寒假作业12 分式方程（巩固培优）八年级数学新教材人教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业12 分式方程 【知识点1 分式方程的定义】 分母中含未知数的方程叫做分式方程． 【归纳】 （1）分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程． （2）方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别． （3）分母中含有字母的方程未必是分式方程． 【知识点2 分式方程的解法】 （1）解分式方程的基本思想： 把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解． （2）解分式方程的一般方法和步骤： ①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程； ②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等等； ③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解． 简称为一化，二解，三检验． （3）解分式方程产生不适合原方程解的原因： 在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被增大了，对于整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，当分母为零时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解，即原分式方程无解． 【知识点3 分式方程的应用】 分式方程的应用基本思路和方法： 一审：审清题意，弄清已知量和未知量； 二找：找出等量关系； 三设：设未知数； 四列：列出分式方程； 五解：解这个方程； 六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求； 七答：写出答案． 在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 分式方程的定义】 1．已知方程：①2；②；③；④；⑤；⑥1+3（x﹣2）＝7﹣x，其中是分式方程的是（　　） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 2．在下列方程中，关于x的分式方程的个数有（　　） ①x2x+4；②4；③4；④1；⑤；⑥2． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型2 解分式方程】 3．解分式方程． （1）1； （2）2． 4．解方程： （1）； （2）． 5．解方程： （1）3． （2）0． 6．解方程： （1）； （2）． 7．解方程： （1）； （2）1． 【题型3 分式方程的解的情况求参数】 8．关于x的方程有增根，则m的值为　 　 ． 9．已知关于x的分式方程与的解相同，则m的值是　 　 ． 10．若关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是　 　 ． 11．若数a使关于x的不等式组，有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为 　 　 ． 12．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为 　 　 ． 13．已知关于x的分式方程． （1）当分式方程有增根时，求m的值． （2）当分式方程的解为正数时，求m的取值范围． 14．已知关于x的方程． （1）当m为何值时会产生增根？ （2）当m为何值时，此方程无解？ 15．已知关于x的分式方程． （1）若方程的解为x＝﹣1，求m的值． （2）若方程的解为非负数，求m的取值范围． 16．若关于x的分式方程的解大于1，求m的取值范围． 17．已知，关于x的方程：． （1）若方程无解，求m的取值； （2）若方程的解为整数，求整数m的值． 【题型4 分式方程的应用】 18．已知某款电动汽车平均每公里的行驶费用比某款燃油车平均每公里的行驶费用少0.6元．当两款车的行驶费用均为100元时，电动汽车可行驶的总里程是燃油车的4倍． （1）求这款电动汽车平均每公里的行驶费用． （2）电动汽车和燃油车每年的其他费用（含保险费、保养费等）分别为7500元和4500元．当两款车每年的行驶里程均为a公里时，电动汽车和燃油汽车的年度总费用之比为2：3，求a的值． 19．在田径铁饼赛场上，使用机器狗送铁饼．某次运铁饼过程中，甲机器狗比乙机器狗每秒多跑0.5米，甲机器狗跑135米与乙机器狗跑120米所用时间相等．问乙机器狗这次运铁饼的速度是多少？ （1）小佳同学设乙机器狗这次运铁饼的速度是xm/s，可列方程为 　　 ．小琪同学设甲机器狗这次运铁饼的所用时间是ys，可列方程为 　 ． （2）请你按照（1）中小佳同学的解题思路，写出完整的解答过程． 20．金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车油箱容积：40升，油价：9元/升，续航里程：a千米，每千米行驶费用： 元； 新能源车电池电量：100千瓦时，电价：0.6元/千瓦时，续航里程：a千米，每千米行驶费用： 　　 元． （1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用； （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.5元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用） 21．两个小组同时开始攀登一座450m高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早15min到达顶峰． （1）求第二组的攀登速度； （2）第二组下山时为了缩短时间，准备加快速度，现有两种方案： ①前一半路程速度为pm/min，后一半路程速度为qm/min； ②返回速度始终保持为 m/min．其中p≠q，且p，q均为正数，两种方案哪种平均速度更快？ 22．武汉某快递仓库使用机器人分拣货物，已知一台机器人每小时的工作效率相当于一名工人每小时工作效率的20倍，若用一台机器人分拣6000件货物，比原先30名工人分拣这些货物只多用小时． （1）求一台机器人每小时可分拣多少件货物？ （2）此仓库“双十二”前夕收到货物68万件，为了在6小时内分拣完所有货物，公司调配了20台机器人和20名工人，工作3小时后，又调配了15台机器人进行增援，该公司能否在规定的时间内完成任务？请说明理由． （3）公司技术部为了提速，对机器人“东东”的程序进行优化．若该仓库有a万件货物待分拣，用相同的时间分拣，提速后的“东东”可比提速前多分拣1万件，则机器人“东东”平均提速 　　 件/小时（用含a的式子表示）． 23．铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． （1）求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 24．中国吉林地处“世界三大黄金玉米带”之一的核心种植区，为了提高玉米收割效率，计划引进甲、乙两种类型收割机． （1）若在相同时间内，1台甲型收割机能收割100公顷地，1台乙型收割机能收割120公顷地，1台乙型收割机比1台甲型收割机每天多收割0.8公顷地，求甲、乙两种类型收割机每台每天收割的玉米地各是多少公顷． （2）若1台甲型收割机每天可以收割a公顷地，1台乙型收割机每天可以收割b公顷地，（其中a≠b）．现在要收割一块面积为S公顷的玉米试验田，有两种收割方案： 方案一：一半的面积由1台甲型收割机收割，另一半的面积由1台乙型收割机收割； 方案二：完成整个收割工作的前一半时间由1台甲型收割机收割，后一半时间由1台乙型收割机收割． ①小贺同学选择方案一，列了这样一个式子：， 化简后可得方案一所用时间是　　 天； 小蔓同学选择方案二，设t天可以完成，列方程， 解得所用时间是t＝　　 天．（用含a、b、S的式子表示） ②请你判断哪种方案所用时间少，并说明理由． 25．定义一种新运算“※”为：，则方程的解为（　　） A．x＝3 B．x＝6 C．x＝8 D．x＝10 26．题目：当a≠b时，定义一种新运算：F（a，b）． 例：F（3，1）1，F（﹣1，4）．若F（m，2）﹣F（2，m）＝1，则m的值为（　　） A． B． C．或0 D．0 27．给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对（a，b）称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当a＝3，b＝2时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对（3，2）称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． （1）在数对①（1，0）；②（2，﹣3）；③中，　 　 （只填号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； （2）若数对（t﹣2，2+t）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； （3）若数对（c+d，d）（c≠±1且c≠0）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程dy﹣c+1＝0有整数解，直接写出整数c的值． 28．新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对[a，b]称为关于x的分式方程的一个“关联数对”．例如：a＝2，b＝﹣5使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对[2，﹣5]就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． （1）下列数对是关于x的分式方程的“关联数对”有A ．（填字母） A．[3，﹣5]B．[1，4]C．[﹣3，1]D．[3，0] （2）若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． 29．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义： ①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝x与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； （2）是否存在实数a，使关于x的一元一次方程（2﹣a）x+2＝x与分式方程1是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由． 30．形如（a，b不为零，且两个解分别为x1＝a，x2＝b（a＞b）的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴x1＝3，x2＝1． 再如为十字分式方程，可化为，∴x1＝﹣2，x2＝﹣4． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为十字分式方程，则x1＝　 　 ，x2＝　 　 ． （2）若十字分式方程的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求的值． （3）若关于x的十字分式方程的两个解分别为x1，x2（其中x1＞x2，k＞0），求x1x2﹣7x2的最大值． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业12 分式方程 【知识点1 分式方程的定义】 分母中含未知数的方程叫做分式方程． 【归纳】 （1）分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程． （2）方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别． （3）分母中含有字母的方程未必是分式方程． 【知识点2 分式方程的解法】 （1）解分式方程的基本思想： 把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解． （2）解分式方程的一般方法和步骤： ①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程； ②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等等； ③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解． 简称为一化，二解，三检验． （3）解分式方程产生不适合原方程解的原因： 在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被增大了，对于整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，当分母为零时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解，即原分式方程无解． 【知识点3 分式方程的应用】 分式方程的应用基本思路和方法： 一审：审清题意，弄清已知量和未知量； 二找：找出等量关系； 三设：设未知数； 四列：列出分式方程； 五解：解这个方程； 六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求； 七答：写出答案． 在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 分式方程的定义】 1．已知方程：①2；②；③；④；⑤；⑥1+3（x﹣2）＝7﹣x，其中是分式方程的是（　　） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【分析】根据分式方程的定义进行判断即可． 【解答】解：根据分式方程的定义，②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程， 故选：C． 2．在下列方程中，关于x的分式方程的个数有（　　） ①x2x+4；②4；③4；④1；⑤；⑥2． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 【解答】解：①x2x+4、⑤不是等式，故不符合题意； ②4，⑥2，π是数字不是未知数，是一元一次方程，故不符合题意； ③4，④1是分式方程，故符合题意； 故选：A． 【题型2 解分式方程】 3．解分式方程． （1）1； （2）2． 【分析】（1）（2）先去分母，化分式方程为整式方程，再检验得结论． 【解答】解：（1）1， 1， 去分母，得x2﹣8＝x2﹣4﹣x﹣2， 解得x＝2． 检验：当x＝2时，x2﹣4＝0． ∴原方程无解． （2）2， 去分母，得2（x﹣2）＝4（x﹣3）+1， ∴2x﹣4＝4x﹣12+1， ∴2x＝7． ∴x． 经检验，x是原方程的解． ∴原方程的解为x． 4．解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）分式方程两边乘以x﹣2，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程两边乘以（x+2）（x﹣1），去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：（1）去分母可得： x﹣1＝2（x﹣2） x﹣1＝2x﹣4 解得x＝3， 经检验，x＝3是原方程的解， 所以原方程的解为x＝3； （2）去分母可得： x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3， x2+2x﹣x2﹣x+2＝3， 解得x＝1， 经检验，x＝1是增根， ∴原方程无解． 5．解方程： （1）3． （2）0． 【分析】（1）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可； （2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：（1）原方程去分母得：2x﹣5＝3x﹣3﹣3（x﹣2）， 整理得：2x﹣5＝3， 解得：x＝4， 检验：当x＝4时，x﹣2≠0， 故原方程的解为x＝4； （2）原方程去分母得：5（x﹣1）﹣（x+1）＝0， 整理得：4x﹣6＝0， 解得：x， 检验：当x时，x（x+1）（x﹣1）≠0， 故原方程的解为x． 6．解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）先移项，然后去分母方程两边乘以（x﹣2），化为一元一次方程求解，最后检验即可； （2）先移项，然后去分母方程两边乘以x（x+1），化为一元一次方程求解，最后检验即可． 【解答】解：（1）原方程移项可得：， 两边同乘以（x﹣2）：1+1﹣x＝﹣3（x﹣2）， 解得：x＝2， 检验：当x＝2时，x﹣2＝0， ∴x＝2不是原方程的解，原方程无解． （2）原方程移项可得：， 两边同乘以x（x+1）：4x+2﹣3x+x+1＝0， 解得：， 检验：当时，x（x+1）≠0， ∴是原方程的解． 7．解方程： （1）； （2）1． 【分析】（1）按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答； （2）按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）， 原分式方程整理得，， 2×2（x﹣2）+2＝5（x﹣2）， 解得：x＝4， 检验：当x＝4时，2x（x﹣2）≠0， ∴x＝4是原方程的根； （2）1， 原分式方程整理得， 1.5+x﹣2＝1﹣2x， 解得：x＝0.5 检验：当x＝0.5时，1﹣2x＝0， ∴x＝0.5是原方程的增根， 原方程无解． 【题型3 分式方程的解的情况求参数】 8．关于x的方程有增根，则m的值为　 　 ． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值． 【解答】解：去分母得：5x﹣4＝m﹣（x﹣3）， ∵关于x的方程有增根， ∴x﹣3＝0，解得x＝3， 把x＝3代入整式方程得m＝11． 故答案为：11． 9．已知关于x的分式方程与的解相同，则m的值是　 　 ． 【分析】求出方程的解，把解代入分式方程2，求出m即可． 【解答】解：解方程， ∴x＝2（x﹣1）， ∴x＝2， 经检验x＝2时x（x﹣1）＝2≠0， ∴x＝2是方程的解， 把x＝2代入方程2， 得m＝5， 故答案为：5． 10．若关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是　 　 ． 【分析】先解一元一次不等式组，求出x的取值范围，然后根据关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，求出a的取值范围，再解分式方程，根据关于y的分方程有非负整数解，列出关于a的不等式，求出a的值，从而求出答案即可． 【解答】解：关于x的一元一次不等式组的解集为x≤5， ∵一元一次不等式组有且只有4个整数解，即2，3，4，5， ∴， ∴4≤a＜10 ∴a＝4或5或6或7或8或9， 关于y的分式方程的解为， ∵分式方程有非负整数解， ∴，为整数，即8﹣a＝0或2或4或6或8， ∴a＝8或6或4或2或0， ∵y﹣1≠0， ∴ ∴8﹣a≠2， ∴a≠6， ∴a＝8或4或2或0． ∵4≤a＜10， ∴符合条件的整数a有4，8． ∴4+8＝12． 故答案为：12． 11．若数a使关于x的不等式组，有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为 　 　 ． 【分析】先求解不等式组，根据不等式组有且仅有四个整数解，得出﹣2≤a＜2，再解分式方程，根据分式方程有非负数解，得到a≤2且a≠1，进而得到满足条件的整数a的值即可． 【解答】解：解不等式组， 可得：， ∴x＜5， ∵不等式组有且仅有四个整数解， ∴01， ∴﹣2＜a≤2， 解分式方程， 可得y＝2﹣a， 又∵分式方程有非负数解， ∴y≥0，且y≠1， 即2﹣a≥0，2﹣a≠1， 解得a≤2且a≠1， ∴﹣2＜a≤2且a≠1， ∴满足条件的整数a的值为﹣1，0，2． 则符合条件的所有整数a的和1． 故答案为：1． 12．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为 　 　 ． 【分析】先根据不等式组的解的情况得出a的取值范围，再根据分式方程的解为正整数解进一步得出a的值，即可得出答案． 【解答】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵关于x的不等式组无解， ∴， 解得a≤4， ， 方程可化为， 方程两边同乘y﹣2得，a﹣3（y﹣2）＝y﹣6， 解得， ∵y是正整数，a≤4， ∴a＝4或a＝﹣4或a＝﹣8或a＝0， 当a＝﹣4时，y＝2，分式方程无解，舍去， ∴a＝4或a＝﹣8或a＝0， ∴满足条件的所有整数a的和为4﹣8+0＝﹣4， 故答案为：﹣4． 13．已知关于x的分式方程． （1）当分式方程有增根时，求m的值． （2）当分式方程的解为正数时，求m的取值范围． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程， （1）由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，代入整式方程计算即可求出m的值； （2）表示出分式方程的解，由分式方程的解是正数，求出m的范围即可． 【解答】解：去分母得：x＝3（x﹣1）﹣（m﹣2）， （1）由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1， 把x＝1代入整式方程得：m＝1； （2）解得：x， 根据分式方程的解为正数，得到0，且1， 解得：m＞﹣1且m≠1． 14．已知关于x的方程． （1）当m为何值时会产生增根？ （2）当m为何值时，此方程无解？ 【分析】（1）根据分式方程增根的定义得出x＝2或x＝﹣2是原方程的增根，再将其代入化为整式方程即可； （2）原方程无解包括两个方面，即分式方程产生增根或化为整式方程后，整式方程无解即可． 【解答】解：（1）方程的增根是x＝2或x＝﹣2， 将原方程的两边都乘以（x+2）（x﹣2）得， 2（x+2）+mx＝3（x﹣2）， 去括号得，2x+4+mx＝3x﹣6， 即（m﹣1）x＝﹣10， 当x＝2时，即（m﹣1）×2＝﹣10，解得m＝﹣4， 当x＝﹣2时，即（m﹣1）×（﹣2）＝﹣10，解得m＝6， 所以当m＝﹣4或m＝6时，方程产生增根； （2）当m＝﹣4或m＝6方程会产生增根，此时原方程无解， 对于方程（m﹣1）x＝﹣10，当m＝1时，此方程无解，即原方程无解， 所以当m＝﹣4或m＝6或m＝1时，原方程无解． 15．已知关于x的分式方程． （1）若方程的解为x＝﹣1，求m的值． （2）若方程的解为非负数，求m的取值范围． 【分析】（1）把方程的解代入方程求解即可； （2）根据分式方程的求解方法，注意分母不为零，且解为非负数的条件． 【解答】解：（1）当x＝﹣1时，， 解得m＝﹣7． （2）原方程去分母得x﹣4（x﹣1）＝﹣m， 解得， ∵分式方程有解且解为非负数，且x≠1， ∴且， 解得m≥﹣4且m≠﹣1． 16．若关于x的分式方程的解大于1，求m的取值范围． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，令解大于1求出m的范围即可． 【解答】解：， 方程两边同时乘以最简公分母（x+2）（x﹣2）， 得（x+2）+2（x﹣2）＝x+2m， 去括号，得x+2+2x﹣4＝x+2m， 解方程，得x＝m+1， 检验：当m+1≠2，m+1≠﹣2， 即m≠1且m≠﹣3时，x＝m+1是原分式方程的解， 根据题意可得，m+1＞1， ∴m＞0且m≠1． 故m的取值范围为：m＞0且m≠1． 17．已知，关于x的方程：． （1）若方程无解，求m的取值； （2）若方程的解为整数，求整数m的值． 【分析】（1）根据分式方程的解法得出（m﹣9）x＝3，分当x＝±1时方程有增根，当m﹣9＝0时原分式方程无解，从而求解； （2）由（m﹣9）x＝3，得，然后根据方程的解为整数得出m﹣9＝±3，m﹣9＝±1，最后求解并检验即可． 【解答】解：（1）， 去分母，得3（x﹣1）+6（x+1）＝mx， 去括号，得3x﹣3+6x+6＝mx， 移项、合并同类项，得（m﹣9）x＝3， 当x＝﹣1时，得9﹣m＝3， 解得m＝6； 当x＝1时，得m﹣9＝3， 解得m＝12， ∴若方程有增根，m的取值为6或12； ∵（m﹣9）x＝3， ∴当m﹣9＝0时原分式方程无解， ∴m＝9， ∵当m＝6或12时方程有增根， ∴若方程无解，m的取值为6或9或12； （2）由（1）知，（m﹣9）x＝3， ∴， ∵方程的解为整数， ∴m﹣9＝±3，m﹣9＝±1， 当m﹣9＝3时，m＝12（舍去）； 当m﹣9＝﹣3时，m＝6（舍去）； 当m﹣9＝1时，m＝10； 当m﹣9＝﹣1时，m＝8； ∴m＝8或10． 【题型4 分式方程的应用】 18．已知某款电动汽车平均每公里的行驶费用比某款燃油车平均每公里的行驶费用少0.6元．当两款车的行驶费用均为100元时，电动汽车可行驶的总里程是燃油车的4倍． （1）求这款电动汽车平均每公里的行驶费用． （2）电动汽车和燃油车每年的其他费用（含保险费、保养费等）分别为7500元和4500元．当两款车每年的行驶里程均为a公里时，电动汽车和燃油汽车的年度总费用之比为2：3，求a的值． 【分析】（1）设这款电动汽车平均每公里的行驶费用为x元，则燃油车平均每公里的行驶费用为（x+0.6）元，根据当两款车的行驶费用均为100元时，电动汽车可行驶的总里程是燃油车的4倍，列出分式方程，解方程即可； （2）根据电动汽车和燃油汽车的年度总费用之比为2：3，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设这款电动汽车平均每公里的行驶费用为x元， 根据题意得：4， 解得：x＝0.2， 经检验，x＝0.2是方程的解，且符合题意， 答：这款电动汽车平均每公里的行驶费用为0.2元； （2）由（1）可知，燃油车平均每公里的行驶费用为0.2+0.6＝0.8（元）， 由题意得：， 解得：a＝13500， 经检验，a＝13500是方程的解，且符合题意， 答：a的值为13500． 19．在田径铁饼赛场上，使用机器狗送铁饼．某次运铁饼过程中，甲机器狗比乙机器狗每秒多跑0.5米，甲机器狗跑135米与乙机器狗跑120米所用时间相等．问乙机器狗这次运铁饼的速度是多少？ （1）小佳同学设乙机器狗这次运铁饼的速度是xm/s，可列方程为 　　 ．小琪同学设甲机器狗这次运铁饼的所用时间是ys，可列方程为 　 ． （2）请你按照（1）中小佳同学的解题思路，写出完整的解答过程． 【分析】（1）根据甲机器狗比乙机器狗每秒多跑0.5米，甲机器狗跑135米与乙机器狗跑120米所用时间相等，分别列出分式方程即可； （2）设乙机器狗这次运铁饼的速度是xm/s，则甲机器狗这次运铁饼的速度是（x+0.5）m/s，根据甲机器狗跑135米与乙机器狗跑120米所用时间相等，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：（1）小佳同学设乙机器狗这次运铁饼的速度是xm/s，可列方程为； 小琪同学设甲机器狗这次运铁饼的所用时间是ys，可列方程为0.5； 故答案为：；0.5； （2）设乙机器狗这次运铁饼的速度是xm/s，则甲机器狗这次运铁饼的速度是（x+0.5）m/s， 根据题意得：， 解得：x＝4， 经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意， 答：乙机器狗这次运铁饼的速度是4m/s． 20．金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车油箱容积：40升，油价：9元/升，续航里程：a千米，每千米行驶费用： 元； 新能源车电池电量：100千瓦时，电价：0.6元/千瓦时，续航里程：a千米，每千米行驶费用： 　　 元． （1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用； （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.5元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用） 【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.5元，列出分式方程，解方程即可； ②根据燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）由表格可知，新能源车的每千米行驶费用为：（元）， 即新能源车的每千米行驶费用为元； 故答案为：； （2）①由题意得：0.5， 解得：a＝600， 经检验，a＝600是原分式方程的解，且符合题意， ∴0.6，0.1， 答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.1元； ②设每年行驶里程为xkm， 由题意得：0.6x+4800＞0.1x+7500， 解得：x＞5400， 答：当每年行驶里程大于5400km时，买新能源车的年费用更低． 21．两个小组同时开始攀登一座450m高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早15min到达顶峰． （1）求第二组的攀登速度； （2）第二组下山时为了缩短时间，准备加快速度，现有两种方案： ①前一半路程速度为pm/min，后一半路程速度为qm/min； ②返回速度始终保持为 m/min．其中p≠q，且p，q均为正数，两种方案哪种平均速度更快？ 【分析】（1）设第二组的攀登速度为xm/min，则第一组的攀登速度为1.2xm/min，根据第一小组比第二组早15min到达顶顶，列出分式方程，解方程即可； （2）求出方案①的平均速度为，再由，即可解决问题． 【解答】解：（1）设第二组的攀登速度为xm/min，则第一组的攀登速度为1.2xm/min， 由题意得：15， 解得：x＝5， 经检验：x＝5是原分式方程的解，且符合题意， 答：第二组的攀登速度为5m/min； （2）方案①的平均速度为：， ， ∵p≠q，且p，q均为正数， ∴（p﹣q）2＞0，2（p+q）＞0， ∴0， ∴， ∴方案②平均速度更快． 22．武汉某快递仓库使用机器人分拣货物，已知一台机器人每小时的工作效率相当于一名工人每小时工作效率的20倍，若用一台机器人分拣6000件货物，比原先30名工人分拣这些货物只多用小时． （1）求一台机器人每小时可分拣多少件货物？ （2）此仓库“双十二”前夕收到货物68万件，为了在6小时内分拣完所有货物，公司调配了20台机器人和20名工人，工作3小时后，又调配了15台机器人进行增援，该公司能否在规定的时间内完成任务？请说明理由． （3）公司技术部为了提速，对机器人“东东”的程序进行优化．若该仓库有a万件货物待分拣，用相同的时间分拣，提速后的“东东”可比提速前多分拣1万件，则机器人“东东”平均提速 　　 件/小时（用含a的式子表示）． 【分析】（1）设一名工人每小时可分拣x件货物，则一台机器人每小时可分拣20x件货物，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合“用一台机器人分拣6000件货物，比原先30名工人分拣这些货物只多用小时”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值，再将其代入20x中，即可求出结论； （2）利用工作总量＝工作总量×工作时间，可求出6小时内分拣货物的总件数，再将其与68万件比较后，即可得出结论； （3）设机器人“东东”平均提速y件/小时，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，可列出关于y的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：（1）设一名工人每小时可分拣x件货物，则一台机器人每小时可分拣20x件货物， 根据题意得：， 解得：x＝200， 经检验，x＝200是所列方程的解，且符合题意， ∴20x＝20×200＝4000（件）． 答：一台机器人每小时可分拣4000件货物； （2）该公司能在规定的时间内完成任务，理由如下： 200×20×6+4000×20×6+4000×15×（6﹣3） ＝200×20×6+4000×20×6+4000×15×3 ＝24000+480000+180000 ＝684000（件）， ∵684000＞680000＝68万， ∴该公司能在规定的时间内完成任务； （3）设机器人“东东”平均提速y件/小时， 根据题意得：， 解得：y， 经检验，y是所列方程的解，且符合题意， ∴机器人“东东”平均提速件/小时． 故答案为：． 23．铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． （1）求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【分析】（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量＝工作效率×工作时间列方程求解； （2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断． 【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需x天，那么甲队单独完成这项工作所需天数是天， 根据题意得：， 解得：x＝90， 经检验：x＝90是原方程的解， ， 因此，甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天； （2）设甲队和乙队合作a天完成． 根据题意得：， 解得：a＝36， 需要施工费用：36×（8.4+6.6）＝540＞500（万元）． ∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元． 24．中国吉林地处“世界三大黄金玉米带”之一的核心种植区，为了提高玉米收割效率，计划引进甲、乙两种类型收割机． （1）若在相同时间内，1台甲型收割机能收割100公顷地，1台乙型收割机能收割120公顷地，1台乙型收割机比1台甲型收割机每天多收割0.8公顷地，求甲、乙两种类型收割机每台每天收割的玉米地各是多少公顷． （2）若1台甲型收割机每天可以收割a公顷地，1台乙型收割机每天可以收割b公顷地，（其中a≠b）．现在要收割一块面积为S公顷的玉米试验田，有两种收割方案： 方案一：一半的面积由1台甲型收割机收割，另一半的面积由1台乙型收割机收割； 方案二：完成整个收割工作的前一半时间由1台甲型收割机收割，后一半时间由1台乙型收割机收割． ①小贺同学选择方案一，列了这样一个式子：， 化简后可得方案一所用时间是　　 天； 小蔓同学选择方案二，设t天可以完成，列方程， 解得所用时间是t＝　　 天．（用含a、b、S的式子表示） ②请你判断哪种方案所用时间少，并说明理由． 【分析】（1）设甲型收割机每台每天收割x公顷玉米地，则乙型收割机每台每天收割（x+0.8）公顷玉米地，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合“在相同时间内，1台甲型收割机能收割100公顷地，1台乙型收割机能收割120公顷地”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即甲型收割机每台每天收割玉米地的公顷数），再将其代入（x+0.8）中，即可求出乙型收割机每台每天收割玉米地的公顷数； （2）①化简后，可得出方案一所用时间，解方案二，可求出方案二所用时间； ②两方案所用时间作差后，可得出，由a＞0，b＞0，且a≠b，可得出0，进而可得出0，即方案二所用时间少． 【解答】解：（1）设甲型收割机每台每天收割x公顷玉米地，则乙型收割机每台每天收割（x+0.8）公顷玉米地， 根据题意得：， 解得：x＝4， 经检验，x＝4是所列方程的解，且符合题意， ∴x+0.8＝4+0.8＝4.8（公顷）． 答：甲型收割机每台每天收割4公顷玉米地，乙型收割机每台每天收割4.8公顷玉米地； （2）①小贺同学选择方案一，列了这样一个式子：， 化简后可得方案一所用时间是天； 小蔓同学选择方案二，设t天可以完成，列方程， 解得所用时间是t天．（用含a、b、S的式子表示） 故答案为：，； ②方案二所用时间少，理由如下： ， ∵a＞0，b＞0，且a≠b， ∴（a﹣b）2S＞0，2ab（a+b）＞0， ∴0， 即0， ∴方案二所用时间少． 25．定义一种新运算“※”为：，则方程的解为（　　） A．x＝3 B．x＝6 C．x＝8 D．x＝10 【分析】根据定义新运算得到方程，再解分式方程求出x的值即可． 【解答】解：由新定义，可得方程， 方程两边同时乘（x﹣9），得1＝﹣2﹣（x﹣9）， 去括号，得1＝﹣2﹣x+9， 解得：x＝6， 经检验，x＝6是原方程的解． 故选：B． 26．题目：当a≠b时，定义一种新运算：F（a，b）． 例：F（3，1）1，F（﹣1，4）．若F（m，2）﹣F（2，m）＝1，则m的值为（　　） A． B． C．或0 D．0 【分析】利用题中给出的新运算化简、计算即可得出m的值． 【解答】解：当m＞2时， 由F（m，2）﹣F（2，m）＝1得1， 去分母，得2﹣2m＝m﹣2， 解得m2，不合题意，舍去； 当m＜2时， 由F（m，2）﹣F（2，m）＝1得1， 去分母，得4﹣2＝2﹣m， 解得m＝0＜2，符合题意； 综上，m＝0， 故选：D． 27．给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对（a，b）称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当a＝3，b＝2时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对（3，2）称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． （1）在数对①（1，0）；②（2，﹣3）；③中，　 　 （只填号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； （2）若数对（t﹣2，2+t）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； （3）若数对（c+d，d）（c≠±1且c≠0）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程dy﹣c+1＝0有整数解，直接写出整数c的值． 【分析】（1）根据定义，计算判断即可； （2）根据定义，分式方程的解为，代入方程求t的值即可； （3）根据数对（c+d，d）（c≠±1且c≠0）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，得关于x的分式方程的解是，回代方程，得c2+cd﹣d＝1，结合关于y的方程dy﹣c+1＝0的解为，且方程有整数解，解答即可． 【解答】解：（1）当a＝1，b＝0时，使得关于x的分式方程的解是成立， 所以数对（1，0）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，故①正确； 当 a＝﹣2，b＝3时，使得关于x的分式方程.的解是， ， 所以数对 （2，﹣3）不是关于x的分式方程的一个“1相关系数”；故②错误； 当，时，使得关于x的分式方程的解是， 无意义， 所以数对不是关于x的分式方程的一个“1相关系数”；故③错误； 故答案为：①； （2）根据定义，分式方程的解为， 故， 解得t＝1； （3）根据数对（c+d，d）（c≠±1且c≠0）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”， 得关于x的分式方程的解是， 回代方程，得c2+cd﹣d＝1， 整理，得 （c﹣1）（c+1）+d（c﹣1）＝0， ∴（c﹣1）（c+d+1）＝0， ∵c≠±1且c≠0， ∴c+d+1＝0， ∴c＝﹣d﹣1， ∵方程 dy﹣c+1＝0的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴d＝±1，d＝±2， 当d＝±1时，c＝﹣2，c＝0（舍去）； 当d＝±2时，c＝﹣3，c＝1（舍去）； 故c＝﹣2或c＝﹣3． 28．新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对[a，b]称为关于x的分式方程的一个“关联数对”．例如：a＝2，b＝﹣5使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对[2，﹣5]就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． （1）下列数对是关于x的分式方程的“关联数对”有A ．（填字母） A．[3，﹣5]B．[1，4]C．[﹣3，1]D．[3，0] （2）若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． 【分析】（1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案． 【解答】解：（1）当a＝3，b＝﹣5时， 分式方程， 解得， ∵， ∴[3，﹣5]是“关联数对”； 把a＝﹣3，b＝1代入方程， 解方程：，此方程无解， ∴[﹣3，1]不是“关联数对”， 把a＝1，b＝4代入方程， 解方程：，得， 计算， ∴[1，4]不是“关联数对”； 把a＝3，b＝0代入方程， 解方程：，得x＝﹣3， ， ∴[3，0]不是“关联数对”， 故答案为：A； （2）∵是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴， 解得， ∴， 解得n＝2． 29．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义： ①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝x与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； （2）是否存在实数a，使关于x的一元一次方程（2﹣a）x+2＝x与分式方程1是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据新定义求解； （2）根据新定义求解． 【解答】解：（1）一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝x与分式方程是“相伴方程”； 理由：解一元一次方程得：x＝﹣1， 解分式方程得：x＝﹣1， ∴一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝x与分式方程是“相伴方程”； （2）不存在实数a，使关于x的一元一次方程（2﹣a）x+2＝x与分式方程1是“相伴方程”． 理由：解（2﹣a）x+2＝x得：x， 当a＝﹣1时x的整数解为x＝﹣1， 当a＝0时x的整数解为x＝﹣2， 当a＝2时x的整数解为x＝2， 当a＝3时x的整数解为x＝1， 解分式方程1得：x，且2， 当a＝1时，x的整数解为x＝4， 当a＝4时，x的整数解为x＝1， 当a＝﹣1时，x的整数解为x＝﹣4， 当a＝﹣2时，x的整数解为x＝﹣2， 当a＝﹣4时，x的整数解为x＝﹣1， 综上所述：不存在实数a，使关于x的一元一次方程（2﹣a）x+2＝x与分式方程1是“相伴方程”． 30．形如（a，b不为零，且两个解分别为x1＝a，x2＝b（a＞b）的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴x1＝3，x2＝1． 再如为十字分式方程，可化为，∴x1＝﹣2，x2＝﹣4． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为十字分式方程，则x1＝　 　 ，x2＝　 　 ． （2）若十字分式方程的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求的值． （3）若关于x的十字分式方程的两个解分别为x1，x2（其中x1＞x2，k＞0），求x1x2﹣7x2的最大值． 【分析】（1）类比题目中十字分式方程的答题方法即可求解； （2）结合运用十字分式方程并代数运算即可求解； （3）把原方程变形为，再结合运用十字分式方程的解得到x1＝k+3，x2＝﹣2k，代入式子根据平方的非负性求解即可． 【解答】解：（1）可化为， ∴x1＝5，x2＝2． 故答案为：5，2； （2）由条件可知mn＝﹣3，m+n＝﹣1， ∴ ． （3）关于x的十字分式方程可化为， ∴x1﹣3＝k，x2﹣3＝﹣2k﹣3， ∴x1＝k+3，x2＝﹣2k， ∴， ∴x1x2﹣7x2的最大值为8． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $