精品解析：北京市大兴区2025-2026学年上学期九年级期末考试数学试卷

2025~2026学年度第一学期期末练习初三数学 考生须知: 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校名称、准考证号，并将条形码贴在指定区域． 3．题目答案一律填涂或书写在答题卡上，在练习卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．练习结束，请将答题纸交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，如果的半径为3，那么点（ ） A. 在外 B. 在内 C. 在上 D. 与的位置关系无法确定 3. 关于x的一元二次方程的一个根是2，则m的值为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向上 B. 图象关于直线对称 C. 图象过点 D. 当时，y随x增大而增大 5. 已知点和点在抛物线上，则，的大小关系是（ ） A B. C. D. 无法确定 6. 工人师傅要从一块圆形铁皮上剪下一个圆心角为扇形．如图，已知的半径为10，扇形的圆心角为，则该扇形的半径为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形网格中，点，和，的顶点均在格点上，将绕旋转中心旋转得到，则旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 8. 如图，分别为正六边形各边上的动点（不与顶点重合），且六边形也是正六边形，它们的中心都是点，连接交于点．当时，给出下面四个结论： ①； ②的最小值为； ③； ④的最大值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 一元二次方程的解为___________． 10. 如图，是上的三点，则，则______________度． 11. 已知二次函数的图象开口向上，顶点在轴上，写出一个满足上述所有条件的二次函数解析式为___________． 12. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，若，则___________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________． 14. 某学校计划成立读书社，采用“线上邀请”的方式招募新成员．活动初始第一轮邀请由1名同学发起，该同学成功邀请到人加入读书社；在第二轮邀请中，每一位已加入读书社的成员（含最初发起邀请的1名同学）都能邀请到名未参与的同学加入．经过这两轮邀请后，读书社的总成员人数达到121人．依据题意可列关于的方程为___________． 15. 如图，在中，点在弦上，半径，，若，，则的面积为___________． 16. 已知二次函数的图象与轴交于点，过轴上的点作一条平行于轴的直线，交抛物线对称轴于点． ①如图，当时，的面积为___________； ②当时，的面积的最大值为___________． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程：． 18. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点． （1）求该抛物线的解析式； （2）在平面直角坐标系中，画出该函数图象； （3）当时，直接写出的取值范围：______ 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个实数根为负数，求的取值范围． 21. 如图，内接于，是直径，交于点，，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 在平面直角坐标系中，已知两条直线与交于点． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，的函数值大于且小于的值．直接写出的取值范围：_______． 23. 中国航天科技以自主创新为核心驱动力，成为推动国家科技进步与产业升级的重要引擎．在航天科技主题班会上，同学们提议从“嫦娥探月”“天问探火”“北斗组网”“神舟飞天”这四个航天工程中，随机选择一个主题进行介绍．下面是班长制作的正面印有不同航天主题的卡片，卡片除正面图案和文字外，其余完全相同．将这4张卡片背面向上，洗匀，放好． （1）小梦从这4张卡片中随机摸出一张，摸到“B．天问探火”的概率是_______； （2）若小航从这些卡片中随机摸出一张对卡片主题进行介绍，然后将卡片放回，洗匀，小天再从这些卡片中随机摸出一张卡片对主题进行介绍，请利用画树状图或列表的方法求他们两人介绍的航天工程主题相同的概率（卡片名称用A，B，C，D表示即可）． 24. 如图，分别与相切于两点，是的直径．过点作交于点，交于点． （1）求证：； （2）若的半径为10，，连接，求的长． 25. 小瑞学习一次函数，二次函数后，决定将函数所学知识、方法迁移应用到其他函数问题解决上，他选择函数（其中是自变量）进行研究，请你帮助小瑞完成如下学习过程： （1）函数自变量的取值范围是________； （2）当，，时，部分与的对应值数据如下： -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 时的值 6 1.875 0 -0.375 0 0.375 0 -1.875 -6 时值 8 3.375 1 0.125 0 -0.125 -3.375 -8 时的值 10 4.875 2 0.625 0 -0.625 -2 -4.875 -10 ①表格中m的值为________； ②根据表格数据所反映的规律，若点和都在函数的图象上，则__________； （3）当时，小瑞在平面直角坐标系中画出了函数在时的图象，请你参考以上函数相关问题研究的过程，画出该函数在时的图象； （4）当_________时，关于的方程恰好有2个实数根． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交于点和点． （1）求，的值； （2）为轴上两点，为线段上一动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点（点不重合）． ①当时，求的长； ②已知在点P从点，运动到点的过程中，线段的长随m的值增大而增大，求t的取值范围． 27. 在中，，，点为平面上一点，连接，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． （1）如图，若点在外部，点恰好在边上，延长，交于点，求证：； （2）如图，若点在内部，连接，．用等式表示线段，，数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，已知点（不与原点重合），以点为圆心，长为半径的．对于点（在轴正半轴上）给出如下定义：若恰好经过点，则称点是点的“关联点”，称图形上所有点的“关联点”组成的图形是图形的“关联图形”． （1）①点的“关联点”的坐标是________； ②若点是点的“关联点”，点在第一象限，写出一个符合条件的点的坐标________； （2）已知点，以为圆心，1为半径圆与轴交于点，，若线段上存在点，使得点是点的“关联点”，直接写出的取值范围：________； （3）已知点，，线段的“关联图形”是线段，若，直接写出的取值范围：_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末练习初三数学 考生须知: 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校名称、准考证号，并将条形码贴在指定区域． 3．题目答案一律填涂或书写在答题卡上，在练习卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．练习结束，请将答题纸交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选C． 2. 在平面直角坐标系中，如果的半径为3，那么点（ ） A. 在外 B. 在内 C. 在上 D. 与的位置关系无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形，若点与圆心的距离为d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此计算出点P与原点的距离即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵的半径为3，且， ∴点在内， 故选：B． 3. 关于x的一元二次方程的一个根是2，则m的值为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 将根代入方程求解m． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 故m的值为． 故选：D． 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向上 B. 图象关于直线对称 C. 图象过点 D. 当时，y随x增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，根据二次函数的顶点式，分析开口方向、对称轴、点坐标和增减性． 【详解】解：∵， ∴，抛物线开口向下，故A错误； 对称轴为直线，故B正确； 当时，，故图象不过点，C错误； ∵，当时，y随x增大而减小，故D错误． 故选：B． 5. 已知点和点在抛物线上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比较二次函数值的大小． 通过直接代入抛物线方程计算两点纵坐标值，比较大小． 【详解】解：∵抛物线方程为， ∴对于点，， 对于点，， ∴，， ∴． 故选：A． 6. 工人师傅要从一块圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形．如图，已知的半径为10，扇形的圆心角为，则该扇形的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理及等腰直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理及等腰直角三角形的性质是解题的关键；连接，由题意易得点三点共线，则有是的直径，然后可得是等腰直角三角形，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∴点三点共线， ∴是的直径， ∵的半径为10， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； 故选A． 7. 如图，在正方形网格中，点，和，的顶点均在格点上，将绕旋转中心旋转得到，则旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质，对应点的连线的垂直平分线必过旋转中心，根据网格结构作、的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图，、的垂直平分线相交于点Q， 则旋转中心点Q． 故选：D． 8. 如图，分别为正六边形各边上的动点（不与顶点重合），且六边形也是正六边形，它们的中心都是点，连接交于点．当时，给出下面四个结论： ①； ②的最小值为； ③； ④的最大值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 先用正六边形的性质以及三角形的外角的性质证明可得，再根据线段的和差可判断①；如图：连接、、，则是等边三角形，由等边三角形的性质可得，，如图：过O作，根据三线合一和勾股定理可得、，再根据垂线段定理可判断②；根据三角形的外角以及三角形内角和可知，，结合可判断③；证明可得，要使最大，则需最小，即最小，由的最小值为，进而求得的最小值，最后求得的最大值． 【详解】解： ∵正六边形和正六边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即①正确； 如图：连接、、，则是等边三角形， ∴，， 如图：过O作， ∴， ∴， 由垂线段最短可知：，即的最小值为， ∴的最小值为，即②错误； ∵，， ∵， ∴， ∴，即③错误． 由题意可知：， ∵， ∴， ∴，则， 要使最大，则需最小，即最小， ∵的最小值为， ∴的最小值为， ∴的最大值为，即④正确． 综上，①④正确． 故选C． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 一元二次方程的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以7，最后把方程两边同时开平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 10. 如图，是上的三点，则，则______________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理，即可求解． 【详解】∵∠ACB和∠AOB是同弧所对的圆周角和圆心角， ∴． 故答案是：40． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握“同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，是解题的关键． 11. 已知二次函数的图象开口向上，顶点在轴上，写出一个满足上述所有条件的二次函数解析式为___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质， 二次函数图象开口向上，则二次项系数大于0，顶点在轴上，则顶点纵坐标为0，即函数形式为，其中，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，符合题意的函数解析式可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质． 根据旋转的性质得到，根据平行线的性质得到，即旋转角． 【详解】解：∵，将绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， 即旋转角． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形外接圆的相关知识点，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；因此此题可分别作出线段的垂直平分线，然后问题可求解． 【详解】解：分别作线段的垂直平分线，如图所示： ∴由坐标系可知：的外接圆的圆心坐标为； 故答案． 14. 某学校计划成立读书社，采用“线上邀请”的方式招募新成员．活动初始第一轮邀请由1名同学发起，该同学成功邀请到人加入读书社；在第二轮邀请中，每一位已加入读书社的成员（含最初发起邀请的1名同学）都能邀请到名未参与的同学加入．经过这两轮邀请后，读书社的总成员人数达到121人．依据题意可列关于的方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程． 根据招募过程，第一轮后成员数为，第二轮每位成员邀请x人，新增成员数为，总成员数即为与之和，化简得，等于121，列方程即可． 【详解】解：第一轮邀请由1名同学发起，成功邀请x人加入，故第一轮后成员总数为． 第二轮邀请中，每一位已加入成员（含发起人）均邀请x人，故新增成员数为． 两轮后总成员数为． 依据题意，总成员人数达到121人， 因此可列方程． 故答案为：． 15. 如图，在中，点在弦上，半径，，若，，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理及菱形的性质与判定，熟练掌握垂径定理，勾股定理及菱形的性质与判定是解题的关键；过点作于点，则有，然后可得四边形是菱形，则有，，进而根据勾股定理及三角形面积公式可进行求解． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 16. 已知二次函数的图象与轴交于点，过轴上的点作一条平行于轴的直线，交抛物线对称轴于点． ①如图，当时，的面积为___________； ②当时，的面积的最大值为___________． 【答案】 ①. 2 ②. 4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质：包括抛物线的对称轴()、与轴交点(时的函数值)，以及求最值等． ①是以线段为底，点到的水平距离为高，利用“底高”计算面积； ②通过分析面积的函数表达式(含绝对值)，分区间讨论并求最大值． 【详解】①解：当时，二次函数解析式为， ∵点是抛物线与轴的交点，∴， ∵点坐标为， ∴=， ∵抛物线的对称轴为直线，轴， ∴点的坐标为， ∴的面积． 故答案为2； ②解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为，点(轴交点)的坐标为， ∵点，直线交对称轴于， ∴点的坐标为， ∴的面积． 当时，， ∴， ∵该二次函数图象开口向下，对称轴为直线(在范围内)， ∴此时的最大值为； 当时，， ∴， ∵该二次函数图象开口向上，在范围内随增大而增大， ∴当时，． ∵， ∴当时，面积的最大值为． 故答案为：． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程：． 【答案】 ，． 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得出． 【详解】解：， ， ， ， ∴，， 解得， 18. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了分式的除法，一元二次方程的解． 先化简代数式，再利用方程条件求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵m是方程的根， ∴， 即， ∴原式的值为5． 19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点． （1）求该抛物线的解析式； （2）在平面直角坐标系中，画出该函数图象； （3）当时，直接写出的取值范围：______ 【答案】（1） （2）图象见详解 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解； （2）根据列表，描点，连线可作函数图象； （3）根据函数图象可进行求解． 【小问1详解】 解：把点和点代入二次函数得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； 小问2详解】 解：由抛物线可列表如下： x …… 0 1 2 3 … y ……. 0 0 … 由表可在坐标系中描点、连线可得函数图象如下： 【小问3详解】 解：由函数图象可知：当时，的取值范围为； 故答案为． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个实数根为负数，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，因式分解法解一元二次方程． （1）根据一元二次方程根与判别式的关系，求证即可； （2）利用因式分解法求得方程的两个根，根据题意可得，，据此即可求解． 【小问1详解】 证明：对于方程， ， ∵ ， ∴ ， ∴ 方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：， 因式分解得， 即或， ∴， ∵ 方程有一个实数根为负数，且， ∴ ， ∴ ， 故的取值范围为． 21. 如图，内接于，是直径，交于点，，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了弧与弦的关系、线段垂直平分线的判定、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握弧与弦的关系是解题关键． （1）连接，先根据弧与弦的关系可得，再得出垂直平分，由此即可得； （2）连接，先求出，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可得，由此即可得． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵垂直平分，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴，， ∴． 22. 在平面直角坐标系中，已知两条直线与交于点． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，的函数值大于且小于的值．直接写出的取值范围：_______． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，求一次函数解析式和求一次函数自变量的值，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）把点P坐标代入中求出n的值，即可得到点P的坐标，再把点P的坐标代入中可求出m的值； （2）求出不等式和不等式的取值范围，根据当时，对于的每一个值，的函数值大于且小于的值，分别确定对应情形下k的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵两条直线与交于点， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， 把点P的坐标代入中得，解得； 【小问2详解】 解：当时，则， 若时，则， 则此时不能满足，当时，对于的每一个值，的函数值大于的值； 当，即且时，则， ∵当时，对于的每一个值，的函数值大于的值； ∴， 解得； ∴当时， 当，即时， 则， 当，即且时，则， ∵当时，对于的每一个值，的函数值都小于的值， ∴， ∴， ∴此时且； 当时，，恒成立，此时符合题意； 当时，则， 则此时不能满足，当时，对于的每一个值，的函数值小于的值； ∴当时，且； 综上所述，． 23. 中国航天科技以自主创新为核心驱动力，成为推动国家科技进步与产业升级的重要引擎．在航天科技主题班会上，同学们提议从“嫦娥探月”“天问探火”“北斗组网”“神舟飞天”这四个航天工程中，随机选择一个主题进行介绍．下面是班长制作的正面印有不同航天主题的卡片，卡片除正面图案和文字外，其余完全相同．将这4张卡片背面向上，洗匀，放好． （1）小梦从这4张卡片中随机摸出一张，摸到“B．天问探火”的概率是_______； （2）若小航从这些卡片中随机摸出一张对卡片主题进行介绍，然后将卡片放回，洗匀，小天再从这些卡片中随机摸出一张卡片对主题进行介绍，请利用画树状图或列表的方法求他们两人介绍的航天工程主题相同的概率（卡片名称用A，B，C，D表示即可）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键； （1）根据概率公式可进行求解； （2）由题意可进行列表，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：小梦从这4张卡片中随机摸出一张，摸到“B．天问探火”的概率是； 故答案为； 【小问2详解】 解：由题意可列表如下： A B C D A B C D 由表可知总共有种等可能的情况，其中两人介绍的航天工程主题相同的有种等可能的情况，所以他们两人介绍的航天工程主题相同的概率为． 24. 如图，分别与相切于两点，是的直径．过点作交于点，交于点． （1）求证：； （2）若的半径为10，，连接，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由切线性质得到，则可证明，再由垂径定理即可证明结论； （2）连接，由切线长定理得到，证明垂直平分， 由勾股定理可得，可证明，则可证明，利用相似三角形的性质可求出，据此利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵与相切于点B，是直径， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵分别与相切于两点， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴； ∵的半径为10，， ∴； 由（1）得，则， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵与相切于点B，是的直径， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，切线的性质，勾股定理，切线长定理，熟知圆的相关知识是解题的关键． 25. 小瑞学习一次函数，二次函数后，决定将函数所学知识、方法迁移应用到其他函数问题解决上，他选择函数（其中是自变量）进行研究，请你帮助小瑞完成如下学习过程： （1）函数自变量的取值范围是________； （2）当，，时，部分与的对应值数据如下： -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 时的值 6 1.875 0 -0.375 0 0.375 0 -1.875 -6 时的值 8 3.375 1 0.125 0 -0.125 -3.375 -8 时的值 10 4.875 2 0.625 0 -0.625 -2 -4.875 -10 ①表格中m的值为________； ②根据表格数据所反映的规律，若点和都在函数的图象上，则__________； （3）当时，小瑞在平面直角坐标系中画出了函数在时的图象，请你参考以上函数相关问题研究的过程，画出该函数在时的图象； （4）当_________时，关于的方程恰好有2个实数根． 【答案】（1）任意实数 （2）①；②0 （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了定义新函数，通过列表中的数据正确得出结论是解题的关键． （1）由函数解析式是整式即可得自变量的取值范围； （2）①根据表格中的数据特点可知函数图象关于原点对称，即可得m的值；②由函数图象关于原点对称，即可得； （3）根据函数图象关于原点对称即可画出函数在时的图象； （4）由（3）中函数图象，可得时，关于的方程恰好有2个实数根． 【小问1详解】 解：∵函数的解析式是整式， ∴自变量的取值范围是任意实数． 故答案为：任意实数． 【小问2详解】 解：①由表格中的数据特点可知，函数的图象关于原点对称， ∵时，当时，， ∴当时，，即． 故答案为：． ②∵函数的图象关于原点对称，点和都在函数的图象上， ∴． 故答案为：0． 【小问3详解】 解：画出函数在时的图象如图： 【小问4详解】 解：由（3）中函数的图象可知， 当时，关于的方程恰好有2个实数根． 故答案为：． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交于点和点． （1）求，的值； （2）为轴上两点，为线段上一动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点（点不重合）． ①当时，求的长； ②已知在点P从点，运动到点的过程中，线段的长随m的值增大而增大，求t的取值范围． 【答案】（1）， （2）①4；②或 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的图象性质： （1）根据B在一次函数图象上，求出d，再根据B在抛物线上即可求出b； （2）①求出M和N的纵坐标即可求出的长；②分、、三种情况讨论，结合二次函数性质即可求解． 【小问1详解】 解：点在直线上，代入得：，则， ∴， 点在抛物线上，代入得：，则； 【小问2详解】 解：①如图： 当时，，过作轴垂线． 则M的纵坐标为， N的纵坐标为， ∴的长为； ②，则， 则， （i）当时，如图： ， 是开口向下的二次函数，对称轴为， ∴当时，线段的长随m的值增大而增大， ∵点在之间， 故，解得； （ii）当时，如图： ， 二次函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，随增大而减小，不符合条件； （iii）当时，如图： ， 二次函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，随增大而增大． ∵点在之间， 故； 综上所述，或． 27. 在中，，，点为平面上一点，连接，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． （1）如图，若点外部，点恰好在边上，延长，交于点，求证：； （2）如图，若点在内部，连接，．用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析； （2），见解析． 【解析】 【分析】（）由线段绕点逆时针旋转得到线段，点恰好在边上，则，，从而可得，然后证明，所以，最后通过线段的和与差即可求证； （）延长至，使，连接，，可证是的垂直平分线，所以，，证明，则，所以，得，，由三角形内角和定理得，则，最后通过勾股定理即可求证． 【小问1详解】 证明：∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点恰好在边上， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， 证明：如图，延长至，使，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，已知点（不与原点重合），以点为圆心，长为半径的．对于点（在轴正半轴上）给出如下定义：若恰好经过点，则称点是点的“关联点”，称图形上所有点的“关联点”组成的图形是图形的“关联图形”． （1）①点的“关联点”的坐标是________； ②若点是点的“关联点”，点在第一象限，写出一个符合条件的点的坐标________； （2）已知点，以为圆心，1为半径的圆与轴交于点，，若线段上存在点，使得点是点的“关联点”，直接写出的取值范围：________； （3）已知点，，线段的“关联图形”是线段，若，直接写出的取值范围：_________． 【答案】（1）①；②（答案不唯一）； （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义问题，圆的性质，解一元一次不等式，正确理解新定义并列出不等式是解题的关键． （1）①根据“关联点”的定义得点的“关联点”与原点的距离为的长度，且在轴正半轴上，由此可解；②由题意得，写出符合要求的坐标即可； （2）由题意可求出点的坐标，从而求出，假设点在上方，可得点，，则或，解不等式即可； （3）由条件可求出点的“关联点”的坐标是，线段在直线上，讨论当点在点左侧和右侧两种情况时，点的临界情况即可； 【小问1详解】 解：①由题意得点的“关联点”的坐标是， ②∵，点在第一象限， ∴符合条件； 故答案为：；（答案不唯一）； 【小问2详解】 解：∵点是点的“关联点”， 点在轴上， ∴点，， ∵点， 假设点在上方， ∴点，， ∴或， 解得或， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：∵， ∴点的“关联点”的坐标是， 由题意得线段在直线上， 当点在点左侧，如图， 设直线与轴交于点，， ∵线段的“关联图形”是线段，且， ∴且点在轴左侧， ∴； 当点在点右侧，如图， ∵线段的“关联图形”是线段，且， ∴， ∴， 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $