16.2整式的乘法（分层作业，19大题型）数学新教材人教版八年级上册

分层作业 16.2 整式的乘法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 计算单项式乘单项式 题型02 计算单项式乘多项式及求值 题型03 计算多项式乘多项式 题型04 多项式乘法混合运算 题型05 同底数幂的除法运算 题型06 零指数幂的计算及成立条件 题型07 单项式除以单项式 题型08 多项式除以单项式 题型09 整式四则混合运算 B组 能力进阶 题型01 利用单项式乘单项式求字母或代数式的值 题型02 单项式乘多项式的应用 题型03 利用单项式乘多项式求字母或代数式的值 题型04 利用多项式乘多项式求字母或代数式的值 题型05 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型06 多项式乘多项式——化简求值 题型07 多项式乘多项式与图形面积 题型08 同底数幂的除法的逆运用 题型09 利用整式的除法求值 C组 思维拔高 题型 多项式乘法中的规律问题 计算单项式乘单项式题型01 1．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 计算单项式乘多项式及求值题型02 1．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖南永州·期中）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)这个多项式是多少？ (2)正确的计算结果是多少？ 计算多项式乘多项式题型03 1．计算： (1)； (2)． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）小明在计算一个多项式乘以多项式时，因将乘法看错成了加法，得到的结果为． (1)请求出多项式； (2)请你帮助小明计算出正确的结果． 多项式乘法混合运算题型04 1．（24-25八年级上·天津·期末）一个长方体的长，宽，高分别是，，，这个长方体的体积是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·期中）计算： (1) (2) (3) 同底数幂的除法运算题型05 1．计算： （1）______； （2）______； （3）______． 2．计算： (1)； (2)． 零指数幂的计算及成立条件题型06 1．（25-26八年级上·福建福州·期中）若，则满足的条件是（   ） A． B． C． D． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 单项式除以单项式题型07 1．（24-25七年级下·山东菏泽·月考）若表示一个单项式，且，则表示的单项式是（　　） A． B． C． D． 2．填空： （1）______________． （2）______________． （3）______________． 多项式除以单项式题型08 1．（24-25七年级下·陕西宝鸡·质检）一个长方形的面积为，若它的一条边长为．则它的周长为（   ） A． B． C． D． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 整式四则混合运算题型09 1．小明的作业本上有一道题不小心被沾上了墨水：，通过计算，这道题的■处应是__________． 2．计算： (1)； (2)． 利用单项式乘单项式求字母或代数式的值题型01 1．与的乘积是的单项式是（    ）． A． B． C． D． 2．如果 ，m，n均为正整数，求m，n的值． 单项式乘多项式的应用题型02 1．李老师做了个长方形教具，其中一边长为，另一边长为，则该长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，一条水渠的横断面是梯形，其两底边的宽度分别为米和米，高为米． (1)求水渠的横断面的面积； (2)如果水渠长米，那么该水渠可以蓄水多少立方米？ 利用单项式乘多项式求字母或代数式的值题型03 1．已知，，，且的值与无关，则_______． 2．已知x（x﹣m）+n（x+m）＝+5x﹣6对任意数都成立，求m（n﹣1）+n（m+1）的值． 利用多项式乘多项式求字母或代数式的值题型04 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）的展开式中项和项系数相等，则、的关系是（    ） A． B． C． D． 2．在计算时，甲把b错看成了6，得到结果是：；乙错把a看成了，得到结果：． (1)求出a，b的值； (2)在（1）的条件下，计算的结果． 已知多项式乘积不含某项求字母的值题型05 1．（24-25八年级上·安徽 阜阳·期中）已知，是常数，若化简的结果不含的二次项，则的值为（   ） A． B．0 C．17 D．35 2．已知的展开式中不含和项． (1)求的值； (2)先化简，再求值：． 多项式乘多项式——化简求值题型06 1．先化简，再求值： (1)，其中，． (2)，其中． 2．（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）已知的结果中不含项， (1)求的值； (2)在（1）的条件下，求的值； (3)计算的值． 多项式乘多项式与图形面积题型07 1．（24-25七年级下·湖南永州·期末）如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，若要拼一个长为，宽为的大长方形，则需C类卡片张数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，山西某小区准备在一个长为米，宽为米的矩形草坪上修建两条宽为a米的小道，其余部分用来种植花草． (1)求种植花草的面积； (2)当时，求种植花草的面积． 同底数幂的除法的逆运用题型08 1．若，且，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·吉林长春·月考）求值 (1)已知，求的值；（用含、的代数式表示） (2)已知．求的值． 利用整式的除法求值题型09 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山西运城·月考）某社区要净化满满一池废水，长方体水池的长为、宽为、高为，已知净化速度为，则这池废水需要多长时间能净化完． 多项式乘法中的规律问题题型 1．（25-26八年级·期末）新教材第118页“阅读与思考”中介绍了杨辉三角，杨辉三角可以看作是对完全平方公式的推广，也告诉我们二项式乘方展开式的系数规律： 根据上述规律，展开式的系数和是（    ） A．32 B．64 C．128 D．256 2．（25-26八年级上·四川乐山·期中）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了为非负整数）展开式的各项系数的规律．有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期一．其中正确的序号有______． 3．（24-25八年级上·北京·期中）计算： _____________． _____________． _____________． _____________． 从上面的计算中你发现的规律（用含的一般形式表示）_____________． 4．【发现】如图，嘉嘉在研究如下数阵时，用正方形框任意框住四个数，发现了有趣的数学规律： 方框一：． 方框二：． 【验证】根据【发现】的规律，写出方框三中相应的算式： 【探究】设被框住的四个数中最小的数为n，用含n的式子证明你所发现的规律． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 16.2 整式的乘法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 计算单项式乘单项式 题型02 计算单项式乘多项式及求值 题型03 计算多项式乘多项式 题型04 多项式乘法混合运算 题型05 同底数幂的除法运算 题型06 零指数幂的计算及成立条件 题型07 单项式除以单项式 题型08 多项式除以单项式 题型09 整式四则混合运算 B组 能力进阶 题型01 利用单项式乘单项式求字母或代数式的值 题型02 单项式乘多项式的应用 题型03 利用单项式乘多项式求字母或代数式的值 题型04 利用多项式乘多项式求字母或代数式的值 题型05 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型06 多项式乘多项式——化简求值 题型07 多项式乘多项式与图形面积 题型08 同底数幂的除法的逆运用 题型09 利用整式的除法求值 C组 思维拔高 题型 多项式乘法中的规律问题 计算单项式乘单项式题型01 1．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，同底数幂的乘法，正确的计算是解题的关键．根据单项式乘以单项式，同底数幂的乘法逐项计算即可求解． 【详解】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意；     B． ，故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项不正确，不符合题意；     D． ，故该选项正确，符合题意． 故选D 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （）先算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； 本题考查了单项式乘以单项式，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 计算单项式乘多项式及求值题型02 1．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，先根据单项式乘多项式的运算方法进行计算，然后合并同类项即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故选：． 2．（24-25七年级下·湖南永州·期中）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)这个多项式是多少？ (2)正确的计算结果是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式混合运算，涉及单项式乘以多项式运算、去括号法则及合并同类项等知识，熟练掌握整式的乘法运算、整式加减运算法则是解决问题的关键． （1）根据题意，列式后，运用去括号法则及合并同类项求解即可得到答案； （2）根据题意，列式后，运用单项式乘以多项式的运算法则及合并同类项求解即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得， ； （2）解：正确的计算结果为： ． 计算多项式乘多项式题型03 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，多项式乘以多项式，掌握整式的运算法则是解题的关键． （）根据单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项即可； （）根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）小明在计算一个多项式乘以多项式时，因将乘法看错成了加法，得到的结果为． (1)请求出多项式； (2)请你帮助小明计算出正确的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据整式的加减混合运算求出原多项式即可； （）根据多项式乘多项式法则求出正确的结果即可． 【详解】（1）解：由题意，小明误算为， ． （2）解：正确结果为，代入， ． 正确结果为：． 多项式乘法混合运算题型04 1．（24-25八年级上·天津·期末）一个长方体的长，宽，高分别是，，，这个长方体的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了长方体的得体积公式，整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据长方体的体积公式，列出算式，然后根据整式乘法法则计算即可； 【详解】解：长方体的体积长宽高； ∴长方体的体积 ； 故选：D． 2．（25-26七年级上·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的运算． （1）先运算积的乘方、幂的乘方，同底数幂相乘，再合并同类项，即可作答． （2）根据多项式式乘以多项式的法则进行计算即可． （3）根据多项式式乘以多项式的计算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解： ． 同底数幂的除法运算题型05 1．计算： （1）______； （2）______； （3）______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，解题的关键是： （1）根据同底数幂相除法则计算即可； （2）根据同底数幂相除法则、积的乘方法则计算即可； （3）先把变形为，根据同底数幂相除法则计算即可． 【详解】解:（1）原式， 故答案为：； （2）原式 ， 故答案为：； （3）原式 ， 故答案为：． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则． （1）直接根据同底数幂的除法运算法则计算即可； （2）直接根据同底数幂的除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 零指数幂的计算及成立条件题型06 1．（25-26八年级上·福建福州·期中）若，则满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了零指数幂，根据零指数幂的定义，底数不为零时，零次幂等于1，因此，成立的条件是 ，即． 【详解】解：∵ 零指数幂的定义：当时，， ∴ 成立的条件是，即。 因此，满足的条件是． 故选：C． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算、负整数指数幂运算、幂的乘方运算、积的乘方运算、零指数幂运算求解，再合并同类项即可得到答案； （2）根据同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算、负整数指数幂运算、零指数幂运算求解，再由有理数加减运算求解即可得到答案； （3）由单项式乘以多项式、合并同类项化简括号内的整式，再由多项式除以单项式运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题考查整式混合运算，涉及同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算、负整数指数幂运算、幂的乘方运算、积的乘方运算、零指数幂运算、整式加减乘除运算法则等知识，熟记整式混合运算法则是解决问题的关键． 单项式除以单项式题型07 1．（24-25七年级下·山东菏泽·月考）若表示一个单项式，且，则表示的单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了单项式除以单项式，利用单项式与单项式除法，把它们的系数，相同字母分别相除，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，进而得出即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：． 2．填空： （1）______________． （2）______________． （3）______________． 【答案】 【分析】本题考查单项式除以单项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 利用积的乘方，单项式除以单项式法则进行计算即可． 【详解】解：（1） 故答案为：． （2） 故答案为：． （3） 故答案为：． 多项式除以单项式题型08 1．（24-25七年级下·陕西宝鸡·质检）一个长方形的面积为，若它的一条边长为．则它的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的除法运算和加减运算，利用长方形的面积，结合多项式除以单项式，先求出另一边的长，再根据周长公式求解即可得到答案． 【详解】解：另一条边长为， 周长为， 故选：A． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式除以单项式的运算，解决本题的关键是认真计算． （1）用多项式的每一项分别除以单项式，再进行加法运算即可； （2）用多项式的每一项分别除以单项式，再进行减法运算即可； （3）用多项式的每一项分别除以单项式，再进行加减法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 整式四则混合运算题型09 1．小明的作业本上有一道题不小心被沾上了墨水：，通过计算，这道题的■处应是__________． 【答案】 【分析】根据整式的四则运算法则求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】题目主要考查整式的四则运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据单项式乘多项式运算法则将括号展开，再合并即可； （2）原式根据完全平方公式、多项式乘以多项式运算法则将括号展开，再合并即可得到答案 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 利用单项式乘单项式求字母或代数式的值题型01 1．与的乘积是的单项式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将选项中各单项式与相乘，结果为即为正确选项． 【详解】·=；故A符合题意； ·=；故B不符合题意； ·=；故C不符合题意； ·=；故D不符合题意． 【点睛】本题主要考查单项式乘单项式的运算，值得注意的是同底数幂的运算是底数不变，指数相加，这是此题选出正确选项的关键． 2．如果 ，m，n均为正整数，求m，n的值． 【答案】m=3，n=2 【分析】根据单项式的乘法把左边化简，然后根据左右两边相同字母的指数相等列方程组求解即可. 【详解】解： =﹣x2m+n﹣1ym+2n﹣2 =﹣x7y5  ， 即 ， 解得m=3，n=2 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法及单项式的乘法，单项式与单项式的乘法法则是，把它们的系数相乘，字母部分的同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 单项式乘多项式的应用题型02 1．李老师做了个长方形教具，其中一边长为，另一边长为，则该长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的乘法，根据单项式乘多项式法则求解即可． 【详解】解：长方形的面积为=， 故选D． 2．如图，一条水渠的横断面是梯形，其两底边的宽度分别为米和米，高为米． (1)求水渠的横断面的面积； (2)如果水渠长米，那么该水渠可以蓄水多少立方米？ 【答案】(1)水渠的横断面积为平方米． (2)水渠可以蓄水立方米． 【分析】本题主要考查代数式的运用，整式的混合运算，掌握代数式表示数或数量关系的方法，整式的运算法则是解题的关键． （1）根据几何图形面积的计算公式代入计算即可； （2）根据体积的计算公式即可求解． 【详解】（1）解：平方米， ∴水渠的横断面的面积为平方米； （2）解：立方米， ∴水渠可以蓄水立方米． 利用单项式乘多项式求字母或代数式的值题型03 1．已知，，，且的值与无关，则_______． 【答案】 【分析】先根据题意列出算式，再计算单项式与多项式的乘法，最后合并，由题意得关于的方程，求解即可．此题考查的是单项式乘多项式及整式的加减，掌握其运算法则是解决此题的关键． 【详解】解： ， 的值与无关， ， ． 故答案为：． 2．已知x（x﹣m）+n（x+m）＝+5x﹣6对任意数都成立，求m（n﹣1）+n（m+1）的值． 【答案】-7 【分析】把x（x﹣m）+n（x+m）去括号、合并同类项，然后根据与+5x-6对应项的系数相同，即可求得m、n的值，然后代入求值即可． 【详解】解：x（x﹣m）+n（x+m） ＝﹣mx+nx+mn ＝+（n﹣m）x+mn， ∴， 则m（n﹣1）+n（m+1）＝n﹣m+2mn＝5﹣12＝﹣7． 【点睛】此题考查单项式乘多项式和代数式求值，解题关键在于掌握运算法则． 利用多项式乘多项式求字母或代数式的值题型04 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）的展开式中项和项系数相等，则、的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的运算，理解整式运算法则是解题的关键．先根据多项式乘以多项式法则计算，再根据展开式中项和项系数相等，得出答案即可． 【详解】解：由 ， ∵的展开式中项和项系数相等， ∴， ∴． 故选：B． 2．在计算时，甲把b错看成了6，得到结果是：；乙错把a看成了，得到结果：． (1)求出a，b的值； (2)在（1）的条件下，计算的结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】(1)根据题意可得出，，求出a、b的值即可； (2)把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 所以，，， 解得：，； （2）解：把，代入，得 ． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，等式的性质，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键． 已知多项式乘积不含某项求字母的值题型05 1．（24-25八年级上·安徽 阜阳·期中）已知，是常数，若化简的结果不含的二次项，则的值为（   ） A． B．0 C．17 D．35 【答案】A 【分析】本题考查了整式混合运算，理解不含的二次项的含义，掌握整式混合运算法则是解题的关键．根据题意，运用整式的混合运算展开，由不含的二次项可得，该项的系数为零，再代入计算即可． 【详解】解： ， ∵不含的二次项， ∴， ∵， ∴原式， 故选：A ． 2．已知的展开式中不含和项． (1)求的值； (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含和项，确定出与的值即可； （2）利用多项式乘多项式法则计算，把m与n的值代入计算即可求出值． 【详解】（1） ， ， 根据展开式中不含和项可得， 解得； （2）原式 ． 因为， 所以原式． 多项式乘多项式——化简求值题型06 1．先化简，再求值： (1)，其中，． (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先算多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，再合并同类项，最后代值计算即可； （2）先算多项式乘以多项式，再合并同类项，最后代值计算即可． 【详解】（1）原式， ； 当时，上式； （2）原式， ； 当时，上式． 【点睛】本题考查整式的化简求值．熟练的掌握多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，合并同类项的法则是解题的关键． 2．（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）已知的结果中不含项， (1)求的值； (2)在（1）的条件下，求的值； (3)计算的值． 【答案】(1) (2)9 (3)999999 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，熟知多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含项，即含项的系数为0求解即可； （2）先计算出的结果，再根据（1）所求代值计算即可； （3）根据（2）所求可得原式，据此可得答案． 【详解】（1）解： ， ∵的结果中不含项， ∴ ∴； （2）解： ； （3）解：由（2）可得， ∴ ． 多项式乘多项式与图形面积题型07 1．（24-25七年级下·湖南永州·期末）如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，若要拼一个长为，宽为的大长方形，则需C类卡片张数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式与面积．利用多项式乘以多项式计算即可求解． 【详解】解：， ∴需C类卡片张数为4张． 故选：B 2．如图，山西某小区准备在一个长为米，宽为米的矩形草坪上修建两条宽为a米的小道，其余部分用来种植花草． (1)求种植花草的面积； (2)当时，求种植花草的面积． 【答案】(1)平方米 (2)18平方米 【分析】本题考查多项式与多项式相乘，解题的关键是学会用平移的思想求面积，熟练掌握多项式的乘法运算法则． （1）利用平移思想结合长方形的面积公式进行求解即可； （2）把a，b的值代入进而求出答案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 平方米． 答：种植花草的面积为平方米； （2）解：当时， 原式（平方米）． 答：种植花草的面积为18平方米． 同底数幂的除法的逆运用题型08 1．若，且，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逆用同底数幂的除法法则，将变形为，代入已知值计算． 【详解】解：∵，，， ∴． 2．（24-25八年级上·吉林长春·月考）求值 (1)已知，求的值；（用含、的代数式表示） (2)已知．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同体数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）逆运用同底数幂的乘法解答即可； （2）逆运用同底数幂的除法，幂的乘方解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 利用整式的除法求值题型09 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据幂的乘方与积的乘方的性质计算，然后根据用科学记数法表示的数的计算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方、用科学记数法表示的数的计算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 2．（24-25七年级下·山西运城·月考）某社区要净化满满一池废水，长方体水池的长为、宽为、高为，已知净化速度为，则这池废水需要多长时间能净化完． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，单项式除以单项式的运算，求出长方体的体积，再除以速度，即可得出结果． 【详解】解：长方体废水池中废水的体积为， ∵净化速度为， 净化废水所需时间为． 答：这池废水需要能净化完． 多项式乘法中的规律问题题型 1．（25-26八年级·期末）新教材第118页“阅读与思考”中介绍了杨辉三角，杨辉三角可以看作是对完全平方公式的推广，也告诉我们二项式乘方展开式的系数规律： 根据上述规律，展开式的系数和是（    ） A．32 B．64 C．128 D．256 【答案】B 【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解．由“杨辉三角”得到：应该是为非负整数展开式的项系数和为． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， …… 当时，展开式的项系数和为， 故选：B． 2．（25-26八年级上·四川乐山·期中）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了为非负整数）展开式的各项系数的规律．有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期一．其中正确的序号有______． 【答案】①②③ 【点睛】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，根据表中等式的项数和系数的和，找出规律可判断①；利用“杨辉三角”的规律解答可判断②③④，综上即可求解，找出规律是解题的关键． 【详解】解：①∵，展开式有项，系数的和为， ，展开式有项，系数的和为:， ，展开式有项，系数的和为， ，展开式有项，系数的和为， ，展开式有项，系数的和为， ， ∴展开式有项，系数的和为，故①正确； ②∵， ∴，故②正确； ③∵， ∴， 当代数式的值是时，， 解得，故③正确； ④∵， ∴展开式中除最后一项，均含有因数，都能被整除，展开式的最后一项为， ∴的余数与的余数相同， ∵， ∴的余数为， ∴的余数为， ∴如果今天是星期一，那么天后是星期日，故④错误； 综上，正确的序号有①②③， 故答案为：①②③． 3．（24-25八年级上·北京·期中）计算： _____________． _____________． _____________． _____________． 从上面的计算中你发现的规律（用含的一般形式表示）_____________． 【答案】；；；； 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，根据多项式乘以多项式的计算法则求出前面4个式子的结果，进而总结规律求解即可． 【详解】解：； ； ； ； ……， 以此类推可知，． 4．【发现】如图，嘉嘉在研究如下数阵时，用正方形框任意框住四个数，发现了有趣的数学规律： 方框一：． 方框二：． 【验证】根据【发现】的规律，写出方框三中相应的算式： 【探究】设被框住的四个数中最小的数为n，用含n的式子证明你所发现的规律． 【答案】[验证] ；[探究] ． 【分析】本题考查整式的混合运算和列代数式； [验证]根据日历中的数字规律即可求解； [探究]根据题意得到规律，整式乘法公式，把．化简，即可证明． 【详解】解：[验证]根据题意，； [探究]设被框住的四个数中最小的数为n，则其余三个数分别为，，， 规律为：． 依题意，． 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