河南省2025-2026学年七年级数学上学期期末猜押卷二

【期末模考】河南省2025-26学年七年级数学第一学期期末 猜押卷二（解析版） （考查范围：七年级上册全部+七年级下册第一单元部分） （考试时间：100分 满分：120分） 一、选择题(每小题3分,共30分)下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的. 1．下列选项的结果为分数的是（ ） A．的相反数 B．的绝对值 C．的倒数 D．的0次方 【答案】C 【分析】本题考查了倒数、相反数、绝对值、0次方，熟练掌握倒数、相反数、绝对值、0次方的定义是解题的关键．分别计算各选项的结果，再判断是否为整数． 【详解】解：选项A：的相反数为，是整数，不是分数，故选项A不符合题意； 选项B：的绝对值为，是整数，不是分数，故选项B不符合题意； 选项C：的倒数为，是分数，故选项C符合题意； 选项D：的0次方为1，是整数，不是分数，故选项D不符合题意． 故选：C． 2．如图是由8个大小相同的小正方体组成的立体图形，从左面看到的平面图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从不同方向观察立体图形，熟练掌握从左面观察立体图形的形状是解题的关键．从左面观察立体图形，确定各小正方体的分布位置，再匹配选项． 【详解】解：从左面看到的平面图形是： ． 故选：B． 3．下列调查中，适合抽样调查的是（ ） A．检查郑州地铁1号线每节车厢的消防设施是否达标 B．检测用于2025年河南中招体育考试的航模质量是否合格 C．核查郑州某中学九年级（1）班学生的中考报名信息 D．了解全省种植的温县铁棍山药的年产量情况 【答案】D 【分析】本题考查了抽样调查和普查． 抽样调查适用于调查对象数量多、具有破坏性或需要节省资源的情况，而普查适用于对象少、需精确结果或无破坏性的情况，据此判断即可． 【详解】解：A：检查郑州地铁1号线每节车厢的消防设施是否达标关乎安全，必须逐一检查，只能普查； B：检测用于2025年河南中招体育考试的航模质量是否合格关乎教育公平，只能普查； C：核查郑州某中学九年级（1）班学生的中考报名信息，需要精准信息统计，只能普查； D：了解全省种植的温县铁棍山药的年产量情况，全省铁棍山药种植范围广、数量大，全面调查成本高、难度大，适合抽样调查； 故选：D． 4．河南博物院馆藏的某件汝窑青瓷片，其厚度约为 0.000 023米，将数据0.000 023 用科学计数法表示为（ ） A．0.23× B．0.23× C．2.3× D．2.3× 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：0.000 023=2.3×， 故选：C． 5．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，首先计算n个相加的结果，再将其平方计算即可得出答案． 【详解】解：n个相加，即（共n项）， 可表示为． 将和平方，即，根据平方的性质，负号被消去，结果为， 因此，最终结果为， 故选：C． 6．如图是一个正方体的表面展开图，将其折成一个正方体后，与点E重合的是（ ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查正方体的展开图和空间想象能力，关键是找出或想象出折叠前后图形的关系．先找出下面，然后折叠，即可找出与点A重合的顶点． 【详解】解：点E与点C所在的两个面相邻，在展开图中处于对称位置，折叠时会重合．因此与点E重合的是点C． 故选：C． 7．小华进行了如下操作：①作射线；②在射线上依次截取；③在线段上截取．由作图可得线段（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段的和差，根据计算即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， 故选：A． 8．下列说法正确的有（ ） ①单项式的系数是，次数是5；②如果是正数，那么一定是负数；③角是两条射线组成的图形；④如果线段，则点B是线段AC的中点；⑤了解平顶山市某中学的学生视力情况是定性数据；⑥若，则． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查代数式的概念，相反数的概念，几何图形的基本知识点，定性数据的定义和等式的性质，熟练掌握相关的知识是关键． 根据对应的知识点，逐一判断每个说法的正误即可． 【详解】解：对于①，单项式的系数是，次数是5，故①错误； 对于②，正数的相反数是负数，故②正确； 对于③，角由同一个端点出发的两条射线组成，题干描述不清，故③错误； 对于④，点B不一定在线段AC上，故④错误； 对于⑤，了解平顶山市某中学的学生视力情况是定性数据，故⑤错误； 对于⑥，若，两边同时乘字母c，则，故⑥正确. ∴正确的有②、⑥，共2个． 故选：A． 9．数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先在数轴上表示出a，，b，然后根据数轴上点的特点越向右越大得出答案即可． 本题考查了数轴上点表示数，倒数的意义，掌握数轴比较大小是解题关键． 【详解】解：如图所示，把，表示在数轴上， 根据数轴的正方向得到数轴右边的数比左边的数大， 则， 故选：． 10．新歌剧电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀．”其大意是把300条狗分成4个群，每个群里狗的数量都是奇数，其中1个群里狗的数量较少，其他3个群里狗的数量一样多，问应该如何分，若罗秀才再增加一个条件“数量一样多的3个群里，每个群里狗的数量都比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，则数量较少的那个群里狗的数量是（ ） A．3 B．45 C．85 D．99 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设数量较少的群里狗的数量为条，则数量一样多的3个群里每个有条狗，根据总狗数为300条列出方程求解，并验证所有数量均为奇数，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设数量较少的群里狗的数量为条，数量一样多的3个群里每个有条狗， 由题意可得：总狗数方程为：， 化简得：， 即， ∴， ∴， 验证：为奇数，也为奇数，满足条件， ∴数量较少的群里狗的数量是45条， 故选：B． 二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分） 11．有意义的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查零指数幂，根据零次幂有意义的条件是底数不为零，进行求解即可． 【详解】解：∵零次幂有意义的条件是底数不为零， ∴，解得． 故答案为：． 12．从正n边形的一个顶点出发，能画出的5条对角线，则n的值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查多边形对角线，从n边形的一个顶点出发，可以画出的对角线条数为条． 【详解】解：从n边形的一个顶点出发，可以画出的对角线条数为条，令=5，则n的值为8． 故答案为：8 13．对于有理数，，我们给出如下定义：若，满足，则称，为“源易数对”，记作，例如：，数对是“源易数对”．若是“源易数对”，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算和新定义，代数式求值及一元一次方程的应用； 先根据新定义，列出关于x的方程，求出x的值即可； 【详解】解：是源易数对， ， ； 故答案为： 14．数学老师根据中的三个数按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码是 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律问题．根据题干所给图找出规律，进而作答即可． 【详解】解：由题知， 因为，，， 所以密码左起的两位数字为上面圆圈中的数与左面圆圈中的数之和当和为一位数时，高位由补充． 因为，，， 所以密码中间的两位数字为上面圆圈中的数与右面圆圈中的数之积当积为一位数时，高位由补充． 因为，，， 所以密码最右边的两位数字为左面圆圈中的数与上面圆圈中的数与右面圆圈中的数之和的积当积为一位数时，高位由补充． 又因为，，， 所以． 故答案为：． 15．如果在同一直线上的三点A，B，C满足（即点到点的距离是点到点距离的2倍），那么我们称点是点对（A，B）的一个分点．若点在线段上，则称点为的内分点：若点在线段的延长线上，则称点为的外分点．同理，如果在同一直线上的三点满足，那么我们称点是点对的一个分点．已知数轴上两点所对应的数分别是4和．若点，分别从点同时出发，以4个单位/秒和3个单位/秒的速度向右运动，当点Q到达M点时两点停止运动．在点的运动过程中，存在点既是点对的分点，也是点对的分点，则运动时间的值为 ． 【答案】或 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了数轴上的动点问题、数轴上两点间的距离以及一元一次方程的求解．正确表示出各点在数轴上对应的数是解题关键． 分类讨论点在线段上运动和点在的延长线上运动的情况，根据内分点和外分点画出对应图形即可求解． 【详解】解：点在线段上运动，即， 设点表示的数为， 当点H既是点对的外分点，也是点对的内分点时，如图所示， ∴    ∴，， ∴， ∴ 解得； 当点H既是点对的外分点，也是点对的外分点时，如图所示： ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16．（10分）计算：（1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，整式的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和乘法分配律、和多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算方法． （1）先计算乘方，再利用乘法分配律化简，最后计算加减法即可； （2）利用多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则，即可求出解． 【详解】解：（1）原式= = =； （2）原式= = =． 17．（9分）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：___________，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步 解得，第四步 任务一：填空． ①以上求解步骤中，第一步进行的是__________，这一步的依据是__________（填写具体内容）； ②以上求解步骤中，第__________步开始出现错误，改正为__________． ③请直接写出该方程正确的解为__________； 任务二：学以致用，请解方程：． 【答案】任务一：①去分母；等式两边都乘同一个数，所得结果仍是等式； ②三，； ③； 任务二： 【分析】本题考查一元一次方程的解法，涉及去分母、去括号、移项等步骤，需注意移项时符号的变化． 任务一：根据去分母法则和移项法则求解即可； 任务二：方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：任务一： ①第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式两边都乘同一个数，所得结果仍是等式； ②以上求解步骤中，第三步开始出现错误，改正为； ③； 任务二：解方程： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得 合并同类项，得， 两边同除以3，得． 18．（9分）小明不小心将作业本上一个正确的演算过程擦掉了一块，且擦掉的部分是多项式，如下所示，设擦掉的多项式为M． （1）求多项式M； （2）已知多项式，若的结果中不含x项，求a的值． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，整式加减中的无关型问题，熟知整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据整式的加减运算法则求出的结果即可得到答案； （2）根据整式的加减运算法则求出的结果，根据的结果中不含x项得到含x项的系数为0，据此列式求解即可． 【详解】解：（1）由题意，得 ． （2）∵， ∴ ． ∵的结果中不含x项， ∴=0， 解得． 19．（9分）2025年4月23日世界读书日当天，郑州市金水区在如意湖文化广场举办了“豫见书香·阅读有我”主题读书推广活动．郑州市某初级中学为了解本校学生2025年的读书情况，组织数学兴趣小组按下列步骤开展统计活动． 【确定调查对象】 （）有以下三种调查方案： 方案①：从七年级抽取名学生，进行读书情况调查； 方案②：从七年级、八年级中各随机抽取名学生，进行读书情况调查； 方案③：从全校名学生中随机抽取名学生，进行读书情况调查． 其中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是 ；（填序号即可） 【收集整理数据】按照该校读书标准，学生读书情况分为四个类别．数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成不完整的统计图表．抽取的部分学生统计表及统计图如下： 类别 阅读本数 读书情况 优秀 良好 达标 不达标 人数（人） 【问题分析解决】 （）补全统计图表中 ， ． （）若该中学共有学生1 600人，在年度评比中，读书多于本可获评“读书之星”，请估算该中学所有学生中，可获评“读书之星”的共有多少人？ 【答案】（）③；（），；（）1 040人 【分析】（）根据抽样的特点解答即可求解； （）根据类求出总人数，进而求出的值即可； （）利用样本估计总体的方法解答即可； 本题考查了抽样调查，扇形统计图和统计表，用样本估计总体，看懂统计图表是解题的关键． 【详解】解：（）最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是③， 故答案为：③； （）抽取的学生人数为人， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （）（人）， 答：估算该中学所有学生中，可获评“读书之星”的共有1 040人． 20．（9分）数学活动课上，小辰用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的直八棱柱形笔筒（无盖）． （1）这个直八棱柱形笔筒共有 面， 条棱， 个顶点； （2）求这个棱柱的侧面积之和； （3）通过对棱柱的观察，请写出直n棱柱的顶点数及棱的条数． 【答案】（1）9，24，16 （2）这个棱柱的侧面积之和是 （3）直n棱柱共有个顶点，共有条棱 【分析】本题考查棱柱的组成，理解棱柱各部分的数量是解题的关键． （1）直接观察八棱柱即可解答； （2）将根据长方形的面积公式求出每个侧面的面积，再乘以侧面的数量7个即可解答； （3）由八棱柱的规律，总结即可解答． 【详解】（1）这个直八棱柱形笔筒（无盖）有9个面，24条棱，16个顶点． 故答案为：9，24，16； （2）， 故这个棱柱的侧面积之和是； （3）直n棱柱共有个顶点，共有条棱． 21．（9分）如图，，OC是外一条射线． （1）尺规作图：在左侧作，使得，保留作图痕迹，不写作法． （2）①在（1）中，若，求的度数； ②在（1）中，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）20；135. 【分析】本题考查作图—基本作图、角的和差关系及角的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可． （2）根据角的和差关系及分别进行计算即可得答案． 【详解】解：（1）如图，即为所作； （2）①， ， ②， ， ， ， . 22．（10分）洛阳市某中学将于5月18日举办“校园科技嘉年华”活动，计划采购拼图、航模、笔记本三种礼品共120个作为奖品，且每种礼品均有购买.已知航模的单价比拼图贵6元，买6个航模和4盒拼图共需156元． （1）拼图和航模的单价分别是多少元？ 笔记本类型 横线款 方格款 单价 18元 26元 （2）若某超市的笔记本有两种类型，学校只能从中选择一种，价格如表所示．现在该学校准备用2 000元去购买这三种礼品，且航模和笔记本的数量相同，选择哪种笔记本比较合适？请给出购买方案并说明理由； （3）若要求购买笔记本的数量是航模数量的，拼图和航模的单价不变，笔记本的单价为a元，在总数量不变的前提下，无论这三种礼品的数量如何分配，总费用始终不变，求此时a总费用． 【答案】（1）拼图的单价为12元，航模的单价为18元 （2）方格款笔记本，购买航模28个，笔记本28个，拼图64盒，理由见解析 （3）总费用为1 440元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式加减的应用，根据题意列出方程和整式是解题的关键． （1）设拼图的单价为x元，则航模的单价为元，根据买6个航模和4盒拼图共需156元列出方程求解即可； （2）设航模和笔记本的数量均为个，则拼图的数量为盒，然后根据该学校准备用2 000元去购买这三种礼品列方程，解方程取符合题意的值即可； （3）设航模的数量为m个，笔记本的数量为2m个，则拼图的数量为盒，表示出总费用，根据总费用始终不变，求出a和总费用即可． 【详解】解：（1）设拼图的单价为x元，则航模的单价为元． 由题意得6， 解得x， ， 答：拼图的单价为12元，航模的单价为18元． （2）设航模和笔记本的数量均为个，则拼图的数量为盒． ①若选择横线款笔记本，由题意得， 解得， 的值不是整数，不符合要求； ②若选择方格款笔记本，由题意得， 解得， ， ∴购买航模28个，笔记本28个，拼图64盒． （3）设航模的数量为m个，笔记本的数量为2m个，则拼图的数量为盒， 总费用， 由题意，总费用与m无关， =0，， 此时总费用为1 440元． 23．（10分）阅读材料并回答问题． 数学课上，老师提出了如下问题：已知点在直线上，，在同一平面内，过点作射线，满足．当时，如图1所示，求的度数．    甲同学：以下是我的解答过程（部分空缺） 解：如图2，∵点O在直线上， ∴， ∵， ∴， ， ∴平分， ∴　　　　， ∵，， ∴　　　　． 乙同学：“我认为还有一种情况．” 请完成以下问题： （1）请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整． （2）判断乙同学的说法是否正确，若正确，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求的度数，写出解答过程；若不正确，请说明理由． （3）将题目中“”的条件改成“”，其余条件不变，当在到之间变化时，如图3所示，为何值时，成立？请直接写出此时的值． 【答案】（1）70，160 （2）正确，理由见解析，或 （3）或 【分析】（1）根据平角定义和角平分线的定义补充即可； （2）由题意，还有在的外部时的情况，根据平角定义求解即可； （3）由题意，，，分在的内部和在的外部，由求出即可． 【详解】解：（1）∵点O在直线上， ∴， ∵， ∴， ， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：70；160； （2）正确，理由如下： 当在的外部时，如图所示：    ∵点O在直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 综上所述，或； （3）∵，， ∴，， 当在的内部时，如图，    ∵， ∴平分， ∴，即 ∴， 解得：； 当在的外部时，如图，    ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 综上，或． 【点睛】本题考查角的运算、角平分线的有关计算、平角定义，能根据图形进行角度运算，能利用分类讨论思想解决问题是解答的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【期末模考】河南省2025-26学年七年级数学第一学期期末 猜押卷二（原卷版） （考查范围：七年级上册全部+七年级下册第一单元部分） （考试时间：100分 满分：120分） 一、选择题(每小题3分,共30分)下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的. 1．下列选项的结果为分数的是（ ） A．的相反数 B．的绝对值 C．的倒数 D．的0次方 2．如图是由8个大小相同的小正方体组成的立体图形，从左面看到的平面图形是（ ） A． B． C． D． 3．下列调查中，适合抽样调查的是（ ） A．检查郑州地铁1号线每节车厢的消防设施是否达标 B．检测用于2025年河南中招体育考试的航模质量是否合格 C．核查郑州某中学九年级（1）班学生的中考报名信息 D．了解全省种植的温县铁棍山药的年产量情况 4．河南博物院馆藏的某件汝窑青瓷片，其厚度约为 0.000 023米，将数据0.000 023 用科学计数法表示为（ ） A．0.23× B．0.23× C．2.3× D．2.3× 5．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 6．如图是一个正方体的表面展开图，将其折成一个正方体后，与点E重合的是（ ） A．点A B．点B C．点C D．点D 7．小华进行了如下操作：①作射线；②在射线上依次截取；③在线段上截取．由作图可得线段（ ） A． B． C． D． 8．下列说法正确的有（ ） ①单项式的系数是，次数是5；②如果是正数，那么一定是负数；③角是两条射线组成的图形；④如果线段，则点B是线段AC的中点；⑤了解平顶山市某中学的学生视力情况是定性数据；⑥若，则． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 10．新歌剧电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀．”其大意是把300条狗分成4个群，每个群里狗的数量都是奇数，其中1个群里狗的数量较少，其他3个群里狗的数量一样多，问应该如何分，若罗秀才再增加一个条件“数量一样多的3个群里，每个群里狗的数量都比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，则数量较少的那个群里狗的数量是（ ） A．3 B．45 C．85 D．99 二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分） 11．有意义的条件是 ． 12．从正n边形的一个顶点出发，能画出的5条对角线，则n的值为 ． 13．对于有理数，，我们给出如下定义：若，满足，则称，为“源易数对”，记作，例如：，数对是“源易数对”．若是“源易数对”，则的值为 ． 14．数学老师根据中的三个数按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码是 ． 15．如果在同一直线上的三点A，B，C满足（即点到点的距离是点到点距离的2倍），那么我们称点是点对（A，B）的一个分点．若点在线段上，则称点为的内分点：若点在线段的延长线上，则称点为的外分点．同理，如果在同一直线上的三点满足，那么我们称点是点对的一个分点．已知数轴上两点所对应的数分别是4和．若点，分别从点同时出发，以4个单位/秒和3个单位/秒的速度向右运动，当点Q到达M点时两点停止运动．在点的运动过程中，存在点既是点对的分点，也是点对的分点，则运动时间的值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16．（10分）计算：（1）； （2）． 17．（9分）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：___________，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步 解得，第四步 任务一：填空． ①以上求解步骤中，第一步进行的是__________，这一步的依据是__________（填写具体内容）； ②以上求解步骤中，第__________步开始出现错误，改正为__________． ③请直接写出该方程正确的解为__________； 任务二：学以致用，请解方程：． 18．（9分）小明不小心将作业本上一个正确的演算过程擦掉了一块，且擦掉的部分是多项式，如下所示，设擦掉的多项式为M． （1）求多项式M； （2）已知多项式，若的结果中不含x项，求a的值． 19．（9分）2025年4月23日世界读书日当天，郑州市金水区在如意湖文化广场举办了“豫见书香·阅读有我”主题读书推广活动．郑州市某初级中学为了解本校学生2025年的读书情况，组织数学兴趣小组按下列步骤开展统计活动． 【确定调查对象】 （）有以下三种调查方案： 方案①：从七年级抽取名学生，进行读书情况调查； 方案②：从七年级、八年级中各随机抽取名学生，进行读书情况调查； 方案③：从全校名学生中随机抽取名学生，进行读书情况调查． 其中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是 ；（填序号即可） 【收集整理数据】按照该校读书标准，学生读书情况分为四个类别．数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成不完整的统计图表．抽取的部分学生统计表及统计图如下： 类别 阅读本数 读书情况 优秀 良好 达标 不达标 人数（人） 【问题分析解决】 （）补全统计图表中 ， ． （）若该中学共有学生1 600人，在年度评比中，读书多于本可获评“读书之星”，请估算该中学所有学生中，可获评“读书之星”的共有多少人？ 20．（9分）数学活动课上，小辰用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的直八棱柱形笔筒（无盖）． （1）这个直八棱柱形笔筒共有 面， 条棱， 个顶点； （2）求这个棱柱的侧面积之和； （3）通过对棱柱的观察，请写出直n棱柱的顶点数及棱的条数． 21．（9分）如图，，OC是外一条射线． （1）尺规作图：在左侧作，使得，保留作图痕迹，不写作法． （2）①在（1）中，若，求的度数； ②在（1）中，若，求的度数． 22．（10分）洛阳市某中学将于5月18日举办“校园科技嘉年华”活动，计划采购拼图、航模、笔记本三种礼品共120个作为奖品，且每种礼品均有购买.已知航模的单价比拼图贵6元，买6个航模和4盒拼图共需156元． （1）拼图和航模的单价分别是多少元？ 笔记本类型 横线款 方格款 单价 18元 26元 （2）若某超市的笔记本有两种类型，学校只能从中选择一种，价格如表所示．现在该学校准备用2 000元去购买这三种礼品，且航模和笔记本的数量相同，选择哪种笔记本比较合适？请给出购买方案并说明理由； （3）若要求购买笔记本的数量是航模数量的，拼图和航模的单价不变，笔记本的单价为a元，在总数量不变的前提下，无论这三种礼品的数量如何分配，总费用始终不变，求此时a总费用． 23．（10分）阅读材料并回答问题． 数学课上，老师提出了如下问题：已知点在直线上，，在同一平面内，过点作射线，满足．当时，如图1所示，求的度数．    甲同学：以下是我的解答过程（部分空缺） 解：如图2，∵点O在直线上， ∴， ∵， ∴， ， ∴平分， ∴　　　　， ∵，， ∴　　　　． 乙同学：“我认为还有一种情况．” 请完成以下问题： （1）请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整． （2）判断乙同学的说法是否正确，若正确，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求的度数，写出解答过程；若不正确，请说明理由． （3）将题目中“”的条件改成“”，其余条件不变，当在到之间变化时，如图3所示，为何值时，成立？请直接写出此时的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $