第三单元：长方体和正方体（知识清单）数学人教版五年级下册

该小学数学知识清单系统梳理了人教版五年级下册第三单元“长方体和正方体”内容，涵盖认识、表面积、体积三大知识范畴，搭建从定义特征到公式推导再到实际问题解决的递进式学习支架，包含14个核心考点及综合练习。 清单以“知识点+典例+变式”结构呈现，标注易错点如“正方体是特殊长方体”，设计“排水法求体积”等实践题型，培养空间观念和几何直观。通过考点分类与分层练习，帮助学生系统掌握，教师可精准设计教学，提升复习效率。

人教版五年级数学下册第三单元：长方体和正方体（单元复习讲义） （知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：长方体和正方体的认识 1、长方体 （1）定义：一般是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。 ①两个面相交的边叫做棱。 ②三条棱相交的点叫做顶点。 ③相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 （2）长方体的特征： ①面：长方体有6个面，这6个面一般是长方形的，特殊情况有两个相对的面是正方形；相对的面完全相同。 ②棱：长方体有12条棱，相对的棱长度相等。长方体12条棱可以分成3组，分别有4条长、4条宽、4条高。 ③顶点：长方体有8个顶点。 （3）长方体的棱长 ①长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4＝长×4＋宽×4＋高×4 ②长＝棱长总和÷4－宽－高 ③宽＝棱长总和÷4－长－高 ④高＝棱长总和÷4－长－宽 2、正方体 （1）定义：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。 （2）正方体特征： ①正方体有12条棱，它们的长度都相等。有8个顶点。 ②正方形的6个面是完全相同的正方形。 ③正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 （3）正方体的棱长 ①正方体的12条棱的长度都相等。 ②正方体的棱长总和＝棱长×12 ③正方体的棱长＝棱长总和÷12 3、长方体和正方体的异同点 【易错点】 （1）正方体是特殊的长方体，特殊在长、宽、高都相等。 （2）长方体中，若有2个相对面是正方形，则其余4个面是完全相同的长方形。 （3）数棱时要按组计数，避免重复或遗漏。 知识点02：长方体和正方体的表面积 1、表面积的定义：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 2、长方体的表面积 （1）长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 （2）用字母表示：S＝（ab＋ah＋bh）×2 3、正方体的表面积 （1）正方体的表面积＝棱长×棱长×6 （2）用字母表示：S＝6a2 【易错点】 （1）无盖长方体（如鱼缸、抽屉）：表面积=长×宽+2×（长×高+宽×高）（少1个底面）。 （2）通风管/烟囱（无上下底面）：表面积=2×（长×高+宽×高）（少2个相对面） 知识点03：长方体和正方体的体积 1、体积和体积单位 （1）体积定义：物体所占空间的大小，叫做物体的体积。 （2）体积单位间的进率 ①每相邻两个体积单位之间的进率是1000。 ②1dm³＝1000cm³；1m³＝1000dm³ （3）体积单位间的换算： ①高级单位换成低级单位，乘进率，小数点向右移动。 ②低级单位换成高级单位，除以进率，小数点向左移动。 2、长方体的体积 （1）长方体的体积＝长×宽×高 （2）如果用字母V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高可以写成：V＝abh。 3、正方体的体积 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 如果用字母V表示正方体的体积，用a表示正方体的棱长，那么正方体的体积计算公式可以写成：V＝a3。 4、长方体、正方体体积通用公式 （1）长方体或正方体底面的面积叫作底面积。 （2）长方体（或正方体）的体积＝底面积×高 （3）如果用字母S表示底面积，上面的公式可以写成：V＝Sh。 5、“排水法”求不规则物体的体积 排水法原理：当把不规则物体完全浸没在装有水的圆柱形容器中时，水面会上升。上升的这部分水的体积就等于不规则物体的体积。 6、容积和容积单位 （1）容器所能容纳物体的体积，叫做它们的容积。 （2）计量容积一般用体积单位：立方厘米、立方分米和立方米。但计量液体的体积，如水、油等，常用升和毫升（即L和ml）。 （3）容积单位和体积单位间的关系：1L＝1dm³；1mL＝1cm³；1L＝1000mL 考点1：长方体的认识及特征 【典型例题】同学们正在用一些小棒和橡皮泥拼搭长方体框架。 （1）如图是小宇已经拼搭好的部分，他还需要（ ）个橡皮泥小球、（ ）根9cm长的小棒、（ ）根6cm长的小棒、（ ）根4cm长的小棒，就可以拼搭成一个长（ ）cm、宽（ ）cm、高（ ）cm的长方体框架。 （2）长方体框架上面是（ ）形，长是（ ）cm，宽是（ ）cm。 （3）长方体框架（ ）面和（ ）面的长方形的长是6cm，宽是4cm。 【答案】（1） 5 1 2 3 9 6 4 （2） 长方 9 6 （3） 左 右 【分析】（1）长方体有8个顶点，每个顶点处有1个橡皮泥小球，图中已有3个顶点处有橡皮泥小球，所以还需要5个橡皮泥小球；长方体有4条长、4条宽 、4条高，长为9cm的小棒已有3根，所以还需要1根；宽为6cm的小棒已有2根，所以还需要2根；高为4cm的小棒已有1根，所以还需要3根；从图中可知长方体的长是9cm、宽是6cm、高是4cm； （2）长方体的上面是长方形，其长是9cm，宽是6cm； （3）根据长方体的特征，长方体框架左面和右面的 长方形的长是6cm，宽是4cm。据此解答。 【详解】根据分析得：（1）如图所示的是小宇已经拼搭好的部分，他还需要5个橡皮泥小球、1根9cm长的小棒、2根6cm长的小棒、3根4cm长的小棒，就可以拼搭成一个长9cm、宽6cm、高4cm的长方体框架。 （2）长方体框架上面是长方形，长是9cm，宽是6cm。 （3）长方体框架左面和右面的长方形的长是6cm，宽是4cm。 【练习】数学兴趣小组的三名同学分别画了一个长方体的三条棱，其中不能确定长方体形状和大小的是（     ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为四组，每一组有3条棱，据此可知，只有知道长方体的一组长、宽、高即可知道长方体的大小，据此解答。 【详解】A．，图中所表示的是长方体的长、宽、高，所以可以确定长方体的大小。 B．，图中缺少长方体的宽，所以不可以确定长方体的大小。 C．，图上所表示的是长方体的长、宽、高，所以可以确定长方体的大小。 数学兴趣小组的三名同学分别画了一个长方体的三条棱，其中不能确定长方体形状和大小的是。 故答案为：B 考点2：长方体有关棱长的应用 【典型例题】母亲节那天，小小为妈妈选了一份礼物（如下图）。如果用彩带捆扎，至少需要多长的彩带？（打结处用了25厘米） 【答案】135厘米 【分析】观察图形可知，彩带的长度由2条长，2条宽，4条高和打结处的长度组成，即：彩带总长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋25。已知礼物的长为20厘米，宽为15厘米，高为10厘米，打结处为25厘米，把数据代入计算即可解答。 【详解】20×2＋15×2＋10×4＋25 ＝40＋30＋40＋25 ＝135（厘米） 答：至少需要135厘米的彩带。 【练习】一个长方体的所有棱长之和是240厘米，则相交于同一个顶点的三条棱长之和是（     ）厘米。 A．60 B．80 C．120 【答案】A 【分析】长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等，按棱的长度可以分为三组，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高，长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4，则相交于同一个顶点的三条棱长之和＝长方体的棱长之和÷4，据此解答。 【详解】240÷4＝60（厘米） 所以，相交于同一个顶点的三条棱长之和是60厘米。 故答案为：A 考点3：长方体的展开图 【典型例题】下面是一个长方体的展开图。 原来这个长方体的长是（ ）cm，宽是（ ）cm，高是（ ）cm。 【答案】 15 6 5 【分析】长方体上下面相对，左右面相对，前后面相对，相对的面完全一样，如图，上下面的长和宽是长方体的长和宽，看图可知，长×2＋高×2＝40cm，因此高＝（40－长×2）÷2，据此解答。 【详解】（40－15×2）÷2 ＝（40－30）÷2 ＝10÷2 ＝5（cm） 原来这个长方体的长是15cm，宽是6cm，高是5cm。 【练习】下列不是长方体侧面展开图的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把一个长方体的盒子沿棱剪开，可以归纳为以下几种常见情况： 1、“1－4－1”型 2、“2－3－1”型 3、“2－3－1”型 【详解】A．，1－4－1型长方体展开图； B．，不是长方体展开图； C． ，1－4－1型长方体展开图； D．，2－3－1型长方体展开图。 不是长方体侧面展开图的是。 故答案为：B 考点4：正方体的认识及特征 【典型例题】（课本原题）下图分别是长方体或正方体一个顶点处的3条棱。（单位：cm） 从以下图形中选择6个面（可重复选择），围出上面的长方体或正方体。 【答案】见详解 【分析】长方体的特征：长方体有12条棱，其中4条长，4条宽，4条高，长、宽、高相交于一个顶点，4条长互相平行且相等，4条宽互相平行且相等，4条高互相平行且相等； 正方体特征：6个面都是正方形，且面积相等，8个顶点，12条棱长度都相等。 【详解】第一个：2个②，2个③，2个⑤； 第二个：4个⑤，2个⑥； 第三个：6个⑥。 【练习】一个长方体木头长18厘米，宽10厘米，高8厘米，锯成一个最大的正方体，这个正方体的棱长是（ ）厘米，可锯（ ）个这样的正方体。 【答案】 8 2 【分析】要锯成最大的正方体，棱长由长方体的最短边决定，因此正方体的棱长应等于长方体的高，然后分别计算长方体的长、宽、高分别包含几个正方体的棱长，最后相乘即可得正方体的个数，据此解答。 【详解】因为长方体的高是8厘米，所以锯成的最大正方体的棱长是8厘米。 18÷8＝2（个）……2（厘米） 10÷8＝1（个）……2（厘米） 8÷8＝1（个） 2×1×1＝2（个） 即这个正方体的棱长是8厘米，可锯2个这样的正方体。 考点5：正方体有关棱长的应用 【典型例题】灯笼是一种古老的传统工艺品。王伯伯用一根竹丝正好扎成一个长40cm、宽30cm、高20cm的长方体灯笼框架。如果用这根竹丝扎成一个正方体灯笼框架，那么正方体灯笼框架的棱长最长是多少？（接头处忽略不计） 【答案】30厘米 【分析】已知王伯伯用一根竹丝正好扎成一个长40cm、宽30cm、高20cm的长方体灯笼框架，又用这根竹丝扎成一个正方体灯笼框架，即长方体的棱长总和等于正方体的棱长总和。先根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出长方体的棱长总和，即是正方体的棱长总和，再根据正方体的棱长总和＝棱长×12，求出正方体的棱长，据此解答。 【详解】（40＋30＋20）×4 =90×4 =360（厘米） 360÷12=30（厘米） 答：正方体灯笼框架的棱长最长是30厘米。 【练习】把一根长96厘米的铁丝焊成正方体，它的棱长是（     ）厘米。（焊接处忽略不计） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】B 【分析】根据题意，用一根铁丝焊成正方体，那么铁丝的长度即是正方体的棱长总和；根据正方体的棱长总和＝棱长×12，可知正方体的棱长＝棱长总和÷12，求出它的棱长。 【详解】96÷12＝8（厘米） 它的棱长是8厘米。 故答案为：B 考点6：正方体的展开图 【典型例题】如图所示的展开图围成一个正方体后，“强”字所在面相对的面上的字是（ ），“必”字所在面相对的面上的字是（ ）。 【答案】 有 我 【分析】解决正方体展开图相对面的问题，需依据“相对面不相邻，且遵循“隔一相对”或“Z字两端相对”的规律。我们需要观察展开图的结构，分析每个字所在面的相邻关系，从而推导其相对面。 【详解】在该正方体展开图中，根据“隔一相对”和“Z字两端相对”的规律：“强”字的面与“有”字的面，符合“隔一相对”的规律，因此二者相对；“必”字的面与“我”字的面，符合“Z字两端相对”的规律，因此二者相对。 【练习】下面图形中，折叠后，不能围成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】常见正方体展开图类型： 1.一四一型：，， 2.二三一型或一三二型：，， 3.二二二型： 4.三三型： 【详解】A．数字1对面的是数字5，数字3对面的是数字6，数字2对面的是数字4，可以围成正方体。 B．数字1对面的是数字4，数字2对面的是数字5，数字3对面的是数字6，可以围成正方体。 C．数字1对面的是数字5，数字2对面的是数字4，数字3对面没有数字，数字6对面的是数字4，出现了重复，不可以围成正方体。 D．数字1对面的是数字4，数字2对面的是数字6，数字3对面的是数字5，可以围成正方体。 故答案为：C 考点7：长方体的表面积 【典型例题1】聪聪用纸板做一个无盖长方体纸盒，他已经做好了两个相邻的面（如图），做这个纸盒至少需要（ ）cm2纸板。 【答案】52 【分析】根据长方体纸盒的后面（长×高）和右面（宽×高）的尺寸，可知这个长方体的长是5cm、宽是2cm、高是3cm，因为无盖长方体纸盒没有上面，则这个无盖纸盒的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算，求出做这个纸盒至少需要纸板的面积。 【详解】5×2＋5×3×2＋2×3×2 ＝10＋30＋12 ＝52（cm2） 做这个纸盒至少需要52cm2纸板。 【典型例题2】一个底面是正方形的长方体，高为12厘米。若把它的高减少3厘米后，表面积减少了60平方厘米。如果在这个长方体的每条棱上都包上金属条，金属条的总长度是多少厘米？ 【答案】88厘米 【分析】高减少3厘米后，表面积减少了60平方厘米，减少的是一个高是3厘米，底面与原长方体底面相等的长方体的侧面积，长方体的侧面积沿高剪开，可看作一个长方形，一条边是长方体的底面周长，另一条边是高，所以用60除以3，可得到长方体的底面周长，又知底面是正方形，根据正方形的周长＝边长×4，用底面周长除以4，可得底面边长，即长方体的长和宽，最后根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算即可。 【详解】60÷3÷4 =20÷4 =5（厘米） (5+5+12)×4 =22×4 =88（厘米） 答：金属条的总长度是88厘米。 【练习】一节长方体通风管的横截面周长是12.5dm，长是4m。制作这样一节通风管要用铁皮（ ）m2。 【答案】5 【分析】长方体通风管的侧面积展开后是一个长方形，这个长方形的一边长为通风管的长（即横截面周长），另一边长为4m。长方形面积公式S＝a×b（其中S为面积，a为长，b为宽），所以用长乘横截面周长即可得出制作这样一节通风管要用铁皮的面积，计算时注意统一单位。 【详解】1m＝10dm 12.5÷10＝1.25（m） 4×1.25＝5（m2） 制作这样一节通风管要用铁皮5m2。 考点8：正方体的表面积 【典型例题】园园用长为48dm的铁丝做了一个正方体框架，她想在正方体框架的外面贴上一层彩纸，至少要用多少平方分米的彩纸？（不计损耗） 【答案】 96平方分米 【分析】先根据正方体棱长总和（48dm）求出棱长：棱长之和除以12，再利用棱长计算正方体表面积，正方体表面积，即为所需彩纸面积。据此解答。 【详解】48÷12=4（分米） 4×4×6 =16×6 =96（平方分米） 答：至少要用96平方分米的彩纸。 【练习】用三个一样大的小正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是56dm2。一个小正方体的表面积是多少平方分米？ 【答案】24平方分米 【分析】一个正方体有6个相同的正方形面，三个小正方体的总面数为每个正方体的面数乘以正方体的个数即（个），三个同样大小的小正方体拼成一个长方体，只能排成一排，会有2个拼接处，每个拼接处 会使2个面重合，即减少2个面，所以减少的面数为拼接处数量乘以2即 （个），长方体的表面积对应的面数等于三个小正方体的总面数减去拼接后减少的面数即（个）；已知长方体的表面积是56dm，且该表面积对应14个正方形面，用长方体的表面积除以对应的面数，即可得到一个面的面积；一个小正方体有6个相同的面，用一个面的面积乘以6，即可得到一个小正方体的表面积；据此解答。 【详解】56÷(6×3－4)×6 =56÷14×6 =4×6 =24（平方分米） 答：一个小正方体的表面积是24平方分米。 考点9：体积和体积单位 【典型例题】在括号里填上合适的数。 23.04立方米＝（     ）立方分米       0.08立方分米＝（     ）立方厘米 4.07立方米＝（     ）立方米（     ）立方分米 【答案】 23040 80 4 70 【分析】根据1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1000立方厘米，高级单位化低级单位要乘进率，低级单位化高级单位要除以进率，据此解答。 【详解】23.04立方米＝23040立方分米   0.08立方分米＝80立方厘米 4.07立方米＝4立方米70立方分米 【练习】下面物体的体积更接近16立方分米的是（     ）。 A．粉笔盒 B．书包 C．保温杯 D．洗衣机 【答案】B 【分析】棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米，大约是1个手指头的大小；棱长1分米的正方体，体积是1立方分米，大约是2个拳头的大小；棱长1米的正方体，体积是1立方米，大约是1台洗衣机的大小。据此结合数据和生活经验，根据体积单位的认识进行选择。 【详解】A．粉笔盒的体积大约是1立方分米； B．书包的体积大约是16立方分米； C．保温杯的体积大约是600立方厘米； D．洗衣机的体积大约是1立方米。 体积更接近16立方分米的是书包。 故答案为：B 考点10：长方体的体积 【典型例题1】一个封闭的长方体玻璃容器（如图所示，玻璃厚度忽略不计），长25厘米，宽10厘米，高8厘米，里面的水深4厘米，如果把这个容器向右竖起来，容器里面的水深应该是多少厘米？ 【答案】12.5厘米 【分析】先求出长是25厘米，宽是10厘米，高是4厘米长方体的体积，也就是4厘米高水的体积；根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，求出长方体容器内水的体积；由于体积不变，把这个容器向右竖起来，长方体的长为10厘米，宽8厘米，求高，根据体积＝长×宽×高，高＝体积÷（长×宽），代入数据，即可解答。 【详解】（25×10×4）÷（10×8） ＝（250×4）÷80 ＝1000÷80 ＝12.5（厘米） 答：容器里面水深12.5厘米。 【典型例题2】把一块长12m的长方体木材锯成三块完全相同的小长方体（如下图），表面积增加了60dm²，这块木材原来的体积是（ ）dm3。 【答案】1800 【分析】看图可知，长方体木材锯成三块完全相同的小长方体，表面积增加了4个截面，增加的表面积÷增加的截面数量＝截面面积，根据长方体体积＝截面面积×长，列式计算即可，注意统一单位。 【详解】12m＝120dm 60÷4×120 ＝15×120 ＝1800（dm3） 这块木材原来的体积是1800dm3。 【练习】有一堆150立方米的沙石，把它铺在10米宽的长方形公路上，铺3厘米厚，能铺多少米？ 【答案】500米 【分析】已知沙石的体积为150立方米，沙石体积不变，根据长方体的体积公式：（其中是长，是宽，是高），因为1米＝100厘米，再将3厘米换算成米，代入数值即可求解。 【详解】3÷100=0.03（米） 长方形公路的厚度： 150÷10÷0.03 =15÷0.03 =500（米） 答：能铺500米。 考点11：正方体的体积 【典型例题】有一块棱长为4分米的正方体钢坯，现要把它锻造成底面积为40平方分米的长方体钢条。钢条的高是多少分米？ 【答案】1.6分米 【分析】正方体体积公式为V＝a×a×a（a表示棱长）。已知正方体钢坯棱长为4分米，将数据代入公式可得：4×4×4＝64（立方分米）。因为锻造前后体积不变，所以长方体钢条的体积也是64立方分米。长方体体积公式为V＝S×h（S表示底面积，h表示高），则h＝V÷S，已知长方体钢条底面积为40平方分米，体积为64立方分米，把数据代入公式计算即可。 【详解】4×4×4＝64（立方分米） 64÷40＝1.6（分米） 答：钢条的高是1.6分米。 【练习】张阿姨用灯带装饰一个正方体礼盒的每一条棱，一共用去180厘米的灯带（接头处忽略不计），求这个正方体礼盒的体积。 【答案】3375立方厘米 【分析】根据正方体棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，用180÷12，求出正方体的棱长，再根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，即可解答。 【详解】180÷12＝15（厘米） 15×15×15 ＝225×15 ＝3375（立方厘米） 答：这个正方体礼盒的体积是3375立方厘米。 考点12：容积和容积单位 【典型例题】一瓶饮料为2升，一个杯子能装300毫升饮料，小宇和6个同学平均分这瓶饮料，够每人一杯吗？ 【答案】不够 【分析】2升＝2000毫升，小宇和6个同学平均分这瓶饮料，首先用6＋1＝7（个）计算出一共有几个学生，也就是需要倒7杯，一杯300毫升，用300×7计算出结果后再与2000毫升比较即可。 【详解】2升＝2000毫升 300×（6＋1） ＝300×7 ＝2100（毫升） 2000毫升＜2100毫升 答：不够每人一杯。 【练习】2.04立方米＝（ ）立方米（ ）立方分米     8060毫升＝（ ）升 【答案】 2 40 8.06 【分析】（1）1立方米＝1000立方分米，大单位换算成小单位时乘进率； （2）1升＝1000毫升，小单位换算成大单位时除以进率。 【详解】（1）0.04×1000＝40（立方分米） 所以2.04立方米＝2立方米40立方分米。 （2）8060÷1000＝8.06（升） 所以8060毫升＝8.06升。 考点13：组合体的表面积和体积 【典型例题】4月23日是世界读书日，学校把每年的四月份定为读书活动月。妙妙分享了她制作的阅读主题创意手工，如图所示。寓意着“知识是人类进步的阶梯”。这件手工作品的占地面积是多少？体积是多少？ 【答案】 180平方厘米；960立方厘米 【分析】求这件手工作品的占地面积就是求三个长方体的底面积，可以看成一个长是厘米，宽是10厘米的长方形的面积；体积就是求三个长方体的体积之和。根据长方形的面积＝长×宽，，分别代入数据计算即可。 【详解】（6＋6＋6）×10 ＝18×10 ＝180（平方厘米） 6×8×10＋6×6×10＋6×2×10 ＝480＋360＋120 ＝960（立方厘米） 答：这件手工作品的占地面积是180平方厘米；体积是960立方厘米。 【练习】计算图形（如图）的表面积和体积。（长度单位为） 【答案】112dm2；60dm3 【分析】将凹下去的（3×2）的面平移到上边空缺处，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算出完整的大长方体表面积，再用大长方体的表面积减去前后空缺处的2个边长2dm的正方形的面积，然后加上增加的左右2个长3dm，宽2dm的长方形的面积，即可求出这个图形的表面积； 这个图形的体积＝大长方体体积－小长方体体积，大长方体的长为6dm、宽为3dm、高为4dm，小长方体的长为3dm、宽为2dm、高为2dm，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【详解】（6×3＋6×4＋3×4）×2－2×2×2＋3×2×2 ＝（18＋24＋12）×2－8＋12 ＝54×2－8＋12 ＝108－8＋12 ＝112（dm2） 6×3×4－2×3×2 ＝72－12 ＝60（dm3） 这个图形的表面积是112dm2，体积是60dm3。 考点14：“排水法”求不规则物体体积 【典型例题】（课本原题）求下图中大圆球的体积。 【答案】8立方厘米 【分析】由图可知，1个大球和1个小球等于12毫升水的体积，1个大球和4个小球等于24毫升水的体积。对比可知多了4－1＝3（个）小球，多了24－12＝12（毫升）。根据1毫升＝1立方厘米进行单位转化，然后用除法即可求出1个小球的体积，再进一步求得1个大球的体积。 【详解】12毫升＝12立方厘米 24毫升＝24立方厘米 （24－12）÷（4－1） ＝12÷3 ＝4（立方厘米） 12－4＝8（立方厘米） 答：大圆球的体积是8立方厘米。 【练习】将一块不规则石块放入一个装有水的长方体容器中，容器的长8分米，宽5分米，高6分米，石块完全浸没在水中，这时水面上升了1.3分米，这块不规则的石块是多少立方分米？ 【答案】52立方分米 【分析】将一块不规则石块放入一个装有水的长方体容器中，石块完全浸没在水中，石块的体积等于上升的水的体积，上升的水的体积＝长方体容器的长×长方体容器的宽×水面上升的高度，据此代入数据解答。 【详解】8×5×1.3 ＝40×1.3 ＝52（立方分米） 答：这块不规则的石块是52立方分米。 一、选择题 1．一瓶矿泉水约550（     ）。 A．升 B．毫升 C．立方分米 【答案】B 【分析】常用的容积单位有升和毫升，根据生活经验、对容积单位和数据的大小，可知计量一瓶矿泉水应用毫升做单位，生活中一瓶矿泉水的容积约是500毫升。 【详解】根据实际情况，一瓶矿泉水约550毫升。 故答案为：B 2．下面的平面图形中能围成长方体或正方体的有（     ）。 A．①② B．③④ C．②④ 【答案】C 【分析】长方体的特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。 正方体的特征：6个面都是正方形，且面积相等。 正方体、长方体的展开图的特点：“1—4—1”型、“2—3—1”型、“2—2—2”型、“3—3”型可以折成正方体或长方体。 【详解】①展开图的6个面都是完全一样的正方形，但不属于正方体展开图中的任何一种，所以不能围成正方体； ②展开图的6个面都是长方形，相对的面相同，属于展开图的“1—4—1”型，能围成长方体； ③展开图的6个面都是长方形，但不是所有相对的面都相同，所以不能围成长方体； ④展开图的6个面都是完全一样的正方形，属于正方体展开图的“3—3”型，能围成正方体。 综上所述，能围成长方体或正方体的有②④。 故答案为：C 3．一个正方体和长方体的棱长总和相等。已知长方体的长、宽、高分别是8cm、7cm、6cm，那么正方体的棱长是（     ）cm。 A．8 B．7 C．6 【答案】B 【分析】已知长方体的长、宽、高，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出长方体的棱长总和； 因为正方体和长方体的棱长总和相等，根据正方体的棱长总和＝棱长×12，可知正方体的棱长＝棱长总和÷12，据此求出正方体的棱长。 【详解】（8＋7＋6）×4 ＝21×4 ＝84（cm） 84÷12＝7（cm） 正方体的棱长是7cm。 故答案为：B 4．把一个正方体木块切成两个完全相同的长方体，表面积增加了18平方分米，原来正方体的体积是（     ）立方分米。 A．27 B．54 C．729 【答案】A 【分析】把一个正方体木块切成两个完全相同的长方体，表面积增加了2个正方形的面，增加的表面积÷2＝1个正方形的面，根据正方形面积＝边长×边长，确定原来正方体的棱长，再根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，列式计算即可。 【详解】18÷2＝9（平方分米） 9＝3×3 原来正方体的棱长是3分米。 3×3×3＝27（立方分米） 原来正方体的体积是27立方分米。 故答案为：A 5．小东做测量“石块体积”的实验：他先将一块棱长是4厘米的正方体铁块浸没在一个长方体水槽中，然后取出正方体铁块，水槽里的水面下降了1厘米。接着他把要测量的一个石块浸没在水槽中，这时水槽里的水面上升了1.5厘米。这个石块的体积是（     ）立方厘米。 A．24 B．96 C．150 D．216 【答案】B 【分析】先利用“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出正方体铁块的体积，铁块的体积等于取出正方体铁块后下降部分水的体积，长方体水槽的底面积＝取出正方体铁块后下降部分水的体积÷下降部分水的高度，这个石块的体积等于放入石块后上升部分水的体积，石块的体积＝长方体水槽的底面积×放入石块后上升部分水的高度，据此解答。 【详解】长方体水槽的底面积：4×4×4÷1 ＝16×4÷1 ＝64÷1 ＝64（平方厘米） 石块的体积：64×1.5＝96（立方厘米） 所以，这个石块的体积是96立方厘米。 故答案为：B 二、填空题 6．根据表中的物品参数，这个物品最有可能是（ ）（填序号：①微波炉 ②家用冰箱 ③普通文具盒），它的容积是（ ）L。 包装尺寸 573×337×449（单位：mm） 产品尺寸 502×302×415（单位：mm） 内部尺寸 400×225×300（单位：mm） 【答案】 ① 27 【分析】生活中微波炉的尺寸约为502mm×302mm×415mm，家用冰箱的尺寸约为600mm×750mm×1800mm，普通文具盒的尺寸约为210mm×85mm×35mm，根据三种物品的实际大小，推出表中的物品最有可能是什么，要求容积，用内部尺寸连乘，然后将立方毫米转化成升，除以进率1000000。 【详解】502mm×302mm×415mm最可能是微波炉 400×225×300 ＝90000×300 ＝27000000（mm3） ＝27（L） 这个物品最有可能是①（填序号：①微波炉 ②家用冰箱 ③普通文具盒），它的容积是27L。 7．乐乐有9根x厘米长的小棒和6根y厘米长的小棒，他用其中的12根搭成了一个长方体框架，这个长方体框架的棱长和是（ ）厘米。 【答案】8x＋4y 【分析】根据长方体的特征可知：长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，即长、宽、高各有4条。当长方体有两个相对面是正方形时，其他四个面是相同的长方形，此时有8条棱的长度相同。 把12条棱的长度相加即是长方体的棱长和，据此解答。 【详解】从9根x厘米长的小棒和6根y厘米长的小棒中，选出8根x厘米和4根y厘米共12根小棒搭成一个长方体框架，这个长方体框架的棱长和是（8x＋4y）厘米。 8．＝（ ）    1.07升＝（ ）升（ ）毫升 【答案】 0.245 1 70 【分析】1m3＝1000dm3；1升＝1000毫升；高级单位换算低级单位，乘进率；低级单位换算高级单位，除以进率，据此解答。 【详解】245dm3＝（245÷1000）m3＝0.245m3 0.07升＝（0.07×1000）毫升＝70毫升 1.07升＝1升70毫升 9．将三个棱长2厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的棱长总和是（ ）厘米，表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【答案】 40 56 24 【分析】如图： 从题意可知；长方体的长是2×3＝6厘米，宽和高都是2厘米。根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，分别代入数据计算即可。 【详解】2×3＝6（厘米） 棱长总和：（6＋2＋2）×4 ＝10×4 ＝40（厘米） 表面积：（6×2＋6×2＋2×2）×2 ＝（12＋12＋4）×2 ＝28×2 ＝56（平方厘米） 体积：6×2×2＝24（立方厘米） 长方体的棱长总和是40厘米，表面积是56平方厘米，体积是24立方厘米。 10．一个长方体的饮料盒，它的长、宽、高分别是6.4cm，3.5cm、10cm。如果围着它的四周贴一圈商标纸，至少需要（ ）的商标纸。 【答案】 198cm2/198平方厘米 【分析】要围着长方体饮料盒的四周贴一圈商标纸，则面积是长方体的侧面面积，即长、高组成的2个面和宽、高组成的2个面，运用小数乘法计算可得出答案。 【详解】根据题意得：在长方体四周贴一圈商标纸，则面积为： （6.4＋3.5）×10×2 ＝9.9×10×22 ＝198（cm2） 即至少需要198cm2的商标纸。 11．一根长方体水泥柱，高50dm，底面是周长为12dm的正方形。这根水泥柱的体积是（ ）dm3。 【答案】450 【分析】将正方形的周长除以4，求出边长，再根据“正方形面积＝边长×边长”求出正方形的面积，即长方体的底面积。根据“长方体体积＝底面积×高”求出这根水泥柱的体积。 【详解】12÷4＝3（dm） 3×3×50 ＝9×50 ＝450（dm3） 所以，这根水泥柱的体积是450dm3。 12．做一个长0.9m、宽5dm、高4dm的长方体无盖鱼缸，需要玻璃（ ）dm2（接口处忽略不计），最多可盛水（ ）L。 【答案】 157 180 【分析】长方体无盖鱼缸少上面，求这个鱼缸需要玻璃的面积，就是求长方体的下面、前后面、左右面共5个面的面积之和；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算，求出需要玻璃的面积。 根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出最多可盛水的体积。 注意单位的换算：1m＝10dm，1dm3＝1L。 【详解】0.9m＝9dm 9×5＋9×4×2＋5×4×2 ＝45＋72＋40 ＝157（dm2） 9×5×4 ＝45×4 ＝180（dm3） 180dm3＝180L 需要玻璃157dm2，最多可盛水180L。 13．一个长方体的高增加3cm就是一个正方体，这时表面积增加了96cm2，原来长方体的体积是（ ）cm3。 【答案】320 【分析】由题意可知：长方体底面是一个正方形其高增加3cm后，就变成了一个正方体，表面积增加了4个长方形面的面积，增加的表面积÷4＝一个长方形面的面积，然后用长方形的面积÷高增加的部分＝长方形底面边长，底面边长减去3cm就是长方体的高；要求原来长方体的体积，用长方体体积公式V＝abh计算即可。 【详解】96÷4＝24（cm2） 24÷3＝8（cm） 8－3＝5（cm） 8×8×5 ＝64×5 ＝320（cm3） 原来长方体的体积是320cm3。 14．用棱长为1cm正方体搭成一个长方体，从上面看到的图形是长3cm，宽2cm的长方形，从右面看到的图形是边长是2cm的正方形，这个长方体的表面积是（ ）cm2，体积是（ ）cm3。 【答案】 32 12 【分析】从上面看到的长方形的长是长方体的长，宽是长方体的宽，从右面看到的正方形边长是长方体的高，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高，列式计算即可。 【详解】（3×2＋3×2＋2×2）×2 ＝（6＋6＋4）×2 ＝16×2 ＝32（cm2） 3×2×2＝12（cm3） 这个长方体的表面积是32cm2，体积是12cm3。 15．要做一个容积是80立方分米的长方体水箱，水箱的底面是个正方形，边长是4分米，这个水箱的高是（ ）分米。 【答案】5 【分析】根据长方体的体积＝底面积×高，已知这个长方体水箱的体积，且底面是正方形，结合正方形的面积＝边长×边长，计算出长方体水箱的底面积，最后用体积除以底面积，所得结果即为这个水箱的高。 【详解】80÷（4×4） ＝80÷16 ＝5（分米） 因此这个水箱的高是5分米。 16．将一个梨放入装有水的玻璃量杯内（如下图），这个梨的体积是（ ）立方厘米。 【答案】250 【分析】分析题目，水面上升部分的水的体积就等于梨的体积，第一个量杯的刻度是200毫升，第二个量杯的刻度是450毫升，据此用450－200即可求出水面上升的体积，最后根据1毫升＝1立方厘米把单位换算成立方厘米即可。 【详解】450－200＝250（毫升） 250毫升＝250立方厘米 将一个梨放入装有水的玻璃量杯内（如下图），这个梨的体积是250立方厘米。 三、计算题 17．下图为一个长方体展开图，计算这个长方体的体积。（单位：cm） 【答案】120cm3 【分析】观察长方体展开图可知，长方体的高4cm，宽是（9－4）cm，长是（20÷2－4）cm，根据长方体体积＝长×宽×高，列式计算即可。 【详解】9－4＝5（cm） 20÷2－4 ＝10－4 ＝6（cm） 6×5×4＝120（cm3） 这个长方体的体积是120cm3。 18．计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】表面积：378平方厘米 体积：424立方厘米 【分析】这个组合图形的表面积＝长方体表面积＋正方体4个面的面积，这个组合图形的体积＝长方体体积＋正方体体积，据此解答即可。 【详解】表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 四、解答题 19．今年母亲节，妈妈给奶奶买了一件礼物，她用丝带把礼物按照下图的方法捆扎，打结处需要35厘米。捆扎这个礼物一共需要多少厘米丝带？ 【答案】235厘米 【分析】看图可知，丝带上下面各有2条棱长，侧面沿着高有4条棱长，丝带长度＝正方体棱长×（2＋2＋4）＋打结处长度，据此列式解答。 【详解】25×（2＋2＋4）＋35 ＝25×8＋35 ＝200＋35 ＝235（厘米） 答：捆扎这个礼物一共需要235厘米丝带。 20．家具厂订购500根方木，每根方木横截面的面积是24平方分米，长3米，这些木料一共是多少方？ 【答案】360方 【分析】根据1平方米＝100平方分米，先将平方分米化成平方米，然后用每根方木的横截面积×方木的长度＝每根方木的体积，每根方木的体积×方木的根数＝这些木料的总体积，1立方米＝1方，据此解答。 【详解】24平方分米＝0.24平方米 0.24×3×500 ＝0.72×500 ＝360（立方米） 360立方米＝360方 答：这些木料一共是360方。 21．一个长方体油箱，长8分米，宽6分米，高5分米。如果每升油重0.8千克，这个油箱可装油多少千克？ 【答案】192千克 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，1立方分米＝1升，求出油箱容积，油箱容积×每升油的重量＝这个油箱可装油重量，据此列式解答。 【详解】8×6×5 ＝48×5 ＝240（立方分米） 240立方分米＝240升 240×0.8＝192（千克） 答：这个油箱可装油192千克。 22．恰逢淘宝“6.18狂欢节”，烁烁妈妈网购了一些抽纸（如下图）。每包抽纸长15厘米，宽11厘米，高6厘米，这些抽纸按图示方式堆起来需要多少立方厘米的空间？ 【答案】17820立方厘米 【分析】观察上图可知，一层有6包，共有3层，总共有6×3＝18（包），长方体的体积＝长×宽×高，把数据代入求出1包抽纸的体积，再乘18即等于这些抽纸堆起来的体积，据此即可解答。 【详解】15×11×6×（6×3） ＝165×6×18 ＝990×18 ＝17820（立方厘米） 答：这些抽纸按图示方式堆起来需要17820立方厘米的空间。 23．要过教师节了，学校为每位教师定制了一个手提袋（如下图所示）。 （1）做100个这样的手提袋至少需要用料多少平方米？（接口处忽略不计） （2）这个手提袋的容积是多少立方厘米？ 【答案】（1）18.6平方米 （2）5400立方厘米 【分析】（1）根据手提袋的展开图，可以将展开图的面积看成两个长方形的面积和： 一个长方形的长为38厘米，宽是30厘米； 另一个长方形的长为（10＋30）厘米，宽是（38－10×2）厘米； 根据长方形的面积公式即可一个手提袋需要用料的面积； 用每个手提袋需要的用量面积乘制作的个数100即可求出需要用料的总面积； 根据1平方米＝10000平方厘米，将求出的面积换算为平方米。 （2）这个手提袋的容积可以抽象成一个长方体的体积： 这个长方体的长为（38－10×2）厘米，宽为10厘米，高为30厘米，利用长方体的体积公式：即可求出手提袋的容积。 【详解】（1） （平方厘米） 1860×100＝186000（平方厘米） 186000÷10000＝18.6（平方米） 答：做100个这样的手提袋至少需要用料18.6平方米。 （2） （立方厘米） 答：这个手提袋的容积是5400立方厘米。 24．学校科学实验室里面有一个长方体的玻璃缸，从里面量长8分米，宽8分米，高6分米，目前水深为4分米，李老师把一块棱长为4分米的正方体铁块放入这个玻璃缸完全淹没，缸中的水面上升了多少分米？ （1）被淹没的铁块体积为（     ）立方分米。 （2）水上升部分的体积与被淹没铁块的体积（     ）（填“相等”或不相等“不相等”）。 （3）缸中水面上升了多少分米？ 【答案】（1）64； （2）相等； （3）1分米 【分析】（1）正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此把棱长4分米代入列式计算即可； （2）分析题目，把正方体铁块放入玻璃缸完全淹没，上升的水的体积就是这个铁块的体积，据此解答； （3）根据长方体的高＝体积÷（长×宽），用铁块的体积除以玻璃缸的底面积（8×8）即可得到水面上升的高度。 【详解】（1）4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方分米） 被淹没的铁块体积为64立方分米。 （2）根据分析可知：水上升部分的体积与被淹没铁块的体积相等。 （3）64÷（8×8） ＝64÷64 ＝1（分米） 答：缸中水面上升了1分米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版五年级数学下册第三单元：长方体和正方体（单元复习讲义） （知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：长方体和正方体的认识 1、长方体 （1）定义：一般是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。 ①两个面相交的边叫做棱。 ②三条棱相交的点叫做顶点。 ③相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 （2）长方体的特征： ①面：长方体有6个面，这6个面一般是长方形的，特殊情况有两个相对的面是正方形；相对的面完全相同。 ②棱：长方体有12条棱，相对的棱长度相等。长方体12条棱可以分成3组，分别有4条长、4条宽、4条高。 ③顶点：长方体有8个顶点。 （3）长方体的棱长 ①长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4＝长×4＋宽×4＋高×4 ②长＝棱长总和÷4－宽－高 ③宽＝棱长总和÷4－长－高 ④高＝棱长总和÷4－长－宽 2、正方体 （1）定义：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。 （2）正方体特征： ①正方体有12条棱，它们的长度都相等。有8个顶点。 ②正方形的6个面是完全相同的正方形。 ③正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 （3）正方体的棱长 ①正方体的12条棱的长度都相等。 ②正方体的棱长总和＝棱长×12 ③正方体的棱长＝棱长总和÷12 3、长方体和正方体的异同点 【易错点】 （1）正方体是特殊的长方体，特殊在长、宽、高都相等。 （2）长方体中，若有2个相对面是正方形，则其余4个面是完全相同的长方形。 （3）数棱时要按组计数，避免重复或遗漏。 知识点02：长方体和正方体的表面积 1、表面积的定义：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 2、长方体的表面积 （1）长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 （2）用字母表示：S＝（ab＋ah＋bh）×2 3、正方体的表面积 （1）正方体的表面积＝棱长×棱长×6 （2）用字母表示：S＝6a2 【易错点】 （1）无盖长方体（如鱼缸、抽屉）：表面积=长×宽+2×（长×高+宽×高）（少1个底面）。 （2）通风管/烟囱（无上下底面）：表面积=2×（长×高+宽×高）（少2个相对面） 知识点03：长方体和正方体的体积 1、体积和体积单位 （1）体积定义：物体所占空间的大小，叫做物体的体积。 （2）体积单位间的进率 ①每相邻两个体积单位之间的进率是1000。 ②1dm³＝1000cm³；1m³＝1000dm³ （3）体积单位间的换算： ①高级单位换成低级单位，乘进率，小数点向右移动。 ②低级单位换成高级单位，除以进率，小数点向左移动。 2、长方体的体积 （1）长方体的体积＝长×宽×高 （2）如果用字母V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高可以写成：V＝abh。 3、正方体的体积 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 如果用字母V表示正方体的体积，用a表示正方体的棱长，那么正方体的体积计算公式可以写成：V＝a3。 4、长方体、正方体体积通用公式 （1）长方体或正方体底面的面积叫作底面积。 （2）长方体（或正方体）的体积＝底面积×高 （3）如果用字母S表示底面积，上面的公式可以写成：V＝Sh。 5、“排水法”求不规则物体的体积 排水法原理：当把不规则物体完全浸没在装有水的圆柱形容器中时，水面会上升。上升的这部分水的体积就等于不规则物体的体积。 6、容积和容积单位 （1）容器所能容纳物体的体积，叫做它们的容积。 （2）计量容积一般用体积单位：立方厘米、立方分米和立方米。但计量液体的体积，如水、油等，常用升和毫升（即L和ml）。 （3）容积单位和体积单位间的关系：1L＝1dm³；1mL＝1cm³；1L＝1000mL 考点1：长方体的认识及特征 【典型例题】同学们正在用一些小棒和橡皮泥拼搭长方体框架。 （1）如图是小宇已经拼搭好的部分，他还需要（ ）个橡皮泥小球、（ ）根9cm长的小棒、（ ）根6cm长的小棒、（ ）根4cm长的小棒，就可以拼搭成一个长（ ）cm、宽（ ）cm、高（ ）cm的长方体框架。 （2）长方体框架上面是（ ）形，长是（ ）cm，宽是（ ）cm。 （3）长方体框架（ ）面和（ ）面的长方形的长是6cm，宽是4cm。 【练习】数学兴趣小组的三名同学分别画了一个长方体的三条棱，其中不能确定长方体形状和大小的是（     ）。 A． B． C． 考点2：长方体有关棱长的应用 【典型例题】母亲节那天，小小为妈妈选了一份礼物（如下图）。如果用彩带捆扎，至少需要多长的彩带？（打结处用了25厘米） 【练习】一个长方体的所有棱长之和是240厘米，则相交于同一个顶点的三条棱长之和是（     ）厘米。 A．60 B．80 C．120 考点3：长方体的展开图 【典型例题】下面是一个长方体的展开图。 原来这个长方体的长是（ ）cm，宽是（ ）cm，高是（ ）cm。 【练习】下列不是长方体侧面展开图的是（     ）。 A． B． C． D． 考点4：正方体的认识及特征 【典型例题】（课本原题）下图分别是长方体或正方体一个顶点处的3条棱。（单位：cm） 从以下图形中选择6个面（可重复选择），围出上面的长方体或正方体。 【练习】一个长方体木头长18厘米，宽10厘米，高8厘米，锯成一个最大的正方体，这个正方体的棱长是（ ）厘米，可锯（ ）个这样的正方体。 考点5：正方体有关棱长的应用 【典型例题】灯笼是一种古老的传统工艺品。王伯伯用一根竹丝正好扎成一个长40cm、宽30cm、高20cm的长方体灯笼框架。如果用这根竹丝扎成一个正方体灯笼框架，那么正方体灯笼框架的棱长最长是多少？（接头处忽略不计） 【练习】把一根长96厘米的铁丝焊成正方体，它的棱长是（     ）厘米。（焊接处忽略不计） A．6 B．8 C．12 D．24 考点6：正方体的展开图 【典型例题】如图所示的展开图围成一个正方体后，“强”字所在面相对的面上的字是（ ），“必”字所在面相对的面上的字是（ ）。 【练习】下面图形中，折叠后，不能围成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 考点7：长方体的表面积 【典型例题1】聪聪用纸板做一个无盖长方体纸盒，他已经做好了两个相邻的面（如图），做这个纸盒至少需要（ ）cm2纸板。 【典型例题2】一个底面是正方形的长方体，高为12厘米。若把它的高减少3厘米后，表面积减少了60平方厘米。如果在这个长方体的每条棱上都包上金属条，金属条的总长度是多少厘米？ 【练习】一节长方体通风管的横截面周长是12.5dm，长是4m。制作这样一节通风管要用铁皮（ ）m2。 考点8：正方体的表面积 【典型例题】园园用长为48dm的铁丝做了一个正方体框架，她想在正方体框架的外面贴上一层彩纸，至少要用多少平方分米的彩纸？（不计损耗） 【练习】用三个一样大的小正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是56dm2。一个小正方体的表面积是多少平方分米？ 考点9：体积和体积单位 【典型例题】在括号里填上合适的数。 23.04立方米＝（     ）立方分米   0.08立方分米＝（     ）立方厘米 4.07立方米＝（     ）立方米（     ）立方分米 【练习】下面物体的体积更接近16立方分米的是（     ）。 A．粉笔盒 B．书包 C．保温杯 D．洗衣机 考点10：长方体的体积 【典型例题1】一个封闭的长方体玻璃容器（如图所示，玻璃厚度忽略不计），长25厘米，宽10厘米，高8厘米，里面的水深4厘米，如果把这个容器向右竖起来，容器里面的水深应该是多少厘米？ 【典型例题2】把一块长12m的长方体木材锯成三块完全相同的小长方体（如下图），表面积增加了60dm²，这块木材原来的体积是（ ）dm3。 【练习】有一堆150立方米的沙石，把它铺在10米宽的长方形公路上，铺3厘米厚，能铺多少米？ 考点11：正方体的体积 【典型例题】有一块棱长为4分米的正方体钢坯，现要把它锻造成底面积为40平方分米的长方体钢条。钢条的高是多少分米？ 【练习】张阿姨用灯带装饰一个正方体礼盒的每一条棱，一共用去180厘米的灯带（接头处忽略不计），求这个正方体礼盒的体积。 考点12：容积和容积单位 【典型例题】一瓶饮料为2升，一个杯子能装300毫升饮料，小宇和6个同学平均分这瓶饮料，够每人一杯吗？ 【练习】2.04立方米＝（ ）立方米（ ）立方分米     8060毫升＝（ ）升 考点13：组合体的表面积和体积 【典型例题】4月23日是世界读书日，学校把每年的四月份定为读书活动月。妙妙分享了她制作的阅读主题创意手工，如图所示。寓意着“知识是人类进步的阶梯”。这件手工作品的占地面积是多少？体积是多少？ 【练习】计算图形（如图）的表面积和体积。（长度单位为） 考点14：“排水法”求不规则物体体积 【典型例题】（课本原题）求下图中大圆球的体积。 【练习】将一块不规则石块放入一个装有水的长方体容器中，容器的长8分米，宽5分米，高6分米，石块完全浸没在水中，这时水面上升了1.3分米，这块不规则的石块是多少立方分米？ 一、选择题 1．一瓶矿泉水约550（     ）。 A．升 B．毫升 C．立方分米 2．下面的平面图形中能围成长方体或正方体的有（     ）。 A．①② B．③④ C．②④ 3．一个正方体和长方体的棱长总和相等。已知长方体的长、宽、高分别是8cm、7cm、6cm，那么正方体的棱长是（     ）cm。 A．8 B．7 C．6 4．把一个正方体木块切成两个完全相同的长方体，表面积增加了18平方分米，原来正方体的体积是（     ）立方分米。 A．27 B．54 C．729 5．小东做测量“石块体积”的实验：他先将一块棱长是4厘米的正方体铁块浸没在一个长方体水槽中，然后取出正方体铁块，水槽里的水面下降了1厘米。接着他把要测量的一个石块浸没在水槽中，这时水槽里的水面上升了1.5厘米。这个石块的体积是（     ）立方厘米。 A．24 B．96 C．150 D．216 二、填空题 6．根据表中的物品参数，这个物品最有可能是（ ）（填序号：①微波炉 ②家用冰箱 ③普通文具盒），它的容积是（ ）L。 包装尺寸 573×337×449（单位：mm） 产品尺寸 502×302×415（单位：mm） 内部尺寸 400×225×300（单位：mm） 7．乐乐有9根x厘米长的小棒和6根y厘米长的小棒，他用其中的12根搭成了一个长方体框架，这个长方体框架的棱长和是（ ）厘米。 8．＝（ ）    1.07升＝（ ）升（ ）毫升 9．将三个棱长2厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的棱长总和是（ ）厘米，表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 10．一个长方体的饮料盒，它的长、宽、高分别是6.4cm，3.5cm、10cm。如果围着它的四周贴一圈商标纸，至少需要（ ）的商标纸。 11．一根长方体水泥柱，高50dm，底面是周长为12dm的正方形。这根水泥柱的体积是（ ）dm3。 12．做一个长0.9m、宽5dm、高4dm的长方体无盖鱼缸，需要玻璃（ ）dm2（接口处忽略不计），最多可盛水（ ）L。 13．一个长方体的高增加3cm就是一个正方体，这时表面积增加了96cm2，原来长方体的体积是（ ）cm3。 14．用棱长为1cm正方体搭成一个长方体，从上面看到的图形是长3cm，宽2cm的长方形，从右面看到的图形是边长是2cm的正方形，这个长方体的表面积是（ ）cm2，体积是（ ）cm3。 15．要做一个容积是80立方分米的长方体水箱，水箱的底面是个正方形，边长是4分米，这个水箱的高是（ ）分米。 16．将一个梨放入装有水的玻璃量杯内（如下图），这个梨的体积是（ ）立方厘米。 三、计算题 17．下图为一个长方体展开图，计算这个长方体的体积。（单位：cm） 18．计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米） 四、解答题 19．今年母亲节，妈妈给奶奶买了一件礼物，她用丝带把礼物按照下图的方法捆扎，打结处需要35厘米。捆扎这个礼物一共需要多少厘米丝带？ 20．家具厂订购500根方木，每根方木横截面的面积是24平方分米，长3米，这些木料一共是多少方？ 21．一个长方体油箱，长8分米，宽6分米，高5分米。如果每升油重0.8千克，这个油箱可装油多少千克？ 22．恰逢淘宝“6.18狂欢节”，烁烁妈妈网购了一些抽纸（如下图）。每包抽纸长15厘米，宽11厘米，高6厘米，这些抽纸按图示方式堆起来需要多少立方厘米的空间？ 23．要过教师节了，学校为每位教师定制了一个手提袋（如下图所示）。 （1）做100个这样的手提袋至少需要用料多少平方米？（接口处忽略不计） （2）这个手提袋的容积是多少立方厘米？ 24．学校科学实验室里面有一个长方体的玻璃缸，从里面量长8分米，宽8分米，高6分米，目前水深为4分米，李老师把一块棱长为4分米的正方体铁块放入这个玻璃缸完全淹没，缸中的水面上升了多少分米？ （1）被淹没的铁块体积为（     ）立方分米。 （2）水上升部分的体积与被淹没铁块的体积（     ）（填“相等”或不相等“不相等”）。 （3）缸中水面上升了多少分米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $