寒假作业08 幂的运算（巩固培优）八年级数学新教材人教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业08 幂的运算 【知识点1 同底数幂的乘法】 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， 因此，我们有． 2. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 3. 同底数幂的乘法法则的推广与逆运用：； ．如；． 【知识点2 幂的乘方】 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 因此，我们有． 底数a为负数时， 2. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 3. 同底数幂的乘法法则与乘方法则的异同点 乘法法则 乘方法则 指数相加 指数相乘 底数不变， 其中m，n 都是正整数 【知识点3 积的乘方】 1. 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 2. 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【知识点4 同底数幂的除法】 一般地，我们有．即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 幂的基本运算】 1．下列运算结果正确的是（　　） A．（xy2）3＝xy6 B．x3•x4＝x7 C．﹣x5+x3＝x2 D．﹣x•（﹣x）2＝x3 2．下列各式中，计算正确的是（　　） A．a2+a4＝a6 B．a3•a3＝2a3 C．（a3）2＝a6 D．（﹣2xy）3＝﹣6x3y3 3．计算[（x﹣y）m]n•[（x﹣y）n]m等于（　　） A．2（x﹣y）2m+2n B．（x﹣y） C．（x﹣y）2m+2n D．（x﹣y）2mn 【题型2 幂的混合运算】 4．计算： （1）3（x3）4﹣7（x6）2． （2）﹣2[（﹣a3）2]2+a6•（﹣a2）3． 5．计算： （1）x7•x5+（﹣2x3）4． （2）（b﹣a）2•（a﹣b）3+2（a﹣b）5． 6．计算： （1）（a2）3•（﹣a3）2•（﹣a2）3； （2）（y2）3+（y3）2﹣y•y5； （3）（﹣a2）3+（﹣a3）2﹣a2•a4； （4）[（a+b）2]3•[（a+b）2]4． 7．计算： （1）（x4）2+（x2）4﹣x（x2）2•x3﹣（﹣x）3•（﹣x2）2•（﹣x）； （2）22m﹣1×16×8m﹣1+（﹣4m）×8m 【题型3 巧用幂的运算进行简便计算】 8．下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：45×（﹣0.25）5． 解：原式＝（﹣4×0.25）5＝（﹣1）5＝﹣1． （1）计算：82025×（﹣0.125）2025； （2）若3×9n×81n＝319，请求出n的值． 9．（1）计算：①（2×3）2＝　 　 ；22×32＝　 　 ；②[（﹣5）×3]2＝　 　 ；（﹣5）2×32＝　 　 ． （2）根据乘方的定义和乘法交换律、结合律，可以作出如下推导： （23×37）3＝（23×37）×（23×37）×（23×37）＝　 　 ＝233×373． （3）猜想：当n为正整数时，（a×b）n＝ ． （4）利用上述结论，求：①；②（﹣0.125）2025×22024×42024． 10．已知10×102＝1000＝103，102×102＝10000＝104，102×103＝100000＝105． 猜想：109×1010＝　 ； 10m×10n＝　 （m、n均为正整数）； 运用上述结论计算下列各式． （1）（1.5×104）×（1.2×105）； （2）（﹣6.4×106）×（﹣2.58×103）． 【题型4 巧用幂的运算比较大小】 11．已知a＝961，b＝2741，c＝8131，则a、b、c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c 12．已知a＝210，b＝38，c＝56，d＝64，那么a，b，c，d大小顺序为（　　） A．a＜b＜c＜d B．a＜b＜d＜c C．b＜a＜c＜d D．a＜d＜b＜c 13．在比较224和510的大小时，老师给出了如下的方法： 224＝27×3×23＝（27）3×23＝1283×8， 510＝53×3×51＝（53）3×51＝1253×5， 因为128＞125，8＞5，所以224＞510． 请你仿照上面的方法比较357和634的大小关系为（　　） A．357＜634 B．357＞634 C．357＝634 D．无法比较 14．比较下列各题中幂的大小： （1）比较255，344，533，622这4个数的大小关系； （2）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，比较a、b、c的大小关系； （3）已知，，比较P，Q的大小关系． 【题型5 灵活运用幂的逆向运算】 15．已知2x+3y﹣3＝0，则3•9x•27y的值为 　 　 ． 16．若100a＝20，1000b＝50，则的值是 　 　 ． 17．若9x＝27÷3y，则4x•2y+1＝　 　 ． 18．若9m•27m﹣1÷33m＝27，则m＝　 　 ． 19．若，则4y•2x﹣2的值为　 　 ． 20．（1）已知2x+3×3x+3＝36x+1，求x的值； （2）已知n是正整数，且x3n＝2，求（3x3n）3+（﹣2x2n）3的值． 21．若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面的结论解决下面的问题： （1）如果2×（22）x×（2x）3＝221，求x的值； （2）如果3a+2•6a+2＝182a﹣4，求a的值． 22．若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n． 利用上面结论解决下面的问题： （1）8x•16x＝27，求x的值； （2）如果2x+2x+1＝24，求x的值； （3）若x＝5m，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y． 23．用所学知识，完成下列题目： （1）若2a＝3，2b＝6，2c＝12，写出a，b，c之间的数量关系，并说明理由； （2）若a5＝2，b5＝3，c5＝72，试确定a，b，c之间的数量关系，并说明理由． 24．尝试解决下列有关幂的问题： （1）若3×27m÷9m＝316，求m的值； （2）若26＝a2＝4b，求a+b值； （3）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值． 25．已知：5a＝4，53b＝6，5c＝9， （1）求52a+3b的值； （2）试说明：6b＝a+c． 26．定义：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以log5125＝3．则下列说法正确的个数为（　　） ①log61＝0； ②log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）； ③； ④若log2（3﹣a）＝log827，则a＝0． A．1 B．2 C．3 D．4 27．若“*”是我们定义的一种新的运算符号，且规定a*b＝2a×2b．若2*（x+1）＝16，则x的值为　 　 ． 28．规定两正数a，b之间的一种运算，记作{a，b}：如果ac＝b，那么{a，b}＝c．例如：因为34＝81，所以{3，81}＝4．小慧在研究这种运算时发现：{a，b}+{a，c}＝{a，bc}，例如：{5，6}+{5，7}＝{5，42}．证明如下：设{5，6}＝x，{5，7}＝y，{5，42}＝z，根据定义可得：5x＝6，5y＝7，5z＝42，因为5x×5y＝6×7＝42＝5z，所以5x×5y＝5x+y＝5z，即x+y＝z，所以{5，6}+{5，7}＝{5，42}．请根据前面的经验计算：{4，2}+{4，32}的值为 　 　 ． 29．新定义题同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m，n为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：g（m+n）＝g（m）•g（n）．若g（1）＝﹣1，则g（2024）•g（2026）＝　 　 ． 30．规定两正数a，b之间的一种运算，记作{a，b}：如果ac＝b，那么{a，b}＝c．例如：因为34＝81，所以{3，81}＝4．小慧在研究这种运算时发现：{a，b}+{a，c}＝{a，bc}，例如：{5，6}+{5，7}＝{5，42}．证明如下：设{5，6}＝x，{5，7}＝y，{5，42}＝z，根据定义可得：5x＝6，5y＝7，5z＝42，因为5x×5y＝6×7＝42＝5z，所以5x×5y＝5x+y＝5z，即x+y＝z，所以{5，6}+{5，7}＝{5，42}．请根据前面的经验计算： （1）{4，2}+{4，32}的值为 　 　 ； （2）的值为 　 　 ． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业08 幂的运算 【知识点1 同底数幂的乘法】 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， 因此，我们有． 2. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 3. 同底数幂的乘法法则的推广与逆运用：； ．如；． 【知识点2 幂的乘方】 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 因此，我们有． 底数a为负数时， 2. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 3. 同底数幂的乘法法则与乘方法则的异同点 乘法法则 乘方法则 指数相加 指数相乘 底数不变， 其中m，n 都是正整数 【知识点3 积的乘方】 1. 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 2. 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【知识点4 同底数幂的除法】 一般地，我们有．即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 幂的基本运算】 1．下列运算结果正确的是（　　） A．（xy2）3＝xy6 B．x3•x4＝x7 C．﹣x5+x3＝x2 D．﹣x•（﹣x）2＝x3 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的乘法法则、合并同类项法则分别计算判断即可． 【解答】解：A、（xy2）3＝x3y6，故此选项不符合题意； B、x3•x4＝x7，故此选项符合题意； C、﹣x5与x3不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； D、﹣x（﹣x）2＝﹣x•x2＝﹣x3，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．下列各式中，计算正确的是（　　） A．a2+a4＝a6 B．a3•a3＝2a3 C．（a3）2＝a6 D．（﹣2xy）3＝﹣6x3y3 【分析】利用合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的运算法则分别对各项进行运算即可． 【解答】解：A、a2与a4不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； B、a3•a3＝a3+3＝a6，原选项计算错误，不符合题意； C、（a3）2＝a6，原选项计算正确，符合题意； D、（﹣2xy）3＝﹣8x3y3，原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 3．计算[（x﹣y）m]n•[（x﹣y）n]m等于（　　） A．2（x﹣y）2m+2n B．（x﹣y） C．（x﹣y）2m+2n D．（x﹣y）2mn 【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【解答】解：[（x﹣y）m]n•[（x﹣y）n]m ＝（x﹣y）mn（x﹣y）mn ＝（x﹣y）2mn． 故选：D． 【题型2 幂的混合运算】 4．计算： （1）3（x3）4﹣7（x6）2． （2）﹣2[（﹣a3）2]2+a6•（﹣a2）3． 【分析】（1）先计算幂的乘方运算，再合并同类项即可． （2）先计算幂的乘方运算，同底数幂相乘，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）3（x3）4﹣7（x6）2 ＝3x12﹣7x12 ＝﹣4x12； （2）﹣2[（﹣a3）2]2+a6•（﹣a2）3 ＝﹣2a12﹣a6+6 ＝﹣2a12﹣a12 ＝﹣3a12． 5．计算： （1）x7•x5+（﹣2x3）4． （2）（b﹣a）2•（a﹣b）3+2（a﹣b）5． 【分析】（1）先根据同底数幂相乘法则和积的乘方法则计算乘方和乘法运算，然后合并同类项即可； （2）先把幂的底数变相同，然后根据同底数幂相乘法则计算乘法，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式＝x12+16x12 ＝17x12； （2）原式＝（a﹣b）2•（a﹣b）3+2（a﹣b）5 ＝（a﹣b）5+2（a﹣b）5 ＝3（a﹣b）5． 6．计算： （1）（a2）3•（﹣a3）2•（﹣a2）3； （2）（y2）3+（y3）2﹣y•y5； （3）（﹣a2）3+（﹣a3）2﹣a2•a4； （4）[（a+b）2]3•[（a+b）2]4． 【分析】（1）先运算幂的乘方，然后利用同底数幂的乘法计算解题； （2）先运算幂的乘方、同底数幂的乘法，然后合并同类项解题； （3）先运算幂的乘方、同底数幂的乘法，然后合并同类项解题； （4）先运算幂的乘方，然后利用同底数幂的乘法计算解题； 【解答】解：（1）（a2）3•（﹣a3）2•（﹣a2）3＝a6•a6•（﹣a6）＝﹣a18； （2）（y2）3+（y3）2﹣y•y5＝y6+y6﹣y6＝y6； （3）（﹣a2）3+（﹣a3）2﹣a2•a4＝﹣a6+a6﹣a6＝﹣a6； （4）[（a+b）2]3•[（a+b）2]4＝（a+b）6•（a+b）8＝（a+b）14． 7．计算： （1）（x4）2+（x2）4﹣x（x2）2•x3﹣（﹣x）3•（﹣x2）2•（﹣x）； （2）22m﹣1×16×8m﹣1+（﹣4m）×8m 【分析】（1）根据积的乘方运算法则和同底数幂乘法运算法则，进行计算即可； （2）根据幂的乘方运算法则和同底数幂乘法运算法则，进行计算即可． 【解答】解：（1）（x4）2+（x2）4﹣x（x2）2•x3﹣（﹣x）3•（﹣x2）2•（﹣x） ＝x8+x8﹣x•x4•x3﹣（﹣x3）•（x4）•（﹣x） ＝x8+x8﹣x8﹣x8 ＝0； （2）22m﹣1×16×8m﹣1+（﹣4m）×8m ＝22m﹣1×24×（23）m﹣1+（﹣22）m×（23）m ＝22m﹣1×24×23m﹣3+（﹣22m）×23m ＝25m﹣25m ＝0． 【题型3 巧用幂的运算进行简便计算】 8．下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：45×（﹣0.25）5． 解：原式＝（﹣4×0.25）5＝（﹣1）5＝﹣1． （1）计算：82025×（﹣0.125）2025； （2）若3×9n×81n＝319，请求出n的值． 【分析】（1）根据积的乘方运算的逆用即可求解； （2）根据同底数幂的乘法、幂的乘方进行计算即可． 【解答】解：（1）82025×（﹣0.125）2025 ＝82025×（﹣0.125）2025 ＝（﹣0.125×8）2025 ＝（﹣1）2025 ＝﹣1； （2）∵9＝32，81＝34， ∴9n＝（32）n＝32n，81n＝（34）n＝34n， ∴3×9n×81n＝3×32n×34n＝31+2n+4n＝31+6n， 又∵3×9n×81n＝319， ∴31+6n＝319， ∴1+6n＝19， 解得：n＝3． 9．（1）计算：①（2×3）2＝　 　 ；22×32＝　 　 ；②[（﹣5）×3]2＝　 　 ；（﹣5）2×32＝　 　 ． （2）根据乘方的定义和乘法交换律、结合律，可以作出如下推导： （23×37）3＝（23×37）×（23×37）×（23×37）＝　 　 ＝233×373． （3）猜想：当n为正整数时，（a×b）n＝ ． （4）利用上述结论，求：①；②（﹣0.125）2025×22024×42024． 【分析】（1）根据有理数的乘法与乘方法则进行计算，即可解答； （2）利用乘法交换律、结合律即可解答； （3）利用（1）和（2）的结论，即可解答； （4）利用（3）的结论进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）①（2×3）2＝36；22×32＝36；②[（﹣5）×3]2＝225；（﹣5）2×32＝225； 故答案为：36；36；225；225； （2）（23×37）3＝（23×37）×（23×37）×（23×37）＝（23×23×23）×（27×27×27）＝233×373， 故答案为：（23×23×23）×（27×27×27）； （3）当n为正整数时，（a×b）n＝anbn， 故答案为：anbn； （4）① ＝[（）]2025 ＝（﹣1）2025 ＝﹣1； ②（﹣0.125）2025×22024×42024 ＝（﹣0.125）×（﹣0.125）2024×22024×42024 ＝（﹣0.125）×[（﹣0.125）×2×4]2024 ＝（﹣0.125）×（﹣1）2024 ＝（﹣0.125）×1 ＝﹣0.125． 10．已知10×102＝1000＝103，102×102＝10000＝104，102×103＝100000＝105． 猜想：109×1010＝　 ； 10m×10n＝　 （m、n均为正整数）； 运用上述结论计算下列各式． （1）（1.5×104）×（1.2×105）； （2）（﹣6.4×106）×（﹣2.58×103）． 【分析】由已知得到同底数的幂相乘，底数不变，指数相加即可解答前两个空； （1）根据上面的计算做出乘方的计算，注意将结果写为科学记数法的形式； （2）根据上面的计算做出乘方的计算，注意将结果写为科学记数法的形式． 【解答】解：根据同底数的幂相乘，底数不变，指数相加可得， 109×1010＝1010+9＝1019； 10m×10n＝10m+n； 故答案为：1019；10m+n； （1）（1.5×104）×（1.2×105） ＝（1.5×1.2）×（104×105） ＝1.8×109； （2）（﹣6.4×106）×（﹣2.58×103） ＝（6.4×2.58）×（106×103） ＝（6.4×2.58）×109 ＝1.6512×1010． 【题型4 巧用幂的运算比较大小】 11．已知a＝961，b＝2741，c＝8131，则a、b、c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c 【分析】根据幂的乘方法则变为同底数的幂，再比较即可． 【解答】解：a＝961＝（32）61＝3122，b＝2741＝（33）41＝3123，c＝8131＝（34）31＝3124， ∵a、b、c的底数相同， ∴c＞b＞a． 故选：C． 12．已知a＝210，b＝38，c＝56，d＝64，那么a，b，c，d大小顺序为（　　） A．a＜b＜c＜d B．a＜b＜d＜c C．b＜a＜c＜d D．a＜d＜b＜c 【分析】逆用幂的乘方法则，把各个幂写成指数是2的幂，然后比较底数的大小，从而比较大小即可． 【解答】解：a＝210，b＝38，c＝56，d＝64， ∴a＝（25）2＝322，b＝（34）2＝812，c＝56＝（53）2＝1252，d＝（62）2＝362， ∵32＜36＜81＜125， ∴a＜d＜b＜c， 故选：D． 13．在比较224和510的大小时，老师给出了如下的方法： 224＝27×3×23＝（27）3×23＝1283×8， 510＝53×3×51＝（53）3×51＝1253×5， 因为128＞125，8＞5，所以224＞510． 请你仿照上面的方法比较357和634的大小关系为（　　） A．357＜634 B．357＞634 C．357＝634 D．无法比较 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行比较大小即可． 【解答】解：357＝35×11×32＝（243）11×9，634＝（63）11×6＝21611×6， ∵243＞216，9＞6， ∴357＞634， 故选：B． 14．比较下列各题中幂的大小： （1）比较255，344，533，622这4个数的大小关系； （2）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，比较a、b、c的大小关系； （3）已知，，比较P，Q的大小关系． 【分析】（1）根据幂的乘方的逆用进行转换得255＝3211、344＝8111、533＝12511，622＝3611，比较即可； （2）根据幂的乘方的逆用进行转换得a＝3124、b＝3123、c＝3122，比较即可； （3）依据积的乘方公式及同底数的幂的除法化简可得即可得结果． 【解答】解：（1）∵255＝（25）11＝3211，344＝（34）11＝8111，533＝（53）11＝12511，622＝（62）11＝3611， ∵3211＜3611＜8111＜12511， ∴255＜622＜344＜533； （2）∵a＝8131＝（34）31＝3124，b＝2741＝（33）41＝3123，c＝961＝（32）61＝3122， ∵3122＜3123＜3124， ∴961＜2741＜8131， ∴c＜b＜a； （3）∵， ∴P＝Q． 【题型5 灵活运用幂的逆向运算】 15．已知2x+3y﹣3＝0，则3•9x•27y的值为 　 　 ． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【解答】解：∵2x+3y﹣3＝0， ∴2x+3y＝3， ∴3•9x•27y ＝3×32x•33y ＝31+2x+3y ＝31+3 ＝34 ＝81． 故答案为：81． 16．若100a＝20，1000b＝50，则的值是 　 　 ． 【分析】先把100和1000写成底数是10的幂，然后把两个等式相乘，求出2a+3b的值，从而求出的值，然后直接代入进行计算即可． 【解答】解：∵100a＝20，1000b＝50， ∴（102）a＝20，（103）b＝50， 102a＝20，103b＝50， ∴102a•103b＝20×50＝1000＝103， 102a+3b＝103， 2a+3b＝3， ∴， ∴， 故答案为：3． 17．若9x＝27÷3y，则4x•2y+1＝　 　 ． 【分析】先根据题意得出2x+y的值，再代入代数式进行计算即可． 【解答】解：∵9x＝27÷3y， ∴32x＝33÷3y，即32x＝33﹣y， ∴2x＝3﹣y， ∴2x+y＝3， ∴4x•2y+1＝22x•2y+1＝22x+y+1＝24＝16． 故答案为：16． 18．若9m•27m﹣1÷33m＝27，则m＝　 　 ． 【分析】先逆用幂的乘方法则把9m、27m﹣1化为底数为3的幂的形式，再利用同底数幂的乘法和除法法则计算得方程，求解即可． 【解答】解：∵9m＝32m，27m﹣1＝33m﹣3， ∴原式＝32m×33m﹣3÷33m ＝32m+3m﹣3﹣3m ＝32m﹣3， ∴32m﹣3＝27＝33， ∴m＝3， 故答案为：3． 19．若，则4y•2x﹣2的值为　 　 ． 【分析】根据题意可得2y+x＝4，再根据同底数幂的乘法以及幂的乘方的运算法则将式子变形为22y+x﹣2，再整体代入求值即可． 【解答】解：根据题意可知，， ∴2y+x＝4， ∴原式＝（22）y•2x﹣2 ＝22y•2x﹣2 ＝22y+x﹣2 ＝24﹣2 ＝22 ＝4． 故答案为：4． 20．（1）已知2x+3×3x+3＝36x+1，求x的值； （2）已知n是正整数，且x3n＝2，求（3x3n）3+（﹣2x2n）3的值． 【分析】（1）根据积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，将原式化为6x+3＝62x+2，进而即可求出x的值； （2）根据幂的乘方的逆运算化简，然后把x3n＝2代入计算即可． 【解答】解：（1）根据积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，将原式变形可得： 2x+3×3x+3＝36x+1， ∴（2×3）x+3＝（62）x+1， ∴6x+3＝62x+2， ∴x+3＝2x+2， 解得x＝1； （2）（3x3n）3+（﹣2x2n）3＝（3x3n）3+（﹣2）3（x3n）2， ∵x3n＝2， ∴原式＝（3×2）3+（﹣2）3×22＝184． 21．若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面的结论解决下面的问题： （1）如果2×（22）x×（2x）3＝221，求x的值； （2）如果3a+2•6a+2＝182a﹣4，求a的值． 【分析】（1）先将等式左边化为底数为2的同底数幂的运算，根据题干给的结论得到关于x的方程，进行求解即可； （2）逆用积的乘方法则，再根据题干给的结论进行求解即可． 【解答】解：（1）由条件可知21+2x+3x＝221， 即1+2x+3x＝21， 解得：x＝4； （2）由条件可知（3×6）a+2＝182a﹣4， ∴18a+2＝182a﹣4， ∴a+2＝2a﹣4， 解得a＝6． 22．若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n． 利用上面结论解决下面的问题： （1）8x•16x＝27，求x的值； （2）如果2x+2x+1＝24，求x的值； （3）若x＝5m，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y． 【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把8x•16x化为底数为2的幂，解答即可； （2）根据同底数幂的乘法法则把2x+2x+1＝24变形为2x×（2+1）＝24即可解答； （3）由y＝4﹣25m可得y＝4﹣（5m）2，再将x＝5m代入即可． 【解答】解：（1）8x•16x＝23x•24x＝27x＝27， ∴7x＝7， 解得x＝1； （2）∵2x+2x+1＝24， ∴2x×（2+1）＝24， ∴2x＝8， ∴x＝3； （3）由题意可得：y＝4﹣25m＝4﹣（52）m＝4﹣（5m）2＝4﹣x2， ∴y＝4﹣x2． 23．用所学知识，完成下列题目： （1）若2a＝3，2b＝6，2c＝12，写出a，b，c之间的数量关系，并说明理由； （2）若a5＝2，b5＝3，c5＝72，试确定a，b，c之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则进行变形即可； （2）利用幂的乘方公式进行变形即可． 【解答】解：（1）a，b，c之间的数量关系为a+c＝2b， 理由如下： ∵2a×2c＝2a+c＝3×12＝36， 2b×2b＝22b＝6×6＝36， ∴2a+c＝22b， 即a+c＝2b， ∴a，b，c之间的数量关系为a+c＝2b； （2）a，b，c之间的数量关系为c＝a3b2， 理由如下： ∵c5＝72＝23×32＝（a5）3•（b5）2＝（a3b2）5， ∴c＝a3b2． 24．尝试解决下列有关幂的问题： （1）若3×27m÷9m＝316，求m的值； （2）若26＝a2＝4b，求a+b值； （3）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值． 【分析】（1）根据同底数幂的乘、除法法则，幂的乘方进行计算即可； （2）根据幂的乘法法则进行计算即可； （3）根据幂的乘方法则进行计算即可． 【解答】解：（1）∵3×27m÷9m＝316， ∴3×33m÷32m＝316， ∴31+m＝316， ∴1+m＝16， ∴m＝15； （2）∵26＝a2＝4b， ∴（23）2＝a2，26＝22b， ∴a＝23＝8，2b＝6， ∴b＝3， ∴a+b＝8+3＝11； 当a＝﹣8时，也成立， 故a+b＝﹣8+3＝﹣5． （3）∵x2n＝4， ∴（3x3n）2﹣4（x2）2n ＝9（x2n）3﹣4（x2n）2 ＝9×43﹣4×42 ＝512． 25．已知：5a＝4，53b＝6，5c＝9， （1）求52a+3b的值； （2）试说明：6b＝a+c． 【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则解答即可； （2）利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则解答即可． 【解答】解：（1）52a+3b ＝52a•53b ＝（5a）2•（53b） ＝42×6 ＝16×6 ＝96； （2）∵4×9＝36＝62，5a＝4，53b＝6，5c＝9， ∴5a•5c＝（53b）2， ∴5a+c＝56b， ∴6b＝a+c． 26．定义：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以log5125＝3．则下列说法正确的个数为（　　） ①log61＝0； ②log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）； ③； ④若log2（3﹣a）＝log827，则a＝0． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用新定义的规定对每个选项进行逐一判断即可． 【解答】解：①∵60＝1， ∴log61＝0． ∴①的说法正确； ②设log2x＝a，log2y＝b， ∴2a＝x，2b＝y， ∴xy＝2a•2b＝2a+b， ∴log2xy＝a+b＝log2x+log2y， ∴②的说法正确； ③∵设a，b， ∴3a＝2，3b＝23， ∴2b＝（2a）3＝23a， ∴b＝3a， ∴． ∴③的说法正确； ④设log2（3﹣a）＝x，log827＝x， ∴2x＝3﹣a，8x＝27， ∵8x＝（23）x＝23x＝（2x）3，27＝33， ∴2x＝3， ∴3﹣a＝3， ∴a＝0． ∴④说法正确． 故选：D． 27．若“*”是我们定义的一种新的运算符号，且规定a*b＝2a×2b．若2*（x+1）＝16，则x的值为　 　 ． 【分析】根据新运算的定义，将等式转化为同底数幂的形式，利用指数相等求解即可． 【解答】解：∵a*b＝2a×2b， ∴2*（x+1） ＝22×2x+1 ＝22+x+1 ＝2x+3， 又∵2*（x+1）＝16， ∴2x+3＝16 ∴x+3＝4， 解得x＝1． 故答案为：1． 28．规定两正数a，b之间的一种运算，记作{a，b}：如果ac＝b，那么{a，b}＝c．例如：因为34＝81，所以{3，81}＝4．小慧在研究这种运算时发现：{a，b}+{a，c}＝{a，bc}，例如：{5，6}+{5，7}＝{5，42}．证明如下：设{5，6}＝x，{5，7}＝y，{5，42}＝z，根据定义可得：5x＝6，5y＝7，5z＝42，因为5x×5y＝6×7＝42＝5z，所以5x×5y＝5x+y＝5z，即x+y＝z，所以{5，6}+{5，7}＝{5，42}．请根据前面的经验计算：{4，2}+{4，32}的值为 　 　 ． 【分析】根据新定义得出4x＝2，4y＝32，4z＝64，进而可得出答案． 【解答】解：根据题意，{a，b}+{a，c}＝{a，bc}， 设{4，2}＝x，{4，32}＝y，{4，2×32}＝{4，64}＝z， ∴4x＝2，4y＝32，4z＝64， ∵4x•4y＝4x+y＝64＝4z＝43， ∴x+y＝z＝3， ∴原式＝3． 故答案为：3． 29．新定义题同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m，n为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：g（m+n）＝g（m）•g（n）．若g（1）＝﹣1，则g（2024）•g（2026）＝　 　 ． 【分析】根据新定义运算的含义可得g（n）＝[g（1）]n，再进一步计算即可． 【解答】解：∵g（m+n）＝g（m）•g（n），g（1）＝﹣1， ∴g（2）＝g（1+1）＝g（1）•g（1）＝[g（1）]2， g（3）＝g（2+1）＝g（2）•g（1）＝[g（1）]3， ……， ∴g（n）＝[g（1）]n， ∴g（2024）•g（2026） ＝g（2024+2026） ＝g（4050） ＝[g（1）]4050 ＝（﹣1）4050 ＝1； 故答案为：1． 30．规定两正数a，b之间的一种运算，记作{a，b}：如果ac＝b，那么{a，b}＝c．例如：因为34＝81，所以{3，81}＝4．小慧在研究这种运算时发现：{a，b}+{a，c}＝{a，bc}，例如：{5，6}+{5，7}＝{5，42}．证明如下：设{5，6}＝x，{5，7}＝y，{5，42}＝z，根据定义可得：5x＝6，5y＝7，5z＝42，因为5x×5y＝6×7＝42＝5z，所以5x×5y＝5x+y＝5z，即x+y＝z，所以{5，6}+{5，7}＝{5，42}．请根据前面的经验计算： （1）{4，2}+{4，32}的值为 　 　 ； （2）的值为 　 　 ． 【分析】（1）仿照示例，得到{4，2}+{4，32}＝{4，64}，即可得到结果为3； （3）根据{a，b}+{a，c}＝{a，bc}，化简即可得到结果． 【解答】解：（1）设{4，2}＝x，{4，32}＝y， ∵4x＝2，4y＝32， ∴4x×4y＝2×32＝64＝43， ∴4x+y＝43， ∴x+y＝3， ∴{4，2}+{4，32}＝{4，64}＝3， 故答案为：3； （2）{mn，2mn}+{mn，2mn}+{mn，m2n}+{mn，m2n3} ＝{mn，2mn•2mn•m2n•m2n3} ＝{mn，m6n6} ＝6， 故答案为：6． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $