， 对于A，利用基本不等式得10＝3x＋2y≥2，化简得xy≤， 当且仅当3x＝2y，即x＝，y＝时，等号成立， 所以xy的最大值为，故A错误； 对于B，(＋)2＝3x＋2y＋2＝10＋2≤10＋10＝20， 当且仅当3x＝2y，即x＝，y＝时，等号成立， 所以＋的最大值为2，故B正确； 对于C，＋＝(＋)(3x＋2y)＝(13＋＋)，当且仅当＝， 即x＝y＝2时，等号成立，所以＋的最小值为，故C正确； 对于D，x2＋y2＝()2＋y2＝(0＜y＜5)， 利用二次函数的性质知，当y＝时，x2＋y2取得最小值，无最大值， 所以(x2＋y2)min＝＝，所以，x2＋y2的最小值为，故D错误．故选：BC． 10．设函数f(x)＝sin(4x＋)的图象为曲线E，则下列结论中正确的是 A．点(－，0)是曲线E的一个对称中心 B．为了得到曲线E的图像，只需将函数y＝sin4x的图像向左平移个单位 C．若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝0，则|x1－x2|的最小值为 D 函数f(x)＝sin(4x＋)在区间[－，－]上单调递减 【答案】ACD  【解析】令4x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z； 故函数f(x)＝sin(4x＋)的对称中心为(－，0)，k∈Z，所以A答案正确； f(x)＝sin(4x＋)＝sin[4(x＋)]， 故为了得到曲线E的图像，只需将函数y＝sin4x的图像向左平移个单位，B答案错误； f(x1)＝f(x2)＝0，得函数f(x)＝sin(4x＋)的两个对称中心为(x1，0)与(x2，0)； 即|x1－x2|min＝＝，C答案正确； 令＋2kπ4x＋＋2kπ，k∈Z， 得＋x＋，k∈Z， 即f(x)＝sin(4x＋)的单调递减区间为[＋，＋]，k∈Z，D答案正确．故选：ACD． 11．已知函数f(x)＝，若f(x)＝a有三个不等实根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则 A． f(x)的单调递增区间为(－∞，0]∪[1，＋∞) B． a的取值范围是(0，2) C． x1x2x3的取值范围是(－2，0] D． 函数g(x)＝f(f(x))有4个零点 【答案】CD  【解析】作出y＝f(x)的图象，如图所示: 对于A，由图象可得y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(1，＋∞)，不能用并集符号，故错误； 对于B，因为f(x)＝a有三个不等实根，即y＝f(x)与y＝a有三个不同交点，所以a∈(0，2]，故错误； 对于C，则题意可知:－2＜x1≤0，－log2x2＝log2x3，所以x2x3＝1，所以x1x2x3＝x1∈(－2，0]，故正确； 对于D，令f(x)＝t，则有y＝f(t)，令y＝0，则有t＝－2或t＝1， 当t＝－2时，即f(x)＝－2，即x＋2＝－2，解得x＝－4； 当t＝1时，即f(x)＝1，所以x＋2＝1或|log2x|＝1，解得x＝－1，或x＝或x＝2， 所以y＝f(t)共有4个零点，即g(x)＝f(f(x))有4个零点，故正确．故选:CD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12．()＋log27＝                ． 【答案】  【解析】原式＝()－log2781＝－＝－＝－＝．故答案为:． 13．已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω＞0)在[0，]上单调递增，则ω的取值范围为                ． 【答案】(0，1]  【解析】函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω＞0)，当x∈[0，]时， ωx＋∈[，＋]， 由函数f(x)在[0，]上单调递增，则＋≤，解得0＜ω≤1．故ω的取值范围为(0，1]． 故答案为：(0，1]． 14．已知f(x)＝，g(x)＝ax＋1，若任给x1∈[2，4]，存在x2∈[－2，1]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数a的取值范围                ．（用区间表示） 【答案】  【解析】当x∈[2，4]时，f(x)＝， 可知f(x)在[2，3]上单调递减，在(3，4]上单调递增， 所以f(x)在[2，3]上的值域为[3，4]，在(3，4]上的值域为(，]， 所以f(x)在[2，4]上的值域为[3，]， 由题意可知f(x)的值域是g(x)值域的子集， 当a＞0时，g(x)为增函数，g(x)＝ax＋1在[－2，1]上的值域为[－2a＋1，a＋1]， 所以，解得:a≥， 当a＜0时，g(x)为减函数，g(x)＝ax＋1在[－2，1]上的值域为[a＋1，－2a＋1]， 所以，解得:a≤－， 当a＝0时，g(x)为常数函数，值域为{1}，不符合题意. 综上，a的取值范围是．故答案为:． 四、解答题：本大题共4小题，共47分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分10分） 已知. （1）若角的终边过点，始边为非负半轴，求； （2）若，分别求和的值. 【答案】(1)；(2)；. 【解析】（1）因为 ， 又因为角的终边过点，所以，则. 5分 （2）因为，即，则， 所以， . 5分 16．（本题满分11分） 已知函数的部分图象如下图所示. （1）求函数的解析式，并写出函数的单调递增区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数的图象关于直线对称，求函数在区间上的值域． 【答案】（1），递增区间为；（2）. 【解析】（1）由图象可知，， 所以，所以， 由图可求出最低点的坐标为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 3分 由，可得. 所以函数的单调递增区间为. 3分 （2）由题意知，函数， 因为的图象关于直线对称， 所以，即， 因为，所以，所以. 当时，，可得， 所以，即函数的值域为. 4分 17．（本题满分11分） 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得在区间上的取值范围是？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)；(3)存在，. 【解析】（1）因为是定义在上的奇函数，所以， 即，解得.所以. 由，可知函数是奇函数，所以. 3分 （由特殊到一般没验证扣1分） （2）因为，且是上的奇函数， 所以（*）. 由（1）知，， 由指数函数性质得，在上恒正且单调递增，故函数在上单调递增. 1分 则由（*）得成立，即成立. 设，则， 所以， 所以. 设， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 即实数的取值范围是. 3分 （3）由（2）知，函数在上单调递增， 设存在实数，使得函数在区间上的取值范围是， 则即 所以方程，即有两个不相等的实数根， 即方程有两个不相等的实数根. 令，则，故方程有两个不相等的正根， 结合韦达定理，可得解得， 所以实数的取值范围为. 5分 18．（本题满分15分） 设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，且，则称为“自关联函数”，请根据上述定义回答下列问题： （1）判断函数和是否为“自关联函数”； （2）若为上的“自关联函数”，当时，，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出的所有值，若不存在，请说明理由； （3）若为上的“自关联函数”，其函数值恒大于0，且在上是减函数．设，且，解不等式． 【答案】(1)是，不是；(2)不存在，理由见解析；(3). 【解析】（1）函数的定义域为，有，且， 所以是“自关联函数”. 2分 函数的定义域为，而，， 所以不是“自关联函数”. 2分 （2）由是上的“自关联函数”，得当时，，， 则，即函数， 当时，函数在上都单调递减，在上单调递减， 因此在上单调递增，，方程无解； 当时，函数在上单调递增，， ，则，使得，而， 所以方程无正整数解，即不存在正整数使成立. 5分 （3）由是上的“自关联函数”，得，， 由，得， 由在上是减函数，得，则，，， 于是，即，因此函数在上是减函数， 由，得，不等式 ， 即，解得，又因为， 所以原不等式的解集为. 6分 2025级高一第一学期数学周测7 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $