精品解析：天津市红桥区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷

九年级数学 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分．第I卷为第1页至第3页，第II卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题纸”上．答题时，务必将答案涂写在“答题纸”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题纸”一并交回． 祝你考试顺利！ 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在一些美术字中，有的汉字是中心对称图形．下面4个汉字中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯的事件为（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件 3. 的值等于（ ） A. 1 B. C. D. 4. 方程的两个根为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程的两个实数根都是正数，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C 第三象限 D. 第四象限 6. 在分别写有的四张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，线段，相交于点，，若，，，则线段的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 11 8. 若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，是边上三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点在边上，将以点为中心逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，延长与边相交于点，连接，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在以为直径的中，为上一点．以点为圆心，长为半径画弧，与相交于点；分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧（弧所在圆的半径相等）相交于点；画直线与相交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. 8 C. D. 10 12. 小明很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段．如图所示，以地平线为轴，起抛点所在的铅垂线为轴，建立平面直角坐标系，上抛和下降的飞行路径可看作是抛物线的一部分，滑行的飞行路径可看作是直线的一部分，且当纸飞机飞行的水平距离为时进入滑行阶段．有下列结论： ①当时，纸飞机进入滑行阶段时的高度为； ②当纸飞机的落地点与起抛点的水平距离为时，的值为； ③当时，小明的前方有一堵高的围栏，若纸飞机可以顺利飞过围栏，则小明距离围栏的水平距离最少为，最多为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第II卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题纸”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有9个球，其中有3个红球、4个绿球、2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是_____． 14. 在电压不变的情况下，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，当时，，则当时，的大小为_____（）． 15. 若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是_____． 16. 将抛物线向上平移个单位长度，若平移后的抛物线与轴有两个不同的公共点，则的值可以是_____（写出一个即可）． 17. 如图，在中，为斜边的中点，． （1）线段的长为_____； （2）过点作的垂线，与相交于点，若，则边的长为_____． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，四边形的顶点在格点上，以为直径的圆经过点，连接． （1）的大小等于_____（度）； （2）点在线段上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 如图，在中，，，，求，，的值． 20. 已知反比例函数（为常数，）． （1）若在其图象的每一支上，随的增大而增大，求的取值范围； （2）若点在该反比例函数的图象上． ①求该反比例函数的解析式； ②当时，求的取值范围． 21. 已知为的直径，点在的延长线上，为上一点，，延长与相交于点． （1）如图①，若，求的大小； （2）如图②，若，，求弦的长． 22. 已知为的直径，交于点，为上一点，与相交于点，过点作的切线交的延长线于点． （1）如图①，若，求的大小； （2）如图②，若，，求线段的长． 23. 四边形中，，，，，．动点从点出发，以的速度沿边、边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．设运动的时间为．当时，点的位置如图①所示．当时，的面积（单位：）与运动的时间（单位：）之间的对应关系如图②所示． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 运动时间 2 3 4 5 的面积 32 ②填空：四边形的边的长为_______cm； ③请直接写出的面积与运动的时间之间的函数解析式； （2）当的面积时，求运动的时间的值（直接写出结果即可）． 24. 在平面直角坐标系中，为原点，是等边三角形，点，点在第一象限，为边的中点．以点为中心，逆时针旋转，得，点，的对应点分别为．记旋转角为，其中． （1）填空：如图①，当时，与相交于点，点的坐标为_____，点的坐标为_____； （2）如图②，当时，与轴相交于点，求点，的坐标； （3）为线段的中点，求的面积的取值范围（直接写出结果即可）． 25. 已知抛物线． （1）当时，求抛物线的顶点的坐标； （2）点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点，为线段上横坐标为的点． ①过点作轴的垂线，分别与抛物线、直线相交于点，当取得最大值为9时，求的值； ②连接，当取得最小值为时，求值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分．第I卷为第1页至第3页，第II卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题纸”上．答题时，务必将答案涂写在“答题纸”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题纸”一并交回． 祝你考试顺利！ 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在一些美术字中，有的汉字是中心对称图形．下面4个汉字中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，根据中心对称图形的定义“一个图形绕某一点旋转后能够和自身重合的图形是中心对称图形”逐项判断解答即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯的事件为（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，理解随机事件的概念是解题的关键．根据事件类型的定义，遇到红灯可能发生也可能不发生，具有不确定性，因此属于随机事件． 【详解】解：∵ 交通信号灯的变化是随机的， ∴ 经过路口时可能遇到红灯，也可能遇到绿灯或其他信号， ∴ 该事件是随机事件． 故选：C． 3. 的值等于（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，特殊角三角函数值的混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 直接代入已知三角函数值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选： C． 4. 方程的两个根为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故选：D． 5. 若关于的一元二次方程的两个实数根都是正数，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，判断点所在的象限，根据一元二次方程根的情况求参数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用一元二次方程根与系数的关系判断出m和n的符号，从而确定点所在象限． 【详解】解：设方程的两个实数根为，，且，， 则，，， 所以，， 所以的横坐标为正，纵坐标为负，该点位于第四象限， 故选：D． 6. 在分别写有的四张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，列表如下： 1 2 1 2 共有12种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的情况有4种； ∴； 故选B． 7. 如图，线段，相交于点，，若，，，则线段的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线得到，即可求出长，再根据线段的和差解答即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得， ∴， 故选：C． 8. 若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据反比例函数图象上点的坐标特征，直接代入函数关系式计算各点的横坐标，再比较大小． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴，，， ∴， 即， 故选：A． 9. 如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作，根据矩形的性质，证明，得到，证明，根据相似三角形对应边成比例分别求出的长，进而求出的长，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：过点作，如图所示： 则， ∵矩形，，是边上的三等分点，，， ∴，，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选：B． 10. 如图，在正方形中，点在边上，将以点为中心逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，延长与边相交于点，连接，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，先根据正方形的性质和旋转的性质得到，，，然后根据得到，即可得到证明选项． 【详解】解：∵是正方形， ∴，， 由旋转可得， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 11. 如图，在以为直径的中，为上一点．以点为圆心，长为半径画弧，与相交于点；分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧（弧所在圆的半径相等）相交于点；画直线与相交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. 8 C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作垂线，勾股定理，圆的相关定义，根据作图得到，然后根据勾股定理求出长，然后再在中求出长即可． 【详解】解：连接， 由作图可知， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 12. 小明很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段．如图所示，以地平线为轴，起抛点所在的铅垂线为轴，建立平面直角坐标系，上抛和下降的飞行路径可看作是抛物线的一部分，滑行的飞行路径可看作是直线的一部分，且当纸飞机飞行的水平距离为时进入滑行阶段．有下列结论： ①当时，纸飞机进入滑行阶段时的高度为； ②当纸飞机的落地点与起抛点的水平距离为时，的值为； ③当时，小明的前方有一堵高的围栏，若纸飞机可以顺利飞过围栏，则小明距离围栏的水平距离最少为，最多为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据进入滑行阶段的函数解析式与，，可求得此时的函数值，以此可判断①； 当纸飞机的落地点与起抛点的水平距离为时，此时纸飞机已在滑行阶段，由此可求得的值，从而可判断②； 先求出直线的解析式，再根据小明的前方有一堵高的围栏，求出抛物线的解析式中的范围，再当时，求出一次函数的值，再求出当时，的范围，两个范围合并即可得出小明距离围栏的水平距离最少与最多的值，由此可判断③． 【详解】解：因为当纸飞机飞行的水平距离为时进入滑行阶段，滑行的飞行路径可看作是直线的一部分， 所以当，时，， 故①正确； 落地点在，此时纸飞机已在滑行阶段， 所以落地点在直线上，且此时， 所以， 所以， 又因为在处，抛物线与直线高度相等， 所以， 所以， 故②正确； 当时，，， 当时，， 解得：， 所以直线的解析式为，， 当时，， 解得：，， 所以当时，， 又，， 所以， 当时，， 解得：， 所以当时，， 又，， 所以， 所以当时，飞机高度，可以飞过， 所以小明距离围栏的水平距离最少距离为，最多为， 故③正确， 综上所述，三个结论都正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了由直线与坐标轴的交点求不等式的解集，其他问题(一次函数的实际应用)，待定系数法求二次函数解析式，根据交点确定不等式的解集，投球问题(实际问题与二次函数)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 第II卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题纸”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有9个球，其中有3个红球、4个绿球、2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解概率公式． 根据概率的定义，绿球的数量与总球数的比值即为所求概率． 【详解】解：因为不透明袋子中装有9个球，其中绿球有4个， 所以从袋子中随机取出1个球是绿球的概率为， 故答案为：． 14. 在电压不变的情况下，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，当时，，则当时，的大小为_____（）． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，实际问题与反比例函数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据反比例函数关系，设，利用已知条件求出比例系数，再代入计算的值． 【详解】解：设电流与电阻之间的函数表达式为（）． 当时，， 代入，得， 解得：． 因此反比例函数表达式为． 当时， ． 故答案为：． 15. 若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据根的判别式，列出不等式求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴，即， 解得， 故答案为：． 16. 将抛物线向上平移个单位长度，若平移后的抛物线与轴有两个不同的公共点，则的值可以是_____（写出一个即可）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数图象与轴的交点坐标，先求出平移后抛物线的解析式，再根据时对应的一元二次方程的判别式求出的取值范围即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：把抛物线向上平移个单位后得到的解析式为，即， ∵平移后的抛物线与轴有两个不同的公共点， ∴方程有两个不等实根， 即， 解得， ∴可取任意大于的数，例如， 故答案：．（答案不唯一） 17. 如图，在中，为斜边的中点，． （1）线段的长为_____； （2）过点作的垂线，与相交于点，若，则边的长为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线的性质求解； （2）通过延长中线，再证明四边形是矩形，接着说明垂直平分，然后用勾股定理得到关于的方程求解，再利用勾股定理求得． 【详解】（1）解：∵在中，，D为斜边的中点，， ∴​． 故答案为：； （2）解：延长到点F，使，连接、、，如图． ∵D为斜边的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形． ∴，，，． ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴（舍去）或， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的判定，斜边的中线等于斜边的一半，用勾股定理解三角形，根据矩形的性质与判定求线段长等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，四边形的顶点在格点上，以为直径的圆经过点，连接． （1）的大小等于_____（度）； （2）点在线段上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 【答案】 ①. ②. 取圆与网格线的交点，，连接交于点，连接并延长交圆于点，连接交于点，则点即为所作 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理的推论，矩形的判定和性质，弧、弦、圆心角的关系，掌握圆周角定理的推论是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角是直角解答即可； （2）先构造矩形，连接交于点，点即为圆心，然后连接并延长交圆于点，即可得到，然后连接交于点，根据圆周角定理的推论得到结论即可． 【详解】解：（1）∵是圆的直径， ∴， 故答案为：； （2）如图，取圆与网格线的交点，，连接交于点，连接并延长交圆于点，连接交于点，则点即为所作． 理由为：∵是圆的直径， ∴， ∴是矩形， ∴，即为圆的圆心， ∴， ∴． 故答案为：取圆与网格线的交点，，连接交于点，连接并延长交圆于点，连接交于点，则点即为所作． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 如图，在中，，，，求，，的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查了求角的正弦值，求角的余弦值，求角的正切值，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据正弦、余弦、正切的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴，，． 20. 已知反比例函数（为常数，）． （1）若在其图象的每一支上，随的增大而增大，求的取值范围； （2）若点在该反比例函数的图象上． ①求该反比例函数的解析式； ②当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合在其图象的每一支上，随的增大而增大，得，故，即可作答． （2）①直接把代入，进行计算，得，故， ②先分别算出把代入，得；把代入，得；再结合反比例函数在其图象的每一支上，随的增大而减小，进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：∵反比例函数在其图象的每一支上，随的增大而增大， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：①依题意，把代入， 得， 解得， ∴； ②由①得， 依题意，把代入，得； 把代入，得； ∵中的， ∴反比例函数在其图象的每一支上，随的增大而减小， ∴当时，则． 21. 已知为的直径，点在的延长线上，为上一点，，延长与相交于点． （1）如图①，若，求的大小； （2）如图②，若，，求弦长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，直角三角形的性质，垂径定理和勾股定理等，掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，，然后根据三角形的外角性质得到解答即可； （2）根据（1）中结论求出，过点O作于点F，则，然后根据的直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得，， 过点O作于点F，则， ∵，， ∴， ∴， ∴． 22. 已知为的直径，交于点，为上一点，与相交于点，过点作的切线交的延长线于点． （1）如图①，若，求的大小； （2）如图②，若，，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的内角和定理，掌握切线的性质定理是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角得到，然后根据切线的性质得到，即可求出的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余和对顶角相等求出的度数，再根据三角形的内角和解答即可； （2）连接，仿照（1）的解答即可得到，设，在中利用勾股定理求出x的值，然后根据线段的和差解答即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，，即， 解得， ∴． 23. 四边形中，，，，，．动点从点出发，以的速度沿边、边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．设运动的时间为．当时，点的位置如图①所示．当时，的面积（单位：）与运动的时间（单位：）之间的对应关系如图②所示． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 运动的时间 2 3 4 5 的面积 32 ②填空：四边形的边的长为_______cm； ③请直接写出的面积与运动的时间之间的函数解析式； （2）当的面积时，求运动的时间的值（直接写出结果即可）． 【答案】（1）①；； ② ③ （2）或 【解析】 【分析】本题考查动点的图象，勾股定理，解直角三角形，根据点的运动过程分段计算函数解析式是解题的关键． （1）①根据值，判断点M的位置，然后根据三角形的面积公式计算即可； ②根据勾股定理计算即可； ③分为；；三种情况，根据点M的位置，利用解直角三角形和三角形的面积公式计算即可； （2）分为三种情况，令，解方程求出时间的值即可 【小问1详解】 ①解：当时，点M在上，，，， ∴； 当时，点M在上，，，， ∴； 当时，点M在上，，， ∴； 故答案为： 运动的时间 2 3 4 5 的面积 32 ； ②过点D作于点E， ∵，， ∴， ∴是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； ③当时，点M在上，，， ∴， ∴； 当时，点M在上，， ∴， ∴； 当时，点M在上，如图，过点M作于点F， ， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上所述； 【小问2详解】 解：当时，令， 解得（舍）或， 当时，令， 解得：（不符合题意，舍去）， 当时，令， 解得或（不符合题意，舍去）， 综上所述，当的面积时，求运动的时间的值为或． 24. 在平面直角坐标系中，为原点，是等边三角形，点，点在第一象限，为边的中点．以点为中心，逆时针旋转，得，点，的对应点分别为．记旋转角为，其中． （1）填空：如图①，当时，与相交于点，点的坐标为_____，点的坐标为_____； （2）如图②，当时，与轴相交于点，求点，的坐标； （3）为线段的中点，求的面积的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）先根据等边三角形的性质和，得出，，从而可得，，，再求出，从而可得，进而求得，从而可求得点的坐标，然后分别求出直线的表达式，直线的表达式，联立可求得； （2）先根据旋转的性质得出，，，，从而可求得点，再说明是等腰直角三角形，，然后利用勾股定理求得，从而可求得，于是可得，再利用解直角三角形求得点的坐标； （3）先画出图形，确定点M运动的路径，再确定的面积最大、最小时的位置，再求解即可． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形，， ∴，， ∵为边的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∵以点O为中心，逆时针旋转，得，旋转角为， ∴，，， ∴， 点的横坐标为， 纵坐标为， ∴点， 设直线的表达式为， 则， ∴， ∴直线的表达式为， 设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为， ， 解得：， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵以点O为中心，逆时针旋转，得，旋转角为， ∴，，，， ∴点的横坐标为， 纵坐标为， ∴点， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴，， ， ∴， ∵， ∴的对顶角为， ∴点到y轴的距离为， 点到x轴的距离为， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴； 【小问3详解】 解：如图，点C在以O为圆心，半径为2圆上，而点M在以O为圆心，长为半径的圆上， 显然，当与垂直时（第一象限处），此时M离最近，也就是此时最小， 设当最大的M点设为，则与M关于原点对称， 点O到的距离为， 因为M为的中点， 所以， 因为， 所以， 所以此时M到的距离为，， 所以到的距离为， 所以的最小值为， 最大值为， 即． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，两直线的交点与二元一次方程组的解，根据旋转的性质求解，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点． 25. 已知抛物线． （1）当时，求抛物线的顶点的坐标； （2）点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点，为线段上横坐标为的点． ①过点作轴的垂线，分别与抛物线、直线相交于点，当取得最大值为9时，求的值； ②连接，当取得最小值为时，求的值． 【答案】（1）抛物线的顶点的坐标为； （2）①的值为1；②的值为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用． （1）配方成顶点式，即可求解； （2）①先求得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，且，点的坐标为，点的坐标为，求得，利用二次函数的性质求解即可； ②求得，设，，得到，利用根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴抛物线的顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：①∵点在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， 解得或， ∴点的坐标为， 令，则， ∴点的坐标为， ∵为线段上横坐标为的点， ∴点的坐标为，且， ∵过点作轴的垂线，分别与抛物线、直线相交于点， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴开口向下，在顶点处有最大值， 对称轴为直线， 最大值为， ∵取得最大值为9， ∴， 整理得， 解得（舍去）或， ∴此时二次函数的解析式为， 最大值在处取得， ∴； ②∵点的坐标为，点的坐标为，且， ∴，， ∴， 设，则， 令，则， ∴，， 整理得， ∴这是一个关于实数的一元二次方程， ∴， 整理得， ∵且， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即的最小值为（当且仅当时取到最小值）， ∵取得最小值为，又， ∴， ∵的最小值为，， ∴， 解得或， ∵，， ∴， ∴舍去， ∴， ∴， ∴，， 此时的最小值为， ∵当且仅当时取到最小值为24， ∴把，，代入， 得， 整理得，即， ∴， 解得， 即的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $