精品解析：河北省张家口市2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试卷

张家口市2025-2026学年度高一年级第一学期期末考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的意义求解即可. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：A. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“，”为存在量词命题， 该命题的否定为“，”. 故选：C. 3. “”是“方程有两个相等实数根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出方程有两个相等实数根时的值，由充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】方程有两个相等实数根，则，解得：，或， 所以“”是“方程有两个相等实数根”的充分不必要条件, 故选：A 4. 与角的终边相同的角的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将化为范围内的角, 根据终边相同角的性质即可求解. 【详解】因为，所以与终边相同； 根据终边相同角的性质，与终边相同的角的集合为： 故选：D. 5. 已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的单调性，由条件结合零点的性质列不等式求的范围. 【详解】因为函数和在都单调递增， 所以函数在都单调递增， 又函数在区间上存在零点， 所以，故， 所以, 所以的取值范围是. 故选：D. 6. 函数在区间上的最大值、最小值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式型函数的单调性进行求解即可. 【详解】，该函数在上单调递增， 所以， 故选：B 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性的性质，结合一次函数和二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以. 故选：D 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性，结合对数的运算法则可得，，，可得结论. 【详解】， 由，可得，， 所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的性质及作差法比较大小即可判断. 【详解】因为， 所以，，，，故AB正确，C错误， 又易知，即，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知，为正实数，且，则（ ） A. B. C. 的最小值为6 D. 的最小值为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.由 ，得，根据，为正实数判断；B. 由 ，得，根据，为正实数判断；CD. 根据 ，利用“1”的代换判断； 【详解】A.由 ，得，因为，所以，解得，又，所以，故正确； B. 由 ，得，因为，所以，因为，解得，故正确； C. 因为 ，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 联立，解得时，等号成立，故错误；故D正确； 故选：ABD 11. 已知定义在上的函数满足，且，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】先通过赋值法确定的值及函数奇偶性，再由给定条件判断函数单调性，进而分析各选项的正确性. 【详解】令，则，即，故，A正确. 令，则，即， 结合，得，故是奇函数，B错误. 由，当时，， 知在上单调递减；又是奇函数，故在上单调递减. ，，因， 故，即，C正确. 若，由在单调递减且，得，故； 若，则，，故； 时，. 因此的解集为，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象过点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】将点代入求解即可. 【详解】将点代入可得，，可得. 故答案为：. 13. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据与的关系即可求解. 【详解】因为， 两边平方得， 即， 解得. 故答案为：. 14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数的图象只有一个对称中心，则对称中心为________；记函数在区间上的最大值和最小值分别为，，则________ 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的对称中心，再利用对称性求出目标值. 【详解】由题意可得，，构造函数，所以，即，因为为奇函数，所以，，所以，， 所以对称中心为，，则函数在区间的图象上关于中心对称， 由函数在区间上的最大值和最小值分别为，，所以. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求． （2）是否存在实数，使得成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）当时，先写出集合，再写出，进而可求得；（2）根据可得关于的不等式，解不等式即可得的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 所以， 所以． 【小问2详解】 存在. 在数轴上表示集合，如图所示： 若，则，解得， 所以的取值范围是. 16. 已知锐角满足． （1）求、的值； （2）若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程组，即可求得、的值； （2）求出的值，根据已知条件可得出，结合诱导公式可得出的值，再利用诱导公式以及弦化切可得出所求代数式的值. 【小问1详解】 因为为锐角，所以，， 由已知条件可得，解得. 【小问2详解】 因为角的终边与角的终边关于轴对称，则， 由（1）可知， 所以， 所以. 17. 已知函数． （1）画出函数的图象； （2）求函数在区间上的值域； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）去除绝对值得到，直接画函数图像即可. （2）结合（1）的图像先分析函数在上的单调性，求出最值即可得到值域； （3）当时，化简得到当时，恒成立；由基本不等式求出最小值为4，所以； 【小问1详解】 因为， 所以； 画函数的图象如图所示： 【小问2详解】 当时，函数在 上单调递减，在单调递增； ， 当时，函数在 单调递减，在单调递增； ； 综上所述，函数在上的最小值为 ，最大值为，故值域为 【小问3详解】 当时，函数 由恒成立，化简得到当时，恒成立； 由基本不等式， 当且仅当，即 时取等号，有最小值4， 因为时，恒成立，所以； 所以实数的取值范围是. 18. 如图，在一个半径为60的扇形中，，点为扇形中一点，且到和的距离分别为20和10，过点的直线与和分别交于点，． （1）求的长． （2）求图中阴影部分的面积． （3）当为多长时，的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】（1） （2） （3），的面积最小为 【解析】 【分析】（1）利用扇形的弧长公式求解即可； （2）过分别作和的垂线，垂足分别为，则图中阴影部分的面积等于，计算即可； （3）设，，根据可得，由结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 扇形的半径为60，， 则的长为； 【小问2详解】 过分别作和的垂线，垂足分别为， 所以，，，， 扇形的面积， ，， 矩形的面积 所以图中阴影部分的面积为， 【小问3详解】 设，， ，所以，即，则， 所以， ，当且仅当，即时取等， 所以， 所以当时，的面积最小，最小为 19. 定义在区间上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是上的有界函数．已知函数，，． （1）证明：函数为奇函数． （2）已知（，且），当时，若，，求实数的取值范围． （3）讨论是否存在正数，使得函数是区间上的有界函数．若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 由题意得， 函数的定义域为， ， ， 即， 所以函数为奇函数. （2） （3）存在，当时，，当时，. 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性的判定方法即可证明； （2）求出函数在上的值域，分类讨论求出函数在上的值域，由题意得，列不等式即可求出答案； （3）求出函数的值域，分为和两种情况分别求的范围即可求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，， 当时，，， 记函数在上的值域为，则， 记函数在上的值域为， 若，，则， 当时，函数在上单调递减，则， 则，解得， 当时，函数在上单调递增，则， 此时，不符合题意， 综上所述， 实数的取值范围为. 【小问3详解】 由题意得， 函数在上单调递增，则， 函数在上单调递减，则， 所以， 当时，即时，， 当时，即时，， 综上，当时，，当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 张家口市2025-2026学年度高一年级第一学期期末考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“方程有两个相等实数根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 与角的终边相同的角的集合为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 函数在区间上的最大值、最小值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，为正实数，且，则（ ） A. B. C. 的最小值为6 D. 的最小值为8 11. 已知定义在上的函数满足，且，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象过点，则________． 13. 若，则________． 14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数的图象只有一个对称中心，则对称中心为________；记函数在区间上的最大值和最小值分别为，，则________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求． （2）是否存在实数，使得成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 16. 已知锐角满足． （1）求、的值； （2）若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值． 17. 已知函数． （1）画出函数的图象； （2）求函数在区间上的值域； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 18. 如图，在一个半径为60的扇形中，，点为扇形中一点，且到和的距离分别为20和10，过点的直线与和分别交于点，． （1）求的长． （2）求图中阴影部分的面积． （3）当为多长时，的面积最小？最小面积是多少？ 19. 定义在区间上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是上的有界函数．已知函数，，． （1）证明：函数为奇函数． （2）已知（，且），当时，若，，求实数的取值范围． （3）讨论是否存在正数，使得函数是区间上的有界函数．若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $