寒假作业09 整式的乘法（巩固培优）八年级数学新教材人教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业09 整式的乘法 【知识点1 整式的乘法】 【单项式与单项式相乘】 法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． （1）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏． （2）单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用． （3）单项式乘单项式的结果仍然是单项式． 【单项式与多项式相乘】 法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是单项式）． 【注意】 （1）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项． （2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号． （3）对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果． 【多项式与多项式相乘】 （1）法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘，得m（a+b+c）与n（a+b+c），再用单项式乘多项式的法则展开，即 （m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc． 【注意】 （1）运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏． （2）多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积． 【单项式除以单项式】 单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式． 【多项式除以单项式】 多项式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【注意】 （1）多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号． （2）多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项． （3）多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验． 【知识点2 乘法公式】 【平方差公式】 （1）平方差公式 语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式． （2）平方差公式的特点 ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． ②右边是相同项的平方减去相反项的平方． ③公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以是多项式． 【完全平方公式】 （1）完全平方公式 ， 语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式． （2）完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 平方差公式与完全平方式】 1．下列式子：①（x﹣y）（x+y）；②（﹣x﹣y）（x+y）；③（x﹣y）（y﹣x）；④（x+y）（﹣y+x）；⑤（y+x）（﹣y﹣x）；⑥（﹣x+y）（﹣x﹣y）中符合平方差公式特征的有　 　 ．（填序号） 【分析】根据平方差公式的特点：左边是两个二项式相乘，且两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式．据此判断即可． 【解答】解：根据平方差公式的特点：左边是两个二项式相乘，且两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式可得： ①（x﹣y）（x+y）符合平方差公式的特点； ②（﹣x﹣y）（x+y）不符合平方差公式的特点； ③（x﹣y）（y﹣x）＝﹣（x﹣y）（x﹣y），不符合平方差公式的特点； ④（x+y）（﹣y+x），符合平方差公式的特点； ⑤（y+x）（﹣y﹣x）＝﹣（y+x）（y+x）不符合平方差公式的特点； ⑥（﹣x+y）（﹣x﹣y），符合平方差公式的特点． 故答案为：①④⑥． 2．若b为常数，且4x2﹣2（b+2）+x+25是完全平方式，那么b＝ 　　 ． 【分析】根据完全平方的特点，将等式整理后得到（2x）2+x+（21﹣2b），根据二倍积是1可列出方程，求出b值即可． 【解答】解：原多项式可整理得：（2x）2+x+（21﹣2b）， ∵4x2﹣2（b+2）+x+25是完全平方式， ∴2×21， ∴， ∴21﹣2b， 解得：b， 故答案为：． 3．若整式9a2﹣（k﹣3）ab+b2是一个完全平方式，则常数k＝　 　 ． 【分析】根据完全平方式，整式应能写成（pa±qb）2的形式，通过比较系数求解． 【解答】解：根据完全平方式可设完全平方式为（3a±b）2，展开得9a2±6ab+b2． 与给定的整式比较系数得±6＝﹣（k﹣3） 当6＝﹣（k﹣3）时，k＝﹣3； 当﹣6＝﹣（k﹣3）时，k＝9． 故答案为：9或﹣3． 【题型2 整式乘法的相关计算】 4．运用乘法公式计算： （1）2（x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3）； （2）1232﹣124×122． 【分析】（1）先用完全平方公式，平方差公式计算，再去括号，合并同类项； （2）利用平方差公式简化运算． 【解答】解：（1）原式＝2（x2﹣2x+1）﹣[（2x）2﹣32] ＝2x2﹣4x+2﹣4x2+9 ＝﹣2x2﹣4x+11； （2）原式＝1232﹣（123+1）×（123﹣1） ＝1232﹣（1232﹣12） ＝1232﹣1232+1 ＝1． 5．计算 （1）（x2）2﹣x2（x2﹣1）； （2）（a+2b）2+4a（a﹣b）； （3）（8a2b2﹣4ab3）÷4ab﹣（2a+b）（2a﹣b）． 【分析】（1）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答； （2）利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答； （3）利用多项式除以单项式的法则，平方差公式进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）（x2）2﹣x2（x2﹣1） ＝x4﹣x4+x2 ＝x2； （2）（a+2b）2+4a（a﹣b） ＝a2+4ab+4b2+4a2﹣4ab ＝5a2+4b2； （3）（8a2b2﹣4ab3）÷4ab﹣（2a+b）（2a﹣b） ＝2ab﹣b2﹣4a2+b2 ＝2ab﹣4a2． 6．计算： （1）﹣2a2（3ab2﹣5ab3+1）； （2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）； （3）4xy（3x2+2xy﹣1）； （4）2（x+2）（2x+3）﹣3（1﹣x）（x+6）． 【分析】（1）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （2）根据多项式乘多项式的运算法则展开，再合并同类项即可； （3）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （4）根据多项式乘多项式的运算法则展开，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣6a3b2+10a3b3﹣2a2． （2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y） ＝6x2﹣9xy+4xy﹣6y2﹣9x2+6xy ＝﹣3x2+xy﹣6y2． （3）4xy（3x2+2xy﹣1） ＝4xy×3x2+4xy×2xy﹣4xy×1 ＝12x3y+8x2y2﹣4xy． （4）2（x+2）（2x+3）﹣3（1﹣x）（x+6） ＝（2x+4）（2x+3）﹣（3﹣3x）（x+6） ＝4x2+6x+8x+12﹣（3x+18﹣3x2﹣18x） ＝4x2+14x+12﹣（18﹣3x2﹣15x） ＝4x2+14x+12﹣18+3x2+15x ＝7x2+29x﹣6． 7．（1）化简求值：（2a+b+1）（2a﹣b﹣1）﹣（a+2b）（﹣2b+a）+2b，其中a、b满足|a+b﹣3|+（ab+2）2＝0． （2）若a、b、c满足c2＝a2+b2，且，求c的值． 【分析】（1）先根据平方差公式展开，再合并同类项得出化简结果，然后根据非负性及完全平方公式求出a2+b2＝13，最后代入计算即可得出答案； （2）先根据多项式乘多项式的运算法则展开合并得出a+b＝4，，再根据完全平方公式及等量代换即可得出c2＝9，最后求平方根即可得出答案． 【解答】解：（1）原式＝[2a+（b+1）][2a﹣（b+1）]﹣（a+2b）（a﹣2b）+2b ＝（2a）2﹣（b+1）2﹣（a2﹣4b2）+2b ＝4a2﹣（b2+2b+1）﹣a2+4b2+2b ＝4a2﹣b2﹣2b﹣1﹣a2+4b2+2b ＝3a2+3b2﹣1 ＝3（a2+b2）﹣1， 由条件可知a+b﹣3＝0，ab+2＝0， ∴a+b＝3，ab＝﹣2， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴32＝a2+b2+2×（﹣2）， ∴a2+b2＝13， ∴原式＝3×13﹣1＝38； （2）∵， ∴， ∴a+b＝4，， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴， ∴a2+b2＝9， ∵c2＝a2+b2， ∴c2＝9， ∴c＝±3． 8．（1）先化简，再求值：（x+3）（x+1）+x（x﹣4）﹣3x2，其中； （2）先化简，后求值：[（2x﹣y）2+（2x+y）（2x﹣y）﹣4xy]÷2x，其中． 【分析】（1）先利用单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答； （2）先利用平方差公式，完全平方公式计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）（x+3）（x+1）+x（x﹣4）﹣3x2 ＝x2+4x+3+x2﹣4x﹣3x2 ＝﹣x2+3， 当时，原式＝﹣（）2+33＝2； （2）[（2x﹣y）2+（2x+y）（2x﹣y）﹣4xy]÷2x ＝（4x2﹣4xy+y2+4x2﹣y2﹣4xy）÷2x ＝（8x2﹣8xy）÷2x ＝4x﹣4y， 当时，原式＝4×（﹣4）﹣416﹣1＝﹣17． 【题型3 乘法公式变形求值】 9．已知实数a，b满足a+b＝2，则a2﹣b2+4b＝　 　 ． 【分析】利用平方差公式将原式变形后代入数值计算，然后将其整理后再代入数值计算即可． 【解答】解：∵a+b＝2， ∴a2﹣b2+4b ＝（a+b）（a﹣b）+4b ＝2（a﹣b）+4b ＝2a﹣2b+4b ＝2a+2b ＝2（a+b） ＝2×2 ＝4， 故答案为：4． 10．已知x2y+xy2＝10，x+y＝5，x2﹣xy+y2＝　 　 ． 【分析】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可． 【解答】解：∵x2y+xy2＝10， ∴xy（x+y）＝10， ∵x+y＝5， ∴xy＝2， ∴x2﹣xy+y2 ＝x2+2xy+y2﹣3xy ＝（x+y）2﹣3xy ＝52﹣3×2 ＝19． 故答案为：19． 11．已知实数x满足（x﹣2023）2+（x﹣2025）2＝56，则（x﹣2024）2的值是　 　 ． 【分析】通过换元法简化计算，利用完全平方式展开并合并同类项求解． 【解答】解：根据题意，设 t＝x﹣2024，则 x﹣2023＝t+1，x﹣2025＝t﹣1， ∴方程（x﹣2023）2+（x﹣2025）2＝56可转化为：（t+1）2+（t﹣1）2＝56， t2+2t+1+t2﹣2t+1＝56， 2t2+2＝56， t2＝27， ∴（x﹣2024）2＝t2＝27． 故答案为：27． 12．若a+2b＝3，ab＝5，则a2+5ab+4b2＝　 　 ． 【分析】利用已知条件a+2b＝3和ab＝5，通过平方公式求出（a+2b）2的值，再代入所求表达式计算． 【解答】解：∵a+2b＝3，ab＝5， ∴（a+2b）2＝a2+4ab+4b2＝9， ∴a2+5ab+4b2 ＝a2+4ab+4b2+ab ＝9+5 ＝14， 故答案为：14． 13．已知实数a，b满足a2＝2b+7，b2＝2a+7，且a≠b，则a+b的值为　 　 ． 【分析】先根据已知条件得到关于a、b的等式，再通过变形求出a+b的值． 【解答】解：已知a2＝2b+7，b2＝2a+7， 将两式相减可得：a2﹣b2＝（2b+7）﹣（2a+7）， 去括号得：a2﹣b2＝2b+7﹣2a﹣7， 合并同类项得：a2﹣b2＝2b﹣2a， 则（a+b）（a﹣b）＝﹣2（a﹣b）． 因为a≠b，所以a﹣b≠0，等式（a+b）（a﹣b）＝﹣2（a﹣b）两边同时除以（a﹣b）， 可得：a+b＝﹣2． 故答案为：﹣2． 14．已知a＝x+2025，b＝x+2023，c＝x+2024，若a2+b2＝8，则c2的值是　 　 ． 【分析】由题意易得（x+2025）2+（x+2023）2＝8，将其变形后利用完全平方公式展开，解得的值（x+2024）2即可． 【解答】解：∵a＝x+2025，b＝x+2023，a2+b2＝8， ∴（x+2025）2+（x+2023）2＝8， ∴[（x+2024）+1]2+[（x+2024）﹣1]2＝8， ∴（x+2024）2+2（x+2024）+1+（x+2024）2﹣2（x+2024）+1＝8， ∴2（x+2024）2+2＝8， ∴（x+2024）2＝3， 即c2的值是3， 故答案为：3． 【题型4 整式乘法中求参问题】 15．已知代数式A＝x2+mx﹣3，B＝2x+n． （1）A与B的积中不含x的二次项，且常数项为﹣6，求m、n的值； （2）在（1）的条件下，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值． 【分析】（1）根据多项式乘多项式的计算方法进行计算，再令x的二次项系数为0，常数项为﹣6，进而求出m、n的值； （2）把（1）中的m、n的值，代入计算即可． 【解答】解：（1）∵A＝x2+mx﹣3，B＝2x+n． ∴AB＝（x2+mx﹣3）（2x+n） ＝2x3+（2m+n）x2+（mn﹣6）x﹣3n， ∵A与B的积中不含x的二次项，且常数项为﹣6， ∴2m+n＝0，﹣3n＝﹣6， 解得m＝﹣1，n＝2； （2）当m＝﹣1，n＝2时， （m+n）（m2﹣mn+n2）＝（﹣1+2）（1+2+4）＝7． 16．若的展开式中不含x2和x3的项． （1）求p、q的值； （2）求代数式（﹣2p2q）3+6p6q3+p2024q2025的值． 【分析】（1）先由多项式乘多项式运算法则展开，再根据的展开式中不含x2和x3的项，得到p﹣3＝0，，解方程即可得到答案； （2）由（1）知，，先化简代数式得到﹣2p3（pq）3+（pq）2024q，再将，pq＝﹣1代入计算即可得到答案． 【解答】解：（1）原式 ， ∵的展开式中不含x2和x3的项， ∴p﹣3＝0，， 解得：； （2）由（1）知，， ∴原式＝﹣8p6q3+6p6q3+p2024q2025 ＝﹣2p6q3+p2024q2025 ＝﹣2p3（pq）3+（pq）2024q， ∵， ∴﹣2p3（pq）3+（pq）2024q ． 17．小华和小明同时计算一道整式乘法题（2x+a）（3x+b）．小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把+a抄成了﹣a，得到结果为6x2+11x﹣10；小明把第二个多项式中的3x抄成了x，得到结果为2x2﹣9x+10． （1）求a，b的值； （2）请计算出这道题的正确结果． 【分析】（1）根据小华的解题过程得出（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+11x﹣10，即可求出2b﹣3a＝11，根据小明的解题过程得出（2x+a）（x+b）＝2x2﹣9x+10，即可求出2b+a＝﹣9，从而求出a、b的值； （2）把（1）中a、b的值代入，再根据多项式乘多项式的法则计算即可． 【解答】解：（1）（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+11x﹣10， 6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2+11x﹣10， ∴2b﹣3a＝11①，﹣ab＝﹣10， （2x+a）（x+b）＝2x2﹣9x+10， 2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣9x+10， ∴2b+a＝﹣9②，ab＝10， ①﹣②，得﹣4a＝20， 解得a＝﹣5， ∴b＝﹣2； （2）由（1）知a＝﹣5，b＝﹣2， ∴（2x+a）（3x+b） ＝（2x﹣5）（3x﹣2） ＝6x2﹣4x﹣15x+10 ＝6x2﹣19x+10． 18．已知a，b，c为实数，且多项式x3+ax2+bx+c能被多项式x2+3x﹣4整除， （1）求4a+c的值； （2）求2a﹣2b﹣c的值； （3）若a，b，c为整数，且c≥a＞1，试确定a，b，c的值． 【分析】（1）由于多项式x3+ax2+bx+c能被多项式x2+3x﹣4整除，则说明当x2+3x﹣4＝0，求出的x也能使x3+ax2+bx+c＝0，从而得到关于a、b、c的两个等式，对两个等式变形，可得4a+c＝12③； （2）由③可得a＝3④，把④代入①，可得b＝﹣4c⑤，然后把④⑤同时代入2a﹣2b﹣c即可求值； （3）由于c≥a＞1，又a＝3，可知1＜33，解即可求出c的范围，但是a、c是大于1的正整数，且a＝3，可求出c，从而求出a、b． 【解答】解：（1）∵x2+3x﹣4是x3+ax2+bx+c的一个因式， ∴x2+3x﹣4＝0，即x＝﹣4，x＝1是方程x3+ax2+bx+c＝0的解， ∴， ①×4+②得4a+c＝12③； （2）由③得a＝3，④ 代入①得b＝﹣4c⑤， ∴2a﹣2b﹣c＝2（3）﹣2（﹣4c）﹣c＝14； （3）∵c≥a＞1，又a＝3， ∴a＝3c， 即1＜3c， 解得c＜8， 又∵a、c是大于1的正整数， ∴c＝3、4、5、6、7，但a＝3，a也是正整数， ∴c＝4， ∴a＝2， ∴b＝﹣4c＝﹣7． 补充方法：x3+ax2+bx+c＝（x2+3x﹣4）（x+p）＝x3+（p+3）x2+（3p﹣4）x﹣4p得a＝p+3，b＝3p﹣4，c＝﹣4p．然后代入第一、二小题得结果．第三小题解关于p的不等式组得p＝﹣1． 故a＝2，b＝﹣7，c＝4． 【题型5 乘法公式的几何背景】 19．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线对折后用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）图2中阴影部分的正方形的边长是 ； （2）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1：　 ；方法2：　 ； （3）观察图2，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　 ； （4）如图3，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形ABCD，正方形CEFG，两正方形的面积分别是S1和S2，若BG＝9，两正方形的面积S1+S2＝47，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）根据拼图即可得出答案； （2）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图2中阴影部分的面积即可； （3）由（2）中两种方法所表示的面积相等即可； （4）设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，根据题意得a+b＝9，a2+b2＝47，由（a+b）2＝a2+2ab+b2代入求出ab的值即可． 【解答】解：（1）图2中阴影部分的正方形的边长是a﹣b， 故答案为：a﹣b； （2）方法1；整体上图2中阴影部分是边长为a﹣b的正方形，因此面积为（a﹣b）2， 方法2：图2中阴影部分也可以看作大正方形与空白部分的面积差，即（a+b）2﹣4ab， 故答案为：（a﹣b）2，（a+b）2﹣4ab； （3）由（2）中两种方法所表示的面积相等可得，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab， 故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； （4）设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b， ∵BG＝BC+CG＝9， ∴a+b＝9， ∵两正方形的面积S1+S2＝47， ∴a2+b2＝47， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴81＝47+2ab， 解得ab＝17， ∴S阴影部分＝S△ACE+S△ACG abab ＝ab ＝17． 20．数学活动：数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． 【知识生成】（1）如图1是一个边长为a+b的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为a和b；图2是一个边长为a的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为a﹣b和b，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式： 图1：　 ；图2：　 ． 【拓展探究】（2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3所示的正方形，请你直接写出阴影部分的面积所揭示的这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系，并通过运算验证它的正确性． 【解决问题】（3）如图4，已知长方形ABCD周长为14cm，分别以AD和CD为边作正方形ADFE和正方形CHGD，已知这两个正方形的面积和为29cm2，求长方形ABCD的面积． 【知识迁移】（4）若（2025﹣m）（2023﹣m）＝12，则（2023﹣m）2+（2025﹣m）2＝　 　 ．（直接写出结果） 【分析】（1）用代数式分别图1、图2中各个部分的面积，由面积之间的和差关系即可得出答案； （2）从整体和部分两个方面用代数式表示图3的面积即可； （3）设长方形ABCD的边AB＝xcm，BC＝ycm，由题意得x+y＝7，x2+y2＝29，根据（x+y）2＝x2+2xy+y2代入计算求出xy的值即可； （4）设p＝2025﹣m，q＝2023﹣m，由题意得p﹣q＝2，pq＝12，根据（2023﹣m）2+（2025﹣m）2＝p2+q2＝（p﹣q）2+2pq代入计算即可． 【解答】解：（1）图1整体上是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，拼成图1的四个部分的面积和为a2+2ab+b2，所以有（a+b）2＝a2+2ab+b2， 图2阴影部分是边长a﹣b的正方形，因此面积为（a﹣b）2，阴影部分也可以看作大正方形与空白部分面积的差，即a2﹣2ab+b2，所以有（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2； （2）图3阴影部分是边长a﹣b的正方形，因此面积为（a﹣b）2，阴影部分也可以看作大正方形与4个空白部分面积的差，即（a+b）2﹣4ab，所以有（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab， 所以代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； （3）设长方形ABCD的边AB＝xcm，BC＝ycm， ∵长方形ABCD周长为14cm， ∴x+y＝7， 又∵两个正方形的面积和为29cm2， ∴x2+y2＝29， ∵（x+y）2＝x2+2xy+y2， ∴49＝29+2xy， 解得xy＝10， 即长方形ABCD的面积为10cm2； （4）设p＝2025﹣m，q＝2023﹣m，则p﹣q＝2，pq＝（2025﹣m）（2023﹣m）＝12， ∴（2023﹣m）2+（2025﹣m）2 ＝p2+q2 ＝（p﹣q）2+2pq ＝4+24 ＝28， 故答案为：28． 21．某数学学习小组在研究数形结合思想方法时，准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中，甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y、宽为x的长方形，并用甲种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：x2+y2＝ 　 ． （2）利用（1）中的等式解决问题： ①若x+y＝10，xy＝19，则x2+y2的值为 　 　 ． ②若x满足（20﹣x）（x﹣30）＝10，求（20﹣x）2+（x﹣30）2的值． （3）如图3，将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上，重叠部分LFKD是一个长方形，AL＝2，CK＝6．沿着LD，KD所在直线将正方形EFGH分割成四个部分，若四边形ELDN和四边形DKGM恰好为正方形，且它们的面积之和为38，求长方形NDMH的面积． 【分析】（1）观察阴影部分，用两种方法求出阴影部分的面积，从而得到答案即可； （2）①利用完全平方公式进行解答即可； ②先求出20﹣x+x﹣30的和，再根据完全平方公式求出答案即可； （3）先设正方形ENDL的边长为x，正方形DKGM的边长为y，再正方形ELDN和四边形DKGM的面积之和为38，求出x2+y2＝38，然后根据完全平方公式求出xy即可． 【解答】解：（1）观察图形可知：阴影部分的面积可以表示为（x+y）2﹣2xy，还可以表示为x2+y2， ∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy， 故答案为：（x+y）2﹣2xy； （2）①∵x+y＝10，xy＝19， ∴x2+y2 ＝（x+y）2﹣2xy ＝102﹣2×19 ＝100﹣38 ＝62， 故答案为：62； ②20﹣x+x﹣30＝﹣10， ∵（20﹣x）（x﹣30）＝10， ∴（20﹣x）2+（x﹣30）2 ＝[（20﹣x）+（x﹣30）]2﹣2（20﹣x）（x﹣30） ＝（﹣10）2﹣2×10 ＝100﹣20 ＝80； （3）设正方形ENDL的边长为x，正方形DKGM的边长为y， 正方形ELDN和四边形DKGM的面积之和为38， ∴x2+y2＝38， ∵AL＝2，CK＝6， ∴AD＝x+2，CD＝y+6， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，即x+2＝y+6， ∴x﹣y＝4， ∴（x﹣y）2＝16， x2+y2﹣2xy＝16， 38﹣2xy＝16， 2xy＝22， xy＝11， ∴长方形NDMH的面积＝xy＝11． 22．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解抽象的数学问题． 探究发现： （1）请写出图1，图3阴影部分的面积分别能解释的整式乘法公式． 图1：　 ；图2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；图3：　 ． 这几个数学公式都可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化解决很多数学问题．例如图4，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 方法一：“数”的解法：方法二：“形”的解法： ∵a+b＝3∴（a+b）2＝9，即a2+2ab+b2＝9 又∵ab＝1 ∴a2+b2＝9﹣2ab＝7． ∵a+b＝3∴S大正方形＝9 又∵ab＝1 ∴S3＝S2＝ab＝1 S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3 ＝9﹣1﹣1＝7 即a2+b2＝7 解决问题： （2）若a+b＝7，ab＝10，则a2+b2＝　 　 ； （3）若，则　 　 ； 能力拓展： （4）如图5，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两个正方形的面积和S1+S2＝72，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）用两种方法分别计算各个图形中阴影部分的面积即可； （2）根据完全平方公式变形求解即可； （3）根据完全平方公式变形求解即可； （4）设AC＝a，BC＝b，则AB＝AC+BC＝a+b＝10，，根据（a+b）2＝a2+2ab+b2求出ab的值，从而求得阴影部分的面积即可． 【解答】解：（1）图1是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2， 组成图1四个部分的面积和为a2+2ab+b2， ∴图1阴影部分的面积能解释的整式乘法公式为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； 图3左图阴影部分是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）， 图3右图中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2， ∴图3阴影部分的面积能解释的整式乘法公式为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （2）∵a+b＝7， ∴（a+b）2＝49，即a2+2ab+b2＝49， 又∵ab＝10， ∴a2+b2＝49﹣2×10＝29； 故答案为：29； （3）∵， ∴，即， ∴， ∴； 故答案为：21； （4）设AC＝a，BC＝b，则，AB＝AC+BC＝a+b＝10， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴100＝72+2ab， 解得ab＝14， ∴， ∴阴影部分的面积为7． 23．数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质． 【教材还原】观察图①，用含字母的等式表示图中图形面积的运算：　 ； 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为 ； （2）根据图②所得的公式，若a+b＝10，a2+b2＝90，则ab＝　 　 ． 【解决问题】如图③，某学校有一块四边形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE，该校计划在△ADE和△BCE区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积为，AC＝9，请求出种草区域的面积． 【分析】教材还原：用不同的方式求面积即可得出（a+b）2＝a2+2ab+b2； 类比探究：（1）根据阴影部分面积等于大正方形面积减去两个白色长方形面积即可求解； （2）根据图②所得的公式求解即可； 解决问题：根据类比探究得出的公式求解即可． 【解答】解：教材还原：图①等号左边大正方形的面积为（a+b）2，等号右边三部分面积和为a2+2ab+b2， 用含字母的等式表示图中图形面积的运算为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2 类比探究：（1）阴影部分由边长为a和边长为b的两个正方形组成， ∴面积和为a2+b2， 也可以看作边长为（a+b）的大正方形减去两个长为a，宽为b的白色长方形面积， ∴面积和为（a+b）2﹣2ab， 用等式表示图中阴影部分图形的面积和为a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， 故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （2）把a+b＝10，a2+b2＝90代入a2+b2＝（a+b）2﹣2a， 解得，ab＝5， 故答案为：5； 解决问题：根据题意可知：在△ADE和△BCE区域内种花，面积为， 即， 得AE2+CE2＝35， ∵AC＝9，即AE+CE＝9， 根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab可得，35＝92﹣2AE•EC， 解得AE•EC＝23， 在△CDE和△ABE的区域内种草，种草区域的面积为， ∴种草区域的面积为23． 24．观察下列各式及其展开式 （a+b）2＝a2+2ab+b2； （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3； （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4； （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5⋯． 请你猜想（2x﹣1）11的展开式中含x2项的系数是 　 　 ． 【分析】利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出（a+b）11的展开式第三项的系数． 【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3， （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4， （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5， …… 依据规律可得到： （a+b）2倒数第三项的系数为1， （a+b）3倒数第三项的系数为3＝1+2， （a+b）4倒数第三项的系数为6＝1+2+3， … ∵（2x﹣1）11展开式有12项，其中含有x2的是第10项为：1+2+3+…+9+10＝55， ∴含有x2项的系数为：22×（﹣1）9×55＝﹣220， 故答案为：﹣220． 25．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，那么（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3…x+1）＝ 　 ． 【分析】通过观察已知等式，左边是（x﹣1）乘以一个从xn﹣1到1的等比数列求和形式，右边是xn﹣1，从而得出一般结论 【解答】解：通过观察已知等式，左边是（x﹣1）乘以一个从xn﹣1到1的等比数列求和形式，右边是xn﹣1， 由已知等式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1， （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1， （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1， 可知，对于正整数n，有：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）＝xn﹣1， 故答案为：xn﹣1． 26．我们定义：一个整式能表示成a2+b2（a、b是整式）的形式，则称这个整式为“完美式”，例如：因为M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x、y是整式），所以M为“完美式”．若S＝x2+4y2﹣10x+12y+k（x，y是整式，k为常数）为“完美式”，则k的值为　 　 ． 【分析】利用完全平方公式分别把含x和y的项写成一个代数式的平方的形式，根据“完全式”的定义得k﹣34＝0，从而得到k的值． 【解答】解：若S＝x2+4y2﹣10x+12y+k（x，y是整式，k为常数）为“完美式”， S＝x2+4y2﹣10x+12y+k ＝x2﹣10x+25+（2y）2+12y+9﹣34+k ＝（x﹣5）2+（2y+3）2+k﹣34， ∵S为“完全式”， ∴k﹣34＝0， ∴k＝34， 故答案为：34． 27．定义：Φ[a，b，c]是以a，b，c为系数的二次多项式，即Φ[a，b，c]＝ax2+bx+c，其中a，b，c均为实数．例如：Φ[1，2，3]＝x2+2x+3，Φ[2，0，﹣2]＝2x2﹣2．完成下面的探究： （1）当x＝3时，Φ[2，﹣1，3]×Φ[﹣1，2，﹣2]的值是　 　 ； （2）若Φ[p，q，﹣1]×Φ[m，n，﹣2]＝x4+2x3﹣3x2﹣x+2，则（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）的值是　 　 ． 【分析】（1）根据新定义，仿照示例，分别求出当x＝3时，两式的值，再求它们的积即可得到结果； （2）把Φ[p，q，﹣1]×Φ[m，n，﹣2]展开后，得到pm＝1，pn+qm＝2，qn﹣2p﹣m＝﹣3，﹣（2q+n）＝﹣1，把（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）展开后代入相应的值，即可得到结果． 【解答】解：（1）∵Φ[2，﹣1，3]＝2x2﹣x+3，Φ[﹣1，2，﹣2]＝﹣x2+2x﹣2， ∴x＝3时，Φ[2，﹣1，3]＝2x2﹣x+3＝18，Φ[﹣1，2，﹣2]＝﹣x2+2x﹣2＝﹣5， ∴Φ[2，﹣1，3]×Φ[﹣1，2，﹣2]＝18×（﹣5）＝﹣90， 故答案为：﹣90； （2）Φ[p，q，﹣1]×Φ[m，n，﹣2] ＝（px2+qx﹣1）（mx2+nx﹣2） ＝pmx4+（pn+qm）x3+（qn﹣2p﹣m）x2﹣（2q+n）x+2 ＝x4+2x3﹣3x2﹣x+2， ∴pm＝1，pn+qm＝2，qn﹣2p﹣m＝﹣3，﹣（2q+n）＝﹣1， ∴（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1） ＝8pm﹣4pn﹣4p﹣4qm+2qn+2q﹣2m+n+1 ＝8pm﹣4（pn+qm）+2（qn﹣2p﹣m）+（2q+n）+1 ＝8﹣4×2+2×（﹣3）+1+1 ＝﹣4， 故答案为：﹣4． 28．定义：一个多项式A乘一个多项式B，运算结果化简后得到多项式C，若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是A的“特别友好多项式”． （1）若A＝x+3，B＝2x﹣1，请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由． （2）若A＝x﹣3，B＝x2+ax+9均是关于x的多项式，且B是A的“特别友好多项式”，求a的值． 【分析】（1）先根据题意，利用多项式乘多项式法则，求出C，然后根据已知条件中的新定义进行判断即可； （2）先计算（x﹣3）（x2+ax+9），再根据B是A的“特别友好多项式”，得到（x﹣3）（x2+ax+9）的结果只有两项，据此求解即可． 【解答】解：（1）B是A的“友好多项式”，理由如下： ∵A＝x+3，B＝2x﹣1， ∴C＝（x+3）（2x﹣1） ＝2x2+5x﹣3， ∴满足C的项数比A的项数多1， ∴B是A的“友好多项式”； （2）（x﹣3）（x2+ax+9） ＝x3+ax2+9x﹣3x2﹣3ax﹣27 ＝x3+（a﹣3）x2+（9﹣3a）x﹣27， 由条件可知a﹣3＝0且9﹣3a＝0， 解得a＝3． 29．定义一种新的运算：对于任意两个有理数a，b，规定M（a，b）＝a2+ab．例如，M（1，2）＝12+1×2＝3；M（2，1）＝22+2×1＝6．若x，y为有理数，请解答下列问题： （1）若M（x，y）+M（y，kx）是一个完全平方式，求k的值； （2）若2x+y＝5，M（2x+3y，2x﹣3y）+M（y，﹣12x+y）＝34，求xy的值． 【分析】（1）根据新定义的法则，列式计算，根据完全平方公式的结构得出k的值； （2）根据新定义得出4x2+y2＝17，进而根据2x+y＝5，利用完全平方公式变形求值，即可求解． 【解答】解：（1）根据题意可知，M（x，y）+M（y，kx）＝x2+xy+y2+kxy＝x2+（k+1）xy+y2， ∵x2+（k+1）xy+y2是一个完全平方式， ∴k+1＝±2， 解得：k＝1或k＝﹣3； （2）根据题意可知，（2x+3y）2+（2x+3y）（2x﹣3y）+y2+y（﹣12x+y）＝34， 4x2+12xy+9y2+4x2﹣9y2+y2﹣12xy+y2＝34， 2（4x2+y2）＝34， 4x2+y2＝17， ∵2x+y＝5， ∴（2x+y）2＝4x2+4xy+y2＝25， 4xy+17＝25， 解得：xy＝2． 30．小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x﹣1）2+2，所以当x﹣1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2﹣2x+3的值是相等的．例如，当x﹣1＝±1，即x＝2或0时，x2﹣2x+3的值均为3；当x﹣1＝±2，即x＝3或﹣1时，x2﹣2x+3的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，当x﹣t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x＝t对称．例如x2﹣2x+3关于x＝1对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式x2﹣4x+5关于x＝　 　 对称； （2）若关于x的多项式x2+2bx+3关于x＝5对称，求b的值； （3）若整式（x2﹣10x+25）（x2+6x+9）关于x＝m对称，求m的值． 【分析】（1）利用完全平方公式对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （2）求出x2+2bx+3的对称轴，令对称轴直线x＝5即可； （3）对多项式进行配方，根据新定义判断即可． 【解答】解：（1）x2﹣4x+5 ＝x2﹣4x+4+1 ＝（x﹣2）2+1， 则多项式关于x＝2对称； （2）∵x2+2bx+3 ＝x2+2bx+b2+3﹣b2 ＝（x+b）2+3﹣b2， ∴关于x的多项式x2+2bx+3关于x＝﹣b对称， ∴﹣b＝5， ∴b＝﹣5； （3）（x2﹣10x+25）（x2+6x+9） ＝（x﹣5）2（x+3）2 ＝[（x﹣5）（x+3）]2 ＝（x2﹣2x﹣15）2 ＝[（x﹣1）2﹣16]2， ∴关于x＝1对称， ∴m＝1． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业09 整式的乘法 【知识点1 整式的乘法】 【单项式与单项式相乘】 法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． （1）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏． （2）单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用． （3）单项式乘单项式的结果仍然是单项式． 【单项式与多项式相乘】 法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是单项式）． 【注意】 （1）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项． （2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号． （3）对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果． 【多项式与多项式相乘】 （1）法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘，得m（a+b+c）与n（a+b+c），再用单项式乘多项式的法则展开，即 （m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc． 【注意】 （1）运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏． （2）多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积． 【单项式除以单项式】 单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式． 【多项式除以单项式】 多项式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【注意】 （1）多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号． （2）多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项． （3）多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验． 【知识点2 乘法公式】 【平方差公式】 （1）平方差公式 语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式． （2）平方差公式的特点 ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． ②右边是相同项的平方减去相反项的平方． ③公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以是多项式． 【完全平方公式】 （1）完全平方公式 ， 语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式． （2）完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 平方差公式与完全平方式】 1．下列式子：①（x﹣y）（x+y）；②（﹣x﹣y）（x+y）；③（x﹣y）（y﹣x）；④（x+y）（﹣y+x）；⑤（y+x）（﹣y﹣x）；⑥（﹣x+y）（﹣x﹣y）中符合平方差公式特征的有　 　 ．（填序号） 2．若b为常数，且4x2﹣2（b+2）+x+25是完全平方式，那么b＝ 　　 ． 3．若整式9a2﹣（k﹣3）ab+b2是一个完全平方式，则常数k＝　 　 ． 【题型2 整式乘法的相关计算】 4．运用乘法公式计算： （1）2（x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3）； （2）1232﹣124×122． 5．计算 （1）（x2）2﹣x2（x2﹣1）； （2）（a+2b）2+4a（a﹣b）； （3）（8a2b2﹣4ab3）÷4ab﹣（2a+b）（2a﹣b）． 6．计算： （1）﹣2a2（3ab2﹣5ab3+1）； （2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）； （3）4xy（3x2+2xy﹣1）； （4）2（x+2）（2x+3）﹣3（1﹣x）（x+6）． 7．（1）化简求值：（2a+b+1）（2a﹣b﹣1）﹣（a+2b）（﹣2b+a）+2b，其中a、b满足|a+b﹣3|+（ab+2）2＝0． （2）若a、b、c满足c2＝a2+b2，且，求c的值． 8．（1）先化简，再求值：（x+3）（x+1）+x（x﹣4）﹣3x2，其中； （2）先化简，后求值：[（2x﹣y）2+（2x+y）（2x﹣y）﹣4xy]÷2x，其中． 【题型3 乘法公式变形求值】 9．已知实数a，b满足a+b＝2，则a2﹣b2+4b＝　 　 ． 10．已知x2y+xy2＝10，x+y＝5，x2﹣xy+y2＝　 　 ． 11．已知实数x满足（x﹣2023）2+（x﹣2025）2＝56，则（x﹣2024）2的值是　 　 ． 12．若a+2b＝3，ab＝5，则a2+5ab+4b2＝　 　 ． 13．已知实数a，b满足a2＝2b+7，b2＝2a+7，且a≠b，则a+b的值为　 　 ． 14．已知a＝x+2025，b＝x+2023，c＝x+2024，若a2+b2＝8，则c2的值是　 　 ． 【题型4 整式乘法中求参问题】 15．已知代数式A＝x2+mx﹣3，B＝2x+n． （1）A与B的积中不含x的二次项，且常数项为﹣6，求m、n的值； （2）在（1）的条件下，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值． 16．若的展开式中不含x2和x3的项． （1）求p、q的值； （2）求代数式（﹣2p2q）3+6p6q3+p2024q2025的值． 17．小华和小明同时计算一道整式乘法题（2x+a）（3x+b）．小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把+a抄成了﹣a，得到结果为6x2+11x﹣10；小明把第二个多项式中的3x抄成了x，得到结果为2x2﹣9x+10． （1）求a，b的值； （2）请计算出这道题的正确结果． 18．已知a，b，c为实数，且多项式x3+ax2+bx+c能被多项式x2+3x﹣4整除， （1）求4a+c的值； （2）求2a﹣2b﹣c的值； （3）若a，b，c为整数，且c≥a＞1，试确定a，b，c的值． 【题型5 乘法公式的几何背景】 19．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线对折后用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）图2中阴影部分的正方形的边长是 ； （2）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1：　 ；方法2：　 ； （3）观察图2，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　 ； （4）如图3，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形ABCD，正方形CEFG，两正方形的面积分别是S1和S2，若BG＝9，两正方形的面积S1+S2＝47，求图中阴影部分的面积． 20．数学活动：数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． 【知识生成】（1）如图1是一个边长为a+b的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为a和b；图2是一个边长为a的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为a﹣b和b，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式： 图1：　 ；图2：　 ． 【拓展探究】（2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3所示的正方形，请你直接写出阴影部分的面积所揭示的这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系，并通过运算验证它的正确性． 【解决问题】（3）如图4，已知长方形ABCD周长为14cm，分别以AD和CD为边作正方形ADFE和正方形CHGD，已知这两个正方形的面积和为29cm2，求长方形ABCD的面积． 【知识迁移】（4）若（2025﹣m）（2023﹣m）＝12，则（2023﹣m）2+（2025﹣m）2＝　 　 ．（直接写出结果） 21．某数学学习小组在研究数形结合思想方法时，准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中，甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y、宽为x的长方形，并用甲种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：x2+y2＝ 　 ． （2）利用（1）中的等式解决问题： ①若x+y＝10，xy＝19，则x2+y2的值为 　 　 ． ②若x满足（20﹣x）（x﹣30）＝10，求（20﹣x）2+（x﹣30）2的值． （3）如图3，将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上，重叠部分LFKD是一个长方形，AL＝2，CK＝6．沿着LD，KD所在直线将正方形EFGH分割成四个部分，若四边形ELDN和四边形DKGM恰好为正方形，且它们的面积之和为38，求长方形NDMH的面积． 22．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解抽象的数学问题． 探究发现： （1）请写出图1，图3阴影部分的面积分别能解释的整式乘法公式． 图1：　 ；图2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；图3：　 ． 这几个数学公式都可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化解决很多数学问题．例如图4，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 方法一：“数”的解法：方法二：“形”的解法： ∵a+b＝3∴（a+b）2＝9，即a2+2ab+b2＝9 又∵ab＝1 ∴a2+b2＝9﹣2ab＝7． ∵a+b＝3∴S大正方形＝9 又∵ab＝1 ∴S3＝S2＝ab＝1 S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3 ＝9﹣1﹣1＝7 即a2+b2＝7 解决问题： （2）若a+b＝7，ab＝10，则a2+b2＝　 　 ； （3）若，则　 　 ； 能力拓展： （4）如图5，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两个正方形的面积和S1+S2＝72，求图中阴影部分的面积． 23．数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质． 【教材还原】观察图①，用含字母的等式表示图中图形面积的运算：　 ； 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为 ； （2）根据图②所得的公式，若a+b＝10，a2+b2＝90，则ab＝　 　 ． 【解决问题】如图③，某学校有一块四边形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE，该校计划在△ADE和△BCE区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积为，AC＝9，请求出种草区域的面积． 24．观察下列各式及其展开式 （a+b）2＝a2+2ab+b2； （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3； （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4； （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5⋯． 请你猜想（2x﹣1）11的展开式中含x2项的系数是 　 　 ． 25．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，那么（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3…x+1）＝ 　 ． 26．我们定义：一个整式能表示成a2+b2（a、b是整式）的形式，则称这个整式为“完美式”，例如：因为M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x、y是整式），所以M为“完美式”．若S＝x2+4y2﹣10x+12y+k（x，y是整式，k为常数）为“完美式”，则k的值为　 　 ． 27．定义：Φ[a，b，c]是以a，b，c为系数的二次多项式，即Φ[a，b，c]＝ax2+bx+c，其中a，b，c均为实数．例如：Φ[1，2，3]＝x2+2x+3，Φ[2，0，﹣2]＝2x2﹣2．完成下面的探究： （1）当x＝3时，Φ[2，﹣1，3]×Φ[﹣1，2，﹣2]的值是　 　 ； （2）若Φ[p，q，﹣1]×Φ[m，n，﹣2]＝x4+2x3﹣3x2﹣x+2，则（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）的值是　 　 ． 28．定义：一个多项式A乘一个多项式B，运算结果化简后得到多项式C，若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是A的“特别友好多项式”． （1）若A＝x+3，B＝2x﹣1，请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由． （2）若A＝x﹣3，B＝x2+ax+9均是关于x的多项式，且B是A的“特别友好多项式”，求a的值． 29．定义一种新的运算：对于任意两个有理数a，b，规定M（a，b）＝a2+ab．例如，M（1，2）＝12+1×2＝3；M（2，1）＝22+2×1＝6．若x，y为有理数，请解答下列问题： （1）若M（x，y）+M（y，kx）是一个完全平方式，求k的值； （2）若2x+y＝5，M（2x+3y，2x﹣3y）+M（y，﹣12x+y）＝34，求xy的值． 30．小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x﹣1）2+2，所以当x﹣1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2﹣2x+3的值是相等的．例如，当x﹣1＝±1，即x＝2或0时，x2﹣2x+3的值均为3；当x﹣1＝±2，即x＝3或﹣1时，x2﹣2x+3的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，当x﹣t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x＝t对称．例如x2﹣2x+3关于x＝1对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式x2﹣4x+5关于x＝　 　 对称； （2）若关于x的多项式x2+2bx+3关于x＝5对称，求b的值； （3）若整式（x2﹣10x+25）（x2+6x+9）关于x＝m对称，求m的值． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $