第4章 数列（复习讲义）高二数学沪教版2020选择性必修第一册

第4章 数列（复习讲义） 1.精准理解数列的核心概念，包括数列的定义、表示方法及分类， 2.熟练掌握等差数列与等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及其推导逻辑，厘清数列与函数的内在关联。 3.掌握数列极限的基本概念、性质及简单运算方法，形成“概念—公式—性质—关联”的完整知识网络。 知识点01：与等差数列相关的结论 设为等差数列的前项和. (1); (2) (3); (4)构成等差数列. (5)是关于的一次函数或常数函数，数列也是等差数列. (6) (7)若等差数列的项数为偶数,公差为,所有奇数项之和为,所有偶数项之和为,则所有项之和,,. (8)若等差数列的项数为奇数,所有奇数项之和为,所有偶数项之和为,则所有项之和,,,,. (9)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则. 知识点02：与等比数列相关的结论 已知等比数列,公比为,前项和为. (1)(). (2)若,则();反之,不一定成立. (3),,,成等比数列(). (4)公比时,,,,成等比数列(). (5)若等比数列的项数为(),公比为,奇数项之和为,偶数项之和为,则. (6),是等比数列,则,,,也是等比数列(,). (7)通项公式.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于的指数函数的积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点. (8)只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数. (9)三个数成等比数列,通常设为,,;四个数成等比数列,通常设为,,,. 知识点03：数列的基本概念 1、数列：按照一定次序排列的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数． 3、数列分类：有穷数列：项数有限的数列． 无穷数列：项数无限的数列． 递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 常数列：各项相等的数列． 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 4、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式． 5、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式． 知识点04： 数学归纳法 1．数学归纳法 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤： （1）证明当n＝n0时命题成立； （2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法． 2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可． （1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性． 在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立． （2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确． 在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明． 完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论． 3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： ①明确初始值n0并验证真假．（必不可少） ②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式． ③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项． ④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设． 题型一 等差数列及其通项公式 【例1-1】（24-25高二下·上海杨浦·期末）-3和5的等差中项是 . 【例1-2】（23-24高二下·上海宝山·月考）在等差数列中，若，则的通项公式为 . 【例1-3】（23-24高二上·上海·期末）在数列中，，且，则 . 【变式1-1】（25-26高二上·上海普陀·月考）在等差数列中，若，求公差的值是 ． 【变式1-2】（22-23高二上·上海·期中）在等差数列中，，公差，则 ． 【变式1-3】（24-25高二下·上海·月考）在数列中，，，且为等差数列，则 ． 题型二 等差数列的前n项和 【例2-1】（24-25高二下·上海松江·月考）在等差数列中，，则 . 【例2-2】（25-26高二上·上海·月考）已知等差数列前项和为，则 . 【例2-3】（23-24高二上·上海闵行·月考）已知等差数列的前n项和为，满足，，则 . 【例2-4】（24-25高二上·上海·月考）等差数列的前项和分别为，若，则 . 【例2-5】（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列的前 项和 满足 ，则 的通项公式为 【例2-6】（24-25高二上·上海·期末）某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计年产量为（单位：万件），但如果年产量超过60万件，将会给环境造成危害，为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 年． 【变式2-1】（24-25高二上·上海·月考）一个三人报数游戏：首先报数字1，然后报后两个数字2、3，接下来报后三个数字4、5、6，然后轮到报后四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2000个数字为（    ） A．5957 B．5958 C．5959 D．5960 【变式2-2】（24-25高二下·上海宝山·期中）已知数列 满足 ，则数列的前 项和为 取最小值时，的值= . 【变式2-3】（23-24高二上·上海·期末）等差数列中，已知，且在前项和中，仅当时，最大，则公差的取值范围为 ． 【变式2-4】（24-25高二下·上海·月考）等差数列的公差，其前项和为，若，则中不同的数值有 个. 【变式2-5】（25-26高二上·上海浦东新·月考）等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． 题型三 等比数列及其通项公式 【例3-1】（23-24高二上·上海宝山·期中）实数和的等比中项为 【例3-2】（24-25高二下·上海宝山·期中）若正数数列 是等比数列，则正数 . 【例3-3】（24-25高三上·上海·月考）设是等比数列，且，，则 . 【例3-4】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知各项均为正数的等比数列满足，则 . 【例3-5】（25-26高二上·上海宝山·月考）已知等比数列的前项和为，若，，则数列的公比为 ． 【变式3-1】（24-25高二上·上海·期中）数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【变式3-2】（23-24高二下·上海·期中）已知等比数列的公比为，且，则 ． 【变式3-3】（25-26高二上·上海青浦·月考）已知数列各项均为正数，它的前项和为，且，，则数列的通项公式为 【变式3-4】（23-24高二下·上海宝山·月考）已知数列满足：. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式. 题型四 等比数列的前n项和 【例4-1】（23-24高二下·上海闵行·月考）已知等比数列满足，，则 . 【例4-2】（23-24高二下·上海宝山·月考）已知等比数列的前项和为，则 . 【变式4-1】（24-25高二上·上海黄浦·期末）如图的工艺品是由九个圆柱焊接而成.这些圆柱具有共同的轴，最下边的圆柱的高为10cm、底面半径为5cm.从由下至上第二个圆柱开始，每个圆柱的底面半径与高都分别是其下面一个圆柱的底面半径与高的0.8倍，则这个工艺品的表面积（含最下边圆柱的下底面积）约为 （精确到） 【变式4-2】（25-26高二上·上海浦东新·月考）已知等比数列，第三项是12，第六项是96，则 ． 【变式4-3】（24-25高二下·上海·月考）已知数列 为公比为 的无穷项等比数列， 为其前 项和，满足 ，则 的取值范围是 . 题型五 数列的概念与性质 【例5-1】（23-24高二上·上海·期末）已知是离最近的整数，如，则无穷数列中共有 项的值等于100. 【例5-2】（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列 满足 ，则其前 2023 项的和为 . 【例5-3】（24-25高二下·上海·月考）已知数列 为严格增数列，则实数 的取值范围为 . 【例5-4】（24-25高二下·上海·期中）设、、、是1、2、3、4、5、6、7、8的一个排列，，则集合中所有元素的和为 ． 【例5-5】（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列 满足 (1)求数列的通项公式 (2)若数列 满足 ，求数列的前 项和 【变式5-1】（22-23高二下·上海普陀·期中）已知数列（，）的通项公式是，则是该数列中的第 项. 【变式5-2】（25-26高二上·上海·期中）已知数列的前项和满足，则 【变式5-3】（24-25高二下·上海·期末）已知数列的通项公式是，数列最大项是 ． 【变式5-4】（23-24高二上·上海·期末）已知数列，若为等比数列，则称具有性质P. (1)若数列具有性质P，且，，求的值； (2)若，求证：数列具有性质P； (3)设，数列具有性质P，其中，，，若，求正整数m的取值范围. 题型六 利用递推公式表示数列 【例6】（24-25高二下·上海青浦·期末）在数列中，，，则 . 【变式6-1】（25-26高二上·上海·月考）已知数列，则 （用数字作答） 【变式6-2】（25-26高二上·上海闵行·期中）已知数列满足，则的最小值为 ． 【变式6-3】（24-25高二上·上海·期末）在无穷数列中，均为正整数，且，记的前项和为. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 题型七 数学归纳法及其应用 【例7-1】（24-25高二上·上海青浦·月考）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【例7-2】（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 【变式7-1】（24-25高二下·上海·期末）请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误． （1）设为正整数，求证：． 证明：假设当（为正整数）时等式成立，即有． 那么当时，就有 ．因此，对于任何正整数等式都成立． （2）设为正整数，求证：． 证明：①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当（，为正整数）时，等式成立，即有， 那么当时，由等比数列求和公式，就有，等式也成立． 根据①和②，由数学归纳法可以断定对任何正整数都成立． 错误是 . 【变式7-2】（23-24高二上·上海虹口·月考）已知函数. (1)依次求，，的值； (2)对任意正整数n，记，即.猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【变式7-3】（24-25高二上·上海·期中）对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”.已知，，. (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”，求的值； (2)在（1）的条件下，当，时，比较和的大小，并说明理由； (3)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25高二下·上海·月考）已知数列 满足 ，且，则（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海奉贤·月考）对于数列，若存在实数，使得 对任意正整数 都成立，则称数列 是线性数列，则对于:① 等差数列一定是线性数列；② 等比数列一定是线性数列，下列说法正确的是（   ） A．①正确②正确 B．①正确②错误 C．① 错误②正确 D．①错误②错误 3．（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知等差数列的首项为正数，其前 项和 满足 ，则当 取到最大值时， （   ） A． B． 或 C． D． 或 二、填空题 4．（24-25高二下·上海宝山·期中）是等差数列的前项和，若且 ，则当取得最大值时的 . 5．（24-25高二下·上海·期中）已知等差数列中，公差，且，则 ． 6．（24-25高二下·上海宝山·期中）设为等比数列的前项和，已知，则公比 7．（24-25高二下·上海·期中）若等差数列的前三项依次为1，，3，则实数a的值为 . 8．（24-25高二下·上海徐汇·期末）已知等差数列的公差，且，则 ． 9．（25-26高二上·上海徐汇·月考）已知数列为无穷等比数列，，且公比q满足，则数列所有奇数项之和的取值范围为 . 三、解答题 10．（24-25高二下·上海·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求的最小值及取最小值时的值. 11．（25-26高二上·上海浦东新·月考）设是等比数列， (1)求的通项公式； (2)求． 12．（25-26高二上·上海·期中）已知数列满足，且对任意的，都有. (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式及数列的前项和. 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25高二下·上海奉贤·月考）“ ” 是 “ 是等比数列”的（   ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 2．（24-25高二下·上海·期中）已知数列的各项均为正数，其前n项和为，满足，给出下列四个结论：①的第2项小于1；②为等差数列；③为严格减数列；④中存在小于的项.其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26高二上·上海杨浦·开学考试）新定义：设x为正整数，则中所有值由小到大排列形成的数列称为的对应数列，称为数列的对应函数，则下列命题中所有真命题的序号为（   ） 命题①：对数函数的对应数列为等比数列 命题②：等比数列的对应函数可能为指数函数，指数函数的对应数列一定为等比数列 命题③：幂函数在第一象限的单调性与其对应数列相同 A．①② B．①③ C．②③ D．② 4．（25-26高二上·上海·月考）对于无穷数列，给出下列命题： ①若数列既是等差数列，又是等比数列，则数列是常数列． ②若等差数列满足，则数列是常数列． ③若等比数列满足，则数列是常数列． ④若各项为正数的等比数列满足，则数列是常数列． 其中正确的命题个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 5．（25-26高二上·上海·期中）已知数列满足，则 ． 6．（24-25高二下·上海·期末）等差数列中已知，则当取到最大值时， ． 7．（25-26高二上·上海·月考）已知数列满足（为正整数），若是严格增数列，则首项的取值范围为 ． 8．（25-26高二上·上海·月考）已知有穷数列共项，数列中任意一项，且对于其中任意连续的三项、、，均存在以、、为边长的等腰三角形，且这些等腰三角形互不全等，则m的最大值为 . 三、解答题 9．（24-25高二下·上海·月考）定义: 对于任意 ，满足条件 且 ( 是与 无关的常数) 的无穷数列 称为数列. (1)若 ，证明:数列 是 数列； (2)设数列的通项为 ，且数列是数列，求常数的取值范围； (3)设数列 ，问数列 是否是数列？请说明理由. 10．（25-26高二上·上海·期中）已知数列的通项公式，数列的通项公式（）.若，则称d为数列与的公共项，将数列与的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列. (1)直接写出、、、的值； (2)猜想并证明的通项公式，并求数列各项和； (3)是否存在正整数r、s、t（）使得成立，若存在，求出r、s、t；若不存在，说明理由. 11．（25-26高二上·上海浦东新·月考）在个数码构成一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为．例如：对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此数列3，2，1的逆序数为，则记． (1)计算； (2)已知数列的通项公式是，求数列的逆序数； (3)计算数列的逆序数． 12．（24-25高二上·上海·期末）在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为.例如：对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为，则记. (1)计算； (2)设数列满足，，求的通项公式； (3)计算数列（）的逆序数. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 数列（复习讲义） 1.精准理解数列的核心概念，包括数列的定义、表示方法及分类， 2.熟练掌握等差数列与等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及其推导逻辑，厘清数列与函数的内在关联。 3.掌握数列极限的基本概念、性质及简单运算方法，形成“概念—公式—性质—关联”的完整知识网络。 知识点01：与等差数列相关的结论 设为等差数列的前项和. (1); (2) (3); (4)构成等差数列. (5)是关于的一次函数或常数函数，数列也是等差数列. (6) (7)若等差数列的项数为偶数,公差为,所有奇数项之和为,所有偶数项之和为,则所有项之和,,. (8)若等差数列的项数为奇数,所有奇数项之和为,所有偶数项之和为,则所有项之和,,,,. (9)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则. 知识点02：与等比数列相关的结论 已知等比数列,公比为,前项和为. (1)(). (2)若,则();反之,不一定成立. (3),,,成等比数列(). (4)公比时,,,,成等比数列(). (5)若等比数列的项数为(),公比为,奇数项之和为,偶数项之和为,则. (6),是等比数列,则,,,也是等比数列(,). (7)通项公式.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于的指数函数的积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点. (8)只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数. (9)三个数成等比数列,通常设为,,;四个数成等比数列,通常设为,,,. 知识点03：数列的基本概念 1、数列：按照一定次序排列的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数． 3、数列分类：有穷数列：项数有限的数列． 无穷数列：项数无限的数列． 递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 常数列：各项相等的数列． 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 4、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式． 5、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式． 知识点04： 数学归纳法 1．数学归纳法 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤： （1）证明当n＝n0时命题成立； （2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法． 2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可． （1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性． 在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立． （2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确． 在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明． 完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论． 3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： ①明确初始值n0并验证真假．（必不可少） ②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式． ③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项． ④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设． 题型一 等差数列及其通项公式 【例1-1】（24-25高二下·上海杨浦·期末）-3和5的等差中项是 . 【答案】 【详解】设和的等差中项是 则. 故答案为：. 【例1-2】（23-24高二下·上海宝山·月考）在等差数列中，若，则的通项公式为 . 【答案】 【详解】由可得公差， 故， 故答案为： 【例1-3】（23-24高二上·上海·期末）在数列中，，且，则 . 【答案】15 【详解】将同时除以2，得出， 即数列是以为首项，公差的等差数列， 则. 故答案为：15 【变式1-1】（25-26高二上·上海普陀·月考）在等差数列中，若，求公差的值是 ． 【答案】1 【详解】是等差数列，设首项是，公差为，， ，解得． 故答案为：1． 【变式1-2】（22-23高二上·上海·期中）在等差数列中，，公差，则 ． 【答案】15 【详解】在等差数列中，，公差， ． 故答案为：15． 【变式1-3】（24-25高二下·上海·月考）在数列中，，，且为等差数列，则 ． 【答案】 【详解】因为为等差数列，所以， 则，解得. 故答案为：. 题型二 等差数列的前n项和 【例2-1】（24-25高二下·上海松江·月考）在等差数列中，，则 . 【答案】2 【详解】等差数列中，，所以，所以. 故答案为：2 【例2-2】（25-26高二上·上海·月考）已知等差数列前项和为，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 若为等差数列前项和，则，解得. 故答案为： 【例2-3】（23-24高二上·上海闵行·月考）已知等差数列的前n项和为，满足，，则 . 【答案】 【详解】因为是等差数列，所以，，成等差数列， 则， 因为，，所以，解得. 故答案为：. 【例2-4】（24-25高二上·上海·月考）等差数列的前项和分别为，若，则 . 【答案】 【详解】等差数列的前项和分别为， 故， 故. 故答案为： 【例2-5】（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列的前 项和 满足 ，则 的通项公式为 【答案】 【详解】当 时，； 当 时，. , 代入通项公式：, 验证 时：若直接代入 ，得 ，与 矛盾，故需分段表示. 因此，通项公式为分段形式：. 故答案为：. 【例2-6】（24-25高二上·上海·期末）某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计年产量为（单位：万件），但如果年产量超过60万件，将会给环境造成危害，为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 年． 【答案】8 【详解】解：第一年年产量为，以后各年年产量为（，为正整数），当时也符合上式， ∴（为正整数）． 令，得． 设，对称轴为， 则当时，严格增，又因为为正整数，，， 则最大生产期限应拟定为8年， 故答案为：8． 【变式2-1】（24-25高二上·上海·月考）一个三人报数游戏：首先报数字1，然后报后两个数字2、3，接下来报后三个数字4、5、6，然后轮到报后四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2000个数字为（    ） A．5957 B．5958 C．5959 D．5960 【答案】D 【详解】依题意，A第n次报数的个数为：， 则A第n次报完数后共报的个数为：， 由，即，解得n的最小值为37，得， 而A第37次报时，3人总共报了次， 当A第109次报完数，3人总的报数个数为：， 因此A报出的第2035个数字为5995， 所以A报出的第2000个数字为：， 故选：D 【变式2-2】（24-25高二下·上海宝山·期中）已知数列 满足 ，则数列的前 项和为 取最小值时，的值= . 【答案】4 【详解】因为，则数列为公差为2的等差数列， 则， 则当时，取得最小值. 故答案为：. 【变式2-3】（23-24高二上·上海·期末）等差数列中，已知，且在前项和中，仅当时，最大，则公差的取值范围为 ． 【答案】 【详解】为等差数列，且， 则前项和，是关于的二次函数，且， 因为仅当时，最大，所以对称轴在区间， 即，解得：， 则公差的取值范围是. 故答案为： 【变式2-4】（24-25高二下·上海·月考）等差数列的公差，其前项和为，若，则中不同的数值有 个. 【答案】2016. 【详解】已知等差数列的公差，其前n项和为， ， 即， 所以，即， ，即， ，即， 则对称轴为， ，，，，有九组数相同， 则中不同的数值有个， 故答案为：2016 【变式2-5】（25-26高二上·上海浦东新·月考）等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题可得：， 解得， ； （2）由（1）知，， 所以， 由二次函数性质可知，当时，取最小值， 此时最小值为； （3）， 由， 当时，；当时，， 所以当时，； 当时， . 综上，. 题型三 等比数列及其通项公式 【例3-1】（23-24高二上·上海宝山·期中）实数和的等比中项为 【答案】 【详解】设和的等比中项为，则，解得. 故答案为： 【例3-2】（24-25高二下·上海宝山·期中）若正数数列 是等比数列，则正数 . 【答案】 【详解】由题，可得，又， . 故答案为：4. 【例3-3】（24-25高三上·上海·月考）设是等比数列，且，，则 . 【答案】或 【详解】因为是等比数列，且，， 解得，或，则或. 故答案为：或 【例3-4】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知各项均为正数的等比数列满足，则 . 【答案】7 【详解】已知各项均为正数的等比数列满足，所以，所以，即， 所以. 故答案为：7. 【例3-5】（25-26高二上·上海宝山·月考）已知等比数列的前项和为，若，，则数列的公比为 ． 【答案】或 【详解】是等比数列，，， ，， ，，， ，或. 故答案为：或. 【变式3-1】（24-25高二上·上海·期中）数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】D 【详解】当时，取，则，显然不是严格增数列， 所以“”不能推出“数列是严格增数列”； 当数列是严格增数列时，设， 当时，是摆动数列，不符合要求，所以， 若，则， 若，则， 所以“数列是严格增数列”不能推出“”； 综上所述，“”是“数列是严格增数列”的既非充分也非必要条件， 故选：D. 【变式3-2】（23-24高二下·上海·期中）已知等比数列的公比为，且，则 ． 【答案】 【详解】由已知得，又， 所以， 则. 故答案为：. 【变式3-3】（25-26高二上·上海青浦·月考）已知数列各项均为正数，它的前项和为，且，，则数列的通项公式为 【答案】 【详解】由，数列各项均为正数， 则， 所以，则， 即， 令，则， 令，为锐角， 则， 所以，则， 又， 所以，即，所以， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以，所以， 所以， 当时，， 又也适合，所以， 故答案为：. 【变式3-4】（23-24高二下·上海宝山·月考）已知数列满足：. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【详解】（1）证明：由得，易知，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）可得， 所以. 题型四 等比数列的前n项和 【例4-1】（23-24高二下·上海闵行·月考）已知等比数列满足，，则 . 【答案】1533 【详解】由，可知， 所以成等比数列， 所以，解得. 故答案为：1533 【例4-2】（23-24高二下·上海宝山·月考）已知等比数列的前项和为，则 . 【答案】 【详解】由，当时，；当时，， 因是等比数列，故时，，解得,此时，，符合题意. 故答案为：. 【变式4-1】（24-25高二上·上海黄浦·期末）如图的工艺品是由九个圆柱焊接而成.这些圆柱具有共同的轴，最下边的圆柱的高为10cm、底面半径为5cm.从由下至上第二个圆柱开始，每个圆柱的底面半径与高都分别是其下面一个圆柱的底面半径与高的0.8倍，则这个工艺品的表面积（含最下边圆柱的下底面积）约为 （精确到） 【答案】 【详解】由题设，第个圆柱的高，底面半径， 所以，第个圆柱的侧面积为，底面积为， 则侧面积之和为， 底面积之和为， 所以工艺品的表面积为. 故答案为： 【变式4-2】（25-26高二上·上海浦东新·月考）已知等比数列，第三项是12，第六项是96，则 ． 【答案】 【详解】因为，，代入通项公式， 得： 除以，消去得：， 因此，公比， 将代入： 即：，解得：， 把，，， 代入（）得： . 故答案为：. 【变式4-3】（24-25高二下·上海·月考）已知数列 为公比为 的无穷项等比数列， 为其前 项和，满足 ，则 的取值范围是 . 【答案】 【详解】数列 为公比为 的无穷项等比数列， 又，易知， 若，， 故， 当，则，此时，显然无解； 当，则，此时，可得； 当，则，此时，可得； 当，则，此时，显然无解； 若，则，显然不成立； 综上，. 故答案为：. 题型五 数列的概念与性质 【例5-1】（23-24高二上·上海·期末）已知是离最近的整数，如，则无穷数列中共有 项的值等于100. 【答案】 【详解】由已知得，此时不等式取等号和不取等号对结果没有影响， 所以， 又， 所以， 所以共有项的值等于100. 故答案为：. 【例5-2】（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列 满足 ，则其前 2023 项的和为 . 【答案】 【详解】由，可得：， 由题意，所以， 所以易知是周期为2的数列， 所以也是是周期为2的数列， 且，即， 所以， 故答案为： 【例5-3】（24-25高二下·上海·月考）已知数列 为严格增数列，则实数 的取值范围为 . 【答案】 【详解】由数列为严格增数列， 得，， 因此，，而数列为严格减数列， 所以，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【例5-4】（24-25高二下·上海·期中）设、、、是1、2、3、4、5、6、7、8的一个排列，，则集合中所有元素的和为 ． 【答案】 【详解】对于集合中的元素，不妨设，，，， 则 为偶数， 根据题意可知，，，，， 则， 不妨取，此时，取最小值， 当取最小值时，最大，且的最小值为， 则的最大值为，接下来验证可取内的所有偶数， 对取特殊值进行验证，列表如下： 因此，集合的所有元素之和为. 故答案为： . 【例5-5】（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列 满足 (1)求数列的通项公式 (2)若数列 满足 ，求数列的前 项和 【详解】（1）由已知可得， 故当时，， ， ， ……. ， 累加后可得， 所以， 当时，代入成立， 所以数列的通项公式为. （2）， 当时，， 此时 ； 当时，， ， 综上 【变式5-1】（22-23高二下·上海普陀·期中）已知数列（，）的通项公式是，则是该数列中的第 项. 【答案】9 【详解】根据题意，得， 解得，所以是该数列中的第9项. 故答案为：9 【变式5-2】（25-26高二上·上海·期中）已知数列的前项和满足，则 【答案】 【详解】因为， 所以. 故答案为： 【变式5-3】（24-25高二下·上海·期末）已知数列的通项公式是，数列最大项是 ． 【答案】 【详解】， ，， 取最大值，有， ，解得：， 当时，；当时，； 所以最大项为，且. 故答案为：. 【变式5-4】（23-24高二上·上海·期末）已知数列，若为等比数列，则称具有性质P. (1)若数列具有性质P，且，，求的值； (2)若，求证：数列具有性质P； (3)设，数列具有性质P，其中，，，若，求正整数m的取值范围. 【详解】（1）由题意可知成等比数列. 则 即，，解得. （2）证明：； . ，， 数列是以6为首项，以2为公比的等比数列故数列具有性质. （3）设数列的前项和为，则 当时，； 当时，； 经检验，. 由，解得， 则 由数列具有性质，则为等比数列， ，故数列为以2为首项以2为公比的等比数列， 则，于是， 即,由. 则数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故，则. ，化简可得. ①若为偶数，则，即； ②若为奇数，则，即； 综上可得，的取值范围是且. 题型六 利用递推公式表示数列 【例6】（24-25高二下·上海青浦·期末）在数列中，，，则 . 【答案】 【详解】由题意易知， 当时，由，得， 由，得，，， 因此数列是以为周期的数列，所以. 故答案为： 【变式6-1】（25-26高二上·上海·月考）已知数列，则 （用数字作答） 【答案】 【详解】当时， ，两式作差得： 即 因此，奇数项和偶数项分别构成公差为 的等差数列， 奇数项：，公差 ，故 ， 当 为奇数时，令 ，解得 ，代入得 故答案为： . 【变式6-2】（25-26高二上·上海闵行·期中）已知数列满足，则的最小值为 ． 【答案】4051 【详解】由题意，，则，当且仅当时取等号， 由对勾函数的性质可知，当时，是关于的单调递增函数， 所以，，依此类推， 所以的最小值为. 故答案为：4051. 【变式6-3】（24-25高二上·上海·期末）在无穷数列中，均为正整数，且，记的前项和为. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【详解】（1）在无穷数列中，均为正整数，且， 当时，则，，，， ，，，， 所以. （2）①若是奇数，则是偶数，， 由，得，解得，满足题意； ②若是偶数，不妨设，则. 若是偶数，则，由，得，此方程无整数解； 若是奇数，则，由，得，此方程无整数解. 综上， 题型七 数学归纳法及其应用 【例7-1】（24-25高二上·上海青浦·月考）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【答案】B 【详解】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 增加的项为，共有项. 故选：B 【例7-2】（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 【详解】等差数列中，，， 当时，，，原等式成立； 假设当时，原等式成立，即，， 则 ， 即当时，原等式成立， 所以对一切，等式成立. 【变式7-1】（24-25高二下·上海·期末）请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误． （1）设为正整数，求证：． 证明：假设当（为正整数）时等式成立，即有． 那么当时，就有 ．因此，对于任何正整数等式都成立． （2）设为正整数，求证：． 证明：①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当（，为正整数）时，等式成立，即有， 那么当时，由等比数列求和公式，就有，等式也成立． 根据①和②，由数学归纳法可以断定对任何正整数都成立． 错误是 . 【答案】（1）（2） 【详解】（1）错误：本小题的错误在于没有证明第一步，即没有验证时等式成立， 因为第一步是整个证明的基本， 所以缺了第一步，后面的证明就会出现失误. （2）错误：本小题在证成立时，应用了等比数列的求和公式， 而未使用假设成立时的条件，这与数学归纳法的要求不符， 所以其错误是未使用归纳假设. 故答案为：（1）（2） 【变式7-2】（23-24高二上·上海虹口·月考）已知函数. (1)依次求，，的值； (2)对任意正整数n，记，即.猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【详解】（1），，，， ，，， 所以，，； （2），，， 所以猜想， 当时，，成立， 假设当时，命题成立，即， 即 那么当时，， ， ， ， 所以当时，猜想成立， 综合以上可知，当时，成立. 【变式7-3】（24-25高二上·上海·期中）对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”.已知，，. (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”，求的值； (2)在（1）的条件下，当，时，比较和的大小，并说明理由； (3)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 【详解】（1）由题意，，，，；以； （2）当，时，猜想，数学归纳法证明如下 （ⅰ）当时，，命题成立； （ⅱ）假设当时，命题成立，即， 则当时， （*） ，，即命题也成立 由（ⅰ）（ⅱ）可知，当，时，成立. （3），则，， 设，即，则， 函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等， 又单调递增，所以新， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故，整理得到， 当时，为偶数，等式不成立；所以等式无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列. 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25高二下·上海·月考）已知数列 满足 ，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知得出是以为首项，公比为的等比数列，写出数列的通项公式即可求解． 【详解】由，得， 又，所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以，即， 所以， 故选：A． 2．（24-25高二下·上海奉贤·月考）对于数列，若存在实数，使得 对任意正整数 都成立，则称数列 是线性数列，则对于:① 等差数列一定是线性数列；② 等比数列一定是线性数列，下列说法正确的是（   ） A．①正确②正确 B．①正确②错误 C．① 错误②正确 D．①错误②错误 【答案】A 【分析】根据“线性数列”的定义进行判断 【详解】数列为等差数列，则，即， 满足“线性数列”的定义，故①正确； 数列为等比数列，则，即， 满足“线性数列”的定义，故②正确； 故选：A 3．（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知等差数列的首项为正数，其前 项和 满足 ，则当 取到最大值时， （   ） A． B． 或 C． D． 或 【答案】A 【分析】先推出，再利用的正负性得到答案. 【详解】由于，，故，即. 这意味着，得. 这表明当时，有，而当时，有. 所以对有，对有，这就意味着在时最大. 故选：A. 二、填空题 4．（24-25高二下·上海宝山·期中）是等差数列的前项和，若且 ，则当取得最大值时的 . 【答案】10 【分析】根据等差数列前项和公式，结合等差数列性质可得，又，可判断数列为递减数列，且，得解. 【详解】由，得， ，又， 所以数列为递减数列，且， ， 所以当时，取得最大值. 故答案为：10. 5．（24-25高二下·上海·期中）已知等差数列中，公差，且，则 ． 【答案】 【分析】根据等差数列的性质求得，进而得公差，即可求得. 【详解】由题意，在等差数列中，， 由，解得或， 因为公差，所以，则， 所以公差，所以. 故答案为：10. 6．（24-25高二下·上海宝山·期中）设为等比数列的前项和，已知，则公比 【答案】2 【分析】将给定的两个等式相减求出公比，再验证得解. 【详解】由，得，则， 等比数列的公比， 所以. 故答案为：2 7．（24-25高二下·上海·期中）若等差数列的前三项依次为1，，3，则实数a的值为 . 【答案】1 【分析】根据等差数列的性质，即可列式求解. 【详解】由条件可知，，则. 故答案为：1 8．（24-25高二下·上海徐汇·期末）已知等差数列的公差，且，则 ． 【答案】 【分析】利用求出首项，在求和可得答案. 【详解】由公差，且， 得， 即，解得， 则. 故答案为：. 9．（25-26高二上·上海徐汇·月考）已知数列为无穷等比数列，，且公比q满足，则数列所有奇数项之和的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意确定数列所有奇数项也构成等比数列，即可求出其和的表达式，结合公比的取值范围，即可求得答案. 【详解】数列为无穷等比数列，，且公比q满足， 则数列所有奇数项也构成等比数列，且公比为， 则数列所有奇数项之和为， 由于，故，则，故， 即数列所有奇数项之和的取值范围为， 故答案为： 三、解答题 10．（24-25高二下·上海·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求的最小值及取最小值时的值. 【答案】(1) (2)最小值； 【分析】（1）根据题意列出关于和的方程组，再利用等差数列的通项公式即可； （2）根据的正负性可判断的最小值 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则由题意可得，解得， 则， 故数列的通项公式为. （2）当时，；当时，， 则当时，取最小值，最小值为. 11．（25-26高二上·上海浦东新·月考）设是等比数列， (1)求的通项公式； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题设条件算出公比，进而得到通项公式； （2）利用等比数列的求和公式计算. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由题知，解得， 则等比数列的通项公式； （2）结合（1）可知，是首项为，公比为的等比数列， 共项， 由等比数列的求和公式， 12．（25-26高二上·上海·期中）已知数列满足，且对任意的，都有. (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式及数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）由递推公式可得，即，结合等比数列的定义证明即可； （2）由（1）求出的通项，即可得到的通项公式，再由分组求和法计算可得. 【详解】（1）因为，即， 又，即，又，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可得， 所以， 所以 . 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25高二下·上海奉贤·月考）“ ” 是 “ 是等比数列”的（   ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】D 【分析】举反例可得充分性不成立，由等比中项可得必要性不成立. 【详解】若，则，但 不是等比数列，充分性不成立； 若 是等比数列，则，则，必要性不成立， 所以“ ” 是 “ 是等比数列”的既非充分又非必要条件. 故选：D 2．（24-25高二下·上海·期中）已知数列的各项均为正数，其前n项和为，满足，给出下列四个结论：①的第2项小于1；②为等差数列；③为严格减数列；④中存在小于的项.其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】令求出，进而令，求出，①正确； 假设为等差数列，由等差中项得到，代入验证，故②错误； 逻辑分析及反证可得，③④正确. 【详解】对于①，当时，， 因为数列的各项均为正数，所以， 当时，， 由数列的各项均为正数，解得：，①正确； 对于②，若为等差数列，则，解得：， 将代入， 故不是等差数列，②错误； 对于③，因为数列的各项均为正数，故必单调递增，而， 所以单调递减，③正确； 对于④，假设的所有项大于等于，取，则，， 则与已知矛盾，故④正确. 故选：C 3．（25-26高二上·上海杨浦·开学考试）新定义：设x为正整数，则中所有值由小到大排列形成的数列称为的对应数列，称为数列的对应函数，则下列命题中所有真命题的序号为（   ） 命题①：对数函数的对应数列为等比数列 命题②：等比数列的对应函数可能为指数函数，指数函数的对应数列一定为等比数列 命题③：幂函数在第一象限的单调性与其对应数列相同 A．①② B．①③ C．②③ D．② 【答案】D 【分析】根据新定义，利用等比数列、指数函数、对数函数、幂函数等知识分别分析每个命题，判断其真假性. 【详解】命题①，对于对数函数，当为正整数时，， 设对应数列为,， ，当变化时，不是常数，例如无意义，， 不是等比数列，命题①错误. 命题②，设等比数列为，公比为，， 当时，，此时为指数函数. 所以等比数列的对应函数可能为指数函数. 设指数函数为且，当为正整数时，， 设的对应函数为，则，， ，是常数，是等比数列. 所以指数函数的对应数列一定为等比数列，命题②正确. 命题③，设幂函数，当为正整数时，， 设对应数列为，则，， 幂函数在第一象限的单调性由的正负决定， 当时，在第一象限单调递增；当时，在第一象限单调递减. 由新定义：设x为正整数，则中所有值由小到大排列形成的数列称为的对应数列， 说明数列单调递增，则幂函数在第一象限的单调性与其对应数列不一定相同，命题③错误. 综上，只有命题②正确. 故答案：D 4．（25-26高二上·上海·月考）对于无穷数列，给出下列命题： ①若数列既是等差数列，又是等比数列，则数列是常数列． ②若等差数列满足，则数列是常数列． ③若等比数列满足，则数列是常数列． ④若各项为正数的等比数列满足，则数列是常数列． 其中正确的命题个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①根据等差、等比数列的性质可判断即得；②根据等差数列的单调性无界性判断是否为常数列；③根据特例即可判断是否正确；④由正项等比数列的性质可得，，进而判断是否为常数列. 【详解】①：若数列既是等差数列又是等比数列，不妨设， 则，故，所以数列为常数列，正确； ②：等差数列为无穷数列，若公差不为0，则要么递增要么递减，即无上界， 要使等差数列满足，则数列是常数列，正确； ③：若等比数列满足， 如，此时，满足条件，但不是常数列， 所以数列不一定是常数列，错误； ④：若各项为正数的等比数列满足，即，可得，， 若，令，可得，故当取大于的正整数时，，矛盾， 若，则无上界，故，进而数列是常数列，正确． 故选：C． 二、填空题 5．（25-26高二上·上海·期中）已知数列满足，则 ． 【答案】 【分析】通过转化得数列为等差数列，进而可得所求项的值. 【详解】由，得，即. 所以数列是公差为，首项为的等差数列，所以. 所以，得. 故答案为：. 6．（24-25高二下·上海·期末）等差数列中已知，则当取到最大值时， ． 【答案】 【分析】应用等差数列通项公式结合基本不等式计算，得出取等条件即可. 【详解】设等差数列的公差为. 因为等差数列中， 所以 ， 设，所以， 当且仅当，即时，取到最小值，取最大值， 所以当取到最大值时，，所以. 故答案为：. 7．（25-26高二上·上海·月考）已知数列满足（为正整数），若是严格增数列，则首项的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题设，讨论符合求其范围，进而得到的取值范围. 【详解】由题意， 当时，，可得或， 此时，时，恒有或，故或， 同时，由，而， 所以， 所以或，故或， 当时，在上单调递减，则，显然， 且在上单调递增，则，依次类推知时恒有， 由在上单调递增，则恒成立， 所以是严格增数列，满足； 当时，在上单调递增，则，依次类推知恒有， 由在上单调递增，则恒成立， 所以是严格增数列，满足； 所以或 当时，，可得，不合前提； 综上，. 故答案为： 8．（25-26高二上·上海·月考）已知有穷数列共项，数列中任意一项，且对于其中任意连续的三项、、，均存在以、、为边长的等腰三角形，且这些等腰三角形互不全等，则m的最大值为 . 【答案】16 【分析】先分类讨论数列连续三项中的个数，然后列举出所有可满足题意的连续三项的可能值（共18组），并结合后续项分析其中6组若在数列中，则只能在前三项或最后三项，由此得，然后构造一个满足题意的16项数列即可. 【详解】①若数列中存在连续三项为时， 若前后项为，则存在两个等边三角形全等； 若前后项不为，则不能构成三角形； 故数列的项数，这与题意矛盾，故不存在此类情况； ②若数列中任意连续三项不为，且存在连续三项中恰含有两项为时， 由于不可能大于其他数（）， 即不满足三边关系，无法构成三角形，故也不存在此类情况； ③若数列中任意连续三项中至多一项为时， 则能构成等腰三角形三边长的连续三项可能为： ，，， ，，，，， ，，，，， ，，，，，共18组. 下面对等腰三角形三边长对应连续三项()的后续可能项进行分析. 若数列中连续三项依次为()， 设添加后续项后仍为等腰三角形，则或， 当时，则后续三边长构成的三角形与前三角形全等，不满足题意； 当时，由后续三边长关系可得，必须有， 故当时，连续三项()的后续添加任意项都不满足题意. 同样地，若数列中连续三项依次为()， 当时，也不能添加任意前项； 若数列中连续三项依次为()， 当时，既不能添加任意前项，也无法添加任意后项. 在18组数中，满足条件的组为： ，，，，，，共6组数. 故若数列中的连续三项取自这六组数中的任一组， 该三项顺序只能为或，且在数列中只能位于前三项或后三项； （附：举例说明： 若数列中含有连续三项为，下面按这三项的顺序分类讨论. 若数列中含有连续三项依次为时， 设这三项后还存在项，设其后一项为，要构成等腰三角形，则， 而与则对应全等的两个等腰三角形，不满足题意， 故这三项后不存在任意一项.同理，这三项前也不存在任意一项， 故此时，这也与题意矛盾；； 同理可知， 若数列中含有连续三项依次为时，其后面也不可能有项； 若数列中含有连续三项依次为时，其前面也不可能有项； 综上所述，若数列中含有连续三项为， 则这三项的顺序只能为或，且分别在数列中只能位于前三项与后三项.） 故在，，，，， 这6组数中， 至多有组数在数列中， 而18组数中还剩余12组数若都在数列中， 故数列中至多可包含个等腰三角形对应的连续三边长数， 即数列至多有项，即. 构造含项的数列如下: . 所以的最大值为16. 故答案为：16. 三、解答题 9．（24-25高二下·上海·月考）定义: 对于任意 ，满足条件 且 ( 是与 无关的常数) 的无穷数列 称为数列. (1)若 ，证明:数列 是 数列； (2)设数列的通项为 ，且数列是数列，求常数的取值范围； (3)设数列 ，问数列 是否是数列？请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)数列是数列，理由见解析 【分析】（1）根据题中的新定义代入即可证出. （2）作差得出数列的单调性，代入通项解不等式组，使即可求解. （3）作差求出恒成立，又得，再根据题中新定义即可求解. 【详解】（1）解：（1）由得， 所以数列满足． 单调递减， 所以当时，取得最大值0，即． 所以，数列是T数列． （2）由， 得， 当，即时，，此时数列单调递增； 而当时，，此时数列单调递减； 因此数列中的最大项是， 所以的取值范围是． （3）假设数列是数列，依题意有： ， 因为，所以当且仅当小于的最小值时， 对任意恒成立， 即可得． 又当时，，，故， 综上所述：当且时，数列是数列． 10．（25-26高二上·上海·期中）已知数列的通项公式，数列的通项公式（）.若，则称d为数列与的公共项，将数列与的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列. (1)直接写出、、、的值； (2)猜想并证明的通项公式，并求数列各项和； (3)是否存在正整数r、s、t（）使得成立，若存在，求出r、s、t；若不存在，说明理由. 【答案】(1)，，，； (2)，的各项和为； (3)只存在一组正整数、、. 【分析】（1）由题意，列举的前4项即可； （2）猜想，结合二项式定理证明即可；由等比数列求和公式求的和即可. （3）假设存在，由奇偶一致可得唯一解. 【详解】（1），，，. （2）猜想，证明如下： 设公共项为， 若是中的项，则存在正整数使得， 若为偶数，则，由的二项展开式可得其除以3余数为1，不符合题意； 若为奇数，则为偶数，则, 除以3余数为2，符合题意； 又，故，所以公共项为数列中指数为大于等于3的奇数的项， 即， 所以 . ，， 则. （3）假设存在正整数、、使得成立， 则 即 即 等式右边为奇数，要使等式成立，则左边也要为奇数 又因，所以只能有， 故 可得 即 等式右边为奇数，要使等式成立，则左边也要为奇数 又因，所以只能有 故 可得，所以 所以只存在一组正整数、、，使得成立. 11．（25-26高二上·上海浦东新·月考）在个数码构成一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为．例如：对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此数列3，2，1的逆序数为，则记． (1)计算； (2)已知数列的通项公式是，求数列的逆序数； (3)计算数列的逆序数． 【答案】(1)13； (2)4950； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用逆序数的定义直接计算即可. （2）由给定的通项公式确定其单调性，再利用逆序数的定义，结合等差数列前项和公式求解. （3）分析数列中奇数项、偶数项的取值范围及单调性，讨论为奇数和为偶数时的逆序数，借助等差数列前项和公式求和即得. 【详解】（1）. （2）由，数列严格单调递减，即， 所以数列的逆序数. （3）数列的通项公式， 当为奇数时，，， 当为偶数时，，， 当为奇数时，逆序数 ； 当为偶数时，逆序数 ， 所以. 12．（24-25高二上·上海·期末）在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为.例如：对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为，则记. (1)计算； (2)设数列满足，，求的通项公式； (3)计算数列（）的逆序数. 【答案】(1)13 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据逆序数的概念计算可得结果. （2）由（1）得，利用构造法可得数列是以为首项，以14为公比的的等比数列，由此可计算结果. （3）分析数列中奇数项、偶数项的取值范围及单调性，讨论为奇数和为偶数时的逆序数即可得到结果. 【详解】（1）. （2）由（1）得， ∴， ∴数列是以为首项，以14为公比的的等比数列， ∴，故. （3）当为奇数时，． 当为偶数时，，， ∴． 当为奇数时，逆序数为， 当为偶数时，逆序数为. 综上得，. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $