第二单元 长方体（一）（知识清单）数学北师大版五年级下册

第二单元 长方体（一） 单元知识清单讲义 温馨提示：图片放大更清晰。 知识点01：长方体的认识 1、 长方体的特征： 长方体有8个顶点，6个面，每个面都是长方形（特殊情况下有2个相对的面是正方形），相对的面面积相等；有12条棱，可以分为3组，分别交长、宽、高，相对的棱长度相等。 2、 正方体的特征： 正方体有8个顶点，6个面，每个面都相同，都是正方形；有12条棱，每条棱的长度都相等。 3、 长方体和正方体的联系： 正方体可以看成是长、宽和高都相等的特殊长方体。 知识点02：展开与折叠 1、 正方体的展开图： 正方体的展开图是由6个完全相同的正方形组成的组合图形，有11种，相对的面完全隔开。 2、 长方体的展开图： 长方体的展开图可以按上下，前后、左右对应的面进行组合，折叠成原来的形状。 知识点03：长方体的表面积 1、 表面积和定义： 长方体和正方体6个面的面积之和就是它们的表面积 2、 长方体的表面积公式： 长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=（长×宽+长×高+×宽×高）×2。 3、 正方体的表面积公式： 正方体的表面积：棱长×棱长×6。 知识点04：露在外面的面 1、 堆放在墙角的正方体搭成的组合体： 计算堆放在墙角的正方体搭成的组合体露在外面的面积时，要先数出露在外面的面的总个数，再用一个面的面积乘面的总个数。 2、 堆放在一起的正方体搭成的组合体： 数堆放在一起的正方体搭成的组合体露在外面的面的个数时，要先观察正方体的摆放特点，再从中找出露在外面的面的个数与正方体的个数之间存在的规律。 题型1：长方体的认识 【例1】把下面长方体各个面的面积填在表中。（单位：cm） 上面 下面 前面 后面 左面 右面 面积/cm2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 【答案】 32 32 40 40 20 20 【分析】根据对长方体的认识可知，长方体的前面与后面的面积相等，左面与右面的面积相等，上面和下面的面积相等；由图形中的数据可知，长方体的前面是长为8cm、宽为5cm的长方形，结合长方形面积公式可得到前面和后面的面积；接下来确定该长方体左面、上面的长方形的长和宽，结合长方形面积公式即可完成解答。 【详解】上面的面积＝下面的面积＝8×4＝32（cm2） 前面的面积＝后面的面积＝8×5＝40（cm2） 左面的面积＝右面的面积＝5×4＝20（cm2） 填表如下： 上面 下面 前面 后面 左面 右面 面积/cm2 32 32 40 40 20 20 【点睛】本题侧重考查学生对长方体的特征以及长方体的表面积这些知识点的理解能力。 【例2】下图是一个长方体储物盒的框架，制作一个这样的框架至少需要多少厘米长的铁丝？（单位：cm） 【答案】280厘米 【分析】（长＋宽＋高）×4即可求出至少需要多少厘米长的铁丝。 【详解】（30＋20＋20）×4 ＝70×4 ＝280（厘米） 答：制作一个这样的框架至少需要280厘米长的铁丝。 【点睛】考查了长方体棱长总和的实际应用，学生应掌握计算方法。 题型2：展开与折叠 【例3】下面的图形分别是上面哪个盒子的展开图？连一连。 【答案】见详解 【分析】根据展开图可知，第一个展开图是正方体的展开图，第二个展开图是长方体的展开图，第三个图形是圆柱的展开图，第四个图形是三棱柱的展开图，据此连线。 【详解】连线如下： 【点睛】此题考查了展开图的认识，培养了学生的观察能力和空间想象能力。 【例4】按下面虚线能折成长方体吗？如果能，它的长、宽、高各是多少？（单位：厘米） 【答案】能；长4厘米；宽2.5厘米；高2厘米 【分析】图中的6个面都是长方形，相对的面相同，符合长方体的特征，可以折成长方体。 从展开图中可知，长方体的长是4厘米，长方体的宽是2.5厘米，展开图中的6.5厘米包含2个高和一个宽，由此求出长方体的高。 【详解】长方体的高： （6.5－2.5）÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 答：按图中的虚线能折成长方体，它的长是4厘米，宽是2.5厘米，高是2厘米。 【例5】大头儿子喜欢吃糖，小头爸爸怕他糖吃多了对牙齿不好，所以想办法限制他。这天大头儿子又向小头爸爸要糖吃，小头爸爸说：“我用下面左边的纸板做成正方体，给你一次机会，如果你能猜出下面右面两幅图盖住的是几，就能得到几块糖。”大头儿子最多能吃到几块糖？ 【答案】4块 【分析】据正方体展开图的11种特征，分为四种类型：“1－4－1”型、“2－3－1”型、“2－2－2”型、“3－3”型，针对图片进行分析即可。 【详解】由分析可得： 下面左边根据正方体展开图11种特征，此图属于正方体展开图的1－4－1型，即中间4个一连串，两边各一随便放。并且根据正方体展开图的相对面辨别方法：相对的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面。 3在前面，2在右面，所以盖住的是1，6在前面，5在右面，盖住的是3，所以： 1＋3＝4（块） 答：大头儿子最多能吃到4块糖。 题型3：长方体的表面积 【例6】做一个长54厘米、宽50厘米、高95厘米的洗衣机包装箱，至少需要多大面积的硬纸板？ 【答案】25160平方厘米 【分析】根据，代入数据计算即可。 【详解】 （平方厘米） 答：至少需要25160平方厘米的硬纸板。 【例7】如图，包装一个长方体纸盒，选择下面哪种尺寸的包装纸比较合适？与同伴交流你的想法。（单位：） 【答案】见详解 【分析】根据，代入数据计算长方体的表面积，再根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算两种包装纸的面积，结合实际情况，包装纸的面积应该大于长方体的表面积，因为会浪费一些面积，据此解答。长方体的表面积展开图如下： （展开图不唯一） 【详解】 （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 答：包装纸①的面积虽然等于长方体纸盒的表面积，但是包装时会有接头且包装纸①的宽度无法包住长方体纸盒的前面和后面，所以应该选包装纸②。 【例8】淘气的房间长3.5米，宽3米，高3米，除去门窗4.5平方米，房间的墙壁和房顶都贴上墙纸，这个房间至少需要多大面积的墙纸？ 【答案】45平方米 【分析】根据题意可知，贴壁纸的面积＝房间四周的面积＋房顶的面积－门窗的面积，据此列式解答。 【详解】3.5×3＋3.5×3×2＋3×3×2－4.5 ＝10.5＋21＋18－4.5 ＝49.5－4.5 ＝45（平方米） 答：这个房间至少需要45平方米墙纸。 【点睛】此题考查的是长方体的表面积，解题的关键是知道什么地方不用贴墙纸。 题型4：露在外面的面 【例9】3个棱长为100厘米的正方体纸箱放在墙角（如图）。 （1）有几个面露在外面？ （2）露在外面的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）7个 （2）70000平方厘米 【分析】（1）观察图形可知，从正面看到3个面，从上面看到1个面，从右面看到3个面，则露在外面的面一共有（3＋1＋3）个。 （2）根据正方体的特征可知，每个面是边长为100厘米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘露在外面的面的个数，即可求出露在外面的面积。 【详解】（1）3＋1＋3＝7（个） 答：有7个面露在外面。 （2）100×100×7＝70000（平方厘米） 答：露在外面的面积是70000平方厘米。 【例10】有5个棱长为40厘米的正方体放在墙角处。 （1）有几个面露在外面？露在外面的面积多少平方厘米？ （2）改变摆法，露在外面的面积会发生变化吗？为什么？与同伴交流。 【答案】（1）10个；16000平方厘米 （2）会；理由见详解 【分析】（1）观察图形可知，从正面看到3个面，从上面看到4个面，从右面看到3个面，则露在外面的面一共有（3＋4＋3）个； 根据正方体的特征可知，每个面是边长为40厘米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘露在外面的面的个数，即可求出露在外面的面积。 （2）改变摆法，露在外面的面的个数发生变化，则露在外面的面积也会发生变化。可举例说明。 【详解】（1）3＋4＋3＝10（个） 40×40×10＝16000（平方厘米） 答：有10个面露在外面，露在外面的面积16000平方厘米。 （2）如图： （摆法不唯一） 露在外面的面有：4＋4＋3＝11（个） 露在外面的面积：40×40×11＝17600（平方厘米） 答：改变摆法，露在外面的面积会发生变化。因为改变摆法，露在外面的面的个数不同，则露在外面的面积也会发生变化。 一、填空题 1．用27块小正方体搭成一个大正方体（如图），把这个大正方体的表面涂上颜色，三面涂色的小正方体有( )块。 【答案】8 【分析】从图中可知：三面涂色的小正方体只能是顶点位置的小正方体即8块；据此解答。 【详解】三面涂色的小正方体有8块。 2．王叔叔靠墙角做了一个长1.4m、宽0.7m、高1.2m的木柜，如图所示：做这个木柜要用( )m2的木板。（靠墙面和底面不用木板） 【答案】3.5 【分析】由题意可知：这个长方体木柜有2个侧面靠墙面，1个底面不用木板，就是求这个长方体上、前、右三个面的面积，据此解答即可。 【详解】1.4×0.7＋1.4×1.2＋0.7×1.2 ＝0.98＋1.68＋0.84 ＝3.5（m2） 所以，做这个木柜要用3.5 m2的木板。 3．做一个底面周长是28cm，高是8cm的长方体铁丝框架，至少需要( )cm的铁丝。如果一圈四周贴上彩纸，至少需要( )cm2彩纸。 【答案】 88 224 【分析】长方体的棱长总和＝长×4＋宽×4＋高×4，根据题意知：2条长2条宽的和是28cm，28再乘2就是4条长、4条宽的和，再加4条高的和，就是长方体铁丝框架的棱长总和。 再根据无底无盖长方体的表面积公式：S＝（ah＋bh）×2，也就是长方体的侧面积＝底面周长×高，把数据代入公式解答。 【详解】28×2＋8×4 ＝56＋32 ＝88（cm） 28×8＝224（cm2） 至少需要88cm的铁丝，224cm2彩纸。 【点睛】此题主要考查长方体的棱长总和公式、长方体的侧面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 4．把4个棱长是4分米的正方体木块拼成一个表面积最小的长方体，这个长方体的表面积是 平方分米。 【答案】256 【分析】将4个正方体排成2排，且每排两个时，拼成的长方体的表面积最小，这个长方体的长宽高分别是8分米、8分米、4分米，从而分别代入长方体的表面积公式即可求出其表面积。 【详解】长方体的表面积：（8×4＋4×8＋8×8）×2 ＝（32＋32＋64）×2 ＝128×2 ＝256（平方分米） 拼成的长方体的表面积是256平方分米。 【点睛】解答此题的关键是明白：将4个正方体排成2排，且每排两个时，拼成的长方体的表面积最小。 5．如图，爸爸已经做好了一个正方体木框架的3条棱，继续做下去，至少还需要( )dm的木条。如果给做好的木框架的5个面糊彩纸，至少需要( )dm2的彩纸。 【答案】 18 20 【分析】木条总长度相当于正方体棱长总和，根据正方体棱长总和＝棱长×12，求出木条总长度，木条总长度－做好的3条棱的长度和＝还需要的木条长度；需要的彩纸面积＝棱长×棱长×5，据此列式计算。 【详解】2×12－2×3 ＝24－6 ＝18（dm） 2×2×5＝20（dm2） 至少还需要18dm的木条。至少需要20dm2的彩纸。 6．文房四宝，是指中国独有的书法绘画工具（书画用具），即笔、墨、纸、砚。除此之外，用来压纸的镇尺被称为“文房第五宝”。小明酷爱书法，他买了一把长方体的木制镇尺。这把镇尺的两组相对面如下图所示，那么，这把镇尺的另一组相对面是长( )cm，宽( )cm的长方形。 【答案】 3 2 【分析】根据题意得：一组相对面是长和宽组成的面，另一组相对面是长和高组成的面，则要求的另一组像对面是宽和高组成的面，长为30cm，宽为3cm，高为2cm。据此可得出答案。 【详解】根据题意可得：这个长方体长为30cm，宽为3cm，高为2cm。另一组相对面是长3cm，宽2cm的长方形。 7．下图是用绸带捆扎的长方体礼品盒，打结用去15cm，共用绸带( )cm。 【答案】125 【分析】从图中可知：所用绸带的长度=长×2＋宽×2＋高×4＋打结长度，代入数据计算即可。 【详解】20×2＋15×2＋10×4＋15 =40＋30＋40＋15 =125（cm） 共用绸带125cm。 8．王老师坐飞机从重庆——成都出差，在机场遇到如下规定：自带行李总重量不超过5公斤，行李箱体积不超过20×40×55厘米，若超出航空公司规定的重量或尺寸，需要办理托运并支付额外的行李费用。 王老师的行李箱长37cm，宽24cm，高60cm，行李总重量4.5kg，需要办理托运吗？( )。（选填“需要”或“不需要”） 【答案】需要 【分析】由于随身登机行李箱的总重量不超过5公斤，行李箱体积不超过20×40×55厘米，王老师的行李箱长37cm，宽24cm，高60cm，行李总重量4.5kg，因为60＞55，37＜40，24＞20，所以王老师的行李需要办理托运。 【详解】根据分析可知，王老师的行李需要办理托运。 【点睛】本题考查长方体，解答本题的关键是掌握长方体的特征。 9．挂灯笼是中秋节传统习俗之一，是吉瑞祥和的象征。学校开展了“巧手制灯笼，欢喜迎中秋”活动，东东用一根铁丝制作一个棱长为6cm的正方体灯笼框架（铁丝没有剩余），如果想改成长6cm，宽是5cm的长方体，则高是( )cm。 【答案】7 【分析】铁丝长度相当于正方体棱长总和，根据正方体棱长总和＝棱长×12，求出铁丝长度，再根据长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，列式计算即可。 【详解】6×12＝72（cm） 72÷4－6－5 ＝18－6－5 ＝7（cm） 高是7cm。 10．用铁丝围一个长方体框架，使相交于同一个顶点的三条棱的长度分别是5cm、6cm、9cm，则至少需要长( )cm的铁丝。 【答案】80 【分析】题目中的相交于同一个顶点的三条棱的长度就是长方体的长、宽、高，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算即可。 【详解】 （cm） 用铁丝围一个长方体框架，使相交于同一个顶点的三条棱的长度分别是5cm、6cm、9cm，则至少需要长80cm的铁丝。 二、判断题 11．一个正方体的所有棱长之和是120cm，它的表面积是600cm2。( ) 【答案】√ 【分析】正方体共有12条棱，每条棱都相等，据此求出正方体的棱长；再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6求出表面积，进而判断对错。 【详解】120÷12＝10（cm） 10×10×6＝600（cm2） 故答案为：√。 【点睛】解答此题的关键是依据正方体的特征，求出正方体每条棱的长度，进而求出表面积。 12．正方体可以看成是长、宽、高都相等的特殊的长方体。( ) 【答案】√ 【分析】由6个长方形（也可能两个相对的面是正方形）所围成的立体图形叫做长方体。 由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫立方体，是特殊的长方体。 【详解】正方体可以看成是长、宽、高都相等的特殊的长方体。 原题说法正确。 故答案为：√ 13．棱长是1分米的正方体，它的表面积是6立方分米。( ) 【答案】× 【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式求出它的表面积。 【详解】1×1×6＝6（平方分米） 它的表面积是6平方分米，不是6立方分米。 故答案为：× 14．正方体的棱长3厘米，表面积是27平方米。( ) 【答案】× 【分析】已知正方体的棱长3厘米，根据正方体的表面积计算公式S＝6a2，将数值代入计算即可判断。 【详解】正方体的棱长3厘米，它的表面积： （平方厘米） 所以：这个正方体的表面积是27平方米，此结论是错误的。 故答案为：× 【点睛】此题重点考查正方体表面积的计算方法。 15．把一个长方体橡皮泥捏成一个正方体，表面积变大。( ) 【答案】× 【分析】根据表面积、体积的意义，物体表面的总面积叫做物体的表面积，物体所占空间的大小叫做物体的体积。由此可知，把一块长方体橡皮泥捏成正方体，体积不变，表面积变小。据此判断。 【详解】根据表面积的意义，把一块长方体橡皮泥捏成正方体，表面积发生了变化，表面积变小。例如假设这块橡皮泥的体积是8， 8＝1×2×4＝2×2×2 这个长方体长为4，宽为2，高为1，正方体的棱长为2， （4×2＋4×1＋2×1）×2 ＝（8＋4＋2）×2 ＝14×2 ＝28 2×2×6 ＝4×6 ＝24 28＞24 所以原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】此题考查的目的是理解掌握表面积、体积的意义及应用，关键是明确：不论把一个什么形体的橡皮泥捏成另外一个形体，变化的只是表面积，而体积大小不变。 16．两个体积相等的长方体，它们的长、宽、高一定是相等的。 ( ) 【答案】× 【分析】长方体的体积和它的长、宽、高三个量有关，据此解答。 【详解】如一个30立方厘米的长方体，它的长是5厘米，宽是3厘米，高是2厘米；另一个30立方厘米的长方体，它的长是10厘米，宽是2厘米，高是1.5厘米；这两个长方体的体积相等，但是它们的长、宽、高不相等。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查了学生根据长方体的体积计算公式解答问题的能力。 17．用可以做成一个，数字“1”所在面相对面上的数字是“6”。( ) 【答案】√ 【分析】 是正方体展开图的“1－4－1”型，中间的4个小正方形中，相对的两个小正方形中间隔着一个小正方形是正方体的两个对面，而上、下相对的2个小正方形是相对的面。 【详解】通过分析可得：数字“1”所在面相对面上的数字是“6”。原题说法正确。 故答案为：√ 18．把4个小正方体摆放在一起，露在外面的面有12个。( ) 【答案】× 【分析】把4个小正方体摆放在一起，摆放的方法有多种。如果4个摆成一排，从上面看有4个面，从前、后看有8个面，左、右各看到1个面，则露在外面的面是4＋8＋2＝14（个）；如果再用不同的摆法，露在外面的面的数量也是不同的。 【详解】通过分析可知，不同的摆法，露在外面的面的数量也不同。原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查了立体图形的切拼。小正方体摆成的图形不同，露在外面的面数量也不同。 19．一个长方体的无盖水桶，长4分米，宽3分米，高5分米，做这个水桶至少需要94平方分米的铁皮。( ) 【答案】× 【分析】由于是无盖的，即这个长方体的表面积是求5个面的面积和，根据无盖长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出这个无盖水桶的表面积，即做这个水桶需要的铁皮面积，即可解答。 【详解】4×3＋（4×5＋3×5）×2 ＝12＋（20＋15）×2 ＝12＋35×2 ＝12＋70 ＝82（平方分米） 一个长方体的无盖水桶，长4分米，宽3分米，高5分米，做这个水桶至少需要82平方分米的铁皮。 原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】熟练掌握长方体表面积公式是解答本题的关键。 20．一个长方体棱长总和是36cm，相交于一个顶点的三条棱长之和是9cm。( ) 【答案】√ 【分析】根据长方体的特征可知，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 已知一个长方体棱长总和是36cm，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，可知长方体的长、宽、高之和＝棱长总和÷4，代入数据计算，即可求出相交于一个顶点的三条棱长之和。 【详解】36÷4＝9（cm） 一个长方体棱长总和是36cm，相交于一个顶点的三条棱长之和是9cm。 原题说法正确。 故答案为：√ 三、选择题 21．李叔叔喜欢养鱼。他要做一个无盖的长方体玻璃鱼缸，求至少要用多少平方米的玻璃，这是求这个长方体鱼缸的（    ）。 A．体积 B．表面积 C．容积 D．侧面积 【答案】B 【分析】物体表面面积的总和，叫做物体的表面积，求玻璃的面积就是求无盖的长方体玻璃鱼缸5个面的面积和，即求这个长方体鱼缸的表面积。 【详解】根据分析，求至少要用多少平方米的玻璃，这是求这个长方体鱼缸的表面积。 故答案为：B 22．用沙布做一个棱长是8厘米的正方体沙包如下图，如果在接缝处都缝上花边，则花边的总长度是（    ）厘米。 A．96 B．64 C．192 【答案】A 【分析】接缝相当于正方体棱长，根据正方体棱长总和＝棱长×12，列式计算即可。 【详解】8×12＝96（厘米） 花边的总长度是96厘米。 故答案为：A 23．小明给妈妈买生日礼物，他用一个长方体纸盒装礼物，并用彩绳“十字”包扎（如图）。（    ）种包扎方法用子最短（打结处子长度不变）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】分别计算出彩绳长度，比较即可，因为打结处子长度不变，只计算去掉打结处彩绳长度即可。 A．去掉打结处彩绳长度＝长×2＋宽×2＋高×4； B．去掉打结处彩绳长度＝长×4＋宽×2＋高×2； C．去掉打结处彩绳长度＝长×2＋宽×4＋高×2。 【详解】A．30×2＋20×2＋8×4 ＝60＋40＋32 ＝132（厘米） B．30×4＋20×2＋8×2 ＝120＋40＋16 ＝176（厘米） C．30×2＋20×4＋8×2 ＝60＋80＋16 ＝156（厘米） 132＜156＜176 故答案为：A 24．在长方体的认识活动中，王老师为每个小组准备了3种不同长度的小棒作为长方体的棱搭长方体，其中6厘米的小棒3根，8厘米的小棒5根，4厘米的小棒10根。从这些小棒中选12根搭成一个完整的长方体，这个长方体的长、宽、高分别是（    ）。 A．6厘米，8厘米，4厘米 B．6厘米，8厘米，8厘米 C．8厘米，8厘米，4厘米 D．8厘米，4厘米，4厘米 【答案】D 【分析】根据长方体的特征：长方体有12条棱，12条棱可以分3组，4条长，4条宽，4条高，长、宽、高分别相等。因为6厘米的小棒不足4根，所以选择4根8厘米的小棒，4根4厘米的小棒，4根4厘米的小棒分别作长方体的长、宽、高。 【详解】根据分析可知，6厘米的小棒不能选，所以这个长方体的长、宽、高分别是8厘米，4厘米，4厘米。 故答案为：D 25．在一个棱长是10cm的正方体的一角，切去一个小长方体（如下图），它的表面积和原正方体的表面积相比，（    ）。 A．增加了 B．减少了 C．不变 D．无法判断 【答案】C 【分析】原来大正方体的表面积需要计算小长方体上面、正面、右面的面积，挖掉小长方体后剩下物体的表面积需要计算小长方体下面、后面、左面的面积，其余部分面积不变，小长方体相对的面完全相同，则表面积不变；据此选择。 【详解】由分析可得：在一个棱长是10cm的正方体的一角，切去一个小长方体（如下图），它的表面积和原正方体的表面积相比，不变。 故答案为：C 26．笑笑要用学具棒搭一个长方体框架，搭了其中的三根就能决定这个长方体框架的形状和大小的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】长方体一个顶点处连接的三条棱就是长方体的长宽高，所以一个顶点处连接的三条棱就能决定这个长方体框架的形状和大小，据此解答即可。 【详解】根据分析可得，就能决定这个长方体框架的形状和大小。 故答案为：B 27．爸爸想把4个完全一样的长方体盒子包成一包，长方体的长是10厘米，宽是6厘米，高是1厘米，下面（    ）种包装最省包装纸。 A． B． C． 【答案】A 【分析】要想最省包装纸，就是求这四个长方体拼成大长方体后的表面积最小，即求出哪种包装方式下，拼成的大长方体的表面积与原来四个长方体的表面积之和相比，减少的面的面积最大，就最省包装纸。 【详解】A．减少的表面积： 10×6×6＝360（平方厘米） B．减少的表面积： 10×1×4＋6×1×4 ＝40＋24 ＝64（平方厘米） C．减少的表面积： 10×6×4＋6×1×4 ＝240＋24 ＝264（平方厘米） 360＞264＞64 综上所述，这种包装最省包装纸。 故答案为：A 28．把5个棱长为4cm的小正方体堆放在墙角处（如图），露在外面的面积是（    ）cm2。 A．40 B．44 C．160 D．176 【答案】C 【分析】露在外面的面在前面、上面和右面，从前面看有3个小正方形，从上面看有3个小正方形，从右面看有4个小正方形，用小正方体棱长×棱长，求出一个面的面积，再乘露在外面小正方形的个数即可。 【详解】4×4×（3＋3＋4） ＝16×10 ＝160（cm2） 露在外面的面积是160cm2。 故答案为：C 29．小明将“仁、义、礼、智、信、孝”这六个字写在一个正方体的六个面上，下图是这个正方体的平面展开图，在原正方体中和“义”相对的字是（    ）。 A．礼 B．智 C．孝 D．仁 【答案】C 【分析】对于正方体的平面展开图，要确定相对的面，可以通过分析展开图的折叠方式来判断在这种2－3－1型的展开图中，“相间、Z端是对面”。 【详解】观察这个展开图，“义”字和“孝”字在展开图中处于“Z”字形的两端。根据正方体展开图相对面的判断规则，所以在原正方体中和“义”相对的字是“孝”。 故答案为：C 30．一个底面周长为24cm的长方体，高是5cm，它的棱长总和是（    ）cm。 A．44 B．68 C．116 D．120 【答案】B 【分析】根据长方体的特征，一个长方体底面周长是24cm，那么它的另外一个底面的周长同样也是24cm，用高乘4加上两个底面的周长之和，就是它的棱长总和。 【详解】由分析可得： 5×4＋24＋24 ＝20＋24＋24 ＝44＋24 ＝68（cm） 故答案为：B。 【点睛】本题考查了对长方体的特征掌握以及棱长和的计算方法，需要能够结合题目灵活运用。 四、计算题 31．计算下图的表面积。（单位：厘米） 【答案】184平方厘米 【分析】由长方体的展开图可知：这个长方体的长是14－2×2＝10（厘米），宽是6厘米，高是2厘米，将数值代入长方体的表面积公式即可求得这个长方体的表面积。据此解答。 【详解】14－2×2＝10（厘米） （10×2＋10×6＋2×6）×2 ＝（20＋60＋12）×2 ＝92×2 ＝184（平方厘米） 【点睛】从长方体的展开图中推算出长方体的长、宽、高是多少是解答本题的关键。 32．求下面各图形的表面积。（单位：cm） 【答案】147 cm2；1350 cm2 【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的表面积＝棱长×棱长×6即可求解。 【详解】 ＝（24＋36＋13.5）×2 ＝（60＋13.5）×2 ＝73.5×2 ＝147（cm2） ＝225×6 ＝1350（cm2） 五、解答题 33．一种无盖水箱，长6分米，宽4分米，高2分米，做这个水箱至少需要多少平方分米的铁皮？（铁皮的厚度忽略不计） 【答案】64平方分米 【分析】求做这个水箱需要铁皮的面积，就是求这个无盖长方体水箱的表面积，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】6×4＋（6×2＋4×2）×2 ＝24＋（12＋8）×2 ＝24＋20×2 ＝24＋40 ＝64（平方分米） 答：做这个水箱至少需要64平方分米的铁皮。 34．王师傅用3.6米的铁条焊接成一个正方体框架，要在正方体框架的外面贴满一层包装纸，至少需要包装纸多少平方米？ 【答案】0.54平方米 【分析】铁条长度相当于正方体棱长总和，包装纸的面积相当于正方体表面积，正方体棱长＝棱长总和÷12，据此求出正方体棱长，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，列式解答即可。 【详解】3.6÷12＝0.3（米） 0.3×0.3×6＝0.54（平方米） 答：至少需要包装纸0.54平方米。 35．工人师傅要粉刷一间长、宽、高分别是12米、8米和3.5米的库房的屋顶和四面墙壁，除去门窗的面积36平方米。粉刷一平方米需要人工工资11.5元。粉刷完这个库房需要付人工工资多少元？ 【答案】2300元 【分析】根据题意，粉刷库房的屋顶和四面墙壁，即粉刷的是长方体的上面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，再减去门窗的面积，就是需粉刷的总面积；最后用粉刷一平方米的人工费乘粉刷的总面积即可。 【详解】12×8＋12×3.5×2＋8×3.5×2 ＝96＋84＋56 ＝236（平方米） 236－36＝200（平方米） 11.5×200＝2300（元） 答：粉刷完这个库房需要付人工工资2300元。 36．王亮爱好航模，他为航模飞机制作了展示盒（如图）。除了底面，其它各面都用了亚克力材料。制作这个展示盒，至少需要多少平方分米的亚克力板（亚克力板的厚度忽略不计）？（单位：分米） 【答案】35平方分米 【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出这个长方体的表面积，根据长方形的面积＝长×宽，求出长方体的底面积，再用这个长方体的表面积减去一个底面积，即可求出至少需要多少平方分米的亚克力板，据此解答。 【详解】（2×4.5＋2×2＋4.5×2）×2 ＝（9＋4＋9）×2 ＝22×2 ＝44（平方分米） 44－2×4.5 ＝44－9 ＝35（平方分米） 答：至少需要35平方分米的亚克力板。 37．为积极推动治理塑料污染，国家倡导商场、超市等场所推广使用环保布袋、纸袋等可降解、可循环、易回收的环保购物袋。某商场要制作一种如下图所示的纸袋（单位：cm），制作一个这种纸袋至少需要多少平方厘米的纸？（重叠部分约需要400cm2的纸） 【答案】4080平方厘米 【分析】纸袋的面积是长方体5个面的面积加重叠部分面积，纸袋面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2＋重叠部分面积，据此代入数据计算即可。 【详解】纸袋的面积： （平方厘米） 答：制作一个这种纸袋至少需要4080平方厘米的纸。 38．收纳是一个重要的生活习惯，学会收纳能让我们的生活井井有条。妈妈把杂志分类整理打包放进储物间，如图是她捆好后的样子，打结时两端各留10厘米长的绳子，妈妈一共用掉了多少米绳子？ 【答案】1.62米 【分析】在计算捆一圈的长度时，需要考虑到杂志的长、宽、高，分别计算出两个长、两个宽和四个高的长度，再相加得到总长度。然后，再加上打结时两端预留的绳子长度，即可得到妈妈一共用掉的绳子长度。最后，将长度单位从厘米转换为米。 【详解】2×26＋2×21＋4×12 ＝52＋42＋48 ＝142（厘米） 142＋10×2 ＝142＋20 ＝162（厘米） 162厘米＝1.62米 答：妈妈一共用掉了1.62米绳子。 39．某小区新建一个长20米、宽12米、深2米的游泳池。 （1）该游泳池占地面积是多少平方米？ （2）在游泳池底面和内壁贴上瓷砖，至少需要瓷砖多少平方米？ 【答案】（1）240平方米 （2）368平方米 【分析】（1）求游泳池的占地面积就是求长方体的底面积，利用“长方形的面积＝长×宽”求出教室的占地面积； （2）求需要瓷砖的面积，就是求这个游泳池5个面的面积和，即游泳池的表面积，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】（1）20×12＝240（平方米） 答：游泳池占地面积是240平方米。 （2）20×12＋（20×2＋12×2）×2 ＝240＋（40＋24）×2 ＝240＋64×2 ＝240＋128 ＝368（平方米） 答：至少需要瓷砖368平方米。 40．城内完小开展第二课堂活动。在手工课上，学生每人准备了一张边长是20厘米的正方形卡纸，用它来制作一个底面是正方形的无盖的长方体盒子。 （1）请你设计一种简单的裁剪方法，并且尽量充分利用这张卡纸，将裁剪方法画在上图中（长方体的棱长均为整厘米数）。 （2）在这个盒子四周都贴上彩纸，至少需要多少平方厘米的彩纸？ 【答案】（1）见详解 （2）72平方厘米 【分析】（1）从“底面是正方形，无盖的长方体盒子”可知：有5个面，底面是正方形，其余是前后左右面，4个面是完全一样的。只要在这张卡纸的4个角各剪去一个相同的小正方形，小正方形的边长就是长方体盒子的高。据此解答。 （2）求出长方体的长、宽、高的数值，再求出的前后左右面4个面的面积之和即可。 【详解】（1）按要求画图如下： （裁剪方法不唯一） （2）这个长方体的长＝宽： 20－1×2 ＝20－2 ＝18（厘米）   高：1厘米    18×1×4＝72（平方厘米） 答：在这个盒子四周都贴上彩纸，至少需要72平方厘米的彩纸。 41．有一间长方体仓库长10米、宽5米、高3米。除去门窗面积12平方米，现在要给这个仓库的墙壁和屋顶粉刷涂料。 （1）需要粉刷涂料部分的面积是多少平方米？ （2）如果每平方米需要0.5千克的涂料，那么至少需要购买多少千克涂料？ 【答案】（1）128平方米 （2）64千克 【分析】（1）求需要粉刷涂料部分的面积就是求长方体的表面积。根据题意，需要粉刷涂料部分的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2－门窗面积，据此代入数据计算。 （2）根据乘法的意义，用每平方米需要涂料的质量乘粉刷涂料部分的面积即可解答。 【详解】（1）10×5＋（10×3＋5×3）×2－12 ＝50＋45×2－12 ＝50＋90－12 ＝128（平方米） 答：需要粉刷涂料部分的面积是128平方米。 （2）0.5×128＝64（千克） 答：至少需要购买64千克涂料。 【点睛】本题主要考查长方体表面积的应用。根据实际情况，灵活运用长方体的表面积公式是解题的关键。 42．熊妈妈在魔方的六个面上各贴了一个数字，分别是1，2，3，4，5，6。第一次熊宝宝看到了，第二次熊宝宝又看到了。数字1，2，3对面分别是多少？ 【答案】见详解 【分析】从两次的图形中可以得知：3是和1、2、4、6相邻，所以3的对面就是5；由第二次看到的图形可以得知2与1、3、5、6相邻，据此可推出2的对面是4，进而推出1的对面是6。据此解答。 【详解】根据分析可得，以3为中心的展开图如下： 答：数字1的对面是数字6；数字2的对面是数字4；数字3的对面是数字5。 【点睛】本题的关键是明确数字6是靠着数字2的。 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 长方体（一） 单元知识清单讲义 温馨提示：图片放大更清晰。 知识点01：长方体的认识 1、 长方体的特征： 长方体有8个顶点，6个面，每个面都是长方形（特殊情况下有2个相对的面是正方形），相对的面面积相等；有12条棱，可以分为3组，分别交长、宽、高，相对的棱长度相等。 2、 正方体的特征： 正方体有8个顶点，6个面，每个面都相同，都是正方形；有12条棱，每条棱的长度都相等。 3、 长方体和正方体的联系： 正方体可以看成是长、宽和高都相等的特殊长方体。 知识点02：展开与折叠 1、 正方体的展开图： 正方体的展开图是由6个完全相同的正方形组成的组合图形，有11种，相对的面完全隔开。 2、 长方体的展开图： 长方体的展开图可以按上下，前后、左右对应的面进行组合，折叠成原来的形状。 知识点03：长方体的表面积 1、 表面积和定义： 长方体和正方体6个面的面积之和就是它们的表面积 2、 长方体的表面积公式： 长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=（长×宽+长×高+×宽×高）×2。 3、 正方体的表面积公式： 正方体的表面积：棱长×棱长×6。 知识点04：露在外面的面 1、 堆放在墙角的正方体搭成的组合体： 计算堆放在墙角的正方体搭成的组合体露在外面的面积时，要先数出露在外面的面的总个数，再用一个面的面积乘面的总个数。 2、 堆放在一起的正方体搭成的组合体： 数堆放在一起的正方体搭成的组合体露在外面的面的个数时，要先观察正方体的摆放特点，再从中找出露在外面的面的个数与正方体的个数之间存在的规律。 题型1：长方体的认识 【例1】把下面长方体各个面的面积填在表中。（单位：cm） 上面 下面 前面 后面 左面 右面 面积/cm2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 【例2】下图是一个长方体储物盒的框架，制作一个这样的框架至少需要多少厘米长的铁丝？（单位：cm） 题型2：展开与折叠 【例3】下面的图形分别是上面哪个盒子的展开图？连一连。 【例4】按下面虚线能折成长方体吗？如果能，它的长、宽、高各是多少？（单位：厘米） 【例5】大头儿子喜欢吃糖，小头爸爸怕他糖吃多了对牙齿不好，所以想办法限制他。这天大头儿子又向小头爸爸要糖吃，小头爸爸说：“我用下面左边的纸板做成正方体，给你一次机会，如果你能猜出下面右面两幅图盖住的是几，就能得到几块糖。”大头儿子最多能吃到几块糖？ 题型3：长方体的表面积 【例6】做一个长54厘米、宽50厘米、高95厘米的洗衣机包装箱，至少需要多大面积的硬纸板？ 【例7】如图，包装一个长方体纸盒，选择下面哪种尺寸的包装纸比较合适？与同伴交流你的想法。（单位：） 【例8】淘气的房间长3.5米，宽3米，高3米，除去门窗4.5平方米，房间的墙壁和房顶都贴上墙纸，这个房间至少需要多大面积的墙纸？ 题型4：露在外面的面 【例9】3个棱长为100厘米的正方体纸箱放在墙角（如图）。 （1）有几个面露在外面？ （2）露在外面的面积是多少平方厘米？ 【例10】有5个棱长为40厘米的正方体放在墙角处。 （1）有几个面露在外面？露在外面的面积多少平方厘米？ （2）改变摆法，露在外面的面积会发生变化吗？为什么？与同伴交流。 一、填空题 1．用27块小正方体搭成一个大正方体（如图），把这个大正方体的表面涂上颜色，三面涂色的小正方体有( )块。 2．王叔叔靠墙角做了一个长1.4m、宽0.7m、高1.2m的木柜，如图所示：做这个木柜要用( )m2的木板。（靠墙面和底面不用木板） 3．做一个底面周长是28cm，高是8cm的长方体铁丝框架，至少需要( )cm的铁丝。如果一圈四周贴上彩纸，至少需要( )cm2彩纸。 4．把4个棱长是4分米的正方体木块拼成一个表面积最小的长方体，这个长方体的表面积是 平方分米。 5．如图，爸爸已经做好了一个正方体木框架的3条棱，继续做下去，至少还需要( )dm的木条。如果给做好的木框架的5个面糊彩纸，至少需要( )dm2的彩纸。 6．文房四宝，是指中国独有的书法绘画工具（书画用具），即笔、墨、纸、砚。除此之外，用来压纸的镇尺被称为“文房第五宝”。小明酷爱书法，他买了一把长方体的木制镇尺。这把镇尺的两组相对面如下图所示，那么，这把镇尺的另一组相对面是长( )cm，宽( )cm的长方形。 7．下图是用绸带捆扎的长方体礼品盒，打结用去15cm，共用绸带( )cm。 8．王老师坐飞机从重庆——成都出差，在机场遇到如下规定：自带行李总重量不超过5公斤，行李箱体积不超过20×40×55厘米，若超出航空公司规定的重量或尺寸，需要办理托运并支付额外的行李费用。 王老师的行李箱长37cm，宽24cm，高60cm，行李总重量4.5kg，需要办理托运吗？( )。（选填“需要”或“不需要”） 9．挂灯笼是中秋节传统习俗之一，是吉瑞祥和的象征。学校开展了“巧手制灯笼，欢喜迎中秋”活动，东东用一根铁丝制作一个棱长为6cm的正方体灯笼框架（铁丝没有剩余），如果想改成长6cm，宽是5cm的长方体，则高是( )cm。 10．用铁丝围一个长方体框架，使相交于同一个顶点的三条棱的长度分别是5cm、6cm、9cm，则至少需要长( )cm的铁丝。 二、判断题 11．一个正方体的所有棱长之和是120cm，它的表面积是600cm2。( ) 12．正方体可以看成是长、宽、高都相等的特殊的长方体。( ) 13．棱长是1分米的正方体，它的表面积是6立方分米。( ) 14．正方体的棱长3厘米，表面积是27平方米。( ) 15．把一个长方体橡皮泥捏成一个正方体，表面积变大。( ) 16．两个体积相等的长方体，它们的长、宽、高一定是相等的。 ( ) 17．用可以做成一个，数字“1”所在面相对面上的数字是“6”。( ) 18．把4个小正方体摆放在一起，露在外面的面有12个。( ) 19．一个长方体的无盖水桶，长4分米，宽3分米，高5分米，做这个水桶至少需要94平方分米的铁皮。( ) 20．一个长方体棱长总和是36cm，相交于一个顶点的三条棱长之和是9cm。( ) 三、选择题 21．李叔叔喜欢养鱼。他要做一个无盖的长方体玻璃鱼缸，求至少要用多少平方米的玻璃，这是求这个长方体鱼缸的（    ）。 A．体积 B．表面积 C．容积 D．侧面积 22．用沙布做一个棱长是8厘米的正方体沙包如下图，如果在接缝处都缝上花边，则花边的总长度是（    ）厘米。 A．96 B．64 C．192 23．小明给妈妈买生日礼物，他用一个长方体纸盒装礼物，并用彩绳“十字”包扎（如图）。（    ）种包扎方法用子最短（打结处子长度不变）。 A．B． C． 24．在长方体的认识活动中，王老师为每个小组准备了3种不同长度的小棒作为长方体的棱搭长方体，其中6厘米的小棒3根，8厘米的小棒5根，4厘米的小棒10根。从这些小棒中选12根搭成一个完整的长方体，这个长方体的长、宽、高分别是（    ）。 A．6厘米，8厘米，4厘米 B．6厘米，8厘米，8厘米 C．8厘米，8厘米，4厘米 D．8厘米，4厘米，4厘米 25．在一个棱长是10cm的正方体的一角，切去一个小长方体（如下图），它的表面积和原正方体的表面积相比，（    ）。 A．增加了 B．减少了 C．不变 D．无法判断 26．笑笑要用学具棒搭一个长方体框架，搭了其中的三根就能决定这个长方体框架的形状和大小的是（    ）。 A． B． C． 27．爸爸想把4个完全一样的长方体盒子包成一包，长方体的长是10厘米，宽是6厘米，高是1厘米，下面（    ）种包装最省包装纸。 A． B． C． 28．把5个棱长为4cm的小正方体堆放在墙角处（如图），露在外面的面积是（    ）cm2。 A．40 B．44 C．160 D．176 29．小明将“仁、义、礼、智、信、孝”这六个字写在一个正方体的六个面上，下图是这个正方体的平面展开图，在原正方体中和“义”相对的字是（    ）。 A．礼 B．智 C．孝 D．仁 30．一个底面周长为24cm的长方体，高是5cm，它的棱长总和是（    ）cm。 A．44 B．68 C．116 D．120 四、计算题 31．计算下图的表面积。（单位：厘米） 32．求下面各图形的表面积。（单位：cm） 五、解答题 33．一种无盖水箱，长6分米，宽4分米，高2分米，做这个水箱至少需要多少平方分米的铁皮？（铁皮的厚度忽略不计） 34．王师傅用3.6米的铁条焊接成一个正方体框架，要在正方体框架的外面贴满一层包装纸，至少需要包装纸多少平方米？ 35．工人师傅要粉刷一间长、宽、高分别是12米、8米和3.5米的库房的屋顶和四面墙壁，除去门窗的面积36平方米。粉刷一平方米需要人工工资11.5元。粉刷完这个库房需要付人工工资多少元？ 36．王亮爱好航模，他为航模飞机制作了展示盒（如图）。除了底面，其它各面都用了亚克力材料。制作这个展示盒，至少需要多少平方分米的亚克力板（亚克力板的厚度忽略不计）？（单位：分米） 37．为积极推动治理塑料污染，国家倡导商场、超市等场所推广使用环保布袋、纸袋等可降解、可循环、易回收的环保购物袋。某商场要制作一种如下图所示的纸袋（单位：cm），制作一个这种纸袋至少需要多少平方厘米的纸？（重叠部分约需要400cm2的纸） 38．收纳是一个重要的生活习惯，学会收纳能让我们的生活井井有条。妈妈把杂志分类整理打包放进储物间，如图是她捆好后的样子，打结时两端各留10厘米长的绳子，妈妈一共用掉了多少米绳子？ 39．某小区新建一个长20米、宽12米、深2米的游泳池。 （1）该游泳池占地面积是多少平方米？ （2）在游泳池底面和内壁贴上瓷砖，至少需要瓷砖多少平方米？ 40．城内完小开展第二课堂活动。在手工课上，学生每人准备了一张边长是20厘米的正方形卡纸，用它来制作一个底面是正方形的无盖的长方体盒子。 （1）请你设计一种简单的裁剪方法，并且尽量充分利用这张卡纸，将裁剪方法画在上图中（长方体的棱长均为整厘米数）。 （2）在这个盒子四周都贴上彩纸，至少需要多少平方厘米的彩纸？ 41．有一间长方体仓库长10米、宽5米、高3米。除去门窗面积12平方米，现在要给这个仓库的墙壁和屋顶粉刷涂料。 （1）需要粉刷涂料部分的面积是多少平方米？ （2）如果每平方米需要0.5千克的涂料，那么至少需要购买多少千克涂料？ 42．熊妈妈在魔方的六个面上各贴了一个数字，分别是1，2，3，4，5，6。第一次熊宝宝看到了，第二次熊宝宝又看到了。数字1，2，3对面分别是多少？ 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $