2.5 二次函数与一元二次方程（第2课时）（导学案）数学北师大版九年级下册

2.5二次函数与一元二次方程 导学案 第2课时 1.利用二次函数的图象求一元二次方程近似解。 2.经历探索用二次函数图象求解一元二次方程近似解的过程，体会用二次函数图象求一元二次方程解的方法。 学习重点：基于二次函数图象求方程近似解的操作与技巧。 学习难点：利用图象法准确定位近似根并验证其合理性。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 ①二次函数y=ax²+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax²+bx+c=0的根有什么关系? 二次函数y=ax²+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax²+bx+c=0的根 一元二次方程ax²+bx+c=0根的判别式Δ=-4ac 两个相异的实根 有一个交点 的实根 -4ac = 0 没有实数根 ②抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的根． 2.课堂引入 思考:一元二次方程x²＋2x－10＝0的根与二次函数y＝x²＋2x－10的图象(右图所示)与x轴交点的横坐标有什么关系？能否从图象中直接得到方程的根呢？ 一元二次方程x²＋2x－10＝0的根是二次函数y＝x²＋2x－10的图象与x轴交点的横坐标． 这样，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数图象与x轴交点的横坐标即可，但是根据图象我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算，本节课我们将学习利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根． 新知自研：自研课本第53--54页的内容． 【学法指导】 自研课本P53-54页的内容，思考： ●探究一：利用图象法求一元二次方程的近似根 ◆1.新知探究 右图是二次函数y＝x²＋2x－10的图象.你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x²＋2x－10＝0的根吗？ 由图象可知方程x²＋2x－10＝0有两个根，一个根在-5和-4之间，另一个在2和3之间. 议一议：这只是大概范围，如何确定它们的十分位呢？ （1）先求﹣5和﹣4之间的根.利用计算器进行探索： x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4 y 因此，x=﹣4.3是方程的一个近似根. 注意：之所以取 x=﹣4.3 作为方程的近似根而不是 x=﹣4.4，是因为当x=﹣4.3时,其函数值更接近0. （2）另一个根可以类似的求出： x 2.1 2.2 2.3 2.4 y 因此，x=2.3是方程的另一个近似根. （3）我们得出的结论是否正确？你能用我们学过的知识进行验证吗？ 可以利用一元二次方程的求根公式进行验证. 提醒：用图象法求一元二次方程的近似根时，结果只取到 . ◆2.归纳总结 利用图象法求一元二次方程的近似根 (1)画出 ； (2)确定抛物线与x轴的交点的 在哪两个数之间； (3)列表或直接取值代入方程计算，哪一个值能使方程 成立，则这个值就是方程的近似根． ◆3.做一做 （1）请利用图1求一元二次方程x²+2x-10=3的近似根. （2）你还能利用图2求一元二次方程x²+2x-10=3的近似根吗？ ◆4.练一练 （1）根据下列表格的对应值: x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax²+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 判断方程 ax²+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26 （2）已知二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的近似根为(　　) A．≈－2.1，≈0.1 B．≈－2.5，≈0.5 C．≈－2.9，≈0.9 D．≈－3，≈1 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 利用二次函数的图象估计一元二次方程x²－2x－1＝0的近似根(结果精确到0.1)． 例2 利用二次函数的图象求一元二次方程－x²＋2x－3＝－8的近似根． 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论如何用二次函数图象求解一元二次方程近似解； B.交流例题的解题思路，总结方法和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.下表是满足二次函数y＝ax²＋bx＋c的五组数据，是方程ax²＋bx＋c＝0的一个解，则下列选项中正确的是(　　) x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y －0.80 －0.54 －0.20 0.22 0.72 A.1.6＜＜1.8 B.1.8＜＜2.0 C.2.0＜＜2.2 D.2.2＜＜2.4 2.小颖用计算器探索方程ax²+bx+c=0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x=-3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（　　） A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.4 3．观察下表: x 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 y＝－2x－2 -1.31 -1.04 -0.75 -0.44 -0.11 0.24 0.61 则一元二次方程－2x－2＝0在精确到0.1时的一个近似根是_____，利用抛物线的对称性，可推知该方程的另一个近似根是_____. 4．已知二次函数y＝a＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，顶点坐标为(－1，－3.2)，由图象可知关于x的一元二次方程a＋bx＋c＝0的两个根分别是＝1.3，＝________． 5.下表是一组二次函数 y＝＋3x－5的自变量x 与函数值y 的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y －1 －0.49 0.04 0.59 1.16 那么方程＋3x－5＝0的一个近似根是_______. 6.二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示,则方程ax²+bx+c=0的两个根是____________,若函数y＜0,则对应x的取值范围是___________. 7.用图象法求一元二次方程x²+x-1＝0的近似根（精确到0.1）. 8.求一元二次方程x²-2x-1=3的近似根（精确到0.1）. 题型一： 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 1．如表是部分二次函数y＝ax2+bx﹣5的自变量x与函数值y的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 那么方程ax2+bx﹣5＝0的一个根在（　　）范围之间． A．1～1.1 B．1.1～1.2 C．1.2～1.3 D．1.3～1.4 2．已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 3．如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 4．根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 5．已知二次函数中部分x和y的值如下表所示： x y 0.25 0.56 0.89 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 题型二 利用二次函数的图象解不等式 6．（24-25九年级上·浙江温州·期中）若点在抛物线上，其中，则不等式的解为（   ） A．或 B． C．或 D． 7．抛物线的部分图象如图所示，其与x轴时的一个交点为，对称轴为直线，将抛物线沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线，则当时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为（　　） A．x＞﹣1 B．x＜3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3或x＞1 9．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是 ． 【答案】 10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象直接回答下列问题： （1）直接写出该二次函数的解析式为 　 ； （2）不等式ax2+bx+c≤0的解集是 　 ； （3）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是 　 　； （4）若关于x的方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实根，则k的取值范围是 　 　． 题型三 二次函数与一元二次方程的综合应用 11．已知二次函数y＝﹣x2﹣4x+m． （1）若该二次函数的最大值为2m，求m的值； （2）若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图象与x轴有2个交点，求m的取值范围． 12．已知函数y＝2（x﹣m）（x﹣m﹣3）（m为常数）． （1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点； （2）若该函数图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，若△ABC的面积为12，求m的值． 13．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，点P（m，n）在抛物线上． （1）求抛物线的表达式及顶点坐标； （2）若此抛物线点P右侧的部分（不含点P）上恰好有三个点到x轴的距离均为2，请直接写出m的取值范围． 利用图象法求一元二次方程的近似根 (1)画出 ； (2)确定抛物线与x轴的交点的 在哪两个数之间； (3)列表或直接取值代入方程计算，哪一个值能使方 成立，则这个值就是方程的近似根． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5二次函数与一元二次方程 导学案 第2课时 1.利用二次函数的图象求一元二次方程近似解。 2.经历探索用二次函数图象求解一元二次方程近似解的过程，体会用二次函数图象求一元二次方程解的方法。 学习重点：基于二次函数图象求方程近似解的操作与技巧。 学习难点：利用图象法准确定位近似根并验证其合理性。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 ①二次函数y=ax²+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax²+bx+c=0的根有什么关系? 二次函数y=ax²+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax²+bx+c=0的根 一元二次方程ax²+bx+c=0根的判别式Δ=-4ac 有两个交点 两个相异的实根 -4ac > 0 有一个交点 两个相等的实根 -4ac = 0 没有交点 没有实数根 -4ac < 0 ②抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的根． 2.课堂引入 思考:一元二次方程x²＋2x－10＝0的根与二次函数y＝x²＋2x－10的图象(右图所示)与x轴交点的横坐标有什么关系？能否从图象中直接得到方程的根呢？ 一元二次方程x²＋2x－10＝0的根是二次函数y＝x²＋2x－10的图象与x轴交点的横坐标． 这样，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数图象与x轴交点的横坐标即可，但是根据图象我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算，本节课我们将学习利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根． 新知自研：自研课本第53--54页的内容． 【学法指导】 自研课本P53-54页的内容，思考： ●探究一：利用图象法求一元二次方程的近似根 ◆1.新知探究 右图是二次函数y＝x²＋2x－10的图象.你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x²＋2x－10＝0的根吗？ 由图象可知方程x²＋2x－10＝0有两个根，一个根在-5和-4之间，另一个在2和3之间. 议一议：这只是大概范围，如何确定它们的十分位呢？ （1）先求﹣5和﹣4之间的根.利用计算器进行探索： x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4 y -1.39 -0.76 -0.11 0.56 因此，x=﹣4.3是方程的一个近似根. 注意：之所以取 x=﹣4.3 作为方程的近似根而不是 x=﹣4.4，是因为当x=﹣4.3时,其函数值更接近0. （2）另一个根可以类似的求出： x 2.1 2.2 2.3 2.4 y -1.39 -0.76 -0.11 0.56 因此，x=2.3是方程的另一个近似根. （3）我们得出的结论是否正确？你能用我们学过的知识进行验证吗？ 可以利用一元二次方程的求根公式进行验证. x===−1±. ∴=−1+≈2.3,=−1−≈−4.3. 提醒：用图象法求一元二次方程的近似根时，结果只取到十分位. ◆2.归纳总结 利用图象法求一元二次方程的近似根 (1)画出二次函数的图象； (2)确定抛物线与x轴的交点的横坐标在哪两个数之间； (3)列表或直接取值代入方程计算，哪一个值能使方程近似成立，则这个值就是方程的近似根． ◆3.做一做 （1）请利用图1求一元二次方程x²+2x-10=3的近似根. 解： 求一元二次方程x²+2x-10=3的近似根，即求方程x²+2x-13=0的近似根. 也就是估计抛物线y=x²+2x-13和x轴的交点的横坐标； 由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7. ∴方程x²+2x-10=3的近似根为：≈-4.7，≈2.7. （2）你还能利用图2求一元二次方程x²+2x-10=3的近似根吗？ 解：①作直线y=3； ②观察估计抛物线y=x²+2x-10和直线y=3的交点的横坐标； 由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值). ∴方程x²+2x-10=3的近似根为：≈-4.7，≈2.7. ◆4.练一练 （1）根据下列表格的对应值: x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax²+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 判断方程 ax²+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26 解：C （2）已知二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的近似根为(　　) A．≈－2.1，≈0.1 B．≈－2.5，≈0.5 C．≈－2.9，≈0.9 D．≈－3，≈1 解：B 解析：由图象可得二次函数y＝ax²＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5， ∴≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则＝－1， ∴＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故≈－2.5，≈0.5.故选B. 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 利用二次函数的图象估计一元二次方程x²－2x－1＝0的近似根(结果精确到0.1)． 解：方程x²－2x－1＝0的根是函数y＝x²－2x－1的图象与x轴交点的横坐标． 作出二次函数y＝x²－2x－1的图象，如图所示. 由图象可知方程有两个根，一个在－1和0之间，另一个在2和3之间. 先求－1和0之间的根，当x＝－0.4时，y＝－0.04；当x＝－0.5时，y＝0.25. 因此，x≈－0.4是方程的一个近似根， 同理，x≈2.4是方程的另一个近似根. 即方程x²－2x－1＝0的近似根为≈－0.4，≈2.4. 例2 利用二次函数的图象求一元二次方程－x²＋2x－3＝－8的近似根． 分析：当 y＝－x²＋2x－3的函数值为－8时，对应点的横坐标即为一元二次方程－x²＋2x－3＝－8的根，如图所示． 解：在平面直角坐标系内作函数 y＝－x²＋2x－3的图象，如图，由图象可知方程－x²＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x²＋2x－3与直线y＝－8的公共点的横坐标，左边的公共点横坐标在－1与－2之间，右边的公共点横坐标在3和4之间． (1)先求在－1和－2之间的根，利用计算器进行探索： x -1.1 -1.2 -1.3 -1.4 -1.5 y -6.41 -6.84 -7.29 -7.76 -8.25 ∴x＝－1.4是方程－x²＋2x－3＝－8的一个近似根． (2)另一根可以类似地求出： x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 y -6.41 -6.84 -7.29 -7.76 -8.25 ∴x＝3.4是方程－x²＋2x－3＝－8的另一个近似根． 一元二次方程－x²＋2x－3＝－8的近似根为：≈-1.4，≈3.4. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论如何用二次函数图象求解一元二次方程近似解； B.交流例题的解题思路，总结方法和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.下表是满足二次函数y＝ax²＋bx＋c的五组数据，是方程ax²＋bx＋c＝0的一个解，则下列选项中正确的是(　　) x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y －0.80 －0.54 －0.20 0.22 0.72 A.1.6＜＜1.8 B.1.8＜＜2.0 C.2.0＜＜2.2 D.2.2＜＜2.4 解：C． 2.小颖用计算器探索方程ax²+bx+c=0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x=-3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（　　） A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.4 解：D. 3．观察下表: x 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 y＝－2x－2 -1.31 -1.04 -0.75 -0.44 -0.11 0.24 0.61 则一元二次方程－2x－2＝0在精确到0.1时的一个近似根是_____，利用抛物线的对称性，可推知该方程的另一个近似根是_____. 解：2.7，-0.7． 4．已知二次函数y＝a＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，顶点坐标为(－1，－3.2)，由图象可知关于x的一元二次方程a＋bx＋c＝0的两个根分别是＝1.3，＝________． 解：－3.3. 5.下表是一组二次函数 y＝＋3x－5的自变量x 与函数值y 的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y －1 －0.49 0.04 0.59 1.16 那么方程＋3x－5＝0的一个近似根是_______. 解：1.2. 6.二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示,则方程ax²+bx+c=0的两个根是____________,若函数y＜0,则对应x的取值范围是___________. 解：=1, =3；1＜x＜3 7.用图象法求一元二次方程x²+x-1＝0的近似根（精确到0.1）. 解：画出+x-1=0的图象，如图所示，由图象知，方程有两个根，一个在-2和-1之间，另一个在0到1之间.通过计算器估算，可得到抛物线与x轴交点的横坐标大约为-1.6和0.6. 即一元二次方程的实数根为≈-1.6，≈0.6. 8.求一元二次方程x²-2x-1=3的近似根（精确到0.1）. 解：y=x²-2x-4的图象如图所示. 由图象可知方程的一根在3到4之间，另一根在-1到-2之间. (1)先求3到4之间的根.利用计算器进行探索： x … 3.2 3.3 … y … -0.16 0.29 … 因此，x=3.2是方程的一个近似根. (2)可类似地求出另一个根为x=-1.2. 题型一： 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 1．如表是部分二次函数y＝ax2+bx﹣5的自变量x与函数值y的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 那么方程ax2+bx﹣5＝0的一个根在（　　）范围之间． A．1～1.1 B．1.1～1.2 C．1.2～1.3 D．1.3～1.4 【答案】B． 【分析】利用二次函数和一元二次方程的关系． 【详解】解：观察表格可知：当x＝1.1时，y＝﹣0.49；当x＝1.2时，y＝0.04， ∴方程ax2+bx﹣5＝0的一个根在范围是1.1＜x＜1.2． 故选：B． 【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可． 2．已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，再根据对称轴计算较大根的范围． 【详解】解：二次函数的对称轴为， 由表可知，当时，；当时，， 方程的一个较小根满足。 根关于对称轴对称，设较大根为，则 ， 。 当时，； 当时，； ， 故选：C． 3．如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数对应值表中值的符号变化，确定方程根的范围，再根据值接近的程度选择近似解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴的一个根在和之间， ∵ 时的值比时更接近， ∴方程的一个近似根为， 故选：． 4．根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，令，由二次函数的图像与轴的交点横坐标是对应方程的解，判断当时，的图像与轴有一个交点，即可求解． 【详解】解：令， 当时，， 当时，， 当时，的图像与轴有一个交点， 方程有一个解的范围是． 故选：C． 5．已知二次函数中部分x和y的值如下表所示： x y 0.25 0.56 0.89 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，最后根据二次函数图象的对称性即可解答． 【详解】解：依题意，函数的对称轴为直线， 由表格数据可得： 当时，；当时，； ∴的较小的根的范围为， 则， ∴的较大的根的范围是． 故选：C． 题型二 利用二次函数的图象解不等式 6．（24-25九年级上·浙江温州·期中）若点在抛物线上，其中，则不等式的解为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，以及解不等式，先由点在抛物线上得，再将其代入不等式，再根据，得出解集即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴或， ∴或， 故选：A． 7．抛物线的部分图象如图所示，其与x轴时的一个交点为，对称轴为直线，将抛物线沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线，则当时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的平移，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点． 首先根据二次函数的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为，然后根据平移的性质得到抛物线与x轴的两个交点坐标为和，再根据抛物线的开口方向即可求得当时的x的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为和 ∴当时，x的取值范围是． 故选：C． 8．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为（　　） A．x＞﹣1 B．x＜3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3或x＞1 【答案】C． 【分析】由抛物线与直线交点横坐标确定直线在抛物线上方时x的取值范围． 【详解】解：∵A（﹣1，p），B（3，q）， ∴﹣1＜x＜3时，直线在抛物线上方，即﹣1＜x＜3时，ax2+c＜mx+n， ∴不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为﹣1＜x＜3． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过图象求解． 9．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质与一元二次不等式的关系，解题的关键是利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，再结合开口方向确定时的取值范围． 已知抛物线对称轴为，且与轴的一个交点为，根据抛物线关于对称轴对称的性质，计算两交点到对称轴的距离，进而求出另一个交点坐标；再由抛物线开口向下，可知图象在两交点之间及交点处的函数值，从而确定的取值范围． 【详解】解：∵抛物线对称轴为，且与轴的一个交点为， ∴该交点到对称轴的距离为， ∴抛物线与轴的另一个交点为，即， 又∵抛物线开口向下， ∴当时，的取值范围是． 故答案为：． 10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象直接回答下列问题： （1）直接写出该二次函数的解析式为 　 ； （2）不等式ax2+bx+c≤0的解集是 　 ； （3）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是 　 　； （4）若关于x的方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实根，则k的取值范围是 　 　． 【分析】（1）设抛物线交点式y＝a（x+2）（x﹣4），将（0，4）代入解析式求解． （2）根据抛物线与x轴交点坐标及开口方向判断． （3）由抛物线与x轴交点坐标可得抛物线对称轴为直线x＝1，然后根据开口方向进行判断． （4）将抛物线解析式化为顶点式求解． 【详解】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）， 将（0，4）代入y＝a（x+2）（x﹣4）得4＝﹣8a， 解得a， ∴y（x+2）（x﹣4）x2+x+4， 故答案为：yx2+x+4． （2）由图象可得x≤﹣2或x≥4时，y≤0， 故答案为：x≤﹣2或x≥4． （3）∵图象经过（﹣2，0），（4，0）， ∴抛物线对称轴为直线x＝1， ∵抛物线开口向下， ∴x＞1时，y随x的增大而减小， 故答案为：x＞1． （4）∵yx2+x+4（x﹣1）2， ∴y， ∴y时，ax2+bx+c＝k有两个不相等的实根， 故答案为：k． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数图象的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 题型三 二次函数与一元二次方程的综合应用 11．已知二次函数y＝﹣x2﹣4x+m． （1）若该二次函数的最大值为2m，求m的值； （2）若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图象与x轴有2个交点，求m的取值范围． 【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式得到当x＝﹣2时，二次函数有最大值m+4，则m+4＝2m，解之即可； （2）求出平移后的解析式为y＝﹣x2+m，根据题意结合二次函数图象的性质可得平移后的抛物线顶点一定在x轴上方，则m＞0． 【解答】解（1）∵二次函数解析式为y＝﹣x2﹣4x+m＝﹣（x+2）2+m+4， ∴当x＝﹣2时，二次函数有最大值m+4， ∵该二次函数的最大值为2m， ∴m+4＝2m， ∴m＝4； （2）把二次函数y＝﹣（x+2）2+m+4向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数解析式为y＝﹣（x+2﹣2）2+m+4﹣4＝﹣x2+m， ∵平移后的抛物线解析式与x轴有2个交点，且抛物线开口向下， ∴平移后的抛物线顶点一定在x轴上方， ∴m＞0． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质．二次函数图象与几何变换，二次函数的最值，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12．已知函数y＝2（x﹣m）（x﹣m﹣3）（m为常数）． （1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点； （2）若该函数图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，若△ABC的面积为12，求m的值． 【分析】（1）令y＝0，可得关于x的一元二次方程，解方程可证得结论； （2）令y＝0，可得关于x的一元二次方程，表示出方程的根，即可得到A、B两点的坐标，然后令x＝0，得到点C的坐标，最后利用三角形面积公式列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵y＝2（x﹣m）（x﹣m﹣3）即y＝2x2﹣2（2m+3）x+2m2+6m， ∴当y＝0时，即2x2﹣2（2m+3）x+2m2+6m＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣2（2m+3）]2﹣4×2×（2m2+6m）＝36＞0， ∴该函数图象与x轴总有两个公共点； （2）∵y＝2（x﹣m）（x﹣m﹣3）即y＝2x2﹣2（2m+3）x+2m2+6m， ∴当y＝0时，即2（x﹣m）（x﹣m﹣3）＝0， ∴x＝m或x＝m+3， 当x＝0时，y＝2m2+6m， ∴设A（m，0），B（m+3，0），C（0，2m2+6m）， ∴AB＝3， ∵△ABC的面积等于12， ∴，即， ∴m2+3m＝4①或m2+3m＝﹣4②， ∴解①得m＝﹣4或m＝1，方程②无解． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，二次函数性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 13．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，点P（m，n）在抛物线上． （1）求抛物线的表达式及顶点坐标； （2）若此抛物线点P右侧的部分（不含点P）上恰好有三个点到x轴的距离均为2，请直接写出m的取值范围． 【分析】（1）依据题意，由抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，可得方程组，计算后可得函数解析式，再化成顶点式可得顶点坐标，进而得解； （2）依据题意，在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝2得2＝x2﹣2x﹣3，解得x＝1或x＝1，可得K（1，2），T（1，2），又在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝﹣2得﹣2＝x2﹣2x﹣3，解得x＝1或x＝1，可得R（1，﹣2），S（1，﹣2），再结合抛物线在点P右侧的部分（不含点P）上，恰好有三个点到x轴的距离为2，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴． ∴． ∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4． ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）． （2）由题意，如图： 在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝2得2＝x2﹣2x﹣3，解得x＝1或x＝1， ∴K（1，2），T（1，2） 在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝﹣2得﹣2＝x2﹣2x﹣3，解得x＝1或x＝1， ∴R（1，﹣2），S（1，﹣2）， ∵抛物线在点P右侧的部分（不含点P）上，恰好有三个点到x轴的距离为2， ∴P在点K和R之间的抛物线上（包含K，不包含R）， ∴1m＜1． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，涉及待定系数法，解题的关键是掌握二次函数的相关性质并能灵活应用． 利用图象法求一元二次方程的近似根 (1)画出二次函数的图象； (2)确定抛物线与x轴的交点的横坐标在哪两个数之间； (3)列表或直接取值代入方程计算，哪一个值能使方程近似成立，则这个值就是方程的近似根． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $