第20讲 解题技巧专题：全等三角形模型之截长补短与倍长中线模型（2知识点+2大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材北师大版

第20讲 解题技巧专题：全等三角形模型之截长补短与倍长中线模型 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：全等三角形模型之截长补短模型 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 【常见模型及证法】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 知识点2：全等三角形模型之倍长中线模型 （1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） （2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 【题型1 全等三角形模型之截长补短模型】 例1．如图，已知，的平分线与的平分线相交于点，连接并延长交于点，试说明：． 【答案】证明见解析 【分析】在上截取，连接，由平分可得，利用可证得，于是可得，由两直线平行同旁内角互补可得，结合，进而可得，由平分可得，利用可证得，于是可得，然后利用等量代换即可得出结论． 【详解】证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 例2．如图，、分别平分、，交于E点． (1)如图1，求的度数．      (2)如图2，过点E的直线分别交、于B、C，猜想、、之间的存在的数量关系：_______．    (3)试证明（2）中的猜想． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，，利用三角形内角和定理整体计算即可； （2）根据图形猜想即可； （3）在上截取，连接，证明得到，进一步推出，再证明，可得，进而证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴ ； （2）猜想：； （3） 证明：在上截取，连接．    平分， ． 在和中， ，，， ， ． ， ， 又， ． 平分， ． 在和中， ，，， ， ， ．即． 变式1．（25-26八年级上·四川成都·月考）四边形中，，，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点M在上，点N在上，连接、、，若，求证：； (3)如图3，当点M在延长线上，点N在的延长线上，连接，若，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的综合应用． （1）连接，证明，得到，，即可证明； （2）延长到，使，连接，得到，根据得到，证明，得到，，，即，，证明，得到，即可证明； （3）作交于，可知，证明，得到，证明，得到，即可证明平分． 【详解】（1）证明：如图，连接， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； （2）证明：延长到，使，连接 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴（），     ∴，， 即，， ∵在和中， ， ∴（）， ∴， 即； （3）证明：如图，作交于， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴（）， ∴， 即平分． 变式2．如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不成立，，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用半角模型去截长补短是解题的关键． （1）延长至点，使，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明； （2）在上截取，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：． 【题型2 全等三角形模型之倍长中线模型】 例3．如图，在中，平分，E为的中点，，求证：．    【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，线段中点的定义，三角形外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．延长到，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证出，根据全等三角形的性质得出，证得，由三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】证明：延长到，使，连接，   点是的中点， ， 在与中， ， ∴， ， ，， ， 平分， ， 在与中， ， ∴， ， ， ，， ． 例4．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）选择：由已知和作图能得到的理由是（   ） A．    B．   C．   D． （2）填空：求得的取值范围是__________． 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，已知：，，是的中线，求证：． 【答案】（1）B；（2）；（3）见解析 【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识点， （1）由证明，即可求解； （2）在中，，即，即可求解； （3）证明、，得到，即可求解； 熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】（1）解：是中线， ， ， ， 故答案为：； （2）解：由知，， 在中， ， ， ， 故答案为：； （3）证明：延长到，使，连接，如图所示， 是中线， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， 在与中 ， ， ， . 变式1．【特例感知】 如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （1）中线的取值范围是______． 【类比迁移】 （2）如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，求证：平分． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是边上的中线，E是上一点，连接并延长交于点F，，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了三角形综合题和倍长中线问题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识． （1）延长到，使得，连接，得出，根据三角形三边关系即可求解； （2）延长交延长线于，得到，得到，，进而求得，可证明结论； （3）延长到点，使得 ，连接，得出，从而得到，，进而得到从而证明． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使得，连接． 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ； 故答案为：； （2）证明：如图2，延长交的延长线于点， ， ， ，， 为的中点， ， ， ，， ， ， 即， 平分； （3）证明：如图3，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 变式2．【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．求的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）18 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得， 即：， ∴， 故答案为：； （2）延长至点，使得，连接，如图2： 由题意得：， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图3， 由（2）可得：，，， ． ． ，， ． ， ， ， ． 一、单选题 1．在中，，是边上的中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，熟练掌握是解题的关键． 延长到E，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． 【详解】解： 延长到E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，在中，， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，已知AC平分，于E，，则下列结论①；②；③；④．其中，正确结论的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①直线AB上取点F，使EF=BE，①直线AB上取点F，使EF=BE，即可得到△BCE和△FCE全等，再由AB=AD+2BE即可求解； ②由①可证明△ACD和△ACF全等，再根据即可求解； ③由②即可得解； ④由②即可得解． 【详解】解：①在AE取点F，使． 在Rt△BCE与Rt△FCE中， ∴， ∴△BCE≌△FCE， ，， ， ， ， ，故①正确； ②AB上取点F，使，连接CF． 在与中，，，， ， ． 垂直平分BF， ， ． 又， ， ，故②正确； ③由②知，，， 又， ，故③正确； ④易证， ， 又， ， ，故④正确． 故答案为：D． 二、填空题 3．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，延长到使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，推出即可得解决问题． 【详解】解：如图，延长到使，连接， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ，即， ， 故答案为：． 4．在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于 ． 【答案】13 【分析】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答． 【详解】解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴ ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于 故答案：． 三、解答题 5．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）（1）如图1，在中，为边上的中线，．求证：； （2）如图2，在中，为边上的中线，，设，则的取值范围为___________； （3）如图3，已知D为的边上一点，，，是的中线，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】此题考查的是全等三角形的判定，三角形的三边关系，掌握用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键． （1）利用证明即可； （2）根据倍长中线法将延长至，使，再证，根据三角形的三边关系即可求出的取值范围，从而求出的取值范围； （3）将延长至，使，连接，证明，即可得到，，再证明，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵为边上的中线， ∴， ∵，， ∴； （2）解：将延长至，使，连接，如图所示： 在和中， ， ， ， 在中，， ； 故答案为：； （3）解：将延长至，使，连接，如图所示： 在和中， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（24-25八年级上·广东韶关·月考）（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容：如图，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点，求证：． （2）【方法应用】如图，在△中，，，则边上的中线长度的取值范围是_______． （3）【猜想证明】如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3），证明见解析 【分析】本题是“倍长中线”模型综合应用，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点； （1）根据平行线的性质可得，，根据中点的定义可得，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）延长到，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． （3）结论：．延长，交于点，证明，推出，再证明即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵（已知）， ∴，． ∵D为边中点， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）； （2）延长到，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （3）结论：． 理由：如图②中，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 7．（25-26八年级上·北京海淀·期末）【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 （2）在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． ． 【答案】（1）；（2）结论仍然成立，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，推出，，再证明，推出，可得； （2）延长到点G使，连接，同（1），先证明推出，，再证明，推出，可得． 【详解】解：（1）， ， 在和中 ， ， ，， ∵，， ∴， ∴ ， 在和中 ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）结论仍然成立； 理由：如图，延长到点，使，连接， ，， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． 8．（25-26八年级上·河南南阳·期中）【阅读理解】 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ； A． SSS    B． SAS    C． AAS    D． ASA （2）利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是 ． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中； 【问题解决】 （3）如图2， 是的中线，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）B；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查了中线的应用，三角形全等的判定与性质，平行线的判定与性质． （1）延长到点E，使，连接，证明，根据的是，解答即可； （2）根据，得到，利用三角形三边关系解答即可； （3）延长到点G，使，连接，先证明，再证明即可得证． 【详解】（1）解：延长到点E，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， 故选：B； （2）， ， ， ， ， ， 故， 故答案为：； （3），理由如下： 延长到点G，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 9．（25-26八年级上·北京·期中）已知，在四边形中，，E、F分别是边上的点，且． (1)为探究上述问题，小李同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时．小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小李的解题思路：先证明______；再证明 ，即可得出之间的数量关系为 ． (2)请你借鉴小李的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． 【答案】(1)图见解析， (2)成立，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长至M，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 解题思路为：先证明，再证明， 即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； （2）解：上述结论依然成立． 证明：如图2，延长至M，使，连接． ∵， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∴． 10．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，在中，．将沿斜边翻折得到，点、分别是射线、射线上的点，且． (1)初步探索：如图1，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接， 先证明，再证明，请你根据该思路探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)探索延伸：如图2，点在线段的延长线上，、、之间的数量关系是__________ (3)灵活运用：在中，若，，，，则的周长为__________． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)16或 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的周长，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质. （1）延长至点， 使得， 连接，证明，得出， ， 证明， 得出； （2）在上截取， 连接， 证明，得出， ， 证明， 得出； （3）分两种情况，由（1）（2）的结论可得出答案． 【详解】（1）解： 理由：延长至点，使得，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：在上截取，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为： ； （3）当点在线段上时， 如图， 的周长为： ； 当点在线段的延长线上时，如图， ∵，， ∴， 由（2）得， ∴， 的周长为：， 故答案为：或 ． 11．（25-26八年级上·广西南宁·月考）【问题初探】 （1）综合与实践数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1．若，，平分，求证：． ①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系； ②如图3，小强同学从平分这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点，使，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将问题进行变式，请你解答：如图4，在四边形中，是的中点，若平分，，请你探究、、的数量关系并证明． 【答案】（1）①见解析；②见解析； （2）见解析． 【分析】（1）①证明，后证明即可；②证明，后证明 （2）在上截取，则，得到，先证明，再证明，得到即可得证． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，互余的性质，熟练掌握构造辅助线，灵活证明三角形的全等是解题的关键． 【详解】（1）①证明：在上截取，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②证明：延长到点E，使，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：、、的数量关系为． 在上截取，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： (1)【问题背景】 如图1，中，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图2，中，是中线，分别以为腰在外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】 如图3，在四边形中，对角线相交于点E，，点F是的中点，，当时，求的长． 【答案】(1)； (2)见详解； (3)12 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的内角和定理等知识． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解； （2）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到； （3）延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，先证可得，，再证明，得到，，最后证明，得到进而即可求解． 【详解】（1）解：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴，又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 故答案为：； （2）证明：延长至G，使，连接，则 ∵点是中线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （3）证明：如图，延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接， ∵点F是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第20讲解题技巧专题：全等三角形模型之截长补短与倍长中线模型 l内容导航 预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习月标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01析教材学知识 ☑知识点1：全等三角形模型之截长补短模型 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句， 可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于己知线段。 【常见模型及证法】 (1)截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F,使得AF=BE,证DF=DC;②在AD上取一点F,使DF=DC,证AF=BE (2)补短：将短线段延长，证与长线段相等 ☑知识点2：全等三角形模型之倍长中线模型 (1)倍长中线模型（中线型） D 图1 图2 1/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 条件：AD为△ABC的中线。 结论：△ABD兰△ECD 证明：延长AD至点E,使DE=AD,连结CE。 ,AD为△ABC的中线，∴.BD=CD,∠BDA=∠CDE,∴.△ABD≌△ECD(SAS) (2)倍长类中线模型（中点型） 倍长类中线 D 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED,使DF=DE,连接CF。 ,D为BC边的中点，∴.BD=DC,,∠BDE=∠CDF,.△EDB≌△FDC(SAS) 02 练题型强知识 【题型1全等三角形模型之截长补短模型】 例1.如图，已知AP∥BC,∠PAB的平分线与∠ABC的平分线相交于点E,连接CE并延长交AP于点D ,试说明：AD+BC=AB. B 例2.如图AM∥DN,AE、DE分别平分∠MAD、∠ADN,交于E点. (1)如图1，求∠AED的度数 M D 图1 (2)如图2，过点E的直线分别交AM、DN于B、C,猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系： 2/10 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B M 图2 (3)试证明(2)中的猜想， 变式1.(25-26八年级上·四川成都月考)四边形ABCD中，BA=BC,∠ABC=120°，DA=DC, ∠ADC=60°. M D B B B 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：∠BAD=∠BCD=90°； (②)如图2，当点M在CD上，点N在DA上，连接BM、BN、MW,若∠MBN=60°，求证： MN=AN +CM (3)如图3，当点M在CD延长线上，点N在DA的延长线上，连接MN,若LMBN=60°，求证：MB平分 ∠CMW. 变式2.如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,点E,点F分别在边BC,CD上，已知∠EAF=∠DAB 2 ,∠ABC+∠ADC=180°. D B F 图1 图2 (I)求证：EF=BE+DF; (2)如图2，若点E,点F分别在边CB,DC的延长线上，其它条件不变，(1)中的结论还成立吗？若成立， 请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由. 【题型2全等三角形模型之倍长中线模型】 3/10 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 例3.如图，在ABC中，AD平分∠BAE,E为CD的中点，AB=2AE,求证：∠DAC=∠ADC. 例4.【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC中，若AB=8,AC=6, 求BC边上的中线AD的取值范围 图1 图2 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明的方法思考： (I)选择：由己知和作图能得到ADC≌EDB的理由是() A.SSS B.SAS C.AAS D.HL (2)填空：求得AD的取值范围是 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证 的结论集合到同一个三角形中. 【问题解决】 (3)如图2，已知：CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE. 变式1.【特例感知】 如图1，在ABC中，AB=8,AC=6,求边BC上的中线AD的取值范围. 图1 图2 图3 (1)中线AD的取值范围是 【类比迁移】 (2)如图2，在四边形ABED中，P为BE的中点，点C在AD上，∠BAD+∠EDA=180°， AB=AC,DC=DE,求证：AP平分∠BAC. 【拓展应用】 (3)如图3，在ABC中，AD是边BC上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F, AF=EF,求证：AC=BE. 4/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式2.【发现问题】 D 图1 图2 图3 (1)数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，AB=6,AC=4,中线AD的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长AD到E,使得DE=AD; ②连接BE,通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BE<AE<AB+BE,从而得到AD的取值范围是一； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 (2)如图2，OA=OB,OC=OD,∠AOC与∠BOD互补，连接AC、BD,E是AC的中点，求证： OE-D (3)如图3，在(2)的条件下，若∠AOB=90,延长EO交BD于点F,OF=3,OE=6.求△AOC的 面积. 03串知识识框架 截长：指在长线段中截取一段等于已知线段 知识点：全等三角形 模型之截长补短模型 补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段 全等三角形模型之倍长 中线与截长补短模型 倍长中线模型（中线型） 知识点2：全等三角形 模型之倍长中线模型 倍长类中线模型（中点型） 04过关测稳提升 一、单选题 1.在ABC中，AB=5,AC=7,AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是() A.0<AD<12B.1<AD<6 C.0<AD<6 D.2<AD<12 2.如图，已知4C平分∠DAB,CE14B于E,AB=AD+2BE,则下列结论①AE=AB+D):② 5/10 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 LDAB+∠DCB=180°；③CD=CB;④S4CE-S。BcE=S。AcD·其中，正确结论的个数() D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 3.如图，ABC中，D为BC的中点，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F.若BE=AC,AF=2 ,CF=8,那么BF的长度为 4.在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上，且 ∠EAF=∠BAD,当BC=4,DC=7,CF=I时，△CEF的周长等于一 B 三、解答题 5.(25-26八年级上湖北武汉·月考)(1)如图1，在ABC中，AD为BC边上的中线，AD=DE,求证： ADC≌EDB: (2)如图2，在ABC中，AD为BC边上的中线，AC=4,AB=6,设AD=x,则x的取值范围为 (3)如图3，已知D为ABC的边BC上一点，CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线，求证： AC=2AE. 6/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D E D A B 图1 图2 图3 6.(24-25八年级上广东韶关月考)(1)【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容：如图，在ABC 中，D是边BC的中点，过点C画直线CE,使CE∥AB,交AD的延长线于点E,求证：AD=ED. B D E (2)【方法应用】如图①，在△ABC中，AB=6,AC=4,则BC边上的中线AD长度的取值范围是 (3)【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD,点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线， 试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想. B E 图① 图② 7.(25-26八年级上·北京海淀·期末)【问题背景】 在四边形ABCD中，AB=AD,LBAD=I20°，∠B=LADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且 LEAF=60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系， 【初步探索】 (I)小亮同学认为：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明 △AEF≌△AGF,则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是 【探索延伸】 (2)在四边形ABCD中如图2，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点， ∠EF=∠BAD,上述结论是否仍然成立？说明理由. 7/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G B Q E 图1 图2 8.(25-26八年级上河南南阳·期中)【阅读理解】 如图1，ABC中，若AB=10,AC=8,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得 到了如下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明的方法思考： (1)由己知和作图能得到ADC≌EDB的理由是_； A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA (2)利用三角形的三边关系可以确定AE的取值范围，从而可以得到AD的取值范围是· 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证 的结论集中到同一个三角形中； 【问题解决】 (3)如图2，AD是ABC的中线，AB=AE,AC=AF,∠BAE+∠CAF=180°，试判断线段AD与EF的 数量关系，并说明理由. E 图1 图2 9.(25-26八年级上·北京·期中)已知，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边 BC、CD上的点，且∠EAF=号B4D 图1 图2 (1)为探究上述问题，小李同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当∠B=∠ADC=90°时.小李同学探 8/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路 小李的解题思路：先证明△ABE≌；再证明△AEF≌-，即可得出BE,EF,FD之间的数量关系为_ (2)请你借鉴小李的方法探究图2，当∠B+∠ADC=180°时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你 的结论，如果不成立，请说明理由. 10.(2025八年级上·江苏连云港专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°.将Rt△ABC沿斜边AC翻 折得到RtsADC,点E、F分别是射线CB、射线DC上的点，且∠EAF=∠DAB. 2 M G 图1 图2 备用图 (I)初步探索：如图1，点F在线段DC上，试探究线段BE、DF、EF之间的数量关系， 小华同学探究此问题的思路是：延长CD至点M,使得DM=BE,连接AM, 先证明△ADM≌△ABE,再证明△MAF≌△EAF,请你根据该思路探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说 明理由； (2)探索延伸：如图2，点F在线段DC的延长线上，BE、DF、EF之间的数量关系是 (3)灵活运用：在Rt△ABC中，若AB=6,BC=8,AC=10,DC=4CF,则△CEF的周长为 11.(25-26八年级上·广西南宁.月考)【问题初探】 (1)综合与实践数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1.若∠A=60°，∠ACB=90°，CD平分 ∠ACB,求证：BC=AC+AD. ①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在BC上截取CE=CA,连接DE,将线段BC, AC,AD之间的数量关系转化为BE与AD的数量关系： ②如图3，小强同学从CD平分∠ACB这个条件出发给出另一种解题思路：延长CA至点E,使CE=CB, 连接DE,将线段BC,AC,AD之间的数量关系转化为AE与AD的数量关系： 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程 【类比分析】 (2)李老师发现两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮 助学生更好地感悟转化思想，李老师将问题进行变式，请你解答：如图4，在四边形ABCD中，E是BC的 中点，若AE平分∠BAD,∠AED=90°，请你探究AB、AD、CD的数量关系并证明. 9/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E 图1 图2 图3 图4 12.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末)【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其 中一个问题作如下探究： (①)【问题背景】△ABC 如图1，△ABC中，AB=8,AC=6,AD是中线，则AD的取值范围是； D 图1 (2)【变式思考】 如图2，△ABC中，AD是中线，分别以AB,AC为腰在外作等腰R1aABE和等腰 RIAACF,AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠CAF=90°，连接EF.求证：EF=2AD; D 图2 (3)【探究延伸】 如图3，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点E,∠BAC+∠BAD=180°，点F是BC的中点， ∠CEF=∠ADB,当EF=6时，求BD的长 D 图3 10/10