第1章 相交线与平行线（单元自测卷）七年级数学新教材浙教版

第1章 相交线与平行线 单元自测卷 建议用时：100分钟，满分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列选项中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，与的位置关系是（    ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 3．如图，下列条件中，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，因为，，所以与重合的理由是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 5．一把直尺和一块三角板（，角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 6．如图，直线与相交于点，射线在内部，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．湛江是广东省海岸线最长的地级市．如图，点A，B，C分别表示东海岛、南三岛、硇（náo）洲岛，其中B处在A处的北偏东，C处在A处的南偏东，B处在C处的北偏西，从B处看A，C两处的视角度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，若，，，，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 9．在同一平面内有2026条互不重合的直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 10．如图，已知直线，直线分别交直线，于点E，F，平分交于点，是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点．设．下列四个式子：①；②；③；④．一定成立的是（   ） A．①② B．①④ C．③④ D．②④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．已知和是对顶角，和互为补角，若，则 ． 12．如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为 ． 13．如图，中，，，将沿向右平移至，点在上，若，则四边形的周长为 ． 14．张老师在黑板上留了一道作业题：“如图，直线被直线所截，其中，请你再添加一个条件，使，并注明判定依据．”三人所做答案如下： 甲：添加，依据：同旁内角相等，两直线平行； 乙：添加，依据：同位角相等，两直线平行； 丙：添加，依据：内错角相等，两直线平行； 对三位同学的答案判断正确的是 ． 15．如图，分别平分，则 ． 16．如图，，点，分别是，上的一点，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒1度，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒3度，旋转至与重合便立即回转，当射线旋转至与重合时，与都停止转动，若射线先转动40秒，射线才开始转动，则射线转动 秒后，与平行． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分）如图，，，求证．完成下面的证明过程． 证明：∵，， ∴（ ）． ∴ （内错角相等，两直线平行）． ∴（ ）． 又∵（已知）， ∴ （等量代换）﹒ ∴（ ）． ∴（ ）． 18．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处．现将平移得到，使点的对应点为点，点的对应点为点． (1)请画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段之间的位置关系是_______，数量关系是_______． 19．（8分）如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 20．（8分）如图，在中，点E在上，点F在上，点D、G在上，，且． (1)猜想与的位置关系并证明； (2)若，平分，求的度数． 21．（9分）如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、O、B、P均在格点上，点P在的边上． (1)过点P画的垂线，垂足为H． (2)过点P画的垂线，交于点C． (3)线段的长度是点P到______的距离．线段、、这三条线段大小关系是______（用“”号连接），依据是______． 22．（9分）如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 23．（10分）如图，点，分别在的边，上，，点在线段上，且． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 24．（12分）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章相交线与平行线单元自测卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每个小题绐出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 A C 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. 11.130° 12.1209 13.25 14.乙、丙 15.35°/35度 16.20或80 三、解答题：本题共8小题，共72分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分) 【详解】证明：.∠1+∠2=180°， ∠1+∠4=180° .∠2=∠4（同角的补角相等）.… 2分 .AB∥EF(内错角相等，两直线平行). .∠3=∠ADE(两直线平行，内错角相等)· 4分 又：∠3=∠B(已知)， ∴.∠ADE=∠B(等量代换)· .DE∥BC(同位角相等，两直线平行)。6分 .∠4ED=∠C(两直线平行，同位角相等)。8分 18.(8分) 【详解】(1)解：由点A的对应点为点A可知：将A点向右平移5个单位长度，向上平移4个单位长度 得到点A;根据点A的平移方向和距离，同样平移点B和点C,得出点B与点C,顺次连接A'B、BC' CA,就可得到△AB'C, 如图所示： 4分 B (2)解：根据平移性质可知：AA∥CC',且AA'=CC, 117 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：平行；相等. 8分 19.(8分) 【详解】(1)解：，OF平分∠AOC,∠AOF=68°， .∠A0C=2∠AOF=136°， .OE⊥AB .∠AOE=90° .∠C0E=∠10C-∠A0E=136°-90°=46°.4分 (2)解：∠AOF:∠COE=4:3, ∴.可设∠AOF=4x,∠COE=3x, OF平分∠AOC, ∴.∠COF=∠AOF=4x, ∠EOF=∠COF-∠COE=4x-3x=x, .OE⊥AB .∠AOE=90° .∠AOE=∠AOF+∠EOF=90°， 即4x+x=90° .x=18°，即∠EOF=18° 8分 20.(8分) 【详解】(1)解：EG∥CD,证明如下： DF∥AC, ∠CDF=∠ACD :∠CDF+∠CEG=I80°， .∠ACD+∠CEG=180° .EG∥CD; 4分 (2)解：EG⊥AB,EG∥CD, .CD⊥AB, ∠CDB=90°， DF平分∠BDC, ∠BDF=45°， DF∥AC, ∴.∠A=∠BDF=45° 8分 217 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.(9分) 【详解】(1)解：如图，直线PH即为所求： 3分 O H (2)解：如图，直线PC即为所求： B …………....6f O H (3)解：由(1)和(2)的图像可得，线段PH的长度是点P到OA的距离， 根据垂线段最短可得：PH<PC<OC, 故答案为：OA;PH<PC<OC:垂线段最短. 9分 22.(9分) 【详解】(1)解：如图(1)，过点C作CM∥AB, M A B E D 图(1) .∠ABC=∠BCM=145°， AB∥DE,CM∥AB, ∴.CM∥DE ∴∠DCM=∠EDC=116°， .∠BCM=∠BCD+∠DCM, LBCD=LBCM-LDCM=29°；4分 (2)解：如图(2)，过点F作FG∥AB 3/7 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C A B G F E D 图(2) ∴.∠ABC=∠GFC=145 DF⊥CF, ∴.∠CFD=90°， .∠GFD=360°-∠GFC-∠CFD=125° AB∥DE,FG∥AB, .FG∥DE ∴.∠EDF+∠GFD=180° ∠EDf=180°-∠GFD=55°.9分 23.(10分) 【详解】(1)证明：DE∥BC, ∠B=∠ADE, .∠B=∠DEF ∴.∠ADE=∠DEF AD∥EF, LBDC=∠DFE；5分 (2)解：DE平分∠ADC, ∠ADC=2∠ADE, :DE∥BC, .∠ADE=∠B, .∠ADC=2∠B」 :∠BDC=2∠B,∠BDC+∠ADC=180°， 2∠B+2∠B=180° ∠B=45°. 10分 24.(12分) 【详解】(I)解：过点M作MN∥AB, 417 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E A —B W------->M F D AB∥CD, .MN∥AB∥CD, ·∠BEM=∠NME,∠DFM=∠NMF, ∴∠BEM+∠DFM=∠NME+∠NMF=∠EMF=a; u=80°， .∠BEM+∠DFM=80°；4分 (2)解：过点N作NH∥AB, H---- AB∥CD, .NH∥AB∥CD ∴.∠IHNF=∠DFN,∠HNE=∠NEB, 由(1)知：∠BEM+∠DFM=a, .∠DFM=20°， .∠BEM=a-20°， :AE8-=号MEY,MPN-DRx, ·∠NEB=∠NEM-∠MEB=2∠MEB=2a-201,∠DFM=∠DFN-∠MFN=∠DFN, :∠DN=DnM=30, 2 ∠HNF=∠DFN=30°，∠HNE=∠NEB=2a-20) ∠ENF=∠HNF-∠HNE=30°-2(a-20）=70°-2a ;8分 (3)解：过点N作NK∥CD, 5/7 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -B G AB∥CD, .NK∥AB∥CD ∴.∠KNE=∠AEN,∠KNF=∠CFN, EN平分∠AEM, ∠4V=∠MEN=180-∠BBu, ,FP是∠CFN的三等分线，分两种情况： O当∠CFP=∠CFN时，如图所示： ·∠CFP=∠DFM, ∴.∠CFN=3∠DFM, ·.'∠ENF=∠ENK-∠FNK, A∠EMF=∠AEN-∠CFN=90°-号∠BEM-3ZDFM, 2 :2∠ENF+∠EMF=110°， 又由(1)知：∠EMF=∠BEM+∠DFM, :290-号∠BM-32DM+∠BEM+∠DnM=l10e, ∴.∠DFM=14°， .∠CFN=3∠DFM=42°： ②当∠CP-子∠CN时，如图所示 3 6/7 6 学科网好课 单元速记：巧练 www.zxxk.com WWW ZXXKCOM 知识归纳梳理，测试巩固提升 B G 入 .∠CFP=∠DFM, CFN-DFM .∠ENF=∠ENK-∠FNK, :∠EF=∠ABN-∠CN=w-∠BEM-DM, ·2∠ENF+∠EMF=1IO°，∠EMF=∠BEM+∠DFM, 20∠BEM-含DFM∠BEM+∠DFM=1I0e. .∠DFM=35°， .∠CFN三)∠DFM=52.5 综上：∠CFN=52.5°或∠CFN=42° 12分 的 7/7 第1章 相交线与平行线 单元自测卷 建议用时：100分钟，满分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列选项中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，准确识图，熟练掌握并运用定义是解决本题的关键． 由对顶角的定义去进行逐一判断即可． 【详解】解： A、B、C三个选项中不符合“互为对顶角的两个角的两边应互为反向延长线”的定义，错误，不符合题意； 选项D中的符合对顶角的定义，正确，符合题意； 故选：D． 2．如图，与的位置关系是（    ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【答案】A 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是正确解答的关键．根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行判断即可． 【详解】解：与是直线、直线被直线所截的同位角， 故选：A． 3．如图，下列条件中，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答本题的关键． 根据平行线的判定知识逐项判断即可． 【详解】解：A、，则（同位角相等，两直线平行），故不符合题意； B、，则（同旁内角互补，两直线平行），故不符合题意； C、，则，不能证明，故符合题意； D、，而，故，则（同位角相等，两直线平行），故不符合题意； 故选：C． 4．如图，因为，，所以与重合的理由是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查垂线的性质，熟练掌握垂线的性质是解题的关键． 由垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断． 【详解】解：因为，，所以与重合的理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：D． 5．一把直尺和一块三角板（，角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，正确掌握平行线的性质是解题的关键． 根据“两直线平行，同位角相等”，再根据角之间的和差关系即可求解． 【详解】解：根据题意可知，，， 则， ， ． 故选：B． 6．如图，直线与相交于点，射线在内部，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，角的和差，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．根据题意可得，再根据对顶角相等可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由图可得， ∴， ， ， ．      故选：A． 7．湛江是广东省海岸线最长的地级市．如图，点A，B，C分别表示东海岛、南三岛、硇（náo）洲岛，其中B处在A处的北偏东，C处在A处的南偏东，B处在C处的北偏西，从B处看A，C两处的视角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查方位角及平行线的性质与判定，熟练掌握方位角及平行线的性质与判定是解题的关键；如图，过点B作，由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：如图，过点B作， 因为， 所以， 所以， 所以； 故选C． 8．如图，若，，，，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何图形中角度计算，平行线的性质，根据可得，进而即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 9．在同一平面内有2026条互不重合的直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据平行线的传递性，如果两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行. 由于所有相邻直线均平行，因此与平行. 【详解】解：∵，，，，…，， ∴由平行线的传递性，. 故选：B 10．如图，已知直线，直线分别交直线，于点E，F，平分交于点，是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点．设．下列四个式子：①；②；③；④．一定成立的是（   ） A．①② B．①④ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，画出图形分类讨论是解题的关键． 分点在点右侧，点在和之间，根据平行线的性质和角平分线的定义，分别求出结论即可． 【详解】解：当点在点右侧时，如图示： 平分，平分， ，， ， ． ， ， 当点在和之间时，如图： 平分，平分， ，， ， ． ， ，则； 综上：①④正确，②③错误； 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．已知和是对顶角，和互为补角，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角、补角的定义．根据对顶角相等、互为补角的两角和为计算即可． 【详解】解：∵和互补，， ∴， ∵和是对顶角， ∴． 故答案为：． 12．如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了量角器，对顶角，正确读出量角器度数是解题的关键． 由量角器可知，，再利用对顶角相等求解即可． 【详解】解：如图， 由量角器可知，， ∴， 即所量内角的度数为， 故答案为：． 13．如图，中，，，将沿向右平移至，点在上，若，则四边形的周长为 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得，，又因为，故设，则，得出，故，，再把数值代入进行计算即可． 【详解】解：∵平移 ∴， 设，则 ∵ ∴ 解得 则 ∴ ∴ 则周长， 故答案为：25 14．张老师在黑板上留了一道作业题：“如图，直线被直线所截，其中，请你再添加一个条件，使，并注明判定依据．”三人所做答案如下： 甲：添加，依据：同旁内角相等，两直线平行； 乙：添加，依据：同位角相等，两直线平行； 丙：添加，依据：内错角相等，两直线平行； 对三位同学的答案判断正确的是 ． 【答案】乙、丙 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 根据平行线的判定定理进行判断即可． 【详解】解：， 若添加，则，即同旁内角不互补，所以不能判断，则甲的答案错误； 若添加，则，根据同位角相等，两直线平行，可得，则乙的答案正确； 若添加，则，根据内错角相等，两直线平行，可得，则丙的答案正确． 故答案为：乙、丙 15．如图，分别平分，则 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，能熟练的运用定理进行推理是解此题的关键． 过点O作，利用平行线的性质以及角平分线的定义得到，，即可求解． 【详解】解：过点O作， ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．如图，，点，分别是，上的一点，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒1度，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒3度，旋转至与重合便立即回转，当射线旋转至与重合时，与都停止转动，若射线先转动40秒，射线才开始转动，则射线转动 秒后，与平行． 【答案】20或80 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，设射线转动t秒，两射线互相平行，分两种情况进行讨论，根据平行线的性质得出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设转动后与交于点，转动后与交于点， 当时，如图1， ， ， ， ， ， 解得； ②当时，如图2， ， ， ， ， 解得， 综上所述，射线转动20或80秒，两射线互相平行； 故答案为：20或80． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分）如图，，，求证．完成下面的证明过程． 证明：∵，， ∴（ ）． ∴ （内错角相等，两直线平行）． ∴（ ）． 又∵（已知）， ∴ （等量代换）﹒ ∴（ ）． ∴（ ）． 【答案】同角的补角相等；；两直线平行，内错角相等；，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定方法与性质定理是解本题的关键．先证明，可得，可得，结合，可得，证明，可得． 【详解】证明：∵，， ∴（同角的补角相等）．...........................................................................................2分 ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）．.......................................................................4分 又∵（已知）， ∴（等量代换）﹒ ∴（同位角相等，两直线平行）．...........................................................................6分 ∴（两直线平行，同位角相等）．......................................................................8分 18．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处．现将平移得到，使点的对应点为点，点的对应点为点． (1)请画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段之间的位置关系是_______，数量关系是_______． 【答案】(1)见解析 (2)平行；相等 【分析】本题考查了平移作图和平移的性质，掌握相关知识点是解题的关键． （1）首先根据点和点的位置，得出点到移动的方向和距离，然后点和点作相应的移动得到点与点，顺次连接就可得到； （2）根据平移的性质对应点的连线平行且相等，直接得出，且． 【详解】（1）解：由点的对应点为点可知：将点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点；根据点的平移方向和距离，同样平移点和点，得出点与点，顺次连接、、，就可得到． 如图所示： .......................................................................................................4分 （2）解：根据平移性质可知：，且， 故答案为：平行；相等．..........................................................................................................8分 19．（8分）如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，熟知角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得的度数，由垂线的定义可得的度数，据此可得答案； （2）设，，则可推出，根据垂线的定义可推出，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ， ， ， ；.......................................................................4分 （2）解：， ∴可设，， 平分， ， ， ， ， ， 即， ∴，即．.....................................................................................................8分 20．（8分）如图，在中，点E在上，点F在上，点D、G在上，，且． (1)猜想与的位置关系并证明； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． （1）根据，得到，进而得到，即可证明； （2）利用平行线性质得到，利用角平分线性质得到，再利用平行线性质得到，即可解题． 【详解】（1）解：，证明如下： ， ， ， ， ；...............................................................................................................................4分 （2）解：，， ， ， 平分， ， ， ．...............................................................................................................8分 21．（9分）如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、O、B、P均在格点上，点P在的边上． (1)过点P画的垂线，垂足为H． (2)过点P画的垂线，交于点C． (3)线段的长度是点P到______的距离．线段、、这三条线段大小关系是______（用“”号连接），依据是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)；；垂线段最短 【分析】本题考查垂线的定义，熟练掌握其定义是解题的关键 （1）根据垂线的定义画出图形； （2）根据垂线的定义画出图形； （3）利用点到直线的距离的定义，利用垂线段最短判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； ........................................................................................................3分 （2）解：如图，直线即为所求； ........................................................................................................6分 （3）解：由（1）和（2）的图像可得，线段的长度是点P到的距离， 根据垂线段最短可得：， 故答案为：；；垂线段最短．..................................................................9分 22．（9分）如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，周角，掌握知识点是解题的关键． （1）过点作，求出，推导出，得到，则，即可解答； （2）过点作，得到，，推导出，，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图（1），过点作， ， ，， ， ， ， ；........................................................................................4分 （2）解：如图（2），过点作， ， ， ， ， ，， ， ．...............................................................................................9分 23．（10分）如图，点，分别在的边，上，，点在线段上，且． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)45° 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定是解题的关键． （1）由平行线的性质和已知条件可证明，则可证明，进而可证明； （2）由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则由平角的定义可得，据此可得答案． 【详解】（1）证明：， ∴， ， ． ， ；..................................................................................................................5分 （2）解：平分， ， ， ∴， ∴， ，， ．..............................................................................................................................10分 24．（12分）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，则：，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过点作，得到，利用平行线的性质结合角的和差和数量关系，分2种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴；........................................................................................................4分 （2）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴；...................................................8分 （3）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的三等分线，分两种情况： ①当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又由（1）知：， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或．.................................................................................12分 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义、平行公理的应用，过拐点构造平行线，熟练掌握相关知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $