第19讲 公式法因式分解（2知识点+7大题型+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材北师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第19讲公式法因式分解 风内容导航 一一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01析教材学知识 ☑知识点1：运用平方差公式因式分解 运用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b): ☑知识点2：运用完全平方公式因式分解 运用公式法：a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2。 02 练题型强知识 【题型1判断能否用平方差公式因式分解】 例1.(25-26八年级上河北唐山期中)下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是() A.a2+b2 B.2a-b2 C.-b2+a2 D.-a2-b2 例2.(24-25八年级下·四川成都期末)下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是() A.a2-b2 B.-a2-b2 C.-a2+b2 D.9a2-4b 变式1.(24-25八年级上河北廊坊期末)下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是() A.x2-y2 B.y2-x2 C.-x2-y2 D.x-y2 变式2.(24-25八年级下·福建漳州期末)下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的是（) A.x2-2xy+y2 B.-x2-y2 C.x2+2x D.-x2+y2 【题型2判断能否用完全平方公式因式分解】 例3.(24-25七年级下·河北唐山期末)下列各式中，可以用完全平方公式分解因式的是() A.a2-1 B.a2+2a-1 C.a2-2a-1 D.a2+2a+1 例4.(25-26八年级上·全国课后作业)下列多项式能用完全平方公式分解因式的是() 1/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 ①r+4r+4:②4r-4-1:③r+x+4:④4m+2mm+,⑤1+16a,⑥6x-2-2x+4y+1. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 变式1.(2025八年级上全国专题练习)给出下列式子：①-x2-xy-y;②5a2-ab+b',③ -4ab2-a2+4b4;④4x2+9y2-12xy;⑤3x2+6xy+3y2.其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 变式2.(25-26八年级上山东日照月考)下列多项式：①-x2+16y2;②81(a2-2ab+b2)-(a+b)2;③ 3r-2m+。,④-2-少2.能用公式法分解因式的有（） 3 9 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型3运用平方差公式因式分解】 例5.（25-26八年级上辽宁葫芦岛期末)分解因式：x2-9= 例6.(25-26八年级上全国·期末)分解因式：a2-16b2=」 变式1.（25-26八年级上·全国课后作业)因式分解： (1)x2-1 25 (2)x2-4y2= 变式2.(25-26八年级上·全国课后作业)分解因式： (1)a2-100= (2)x2-25y2= (3)y2-4x2= 【题型4运用完全平方公式因式分解】 例7.(24-25八年级上山东淄博·期末)分解因式：a2+b2-2ab= 例8.(24-25八年级下广西南宁.开学考试)将m2+2m+1因式分解后的结果为 变式1.(2425八年级上陕西商洛期末)因式分解)少+行+)的结果为 21 变式2.(2025七年级下·全国·专题练习)分解因式： (1)x2+2x+1=- (2)x2-4xy+4y2= 2/7 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (4)25x2+30xy+9y2= 【题型5综合运用公式法因式分解】 例9.(2025七年级下，全国专题练习)把下列各式分解因式： (1)x4-18x2+81; (2)x2+4-16x2. 例10.(24-25八年级上·山东淄博期中)因式分解 (1)3a2y-3ay+6ay2 2(x2+y22-4x2y2 ox+x+2到+号 变式1.(24-25八年级上·山东济宁阶段练习)因式分解. (1)8m2-12mn: (2)2a2-8b2: (3)a2(x-y+b2(y-x: (4)x4-2x2y2+y4. 变式2.(24-25八年级上山东泰安期中)因式分解： (1)2x2-8 (2)-3ma2+6ma-3m (3)a2+b22-4ab (4)x+2)(x+4)+x2-4 【题型6综合提公因式和公式法因式分解】 例11.(24-25八年级上河南新乡.期中)因式分解： (1)x34x24x (2)a2(x-1+4b2(1-x. 例12.（24-25八年级上山东济宁期末)因式分解： (1)4x3-16xy2: (2)ax2+2a.y+ay2: 变式1.(2025七年级下·全国专题练习)把下列各式分解因式： (1)a3b3+2a2b2+ab; (2)x2(x-2)-16(x-2). 3/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式2.(24-25七年级下·全国周测)把下列各式进行因式分解： (1)-2x3y2+28x2y-4xy; (2)x2(x-3)+43-x): (3)(3x-2)2-(2x+7)2: (4a2(a-b)+2ab(b-a)+b2(a-b). 【题型7运用因式分解求多项式的值】 例13.(24-25九年级下.北京·开学考试)已知x+y=4,x-y=6,则x2-y2=_ 例14.（24-25八年级上山东泰安期末)若a+b=-1,ab=-3,则ab+2a2b2+ab的值为 变式1.(24-25八年级上河南南阳·期末)已知xy=2,x+y=5,则2xy+4x2y2+2xy3= 变式2.(24-25八年级上·四川成都期末)若x,y满足 23,则代数式2-4y的值为☐ 03串知识识框架 知识点1：运用平 运用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b) 方差公式因式分解 公式法因式分解 知识点2：运用完全 运用公式法：a2+2ab+b2=(a+b)2:a2-2ab+b2=(a-b)2 平方公式因式分解 04过关测稳提升 一、单选题 1.(25-26八年级上·山西忻州月考)下列多项式不能用公式法分解因式的是() 4/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.x2-2x+1 B. -x+1 C.-a2-b2 D.x2-4xy+4y2 2.(25-26八年级上河南周口·月考)已知a+b=4,a-b=2,则a2-b2的值为() A.2 B.4 C.6 D.8 3.(25-26八年级上山东泰安期中)若a-b=-1,ab=6,则ab-2a2b2+ab3的值为() A.6 B.12 C.18 D.24 4.(25-26八年级上·山东德州·月考)数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张 卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰.给出 的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是() x2+5x+12 5x+13 x2-13 M N A.甲：M-NB.乙：M+N C.丙：N-P D.丁：N+P 5.(25-26八年级上湖南长沙·月考)小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息： a-b,x-y,x+y,a+b,x2-y2,ab,分别对应“信”，“爱”，“我”，“立”，“最”，“美”六个字，现将 (x2-y2)a2-x2-y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是() A.我最爱美 B.我爱立信 C.最爱立信 D.最美立信 二、填空题 6.(25-26八年级上·甘肃庆阳期末)分解因式：9-m2= 7.（25-26八年级上山东济宁月考)多项式①a2-2a-1；②-r2-:®-+y,④ 4-a+1;⑤ a2-4ab+4b2中能用公式法分解因式的有一（填序号）. 8.(25-26八年级上江苏苏州月考)若a-b=-1,ab=6,则a3b-2a2b2+ab3的值为 9.(25-26八年级上山东威海·月考)若ABC的三边长a,b,c满足a2-bc=c2-ab,则ABC是」 三角形， 10.(25-26八年级上·湖南永州期中)定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m,的平方差，且 m-n=3,则称这个正整数为“智慧优数”.例如，当m=4,n=1时，15=42-12,15是一个智慧优数，若 将智慧优数从小到大排列，第100个智慧优数是」 三、解答题 11.(25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地期末)因式分解： (1)a3(b-2)+a2-b (2)3x+22-(2x-1)2 5/7 高学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.(25-26八年级上山东日照月考)因式分解 (1)6a2+3ab; (2)9(x+y)2-(x-y)2; (3)x+3)(x+5+1: (4)(x+y)+4x+y+1) 13.(25-26八年级上·天津月考)因式分解 (1)8a3b2-12ab3c+6a3b2c (2)5x(x-y)+10(y-x)月 3a2+3a2-(a-l2 4(x2-12-6x2-+9 14.(25-26八年级上广东汕头月考)已知x-3y=-3,y=6,求代数式x3y-6x2y2+9xy的值. 15.(25-26八年级上·甘肃陇南期末)在学习完“因式分解这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑 板上写了下面两道题目让学生解答，同学们经过小组活动交流，得到了如下答案： (2)25-x2-9-6x (1)x2-xy+6x-6y =52-x2+6.x+32)(分成两组) =(x2-xy)+(6x-6y)(分成两组) =52-(x+3)2(运用公式) =xx-y)+6x-y)(提公因式) =(5+x+3)(5-x-3)(运用公式) =(x-y(x+6)(提公因式) =(8+x)(2-x 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：a2+b2-16-2ab; (2)若ABC的三边a,b,C满足a2-b2-aC+bc=0,则ABC是什么三角形？ 16.(25-26八年级上·河南南阳·月考)我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因 式分解的方法还有分组分解法、拆项法等， ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法：例如： x2+2xy+y2-4=(x2+2xy+y2）-4=(x+y)2-22=(x+y+2(x+y-2. ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法.例如： x2-2x-8=x2-2x+1-9=(x-12-32=(x-1-3)(x-1+3)=(x-4)(x+2). ()仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：x2+6x-y2+9; ②拆项法：x2-8x+12; 6/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)已知ABC的三边长a,b,c满足a2-ac+ab-bc=0,判断ABC的形状并说明理由. 7/7 第19讲 公式法因式分解 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：运用平方差公式因式分解 运用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)； 知识点2：运用完全平方公式因式分解 运用公式法：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。 【题型1 判断能否用平方差公式因式分解】 例1．（25-26八年级上·河北唐山·期中）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式分解因式．平方差公式适用于形如的多项式，分解为，需检查各选项是否符合此形式． 【详解】解：A、不能运用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意； B、不能运用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意； C、，能运用平方差公式分解因式，故本选项符合题意； D、不能运用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意； 故选：C． 例2．（24-25八年级下·四川成都·期末）下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．根据平方差公式的结构特征对各选项分析判断后即可得答案． 【详解】解：A．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． B．，不能利用平方差公式分解因式，故本选项符合题意． C．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． D．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． 故选B． 变式1．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公式的结构特征：，左边需满足两数（或式）的平方差，逐项分析判断即可． 【详解】解：A中，，故选项不符合题意； B中，，故选项不符合题意； C中，，不是两数（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故选项符合题意； D中，，故选项不符合题意； 故选：C． 变式2．（24-25八年级下·福建漳州·期末）下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，平方差公式为，适用于两个平方项的差．需逐一分析选项是否满足该形式． 【详解】A．，不符合平方差公式，排除． B．，括号内为平方和，无法用平方差分解，排除． C． 仅含一项平方项和一次项，无法构成平方差，排除． D．，满足平方差公式． 故选D． 【题型2 判断能否用完全平方公式因式分解】 例3．（24-25七年级下·河北唐山·期末）下列各式中，可以用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】完全平方公式为，需满足首末项为平方项且中间项为两平方项根乘积的2倍．本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题的关键． 【详解】解：A、，符合平方差公式，但不符合完全平方公式，本选项不符合题意． B、，中间项为，但末项非平方项，无法构成完全平方，本选项不符合题意． C、，中间项为，末项非平方项，无法构成完全平方，本选项不符合题意． D、，首项和末项均为平方项，中间项为与乘积的2倍，符合形式，可分解为，本选项符合题意． 故选：D． 例4．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，能用完全平方公式分解因式的式子的特点是：有三项；平方项的符号必须相同；有两底数积的2倍．据此逐个判断即可． 【详解】解：①，符合用完全平方公式分解因式； ②不符合用完全平方公式分解因式； ③符合用完全平方公式分解因式； ④不符合用完全平方公式分解因式； ⑤不符合用完全平方公式分解因式； ⑥符合用完全平方公式分解因式． 综上，能用完全平方公式分解因式有①③⑥，一共有3个． 故选：B． 变式1．（2025八年级上·全国·专题练习）给出下列式子：①；②；③；④；⑤其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了用完全平方公式分解因式. 逐一整理后根据完全平方公式进行判断即可． 【详解】解：①，不能用完全平方公式分解因式； ②，能用完全平方公式分解因式； ③，不能用完全平方公式分解因式； ④，能用完全平方公式分解因式； ⑤，能用完全平方公式分解因式； 所以能用完全平方公式分解因式的有3个． 故选：C． 变式2．（25-26八年级上·山东日照·月考）下列多项式：①；②；③；④．能用公式法分解因式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了利用公式法进行因式分解，公式法分解因式主要利用平方差公式和完全平方公式，注意多项式的形式是否符合公式要求． 检查每个多项式是否能使用平方差公式或完全平方公式分解因式． 【详解】解：①，能用平方差公式分解； ②，能用平方差公式、完全平方公式分解； ③，无法写成平方差或完全平方形式，故不能用公式法分解； ④，平方和不能分解，故不能用公式法分解； 综上，能用公式法分解的有2个， 故选：B． 【题型3 运用平方差公式因式分解】 例5．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解；运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为． 例6．（25-26八年级上·全国·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征． 根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 变式1．（25-26八年级上·全国·课后作业）因式分解： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键． （1）根据平方差公式分解即可； （2）根据平方差公式分解即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 变式2．（25-26八年级上·全国·课后作业）分解因式： （1） ． （2） ． （3） ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，熟练掌握用平方差公式进行因式分解是解题的关键． 利用平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】解：（1）． （2）． （3）． 故答案为：，，． 【题型4 运用完全平方公式因式分解】 例7．（24-25八年级上·山东淄博·期末）分解因式： ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，利用完全平方公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 例8．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）将因式分解后的结果为 ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．用完全平方根公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 变式1．（24-25八年级上·陕西商洛·期末）因式分解的结果为 ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了公式法分解因式，利用完全平方法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为： 变式2．（2025七年级下·全国·专题练习）分解因式： （） ； （） ； （） ； （） ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】（）利用完全平方公式因式分解即可； （）利用完全平方公式因式分解即可； （）利用完全平方公式因式分解即可； （）利用完全平方公式因式分解即可； 本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：（）原式， 故答案为：； （）原式， 故答案为：； （）原式， 故答案为：； （）原式， 故答案为：． 【题型5 综合运用公式法因式分解】 例9．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，掌握乘法公式的运用是解题的关键． （1）运用完全平方公式，平方差公式因式分解即可； （2）运用平方差，完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 例10．（24-25八年级上·山东淄博·期中）因式分解 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式、综合运用公式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，多项式乘以多项式运算，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用提取公因式法分解因式即可得到答案； （2）首先利用平方差公式分解因式，然后利用完全平方公式分解因式即可求解； （3）首先利用多项式乘以多项式运算法则展开，然后利用完全平方公式分解因式即可求解． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 变式1．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）因式分解． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、综合运用公式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用提公因式法求解即可； （2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （3）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （4）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 变式2．（24-25八年级上·山东泰安·期中）因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先提取公因数2，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （4）先利用平方差公式分解因式，再利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型6 综合提公因式和公式法因式分解】 例11．（24-25八年级上·河南新乡·期中）因式分解： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 例12．（24-25八年级上·山东济宁·期末）因式分解： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2)． 【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式a，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． （2）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 变式2．（24-25七年级下·全国·周测）把下列各式进行因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提取公因式，利用完全平方公式和平方差公式分解因式的方法． （1）提取公因式即可得； （2）先提取公因式，再利用平方差公式即可得； （3）先利用平方差公式，再提取公因式即可得； （4）先提取公因式，利用完全平方公式即可得． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式， ； （3）解：原式， ， ； （4）解：原式， ， ． 【题型7 运用因式分解求多项式的值】 例13．（24-25九年级下·北京·开学考试）已知，，则 ． 【答案】24 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了代数式的求值、因式分解，利用平方差公式分解因式是解题的关键．先利用平方差公式分解因式，再整体代入即可求解． 【详解】解：，， ． 故答案为：24． 例14．（24-25八年级上·山东泰安·期末）若，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用，求代数式值，掌握因式分解的步骤，公式的运用是解题的关键．先提公式，再运用公式法，将待求的代数式用已知的代数表示，代入求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 变式1．（24-25八年级上·河南南阳·期末）已知，，则 ． 【答案】100 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、代数式求值等知识点，掌握因式分解的方法成为解题的关键． 先运用提取公因式和公式法因式分解，然后将、代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 故答案为：100． 变式2．（24-25八年级上·四川成都·期末）若满足，则代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】因式分解的应用 【分析】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．利用平方差公式的结构特征解答即可． 【详解】解：因为 所以 故答案为：. 一、单选题 1．（25-26八年级上·山西忻州·月考）下列多项式不能用公式法分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了判断能否用公式法分解因式，完全平方公式分解因式，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据完全平方公式分解因式，对所给的式子逐一分析，再作出判断． 【详解】解：A．，符合完全平方公式，故该选项不符合题意； B．，符合完全平方公式，故该选项不符合题意； C．，平方和在实数范围内无法用公式法分解，故该选项符合题意； D．，符合完全平方公式，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·河南周口·月考）已知，，则 的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键． 利用平方差公式将代数式变形，再代入已知数值计算 【详解】解：∵，， ∴． 故选D． 3．（25-26八年级上·山东泰安·期中）若，，则的值为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的应用，先将多项式进行因式分解，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选A． 4．（25-26八年级上·山东德州·月考）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【答案】C 【分析】本题主要考查了分解因式，整式的加减运算，先根据整式的加减运算法则求出四个选项中对应式子的结果，再对对应的式子分解因式即可得到答案． 【详解】解：A、 ， ∴甲第一轮不会被淘汰，故A不符合题意； B、 ， ∴乙第一轮不会被淘汰，故B不符合题意； C、 ，不能分解因式， ∴丙第一轮会被淘汰，故C符合题意； D、 ， ∴丁第一轮不会被淘汰，故D不符合题意； 故选：C． 5．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，，，，，，分别对应“信”，“爱”，“我”，“立”，“最”，“美”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我最爱美 B．我爱立信 C．最爱立信 D．最美立信 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用（提取公因式法、平方差公式），先提取公因式，再用平方差公式分解因式，得到，结合给定的对应关系，即可得出密码信息． 【详解】解： ∵，，，，分别对应“信”，“爱”，“我”，“立”， ∴密码是由“信”，“爱”，“我”，“立”这四个汉字组成的， ∴四个选项中只有B选项符合题意， 故选：B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·甘肃庆阳·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，解题关键是掌握平方差公式分解因式． 利用平方差公式分解因式． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·山东济宁·月考）多项式①；②；③；④；⑤中能用公式法分解因式的有 （填序号）． 【答案】③④⑤ 【分析】本题主要考查了公式法分解因式（平方差公式、完全平方公式），熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征是解题的关键．根据平方差公式和完全平方公式的形式，逐一判断每个多项式是否符合公式法分解因式的条件． 【详解】解：①不符合完全平方公式形式，且无法用平方差公式分解，故不能使用公式法． ②可写为，平方和在实数范围内不能分解，故不能使用公式法． ③可写为，符合平方差公式，即，故能用公式法． ④可写为，符合完全平方公式，即，故能用公式法． ⑤可写为，符合完全平方公式，即，故能用公式法． 综上，能用公式法分解因式的有③、④、⑤． 故答案为：③④⑤． 8．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）若，，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查因式分解的应用，通过因式分解将原式化为 ，再代入已知条件计算． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：6． 9．（25-26八年级上·山东威海·月考）若的三边长a，b，c满足，则是 三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查因式分解的应用，等腰三角形的定义，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 将方程移项后因式分解，得到，根据三角形三边为正，得出，进而求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ∵a，b，c是的三边长 ∴ ∴ ∴ ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰． 10．（25-26八年级上·湖南永州·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，15是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第100个智慧优数是 ． 【答案】609 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，根据定义，智慧优数可表示为 ，进而可求出第100个智慧优数． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 即智慧优数为 ，， ∴第100个智慧优数为 ． 故答案为：609． 三、解答题 11．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先把原式变形为，再提取公因式，最后利用平方差公式分解因式即可； （2）利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26八年级上·山东日照·月考）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解，掌握好“一提二套三分组四检查”的口诀是解题关键． （1）使用提公因式法进行因式分解； （2）先用平方差公式，再使用提取公因式法进行因式分解； （3）先把多项式乘法展开，再用十字相乘法进行因式分解； （4）将看作整体，使用完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：； （4）解：． 13．（25-26八年级上·天津·月考）因式分解 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解； （1）提取公因式，即可求解； （2）将转化为，再提取公因式后继续分解，即可求解； （3）应用平方差公式，分解后化简，即可求解； （4）将视为整体，应用完全平方公式，再进一步分解，即可求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 = ； （4）解：原式 ． 14．（25-26八年级上·广东汕头·月考）已知，求代数式的值． 【答案】54 【分析】对代数式进行因式分解，代入式子的值进行计算即可．本题考查因式分解及代数式求值． 【详解】解：原式， 当时， 原式． 15．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答，同学们经过小组活动交流，得到了如下答案： （1） （分成两组） （提公因式） （提公因式） （2） （分成两组） （运用公式） （运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若的三边，，满足，则是什么三角形？ 【答案】(1) (2)等腰三角形 【分析】本题考查了因式分解，包含提取公因式，完全平方公式与平方差公式的应用，解决本题的关键是熟练掌握公式并会使用不同方法． （1）先分成两组，再使用完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可； （2）先根据提取公因式和公式法化简，再根据三角形三边的关系得到，即，由此可得三角形形状． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵的三边，，满足， ∴ ， ∴， ∵，，为的三边， ∴，即， ∴，即， ∴是等腰三角形． 16．（25-26八年级上·河南南阳·月考）我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法：例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：； ②拆项法：； (2)已知的三边长a，b，c满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)①② (2)等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是用分组分解法、拆项法进行因式分解． （1）先将原式变形为，前3项用完全平方公式进行因式分解，再用平方差公式因式分解即可； ②将常数项变为，前三项用完全平方公式进行因式分解，再用平方差公式因式分解即可； （2）对等式左边分组分解，前两项一组，后两项一组，各自提公因式后两组再提公因式，得，因为△的三边长为，，，所以，则，据此得出的形状． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：由得： ， 即， ∵△的三边长为，，， ∴，， ∴ ∴是等腰三角形． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $