精品解析：北京市中关村中学2025-2026学年七年级上学期期末考试数学试卷

北京市中关村中学2025-2026学年第一学期期末调研 初一数学 考试时间：90分钟满分100分 一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的只有一个． 1. 2的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 下面计算正确的（ ） A. B. C. D. 3. 我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. “珍爱地球，人与自然和谐共生”是今年世界地球日的主题，旨在倡导公众保护自然资源，全市现有自然湿地27900公顷，人工湿地30800公顷，这两类湿地共有（ ） A. 公顷 B. 公顷 C 公顷 D. 公顷 5. 如图，数轴上点对应的有理数，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列等式变形正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 一副三角板如下图摆放，能得到和互补的是（ ） A. B. C. D. 8. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多4尺，若将绳四折测之，绳多1尺，绳长井深各几何？” 译文：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等份，井外余绳1尺．问绳长、井深各多少尺？” 设井深为x尺，根据题意列方程，正确的是（　　） A. 3（x+4）=4（x+1） B. 3x+4=4x+1 C. 3（x﹣4）=4（x﹣1） D. 9. 计算机利用的是二进制数，它共有0，1两个数码．将一个十进制数转化为二进制数，只需将该数写为若干个之和，依次写出系数1或0即可，例如十进制数19可以写为二进制数10011，因为，所以19写成二进制数10011是五位数，则十进制数60写成二进制数是（ ） A. 六位数 B. 七位数 C. 八位数 D. 九位数 10. 已知点在数轴上，对应的数分别为，，，，（，且为整数）．若，且中有两个数的和与相等，则下列说法中正确的有（ ） ①原点可能与点重合；②原点可能是中点；③原点不可能在点左侧；④与的和可能为0；⑤的值为或． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空顾（本题共18分，每3分） 11. 下图所示的网格是正方形网格，________．（填“”，“”或“”） 12. 若代数式，则的值为________． 13. 如图，某动物园的平面示意图中，猴山位于大象馆北偏西方向，而海洋世界在大象馆南偏东的方向，那么的大小为________． 14. 若关于的方程的解是方程的解的2倍，则的值为________． 15. 如图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积为___________． 16. 中关村中学科技节初一年级的92名同学参加“中国古代科技展”、“音乐互动体验活动”“迷算巧想、巧板奇思数学挑战赛”三项体验活动．其中有48人参加了“中国古代科技展”，40人参加了“数学挑战赛”，参加“音乐互动体验活动”的人数是同时参加“中国古代科技展”和“音乐互动体验活动”人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，同时参加“数学挑战赛”和“音乐互动体验活动”的人数相当于三项都参加人数的2倍，同时参加“中国古代科技展”和“数学挑战赛”的人数有20人，那么参加“音乐互动体验活动”的学生有_______人． 三、解答题（本题共52分，第17-18题每小题6分，第19-20题每小题4分，第21-25题每小题5分，第26题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，平面上有A、B、C、D、F五个点，请根据下列语句画出图形： （1）直线BC与射线AD相交于点M； （2）连接AB，并延长线段AB至点E，使点BAE中点； （3）在直线BC上找一点P，使点P到A、F两点的距离之和最小，作图的依据是：　 　． 21. 如图，，，平分，．求的度数．请将以下解答过程补充完整． 解：平分， ．（理由：　　 ， 　　． ， ． ， ． 　　（理由：　　 　　． 22. 如图，C为线段上一点，点B为的中点，且，． （1）求的长． （2）若点E在直线上，且，求的长． 23. 列方程解决下列问题： 抗战胜利80周年阅兵观礼斜挎包如图所示，斜挎包背带部分由双层部分、单层部分和调节扣构成，通过调节可以使背带的长度（单层部分和双层部分的长度和．其中调节扣的长度忽略不计）加长或缩短，经测量可得到如下数据： 单层部分的长度（） 0 2 4 6 8 …… 160 双层部分长度（） 80 79 78 77 …… 0 （1）表格中的值为____________； （2）根据志愿者小李的身高和习惯，背带的总长为时，背起来最舒适，那么此时单层部分的长度是多少？ 24. 在学习完一元一次方程后，老师给出一个新定义：若是关于一元一次方程的解，是关于的方程的解或所有解中的一个解，且，则称关于的方程是关于的一元一次方程的“十全十美”方程．例如的解是，关于的方程的所有解是或，当时，，所以是一元一次方程的“十全十美”方程． （1）已知关于的方程：①；②．其中是的“十全十美”方程的是____________（只填序号）； （2）若关于的方程是关于的一元一次方程的“十全十美”方程，求的值． 25. 如图，甲、乙两台清洁机器人分别固定在数轴型仓库的号（路灯甲初始位置）和12号（路灯乙初始位置），路灯编号沿数轴正方向递增，机器人仅沿数轴正/负方向移动，每次移动以“路灯间距”为单位（1个单位对应1个路灯间距），系统每次下达1条清洁指令，指令类型分为三类，各类指令对应的机器人移动规则唯一且固定： 指令名称 甲机器人移动规则 乙机器人移动规则 协同清洁指令 向正方向移动3个单位 向负方向移动3个单位 甲优先清洁指令 向正方向移动3个单位 向正方向移动2个单位 乙优先清洁指令 向负方向移动3个单位 向负方向移动2个单位 （1）从初始位置出发，仅执行1条“协同清洁指令”后，甲、乙两台机器人之间的路灯间距为______个单位长度； （2）从初始位置出发，累计执行条清洁指令． ①若，且两台机器人只执行“优先清洁指令”，设“甲优先清洁指令”执行次数为．甲最终停留的路灯编号为________（用含的代数式表示）； ②若“协同清洁指令”次数与“优先清洁类指令”总次数的比为．设“甲优先清洁指令”执行次数为，乙最终停留的路灯编号为_____________（用含、的代数式表示）； ③在②的条件下，若此时甲、乙的位置间距为3个路灯单位，写出所有符合条件的值及对应的各类指令执行次数． 26. 定义：已知平面内过角的顶点引一条射线，若这条射线与角的两边所形成的两个角恰好满足（为正整数）倍数关系，则称这条射线叫做这个角的“倍友好线” （1）如图1，若，是的“4倍友好线”，则__________； （2）点是直线上一点，射线、、、均在直线上方，在的左侧．， ，，射线是的“1倍友好线”， ①如图2，当时，猜想与的数量关系，并证明； ②射线在直线的下方，射线是的“2倍友好线”，是的“1倍友好线”，当与互余时，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市中关村中学2025-2026学年第一学期期末调研 初一数学 考试时间：90分钟满分100分 一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的只有一个． 1. 2的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键；根据相反数的定义，一个数的相反数是只有符号相反的数，然后问题可求解． 【详解】解：2的相反数是， 故选：C． 2. 下面计算正确的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式的加减：合并同类项逐项判断即可． 【详解】A、，此项错误 B、与不是同类项，不可合并，此项错误 C、，此项错误 D、，此项正确 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的加减：合并同类项，熟记运算法则是解题关键． 3. 我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案． 【详解】该几何体的俯视图是：． 故选A． 【点睛】此题主要考查了几何体的三视图；掌握俯视图是从几何体上面看得到的平面图形是解决本题的关键． 4. “珍爱地球，人与自然和谐共生”是今年世界地球日的主题，旨在倡导公众保护自然资源，全市现有自然湿地27900公顷，人工湿地30800公顷，这两类湿地共有（ ） A. 公顷 B. 公顷 C. 公顷 D. 公顷 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点放在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可． 【详解】解：根据题意，得这两类湿地共有公顷， ∵， 故选：B． 5. 如图，数轴上点对应的有理数，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数轴，有理数的加减法，解题的关键是根据数轴可以明确a、b的符号和与原点的距离． 根据数轴可知，从而可以判断各选项，解答本题． 【详解】解：由数轴可得， ∴，，，， ∴B选项正确，符合题意， 故选：B． 6. 下列等式变形正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据等式的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 若，则，故该选项不正确，不符合题意； B. 若，则，故该选项正确，符合题意； C. 若，则，故该选项不正确，不符合题意； D. 若，则，故该选项不正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了等式的性质，熟练等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数(或式子)，结果仍相等． 7. 一副三角板如下图摆放，能得到和互补的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查余角和补角，关键是补角的定义． 如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角．由此即可判断． 【详解】解：A、根据同角的余角相等，即与相等，故A不符合题意； B、，即与互余，故B不符合题意； C、，即与互补，故C符合题意； D、，即与相等，故D不符合题意． 故选：C． 8. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多4尺，若将绳四折测之，绳多1尺，绳长井深各几何？” 译文：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等份，井外余绳1尺．问绳长、井深各是多少尺？” 设井深为x尺，根据题意列方程，正确的是（　　） A. 3（x+4）=4（x+1） B. 3x+4=4x+1 C. 3（x﹣4）=4（x﹣1） D. 【答案】A 【解析】 【分析】用代数式表示井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺. 【详解】解：根据将绳三折测之，绳多四尺，则绳长为：3（x+4），根据绳四折测之，绳多一尺，则绳长为：4（x+1）， 故3（x+4）=4（x+1）． 故选A. 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，不变的是井深，用代数式表示井深是此题的关键. 9. 计算机利用的是二进制数，它共有0，1两个数码．将一个十进制数转化为二进制数，只需将该数写为若干个之和，依次写出系数1或0即可，例如十进制数19可以写为二进制数10011，因为，所以19写成二进制数10011是五位数，则十进制数60写成二进制数是（ ） A. 六位数 B. 七位数 C. 八位数 D. 九位数 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的运算．将60写成，继而即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴二进制数为111100，是六位数． 故选：A 10. 已知点在数轴上，对应数分别为，，，，（，且为整数）．若，且中有两个数的和与相等，则下列说法中正确的有（ ） ①原点可能与点重合；②原点可能是中点；③原点不可能在点左侧；④与的和可能为0；⑤的值为或． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，数轴解题的关键是熟练掌握数轴知识，读懂题意列出正确代数式．根据已知条件乘积大于0，相等关系可得到四种情况下两数互为相反数，即可写出关于p、n的式子，再判断选项的正误． 【详解】解：∵，且中有两个数的和与相等， ∴四数不可能同时为正数或负数，只能是两正，两负， ∴只能是， ∴有四种情况， ，即，、互为相反数， ，即，、互为相反数， ，即，、互为相反数， ，即，、互为相反数， ∵，，，且， ∴，，， 当时，，解得， 当时，，解得，此时，不满足， 当时，，解得， 当时，，解得，此时，不满足， 判断说法： ①原点为0，但，故原点不可能与Q重合，错误； ②中点，可能为0，正确； ③因为，所以原点不可能在点左侧，正确； ④与的和不可能为0，错误； ⑤的值有两种情况，P的值为或，正确． ∴②③⑤正确，正确说法有3个． 故选：C． 二、填空顾（本题共18分，每3分） 11. 下图所示的网格是正方形网格，________．（填“”，“”或“”） 【答案】> 【解析】 【分析】构造等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可进行比较大小. 【详解】解：如下图所示， 是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为 另：此题也可直接测量得到结果． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，构造等腰直角三角形是解题的关键. 12. 若代数式，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，将变形为，然后整体代入 计算即可． 详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为：1． 13. 如图，某动物园的平面示意图中，猴山位于大象馆北偏西方向，而海洋世界在大象馆南偏东的方向，那么的大小为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了方向角，结合图形，正确认识方向角是解决此类问题的关键． 根据方位角的概念，结合上北下南左西右东的规定，通过计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得： ． 故答案为：． 14. 若关于的方程的解是方程的解的2倍，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，先求出方程的解，再根据题意得到方程的解，代入求解的值． 【详解】解：解方程， 得，即， 解得， 因为方程的解是方程的解的倍， 所以方程的解为， 将代入方程 ， 得，即， 解得． 故答案为：． 15. 如图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积为___________． 【答案】600 【解析】 【分析】本题考查了几何体表面积的计算．由题意得新的几何体的表面积与原立方体的表面积相等，据此求解即可． 【详解】解：由题意得新的几何体的表面积与原立方体的表面积相等， ∴新的几何体的表面积为， 故答案为：600． 16. 中关村中学科技节初一年级的92名同学参加“中国古代科技展”、“音乐互动体验活动”“迷算巧想、巧板奇思数学挑战赛”三项体验活动．其中有48人参加了“中国古代科技展”，40人参加了“数学挑战赛”，参加“音乐互动体验活动”的人数是同时参加“中国古代科技展”和“音乐互动体验活动”人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，同时参加“数学挑战赛”和“音乐互动体验活动”的人数相当于三项都参加人数的2倍，同时参加“中国古代科技展”和“数学挑战赛”的人数有20人，那么参加“音乐互动体验活动”的学生有_______人． 【答案】42 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设三项都参加的人数为y，则参加“音乐互动体验活动”的人数为，同时参加“中国古代科技展”和“音乐互动体验活动”的人数为，同时参加“数学挑战赛”和“音乐互动体验活动”的人数为，根据总人数为92，列方程求解． 【详解】解：设三项都参加的人数为y，则参加“音乐互动体验活动”的人数为，同时参加“中国古代科技展”和“音乐互动体验活动”的人数为，同时参加“数学挑战赛”和“音乐互动体验活动”的人数为． 已知总人数为92，参加“中国古代科技展”的人数为48，参加“数学挑战赛”的人数为40，同时参加“中国古代科技展”和“数学挑战赛”的人数为20． 则， 整理得：， 解得， 故参加“音乐互动体验活动”的人数为． 故答案为：42． 三、解答题（本题共52分，第17-18题每小题6分，第19-20题每小题4分，第21-25题每小题5分，第26题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）先计算乘法，并化简多重符号和绝对值，再计算加减法即可； （2）先计算乘方，将除法转化为乘法，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，解决本题的关键是按照解一元一次方程的步骤解方程． （1）移项、合并同类项、系数化为1即可； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； 【小问2详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 19 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，利用整式的加减运算法则，化简代数式，代入数据求值． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 20. 如图，平面上有A、B、C、D、F五个点，请根据下列语句画出图形： （1）直线BC与射线AD相交于点M； （2）连接AB，并延长线段AB至点E，使点B为AE中点； （3）在直线BC上找一点P，使点P到A、F两点的距离之和最小，作图的依据是：　 　． 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析； 【解析】 【分析】（1）根据直线，射线的定义画出图形即可； （2）根据线段的延长线的定义以及中点的定义画出图形即可； （3）连接AF交直线BC于点P，点P即为所求． 【详解】解：（1）如图，直线BC，射线AD即为所求作． （2）如图，线段BE即为所求作． （3）如图，点P即所求作． 理由：两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，两点之间线段最短，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21. 如图，，，平分，．求的度数．请将以下解答过程补充完整． 解：平分， ．（理由：　　 ， 　　． ， ． ， ． 　　（理由：　　 　　． 【答案】角平分线的定义，40，，同角的余角相等，40 【解析】 【分析】结合角平分线的定义和同角的余角相等，即可求解． 【详解】解：平分， ．（理由：角平分线的定义） ， ． ， ． ， ． （理由：同角的余角相等） ． 故答案为：角平分线的定义，40，，同角的余角相等，40． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，余角，角的计算，灵活运用角平分线的定义求解角的度数是解题的关键． 22. 如图，C为线段上一点，点B为的中点，且，． （1）求的长． （2）若点E在直线上，且，求的长． 【答案】（1）的长为； （2）的长为或． 【解析】 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，熟练掌握并灵活运用线段的中点和线段的和差是解答本题的关键． （1）根据，即可求出答案； （2）分点在的左边和右边两种情形求解即可． 【小问1详解】 解：点为的中点， ， ， ， 答：的长为； 【小问2详解】 解：由题意得：，， 当点在线段上时， ， 当点在线段的延长线上时， ． 答：的长为或． 23. 列方程解决下列问题： 抗战胜利80周年阅兵观礼斜挎包如图所示，斜挎包背带部分由双层部分、单层部分和调节扣构成，通过调节可以使背带的长度（单层部分和双层部分的长度和．其中调节扣的长度忽略不计）加长或缩短，经测量可得到如下数据： 单层部分的长度（） 0 2 4 6 8 …… 160 双层部分的长度（） 80 79 78 77 …… 0 （1）表格中的值为____________； （2）根据志愿者小李的身高和习惯，背带的总长为时，背起来最舒适，那么此时单层部分的长度是多少？ 【答案】（1） （2）此时单层部分的长度是 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确得到单层部分的长度与双层部分的长度的关系是解题的关键． （1）设单层部分的长度为,根据表格可得单层部分的长度与双层部分的长度的关系，即可求得； （2）根据题意列方程即可解答． 【小问1详解】 解：设单层部分的长度为，可得双层部分的长度为， 所以， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可得， 解得， 答：此时单层部分的长度是． 24. 在学习完一元一次方程后，老师给出一个新定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的解或所有解中的一个解，且，则称关于的方程是关于的一元一次方程的“十全十美”方程．例如的解是，关于的方程的所有解是或，当时，，所以是一元一次方程的“十全十美”方程． （1）已知关于的方程：①；②．其中是的“十全十美”方程的是____________（只填序号）； （2）若关于的方程是关于的一元一次方程的“十全十美”方程，求的值． 【答案】（1）② （2）0或 【解析】 【分析】本题考查了新定义方程，解方程，熟练掌握定义，正确解方程是解题的关键． （1）根据新定义的要求，解方程验证即可； （2）分别解方程和，根据“十全十美”方程的定义可得关于a的一元一次方程，解之即可； 【小问1详解】 解：方程的解是， 方程①的解为， ∵， ∴方程①不是一元一次方程的“十全十美”方程； 方程②的解为或， ∵当时，， ∴方程②是一元一次方程的“十全十美”方程． 故答案为：②； 【小问2详解】 解：方程的解是， 方程的解是或， ∵关于的方程是关于的一元一次方程的“十全十美”方程， ∴当时，，解得； 当时，，解得； ∴或． 25. 如图，甲、乙两台清洁机器人分别固定在数轴型仓库的号（路灯甲初始位置）和12号（路灯乙初始位置），路灯编号沿数轴正方向递增，机器人仅沿数轴正/负方向移动，每次移动以“路灯间距”为单位（1个单位对应1个路灯间距），系统每次下达1条清洁指令，指令类型分为三类，各类指令对应的机器人移动规则唯一且固定： 指令名称 甲机器人移动规则 乙机器人移动规则 协同清洁指令 向正方向移动3个单位 向负方向移动3个单位 甲优先清洁指令 向正方向移动3个单位 向正方向移动2个单位 乙优先清洁指令 向负方向移动3个单位 向负方向移动2个单位 （1）从初始位置出发，仅执行1条“协同清洁指令”后，甲、乙两台机器人之间的路灯间距为______个单位长度； （2）从初始位置出发，累计执行条清洁指令． ①若，且两台机器人只执行“优先清洁指令”，设“甲优先清洁指令”执行次数为．甲最终停留的路灯编号为________（用含的代数式表示）； ②若“协同清洁指令”次数与“优先清洁类指令”总次数的比为．设“甲优先清洁指令”执行次数为，乙最终停留的路灯编号为_____________（用含、的代数式表示）； ③在②的条件下，若此时甲、乙的位置间距为3个路灯单位，写出所有符合条件的值及对应的各类指令执行次数． 【答案】（1） （2）①；②；③值为8或4；“协同清洁指令”次数为，“甲优先清洁指令”执行次数为0，“乙优先清洁指令”执行次数为；“协同清洁指令”次数为，“甲优先清洁指令”执行次数为2，“乙优先清洁指令”执行次数为 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，数轴动点问题，列代数式等知识，解题的关键是正确读懂题意． （1）根据“协同清洁指令”的移动方式列式求解即可； （2）①首先得到“乙优先清洁指令”执行次数为，然后列式求解即可； ②首先表示出“协同清洁指令”次数与“优先清洁指令”总次数都为，“乙优先清洁指令”执行次数为，然后表示出甲最终停留的路灯编号和乙最终停留的路灯编号； ③根据甲、乙的位置间距为3个路灯单位列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据“协同清洁指令”可知，甲移动后的编号为：，乙移动后的编号为：， 甲、乙两台机器人之间的路灯间距为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①设“甲优先清洁指令”执行次数为， “乙优先清洁指令”执行次数为， 甲最终停留的路灯编号为， 故答案为：； ②“协同清洁指令”次数与“优先清洁指令”总次数的比为， “协同清洁指令”次数与“优先清洁指令”总次数都为， 设“甲优先清洁指令”执行次数为，则“乙优先清洁指令”执行次数为， 甲最终停留的路灯编号为； 乙最终停留的路灯编号为； 故答案为：； ③此时甲、乙的位置间距为3个路灯单位， ， 整理得，， 和都是正整数，且， ， 当时，整理得，， ，（舍）或，， “协同清洁指令”次数为，“甲优先清洁指令”执行次数为0，“乙优先清洁指令”执行次数为； 当时，整理得，， ，， “协同清洁指令”次数为，“甲优先清洁指令”执行次数为2，“乙优先清洁指令”执行次数为； 综上所述，所有符合条件的值为8或4； “协同清洁指令”次数为，“甲优先清洁指令”执行次数为0，“乙优先清洁指令”执行次数为； “协同清洁指令”次数为，“甲优先清洁指令”执行次数为2，“乙优先清洁指令”执行次数为． 26. 定义：已知平面内过角的顶点引一条射线，若这条射线与角的两边所形成的两个角恰好满足（为正整数）倍数关系，则称这条射线叫做这个角的“倍友好线” （1）如图1，若，是的“4倍友好线”，则__________； （2）点是直线上一点，射线、、、均在直线上方，在的左侧．， ，，射线是的“1倍友好线”， ①如图2，当时，猜想与的数量关系，并证明； ②射线在直线下方，射线是的“2倍友好线”，是的“1倍友好线”，当与互余时，直接写出的度数． 【答案】（1）或或或 （2）①，理由见解析；②或或 【解析】 【分析】本题主要考查余角和补角、几何图形中角度的计算，熟练进行角度的表示是解题的关键． （1）根据定义分为或，且在内，外，总共四种情况，分别求解即可； （2）①设，根据角的和差，表示出即可解答； ②分四种情况讨论，利用角的和差列方程即可解答． 【小问1详解】 解：当在内， 是的“4倍友好线”， 当时，如图， ； 当时，如图， ； 当在外， 是的“4倍友好线”， 当时，如图， ， ； 当时，如图， ， ， ； 综上，的度数为或或或， 故答案为：或或或； 【小问2详解】 解：①，理由如下： 设， ，在的左侧， ， ，， 射线是的“1倍友好线”， ， ， ； ②射线是的“2倍友好线”， 或， 设， 如图，时，且在内， ，， ， 是的“1倍友好线”， ， 当与互余时，可得， 解得， ； 当在外，即如图，的位置， 此时， ， 此时和不可能互余； 如图，当时，且在的反向延长线左侧， 当在内， ，， ， 是的“1倍友好线”， ， 当与互余时，可得， 解得， ； 当在外，即如图，的位置， 此时， 当与互余时，可得， 解得， 此时，这与在的反向延长线左侧不符，故舍去； ； 如图，当时，且在的反向延长线右侧， 当在内， ，， ， 是的“1倍友好线”， ， 当与互余时，可得， 解得， ； 当在外，即如图，的位置， 此时， 当与互余时，可得， 解得， 此时，这与在的反向延长线右侧不符，故舍去； ， 综上，的度数为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $