03定义.命题.定理及平移预习讲义（4知识点+15题型解读+16强化巩固）2025-2026学年人教版数学七年级下学期

2025-2026学年七年级下学期数学第七章相交线与平行线03定义、命题、定理及平移（人教版）（4知识点+15题型解读 +16强化巩固） 01思维导图 02知识点速记 知识点01   定义与命题 1. 定义：对一些数学对象进行清晰、明确的描述称为数学对象的定义． 2.命题的定义：判断一件事情是真或是假的陈述语句，叫做命题．命题必须是能判断真假的陈述句，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题。 3. 命题的组成：命题由题设与结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 4. 命题的改写：命题通常可以改写成如果……，那么……的形式．如果后面跟题设部分，那么后面跟结论部分．有些题设或结论不明显的命题在改写时，需要调整顺序或者增减词语． 5命题的分类：分为真命题（题设成立，结论一定成立）和假命题（题设成立，但结论不一定成立）。 知识点2 定理与证明 a 定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为后续推理的依据。 b. 证明：一个命题正确性的推理过程叫做证明，证明过程要做到步步有据。 C.假命题的判断：要证明一个命题是假命题，只需举出一个反例（符合题设，但不满足结论的例子）即可。 d. 公理与定理的区别 公理是人们在长期实践中公认的真命题，不需要证明；定理是经过推理证实的真命题，需要证明。 知识点03平移及其性质 1． 平移有关的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，这种图形的 平行移动 ，叫做图形的平移变换，简称 平移 ．平移前后的点叫做 对应点 ，平移前后的角叫做 对应角 ，平移前后的边叫做 对应边 ．平移的 方向 与平移的 距离 为平移的两个要素． 知识点04  平移作图 1.平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连．      （1）定：确定平移的方向和距离；      （2）找：找出表示图形的关键点；      （3）移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；      （4）连：按原图形顺次连接对应点． 03题型解读 题型解读1判断是否是命题 例1．下列语句不是命题的是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．面积相等的两个三角形全等 C．同旁内角互补 D．作线段 变式1．判断下列句子是否是命题： （1）0是偶数； ； （2）两个锐角的和是钝角； ； （3）画两个相等的角； ； （4）同旁内角互补； ； （5）所有的质数都是奇数吗？ ； （6）两条直线相交，只有一个交点． ， 变式2．下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？ (1)两点之间，线段最短． (2)如果，那么是线段的中点． (3)一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？ 题型解读2写出命题的题设与结论 例2．把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 变式1．命题“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”改写成如果 ，那么 ． 变式2．指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果，,那么． 题型解读3判断命题真假 例3．下列命题是真命题的是（   ） A．一个角的补角大于这个角 B．任何数的绝对值都是正数 C．两直线平行，同位角相等 D．是无理数 变式1．给出以下命题：①一个角的余角大于这个角；②如果，那么与是对顶角；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④如果，，那么．其中真命题有 ．（填所有真命题的序号） 变式2．下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例． (1)如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数． (2)等角的补角相等． (3)如果，那么． (4)两个奇数的和一定是偶数． 题型解读4举例说明假（真）命题 例4．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a、b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 变式1．对于命题“若，则”请你举个反例说明这个命题是假命题 ． 变式2．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例说明． (1)一个角的补角必是钝角； (2)过已知直线上一点及该直线外的一点的直线与已知直线必是相交直线． 题型解读5定理与证明 例5．下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．三角形两边之和大于第三边 D．同位角相等，两直线平行 变式1．下列命题可以作定理的有 个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 题型解读6已知证明过程填写理论依据 例6．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 题型解读7举反例 例7．对于命题“如果，那么”，能说明该命题为假命题的反例是（　　） A．， B．， C．， D．， 变式1．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．这个反例中的x可以为 ． 变式2．判断下列命题中是真命题还是假命题，是假命题举出反例 (1)绝对值相等的两个数一定相等； (2)末位数字为0的数必能被5整除； (3)两个锐角之和为钝角． 题型解读8以几何为背景的推理与论证 例8．当n是正整数时，一定是（   ）． A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 题型解读9以代数为背景的推理与论证 例9．“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码： ． ①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； ②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确； ③9、5、8、3四个数字都不正确； ④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确． 题型解读10逻辑推理与论证 例10．四个小孩在校园内踢球，“砰”的一声，不知是谁踢的球把课堂窗户的玻璃打破了，王老师跑出来一看，问：“是谁打破了玻璃？” 小张说：“是小强打破的．” 小强说：“是小胖打破的．” 小明说：“我没有打破窗户的玻璃．” 小胖说：“王老师，小强在说谎，不要相信他．” 这四个小孩只有一个说了实话．请判断：是谁打破了窗户的玻璃？（  ） A．小张 B．小强 C．小明 D．小胖 变式1．某密码锁的密码是一个三位数，小致说：“它是694．”小萌说：“它是524．”小莉说：“它是573．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是 ． 变式2.．一个读书小组共有六位同学，分别姓赵、钱、孙、李、周、吴、其中有六本书，书名分别是，，他们每人至少读过其中的一本书，已知赵、钱、孙、李、周分别读过其中的2，2，4，3，5本书，而书分别被小组中的1，4，2，2，2位同学读过．那么吴同学读过几本书？书被小组中的几位同学读过？ 题型解读11生活中的平移现象 例11．下列现象：温度计中，液柱的变化；电梯上下运动；钟摆的摆动；小方块在水平地面滑动，属于平移的是（    ） A．， B．， C．， D．， 变式1.．如图，在一块长为a米、宽为b米的长方形地上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任何地方的水平宽度都是4米，其他部分都是草地，则草地的面积为 平方米． 变式2．如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示． (1)若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积是否改变？　　（填“变”或“不变”）； (2)若不变，请写出图中阴影部分面积；若变，请说明理由． 题型解读12图形的平移 例12．下列车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 变式1．在一块长，宽的草坪上修筑宽的小路（如图），则草地的面积是 ． 题型解读13利用平移的性质求解 例13．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（    ） A．甲种方案所用铁丝最长 B．乙种方案所用铁丝最长 C．丙种方案所用铁丝最长 D．三种方案所用铁丝一样长 变式1.．如图，将长方形平移到长方形的位置，则平移的距离是 ． 变式2．如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，三角形和三角形的三个顶点均在“格点”处． (1)如图1，三角形可以看成三角形向右平移__________格，再向__________平移3格得到的； (2)如图2，连接和． ①则线段和的位置关系是__________，数量关系是__________； ②若，，求的度数． 题型解读14利用平移解决实际问题 例14．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，其余部分为绿地，小路的左边线向右平移就是它的右边线，这块草地的绿地面积为（   ） A． B． C． D． 变式1.．某小区准备开发一块长方形空地．如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路．小路的左边线向右平移就是它的右边线． ①若长方形的长为，宽为，则这条小路的面积为 ； ②若原长方形的长为，宽为，草坪面积为 ，当，时，草坪面积为 ． 变式2．某宾馆在重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价25元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要多少元． 题型解读15平移（作图） 例15．数学课上，老师提出了一个问题：如何作一条直线的平行线？如图是小明同学的作法，老师对小明的作法表示了肯定，那么小明作图的原理是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 变式1．在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为、、，将向下平移2个单位长度后再向左平移6个单位长度得到，点A、、的对应点分别为点、、，连接、，则五边形的面积为 ． 变式2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处．现将平移得到，使点的对应点为点，点的对应点为点． (1)请画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段之间的位置关系是_______，数量关系是_______． 04强化巩固 一、单选题 1．下列语句不是命题的为（ ） A．你饿了吗？ B．线段的垂线有无数条 C．两点之间，线段最短 D．相等的角一定是对顶角 2．下列命题是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．相等的角是对顶角 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 3．下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 4．下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例的是（    ）． A． B． C．1 D．2 5．下列生活现象中是平移的是（   ） A．钟摆的运动 B．汽车雨刷的运动 C．过安检时传送带上行李箱的运动 D．骑自行车时前后轮的转动 6．如图，长方形花园中，，花园中建有两条宽度一致的小路．若，则花园中可绿化部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式 ． 8．请写出一个a的值，能说明命题“若，则”是假命题，则 ． 9．有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有 （填序号）． 10．在下列四幅图中，那几幅图是可以经过平移变换得来的 ． ①            ②              ③                  ④ 11．如图，中，，，将沿向右平移至，点在上，若，则四边形的周长为 ． 12．如图，边长为的两个正方形拼在一起，则阴影部分的面积为 三、解答题 13．下列各语句中，哪些是命题？其中，哪些是真命题？是真命题的，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再找出命题的条件和结论． (1)已知点P到两点的距离之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到两点的距离之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 14．下列各语句哪些是命题，哪些不是命题？如果是命题，判断命题的真假并对假命题举反例说明． (1)如果a，b互为相反数，那么． (2)有理数一定是自然数． (3)延长线段． (4)明天一定下雨吗？ (5)． 15．如下图，将三角形沿直线l向右平移得到三角形． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 16．如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点，若，，，求阴影部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期数学第七章相交线与平行线03定义、命题、定理及平移（人教版）（4知识点+15题型解读+16强化巩固） 01思维导图 02知识点速记 知识点01   定义与命题 1. 定义：对一些数学对象进行清晰、明确的描述称为数学对象的定义． 2.命题的定义：判断一件事情是真或是假的陈述语句，叫做命题．命题必须是能判断真假的陈述句，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题。 3. 命题的组成：命题由题设与结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 4. 命题的改写：命题通常可以改写成如果……，那么……的形式．如果后面跟题设部分，那么后面跟结论部分．有些题设或结论不明显的命题在改写时，需要调整顺序或者增减词语． 5命题的分类：分为真命题（题设成立，结论一定成立）和假命题（题设成立，但结论不一定成立）。 知识点2 定理与证明 a 定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为后续推理的依据。 b. 证明：一个命题正确性的推理过程叫做证明，证明过程要做到步步有据。 C.假命题的判断：要证明一个命题是假命题，只需举出一个反例（符合题设，但不满足结论的例子）即可。 d. 公理与定理的区别 公理是人们在长期实践中公认的真命题，不需要证明；定理是经过推理证实的真命题，需要证明。 知识点03平移及其性质 1． 平移有关的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，这种图形的 平行移动 ，叫做图形的平移变换，简称 平移 ．平移前后的点叫做 对应点 ，平移前后的角叫做 对应角 ，平移前后的边叫做 对应边 ．平移的 方向 与平移的 距离 为平移的两个要素． 知识点04  平移作图 1.平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连．      （1）定：确定平移的方向和距离；      （2）找：找出表示图形的关键点；      （3）移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；      （4）连：按原图形顺次连接对应点． 03题型解读 题型解读1判断是否是命题 例1．下列语句不是命题的是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．面积相等的两个三角形全等 C．同旁内角互补 D．作线段 【答案】D 【分析】此题考查了命题的概念，命题是能判断真假的陈述句，分析各选项是否为陈述句且能判断真假． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，是命题； B、面积相等的两个三角形全等，是命题； C、同旁内角互补，是命题； D、作线段，不是命题． 故选：D． 变式1．判断下列句子是否是命题： （1）0是偶数； ； （2）两个锐角的和是钝角； ； （3）画两个相等的角； ； （4）同旁内角互补； ； （5）所有的质数都是奇数吗？ ； （6）两条直线相交，只有一个交点． ， 【答案】 是命题 是命题 不是命题 是命题 不是命题 是命题 【分析】根据命题的定义，即能够判断真假的陈述句叫做命题，依次对每个句子进行判断，看是否符合命题的特征．本题主要考查了命题的定义，熟练掌握命题是能够判断真假的陈述句这一概念是解题的关键． 【详解】解：（1）0是偶数；是命题； （2）两个锐角的和是钝角；是命题； （3）画两个相等的角；不是命题； （4）同旁内角互补；是命题； （5）所有的质数都是奇数吗？不是命题； （6）两条直线相交，只有一个交点，是命题； 故答案为：（1）是命题；（2）是命题；（3）不是命题；（4）是命题；（5）不是命题；（6）是命题． 变式2．下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？ (1)两点之间，线段最短． (2)如果，那么是线段的中点． (3)一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？ 【答案】(1)是命题 (2)是命题 (3)不是命题 【分析】本题考查了命题的定义，即能判断真假的陈述句；解题的关键是准确判断语句是否能判断真假；易错点是对条件和结论不明确的命题判断失误，例如错误地将疑问句或无法确定真假的语句误判为命题；依据命题是能判断真假的陈述句这一定义，逐一分析各语句是否符合定义，若语句是陈述句且可判断真假（真或假），则是命题；否则不是命题． 【详解】（1）语句“两点之间，线段最短”是一个陈述句，在几何中这是一个公理，可判断为真，因此是真命题． （2）语句“如果，那么是线段的中点”是一个陈述句，但该结论不一定成立，例如当点不共线时，但不是线段的中点，因此可判断为假，是假命题． （3）语句“一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？”是一个疑问句，无法判断真假，因此不是命题． 题型解读2写出命题的题设与结论 例2．把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题，命题是由题设与结论两部分组成．根据把命题的题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面，进而得出结论． 【详解】解：命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式为“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”． 故选：D． 变式1．命题“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”改写成如果 ，那么 ． 【答案】 两个三角形的两个角及其夹边分别相等 这两个三角形全等 【分析】本题考查了学生写出命题的题设与结论的能力．改写成“如果……，那么……”的形式即可． 【详解】解：原命题的条件是“两角及其夹边分别相等”，结论是“两个三角形全等”， 因此改写为“如果两个三角形的两个角及其夹边分别相等，那么这两个三角形全等”． 故答案为：两个三角形的两个角及其夹边分别相等，这两个三角形全等． 变式2．指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果，,那么． 【答案】(1)条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． (2)条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． (3)条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． (4)条件：且；结论：． 【分析】本题考查命题的条件和结论，掌握知识点是解题的关键根据命题的定义即可解答， （1）将“如果”后的语句定为条件，“那么”后的语句定为结论． （2）把命题表述转化为“如果（数的绝对值等于5），那么（这个数是5）”的形式，前半为条件，后半为结论． （3）将命题转化为“如果（两个角是钝角），那么（这两个角相等）”的形式，拆分出条件与结论． （4）“如果”后并列的语句为条件，“那么”后语句为结论． 【详解】（1）解：条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． （2）解：条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． （3）解：条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． （4）解：条件：且；结论：． 题型解读3判断命题真假 例3．下列命题是真命题的是（   ） A．一个角的补角大于这个角 B．任何数的绝对值都是正数 C．两直线平行，同位角相等 D．是无理数 【答案】C 【分析】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．A中补角不一定大于原角，如钝角；B中0的绝对值不是正数；C是平行线基本性质，正确；D中是有理数. 【详解】解：A、当角为钝角（如）时，补角（）小于原角，∴A是假命题； B、0的绝对值是0，0不是正数，∴B是假命题； C、两直线平行，同位角相等，是真命题，∴C是真命题； D、，3是有理数，∴D是假命题． 故选：C． 变式1．给出以下命题：①一个角的余角大于这个角；②如果，那么与是对顶角；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④如果，，那么．其中真命题有 ．（填所有真命题的序号） 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查真假命题的判断，涉及余角、对顶角、补角的定义以及平行线的性质；通过举反例和定义分析即可判断． 【详解】①一个角的余角不一定大于这个角，反例：的余角是，，故①是假命题； ②如果，那么与不一定是对顶角，反例：等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故②是假命题； ③补角的定义：如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角，故③是真命题； ④根据平行线的性质，如果两条直线平行，且其中一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，故④是真命题． 故答案为：③④． 变式2．下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例． (1)如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数． (2)等角的补角相等． (3)如果，那么． (4)两个奇数的和一定是偶数． 【答案】(1)假命题；反例：0 (2)真命题 (3)假命题；反例： (4)真命题 【分析】本题考查了判断命题真假，举反例，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）绝对值等于本身的数不仅有正数，0的绝对值是0． （2）若两个角相等（设为），则它们的补角分别为和，显然相等． （3）当时， （4）奇数可表示为（为整数），两个奇数相加为，是2的倍数，故为偶数． 【详解】（1）解：假命题 反例：0的绝对值等于它本身，但0不是正数． （2）解：真命题 （3）假命题 反例：取，则． （4） 解：真命题． 题型解读4举例说明假（真）命题 例4．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a、b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解题关键．能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，据此逐项分析即可． 【详解】解：A、当，时，，且，此时命题是真命题，选项错误； B、当，时，，不满足命题的已知条件，选项错误； C、当，时，，不满足命题的已知条件，选项错误； D、当，时，，但，此时命题是假命题，选项正确； 故选：D 变式1．对于命题“若，则”请你举个反例说明这个命题是假命题 ． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了举反例说明命题的真假，通过举出满足但的具体数值，证明命题为假． 【详解】解：∵，，则，， 又∵， ∴， 但， 因此不成立， 故该命题为假命题． 故答案为：，．（答案不唯一） 变式2．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例说明． (1)一个角的补角必是钝角； (2)过已知直线上一点及该直线外的一点的直线与已知直线必是相交直线． 【答案】(1)假命题，反例见解析 (2)真命题 【分析】本题考查命题，关键是掌握补角，钝角的定义． （1）如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角，由此即可判断； （2）由相交线的定义，即可判断． 【详解】（1）解：假命题， 反例：如果一个角是，则它的补角是，而的角不是钝角． （2）解：过已知直线上一点及该直线外的一点的直线与已知直线必是相交直线是真命题． 题型解读5定理与证明 例5．下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．三角形两边之和大于第三边 D．同位角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】此题考查了公理，公理是不需要证明的基本命题，在初中数学中，“同位角相等，两直线平行”通常作为平行线的判定公理，而其他选项均为定理，可由公理推导． 【详解】解：公理是数学体系中公认的基本事实，无需证明； 选项A“对顶角相等”可通过等角的补角相等证明，是定理； 选项B“同角的余角相等”可通过角的定义和等量代换证明，是定理； 选项C“三角形两边之和大于第三边”可由“两点之间线段最短”公理证明，是定理； 选项D“同位角相等，两直线平行”在初中教材中作为平行线的判定公理使用，是公理． 故选：D． 变式1．下列命题可以作定理的有 个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 【答案】2 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到②、③是假命题，①、④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：①等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理； ②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理； ③把代入，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理； ④三角形的内角和是，是经过证明的真命题，故是定理； ∴可以作定理的有2个 故答案为：2 题型解读6已知证明过程填写理论依据 例6．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 题型解读7举反例 例7．对于命题“如果，那么”，能说明该命题为假命题的反例是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题的真假，反例的定义，解题的关键是掌握反例． 根据反例的定义，结合命题逐项进行判断即可． 【详解】解：A．当时，且，命题成立，不符合题意； B． 当时，且，命题成立，不符合题意； C． 当时，， ，，不满足条件，不符合题意； D．当 时，，，所以，但，该命题为假命题，该选项符合题意； 故选：D． 变式1．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．这个反例中的x可以为 ． 【答案】2（答案不唯一，即可） 【分析】本题考查了举反例．要判断命题为假命题，需举出反例， “如果，那么”，其反例为大于0的数而且能使． 【详解】解：当，则 ，条件成立； 故 为反例． 故答案为2（答案不唯一，即可）． 变式2．判断下列命题中是真命题还是假命题，是假命题举出反例 (1)绝对值相等的两个数一定相等； (2)末位数字为0的数必能被5整除； (3)两个锐角之和为钝角． 【答案】(1)假命题，反例见解析； (2)真命题． (3)假命题，反例见解析． 【分析】本题考查了绝对值的性质，被5整除的数的特征，钝角的定义，判断命题真假，以及写反例． （1）根据绝对值的性质，即可解答； （2）根据能被5整除的数的特征即可解答； （3）根据钝角的定义，即可解答． 【详解】（1）解：该命题为假命题， 反例：，但是． （2）解：该命题为真命题； （3）解：该命题为假命题， 反例：为锐角． 题型解读8以几何为背景的推理与论证 例8．当n是正整数时，一定是（   ）． A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是熟练掌握奇数与偶数的积为偶数．分n是偶数与奇数两种情况分析，同时结合奇数与偶数的积的特征即得结果． 【详解】当n是偶数时，是奇数，而偶数×奇数=偶数，偶数+奇数=奇数，则此时一定是奇数， 当n是奇数时，是偶数，而奇数×偶数=偶数，偶数+奇数=奇数，则此时一定是奇数， 故选A． 题型解读9以代数为背景的推理与论证 例9．“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码： ． ①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； ②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确； ③9、5、8、3四个数字都不正确； ④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确． 【答案】2401 【分析】本题考查了逻辑推理，根据已知找到切入点，再推断求解即可． 【详解】解：由③可知，9、5、8、3四个数字都不正确， 即密码中没有9、5、8、3四个数字； 由④可知，0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确， 即密码中一定有0、1、2三个数字，且位置都不正确； 由①可知，7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； 即密码中数字1在第四位，另一个正确的数字为7在第一位或4在第二位； 若7在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为4在第二位； 由②④可知，密码数字2不在第二位和第三位，即在第一位． 则数字0在第三位， 即正确的密码是2401， 故答案为：2401． 题型解读10逻辑推理与论证 例10．四个小孩在校园内踢球，“砰”的一声，不知是谁踢的球把课堂窗户的玻璃打破了，王老师跑出来一看，问：“是谁打破了玻璃？” 小张说：“是小强打破的．” 小强说：“是小胖打破的．” 小明说：“我没有打破窗户的玻璃．” 小胖说：“王老师，小强在说谎，不要相信他．” 这四个小孩只有一个说了实话．请判断：是谁打破了窗户的玻璃？（  ） A．小张 B．小强 C．小明 D．小胖 【答案】C 【分析】本题考查了逻辑推理与论证，仔细读题是解决本题的关键． 根据小强说“是小胖打破的”，小胖说“小强在说谎”，两人的话相互矛盾，进而判断即可． 【详解】解：根据题意得，小强说“是小胖打破的”，小胖说“小强在说谎”，两人的话相互矛盾， ∴两人的话必有一真一假， ∵“只有一个小孩说真话”， ∴小张和小明的话都是假话， ∴小明说“我没有打破窗户的玻璃”是假话，说明小明打破了玻璃． 故选C． 变式1．某密码锁的密码是一个三位数，小致说：“它是694．”小萌说：“它是524．”小莉说：“它是573．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是 ． 【答案】623 【分析】本题考查了推理与论证的有关知识，使用排除法缩小范围进而推断出每个数位上的数字是解题的关键． 【详解】解：∵每人都只猜对了不同数位的一个数字，若个位是4，则小致和小萌猜对的数位相同，与题意不符， ∴个位数为3， ∵由上述可知小莉猜对的是个位数，故她猜的百位数5是错误的， ∴百位数字为6， ∴小萌猜对十位数字，即十位数字为2， ∴这个密码锁的密码是623． 故答案为：623 变式2.．一个读书小组共有六位同学，分别姓赵、钱、孙、李、周、吴、其中有六本书，书名分别是，，他们每人至少读过其中的一本书，已知赵、钱、孙、李、周分别读过其中的2，2，4，3，5本书，而书分别被小组中的1，4，2，2，2位同学读过．那么吴同学读过几本书？书被小组中的几位同学读过？ 【答案】吴同学读过1本书，书被小组中的6位同学读过 【分析】本题就是一道典型的利用和的关系列方程的题目，再结合不等式得到本题的解，列方程的关键是怎样找题目中的等量关系．设吴同学读过本书，书被小组中的位同学读过，根据题意列出方程，再根据每人至少读过其中的一本书，一本书最多被6人读到范围，讨论求解即可． 【详解】解：设吴同学读过本书，书被小组中的位同学读过． ， 则， ，得， 所以吴同学读过1本书，书被小组中的6位同学读过． 题型解读11生活中的平移现象 例11．下列现象：温度计中，液柱的变化；电梯上下运动；钟摆的摆动；小方块在水平地面滑动，属于平移的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了平移的定义与性质，熟记平移不改变图形形状与大小是解决问题的关键．根据平移的定义与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：温度计中，液柱的变化：液柱热胀冷缩，长度改变，点之间的相对位置变化，不是平移； 电梯上下运动：电梯整体移动，所有点移动相同距离，是平移； 钟摆的摆动：钟摆沿弧线运动，有旋转，不是平移； 小方块在水平地面滑动：小方块整体滑动，所有点移动相同距离（假设无旋转），是平移． 属于平移的是和， 故选：D． 变式1.．如图，在一块长为a米、宽为b米的长方形地上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任何地方的水平宽度都是4米，其他部分都是草地，则草地的面积为 平方米． 【答案】（ab-4b） 【分析】根据图形的特点，可以把小路的面积看作是一个底是4米，高是b米的平行四边形，根据平行四边形的面积=底×高，长方形的面积=长×宽，用长方形的面积减去小路的面积即可． 【详解】解：由题可得，草地的面积是（ab-4b）平方米． 故答案为：（ab-4b）． 【点睛】本题考查生活中的平移现象，化曲为直是解决此题的关键． 变式2．如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示． (1)若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积是否改变？　　（填“变”或“不变”）； (2)若不变，请写出图中阴影部分面积；若变，请说明理由． 【答案】(1)不变 (2)不变，51 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及生活中的平移现象，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据平移的性质，可得出平移后阴影部分面积不会改变； （2）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形，根据图中给定的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分的面积＝大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】（1）解：若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积不会改变． 故答案为：不变． （2）设小长方形的长为x，宽为y， 依题意得：， 解得：， ∴． 答：图中阴影部分面积为51． 题型解读12图形的平移 例12．下列车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的定义：将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．根据平移的定义判断即可． 【详解】解：A．不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意； B．不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意； C．可由圆环沿水平直线方向移动得到，符合题意； D．不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意； 故选：C． 变式1．在一块长，宽的草坪上修筑宽的小路（如图），则草地的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，生活中的平移现象，利用矩形的面积公式得出是解题关键． 根据平移，可把路移到右边和上面，再根据矩形的面积公式，可得答案． 【详解】解：把路移到右边和上面， 路的宽度是， 草地可以看成长是，宽是， 故草地的面积是． 故答案为：． 题型解读13利用平移的性质求解 例13．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（    ） A．甲种方案所用铁丝最长 B．乙种方案所用铁丝最长 C．丙种方案所用铁丝最长 D．三种方案所用铁丝一样长 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可知三个图形都转化为一个长为a，宽为b的长方形，据此可得答案． 【详解】解：利用平移，可将甲、乙、丙三个图形都转化为一个长为a，宽为b的长方形， 所以三个图形所用的铁丝长度一样． 故选：D． 变式1.．如图，将长方形平移到长方形的位置，则平移的距离是 ． 【答案】3 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离及平移的性质，根据数轴上平移前后对应点的位置即可得出结果，理解掌握平移的性质是解题关键． 【详解】解：∵长方形平移到长方形的位置，且对应点B到的距离为：， ∴平移的距离是3， 故答案为：3． 变式2．如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，三角形和三角形的三个顶点均在“格点”处． (1)如图1，三角形可以看成三角形向右平移__________格，再向__________平移3格得到的； (2)如图2，连接和． ①则线段和的位置关系是__________，数量关系是__________； ②若，，求的度数． 【答案】(1)5；上 (2)①平行；相等；② 【分析】本题考查平移的性质，平行线的性质．熟练掌握平移的定义与性质是解题的关键． （1）结合图象以及平移的性质可得答案． （2）①由平移可知，和平行且相等． ②由平行线的性质可得，则，再根据可得答案． 【详解】（1）解：由图可知，三角形可以看成三角形向右平移5格，再向上平移3格得到的． 故答案为：5；上． （2）解：①由题意知，线段和的位置关系是平行，数量关系是相等． 故答案为：平行；相等． ②， ， ， ， ． 题型解读14利用平移解决实际问题 例14．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，其余部分为绿地，小路的左边线向右平移就是它的右边线，这块草地的绿地面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质可得：这块草地的绿地面积是长为，宽为的长方形，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线， ∴， ∴这块草地的绿地面积是长为，宽为的长方形， 故， ∴这块草地的绿地面积是， 故选：A． 变式1.．某小区准备开发一块长方形空地．如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路．小路的左边线向右平移就是它的右边线． ①若长方形的长为，宽为，则这条小路的面积为 ； ②若原长方形的长为，宽为，草坪面积为 ，当，时，草坪面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移性质的应用，列代数式，代数式求值，理解题意，草坪拼合后的长方形长减小，宽不变，是解题的关键． ①草坪拼合后的长方形长减小，宽不变，计算面积即可； ②同①计算面积，再将，代入代数式计算即可． 【详解】①解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线， ∴草坪拼合后的长方形长减小，宽不变， ∴草坪的面积， ②解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线， ∴草坪拼合后的长方形长减小，宽不变， ∴草坪的面积； 当，时，． 故答案为：，，． 变式2．某宾馆在重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价25元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要多少元． 【答案】400元 【分析】本题考查了生活中的平移现象，解题的关键是掌握平移的性质，不改变图形的大小和形状． 根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求． 【详解】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形，长、宽分别为米，米， 即地毯的长度为米， 地毯的面积为平方米， 故买地毯至少需要元． 题型解读15平移（作图） 例15．数学课上，老师提出了一个问题：如何作一条直线的平行线？如图是小明同学的作法，老师对小明的作法表示了肯定，那么小明作图的原理是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】B 【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．也考查了平行线的判定．先利用平移的性质得到，然后根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：利用平移的性质得到， 可知小明作图的原理是同位角相等两直线平行， 故选：B． 变式1．在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为、、，将向下平移2个单位长度后再向左平移6个单位长度得到，点A、、的对应点分别为点、、，连接、，则五边形的面积为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了作图-平移变换及平面直角坐标系中多边形面积的求法，解决本题的关键是根据平移的性质准确画出图形． 根据平移的性质即可在图中画出，五边形，即可求出面积． 【详解】    如图所示， ， 故答案为：30． 变式2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处．现将平移得到，使点的对应点为点，点的对应点为点． (1)请画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段之间的位置关系是_______，数量关系是_______． 【答案】(1)见解析 (2)平行；相等 【分析】本题考查了平移作图和平移的性质，掌握相关知识点是解题的关键． （1）首先根据点和点的位置，得出点到移动的方向和距离，然后点和点作相应的移动得到点与点，顺次连接就可得到； （2）根据平移的性质对应点的连线平行且相等，直接得出，且． 【详解】（1）解：由点的对应点为点可知：将点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点；根据点的平移方向和距离，同样平移点和点，得出点与点，顺次连接、、，就可得到． 如图所示： （2）解：根据平移性质可知：，且， 故答案为：平行；相等． 04强化巩固 一、单选题 1．下列语句不是命题的为（ ） A．你饿了吗？ B．线段的垂线有无数条 C．两点之间，线段最短 D．相等的角一定是对顶角 【答案】A 【分析】本题考查了命题的定义．根据命题的定义，命题是能够判断真假的陈述句，选项A是疑问句，不符合命题要求，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、“你饿了吗？”是疑问句，不是陈述句，故不是命题，故该选项符合题意； B、线段的垂线有无数条，是命题，故该选项不符合题意； C、两点之间，线段最短，是命题，故该选项不符合题意； D、相等的角一定是对顶角，是命题，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．下列命题是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．相等的角是对顶角 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理知识，熟练掌握平行线的判定及性质、对顶角定义、平行公理等知识是解题的关键．根据平行线的性质、对顶角相等、平行公理逐一判断各选项的命题真假，即可得答案． 【详解】解：A．同位角相等的前提是两直线平行，否则不一定成立，故该选项是假命题； B．相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的底角，故该选项是假命题； C．平行于同一条直线的两条直线平行，这是平行线的传递性，故该选项是真命题； D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行，仅当点在直线外时成立，点在直线上时不成立，故该选项是假命题． 故选：C． 3．下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【答案】C 【分析】本题考查公理和定理的定义，解题的关键是明确公理与定理的核心区别（是否需要证明）及相互关系． 根据公理和定理的定义，逐一分析各选项的正确性． 【详解】公理是公认的真命题，无需证明，可作为证明其他定理的依据；定理是经过公理或已有定理证明的真命题． A：公理和定理都是真命题，此说法错误； B：公理与定理定义不同，并非等价概念，此说法错误； C：公理可作为证明其他定理的依据，此说法正确； D：公理无需证明即可使用，此说法错误． 故选：C． 4．下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例的是（    ）． A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查命题证明与举反例，掌握好相关知识是关键． 反例需满足条件 但 ，逐个判断即可． 【详解】解：命题“若，则”是假命题的反例需满足条件 但 ． 对于A，，且，满足题意，故A正确； 对于B，，但，不满足题意，故B错误； 对于C，，，不满足题意，故C错误； 对于D，，，不满足题意，故D错误． 故选：A． 5．下列生活现象中是平移的是（   ） A．钟摆的运动 B．汽车雨刷的运动 C．过安检时传送带上行李箱的运动 D．骑自行车时前后轮的转动 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的定义， 平移是物体沿直线移动且方向不变的运动． 【详解】解：∵A钟摆运动是旋转，B汽车雨刷运动是旋转，D车轮转动是旋转，均不是平移；C传送带上行李箱运动是沿直线移动且方向不变，∴是平移. 故选：C． 6．如图，长方形花园中，，花园中建有两条宽度一致的小路．若，则花园中可绿化部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，代数式表示，解题的关键在于将不规则图形面积经过平移形成规则图形面积． 结合图形将不规则图形面积经过平移形成规则图形面积，再结合长方形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：长方形花园中，， 将可绿化部分平移到一起， 可得绿化部分的面积为， 故选：C． 二、填空题 7．把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式 ． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题的改写．原命题“对顶角相等”中，条件是两个角是对顶角，结论是这两个角相等，据此改写成“如果……那么……”形式即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， 因此可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 8．请写出一个a的值，能说明命题“若，则”是假命题，则 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是命题与定理，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键．要使得成立，则或，因此举反例可列举的数字即可． 【详解】解：当时，，但不满足， 故命题“，则”是假命题， 故答案为：（满足条件即可）． 9．有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有 （填序号）． 【答案】①②③④⑤⑦ 【分析】本题考查了定理与证明，熟练掌握定理与证明的特性是解题的关键； 先明确推理依据的定义，在逐项分析所给各项是否符合推理依据的要求，最后统计符合条件的个数即可. 【详解】解：推理依据是指在数学推理过程中，无需证明即可直接使用的确定事实，包括公认的基本事实、学过的定义、性质、定理、公理以及题目中给出的已知条件等. ①公理：公理是经过人类长期反复实践检验，不需要再加证明的基本命题，是推理依据； ②已学定理：定理是经过证明的真命题，是推理依据； ③定义：定义是对事物本质特征的描述，是明确概念的依据，是推理依据； ④等量代换：等量代换是基本的逻辑规则，即如果两个量相等，那么它们可以互相替换，是推理依据； ⑤不等式的性质： 不等式的性质是经过证明的，如不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变等，是推理依据； ⑥度量结果：度量结果可能因测量工具、方法等因素存在误差，不是确定的已知事实，不能作为推理依据； ⑦已知条件：题目中给出的已知条件是推理的起点，是推理依据； ⑧正确的观察结果： 观察结果可能受主观或客观因素影响，不是绝对可靠的确定事实，不能作为推理依据； ⑨猜测结果：猜测结果没有经过证明，不具有确定性，不能作为推理依据； 故答案为：①②③④⑤⑦ ． 10．在下列四幅图中，那几幅图是可以经过平移变换得来的 ． ①            ②              ③                  ④ 【答案】①②④ 【分析】根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，可直接得到答案． 【详解】根据平移的定义可得①②④是由平移得到的，③无法平移得到．故答案为：①②④． 11．如图，中，，，将沿向右平移至，点在上，若，则四边形的周长为 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得，，又因为，故设，则，得出，故，，再把数值代入进行计算即可． 【详解】解：∵平移 ∴， 设，则 ∵ ∴ 解得 则 ∴ ∴ 则周长， 故答案为：25 12．如图，边长为的两个正方形拼在一起，则阴影部分的面积为 【答案】25 【分析】本题考查了平移的性质， 观察图形面积和平移的性质可得，阴影面积等价于边长为的正方形的面积，据此求解即可． 【详解】解：通过观察可以发现，左边正方形左上部的空白部分与右边正方形左上部的阴影部分大小一样，只需将右边正方形左上部的阴影部分平移到左边正方形左上部的空白部分，所有的阴影部分便构成了一个正方形， 所以阴影部分的面积是， 故答案为：． 三、解答题 13．下列各语句中，哪些是命题？其中，哪些是真命题？是真命题的，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再找出命题的条件和结论． (1)已知点P到两点的距离之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到两点的距离之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 【答案】(1)是命题，是真命题；改写：如果点P到A、B两点的距离之和等于线段的长，那么点P在线段上；条件：；结论：点P在线段上； (2)是命题，假命题 (3)是命题，真命题，改写：如果，那么；条件：；结论： (4)是命题，假命题 【分析】本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握命题及真假命题的定义是解题的关键； （1）根据命题及真假命题的定义可进行求解； （2）根据命题及真假命题的定义可进行求解； （3）根据命题及真假命题的定义可进行求解； （4）根据命题及真假命题的定义可进行求解． 【详解】（1）解：是命题，且是真命题， 改写成“如果…..那么….”的形式为如果点P到A、B两点的距离之和等于线段的长，那么点P在线段上； 条件是；结论是点P在线段上； （2）解：是命题； 当点P在直线外时，也可以满足点P到两点的距离之和大于线段的长，所以原命题是假命题； （3）解：是命题，且是真命题； 改写成“如果…..那么….”的形式为如果，那么； 条件：；结论：； （4）解：是命题， 因为当时，则有，所以原命题是假命题． 14．下列各语句哪些是命题，哪些不是命题？如果是命题，判断命题的真假并对假命题举反例说明． (1)如果a，b互为相反数，那么． (2)有理数一定是自然数． (3)延长线段． (4)明天一定下雨吗？ (5)． 【答案】(1)是真命题 (2)是假命题，见解析 (3)不是命题 (4)不是命题 (5)是假命题，见解析 【分析】本题考查了命题的定义，命题的真假，相反数，有理数，有理数的乘方，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据命题的定义进行判定，再结合相反数的性质得出原命题是真命题，即可作答． （2）根据命题的定义进行判定，再结合有理数与自然数的定义得出原命题是假命题，即可作答． （3）根据命题的定义进行判定，即可作答． （4）根据命题的定义进行判定，即可作答． （5）根据命题的定义进行分析，即“”是命题，且是假命题；再举反例：当时，分别算出等式左边为9，右边为5，左边右边，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，如果a，b互为相反数，那么是命题，且是真命题； （2）解：“有理数一定是自然数”是命题，且是假命题； 例如：是有理数，但不是自然数， ∴原命题是假命题， （3）解：“延长线段”不是命题； （4）解：“明天一定下雨吗？”不是命题； （5）解：“”是命题，且是假命题； 当时， 则 即等式左边为9，右边为5，左边右边， 因此原命题是假命题． 15．如下图，将三角形沿直线l向右平移得到三角形． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段平行、平移距离对应线段的长度是解题的关键． （1）利用平移的性质得到对应线段平行，结合已知角的度数，通过邻补角的关系计算的度数； （2）根据平移距离确定对应线段的长度，结合的长度，通过线段和计算的长． 【详解】（1）解：由平移的性质知，， ∴， ∴． （2）解：由平移的性质知，． ∵， ∴． 16．如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点，若，，，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，关键是面积的转换； 由平移可把阴影部分的面积转换成四边形的面积即可． 【详解】四边形沿方向平移得到四边形， ∴，，，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $