2 导数的概念及其几何意义（教学课件）数学北师大版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦导数的概念及几何意义，通过复习平均变化率，结合“读教材”问题引导，搭建从平均变化率到瞬时变化率再到导数的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于结合水管水量、生产效率等实际案例培养数学眼光，通过割线到切线的极限推理发展数学思维，题型分层训练强化数学语言表达。助力学生理解导数本质，教师可高效开展教学。

2 导数的概念及其几何意义 第二章 导数及其应用 北师大版选择性必修第二册·高二 本章导读 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值(最值) 利用导数解决最值问题 认识实际问题中的导数的意义 导数的概念及其几何意义     导数应用 导数在研究函数性质中的应用 导数在解决实际问题中的应用 导数的计算 导数的加法与减法法则 导数的乘法与除法法则 简单复合函数的求导法则 变化的快慢与变化率 平均变化率 瞬时变化率 学 习 目 标 1 2 3 经历瞬时变化率的探究过程，理解导数的概念（重点）.  掌握导数的符号表示，会求简单函数在某点的导数（难点）. 理解导数的几何意义和割线的定义，会利用导数求简单曲线的切线方程（难点）. 读教材 阅读课本P57-P60，5分钟后完成下列问题： 1.导数的定义是什么？它的符号表达式又是什么？ 2.割线和切线分别是什么？有什么区别与联系? 3.导数的几何意义是什么？如何利用导数求函数在某点的切线方程？ 我们一起来探究“导数的概念及其几何意义”吧！ 学习过程 01 目录 1 导数的概念 02 2 导数的几何意义 03 3 题型训练 复习回顾 平均变化率 瞬时变化率 函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即用它来刻画函数值在区间上变化的快慢. 函数的平均变化率为 . 如果当趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是在的瞬时变化率. 平均变化率 取极限 瞬时变化率 导数 抽象概况 在数学中，称瞬时变化率为函数在点处的导数，通常用符号 表示，记作 导数的概念 还可以写成 . 注意： (1)函数应在点的附近有定义，否则导数不存在; (2)导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关. (3)导数的实质是一个极限值． 抽象概况 根据定义求导数的一般步骤 ①求函数的改变量； ②求平均变化率； ③取极限，得导数． ①求差 ②求比 ③求极限 典例分析 【例1】一条水管中流过的水量（单位：m3）与时间（单位：s）的函数关系为 ．求函数 在处的导数，并解释它的实际意义． 解 当从2变到时，函数值从变到，函数值关于的平均变化率为 当趋于2，即趋于0时，平均变化率总是3，所以. 导数表示当时水量的瞬时变化率，即水流的瞬时速度．也就是说，如果水管中的水保持以时的瞬时速度流动的话，每经过1s，水管中流过的水量为3 m2. 典例分析 【例2】一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，生产的食品量(单位:)与其工作时间(单位:)的函数关系为.假设函数在和处的导数分别为和,试解释它们的实际意义. 解：表示该工人上班后工作的时候，其生产速度（即工作效率）为4 kg/h.也就是说，如果保持这一生产速度,那么他每时可以生产4 kg的食品. 表示该工人上班后工作3 h的时候，其生产速度为3.5 kg/h.也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产3.5kg的食品. 典例分析 【例3】服药后，人体血液中药物的质量浓度(单位)是时间(单位:)的函数 .假设函数在和处的导数分别为和,试解释它们的实际意义. 解：表示服药后时，血液中药物的质量浓度上升的速度为.也就是说，如果保持这一速度，每经过,血液中药物的质量浓度将上升 . 表示服药后时，血液中药物的质量浓度下降的速度为.也就是说，如果保持这一速度，每经过,血液中药物的质量浓度将下降 . 牛刀小试 练1 设则 牛刀小试 练1 设则 学习过程 01 目录 1 导数的概念 02 2 导数的几何意义 03 3 题型训练 分析理解 设函数的图象是一条光滑的曲线，且函数在区间的平均变化率为，如右图，它是经过和两点的直线的斜率．这条直线称为曲线在点处的一条割线． 割线 观察平均变化率计算公式和割线的斜率，你能发现平均变化率的几何意义是什么吗？ 分析理解 我们知道平均变化率 过点和点的直线的斜率 所以平均变化率的几何意义是. 那瞬时变化率的几何意义又是什么呢？ 抽象概况 当取不同的值时，可以得到不同的割线；当趋于0时，点B将沿着曲线趋于点，割线将绕点转动趋于直线．称直线为曲线在点处的切线，或称直线和曲线在点处相切． 我们知道，瞬时变化率是平均变化率的极限形式，设函数的图象是一条光滑的曲线，观察右图，当取不同的值时，割线有什么变化？ 切线 所以瞬时变化率的几何意义是. 抽象概况 割线 的斜率 点 → 点 切线 的斜率 函数在处的导数，是曲线在点处的切线的斜率.函数在处切线的斜率反映了导数的几何意义． 导数的几何意义 数 形 典例分析 【例4】已知函数及自变量． (1)分别对求在区间上的平均变化率，并画出过点的相应割线； (2)求函数在处的导数，并画出曲线在点处的切线． 解：(1)当时，区间相应为， .在这些区间上的平均变化率分别为 典例分析 如右图，其相应割线分别是经过点和点的直线，经过点和点的直线，经过点和点的直线． (2)在区间上的平均变化率为 . 令Δ趋于0，知函数在处的导数为−4． 因此，曲线在点处的切线为经过 点，斜率为的直线 ，如右图． 典例分析 【例5】求函数在处的切线的方程． 解： 令 Δ 趋于，可知 在处的导数为． 于是，函数在点即处的切线斜率为6，即该切线经过点，且斜率为6．因此，函数在处的切线方程为， 即. 切线如右图． 学习过程 01 目录 1 导数的概念 02 2 导数的几何意义 03 3 题型训练 题型训练 题型一 导数的概念 【练习1】函数在某一点的导数是( ) A.在该点的函数的增量与自变量的增量的比 B.一个函数 C.一个常数，不是变数 D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 解导数是函数在点处的瞬时变化率；导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关,与无关. 题型训练 题型一 导数的概念 【练习2】设函数在处可导，且满足，则(　　) A.1 B.4 C.3 D. 解 题型训练 题型一 导数的概念 导数定义的探究 (1)判断一个函数在某点是否可导就是判断当Δx→0时该函数的平均变化率的极限是否存在. (2)在导数定义中，x在x0处的变化量是相对的，可以是Δx，也可以是2Δx，－Δx等，做题时要将分子分母中变化量统一为一种． 题型训练 题型一 导数的概念 【练习3】设函数在附近有定义，且，为常数，则（ ） A．0 B． C． D． 解在中，用代替知. 故： 故选. 题型训练 题型二 导数和曲线切线的斜率(倾斜角) 【练习4】函数的图象在处的切线方程是，则 ). A.8 B.4 C.10 D.12 解由题意可知：1，将代入切线方程中，得 所以故选. 牢记导数的几何意义： 函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率． 题型训练 题型二 导数和曲线切线的斜率(倾斜角) 【练习5】曲线在点处切线的倾斜角为（ ）. A. B. C.. 解因为 所以因为切线的倾斜角的范围为所以所求倾斜角为 题型训练 题型三 求切线的方程 【练习6】已知函数. (1)求曲线在点处的切线的方程; (2)求曲线经过原点的切线方程及切点坐标； 解由题意可知 所以在点处的切线的斜率为所以切线方程为即 题型训练 题型三 求切线的方程 解(2)设切点为，切线为，则切线的斜率为， ∴切线的方程为 又∵切线过点，∴， 整理得，∴， ， 故切线的方程为，切点坐标为． 题型训练 题型三 求切线的方程 求曲线的切线方程的两种类型 (1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点；过点P的切线，不确定点P在不在曲线上，点P不一定是切点． (2)求曲线y＝f (x)过点P(x0，y0)的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标； 第二步，写出过的切线方程为； 第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1； 第四步，将x1的值代入方程可得过点P(x0，y0)的切线方程． 题型训练 题型四 图像问题 【练习7】已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则( ) A. B. C. D. 解由图可知，经过点和点的割线的斜率大于曲线在点处的切线斜率，且小于曲线在点处的切线斜率，即，所以.故选. 课堂小结   1.在数学中，称瞬时变化率为函数在点处的导数，通常用符号 表示，记作 2.函数应在点的附近有定义，否则导数不存在 3.导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关. 4.函数在处的导数，是曲线在点处的切线的斜率．函数在处切线的斜率反映了导数的几何意义． 感谢聆听! $