精品解析：贵州省毕节市威宁县2024-2025学年高二上学期期末检测数学试题

威宁县2024-2025学年度第一学期高中素质教育期末测试试卷 高二数学 2025.1 注意事项： 1.本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分. 3.考试过程中不得使用计算器. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上.） 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把抛物线方程化为标准方程，进而可求得准线方程. 【详解】由，得，由可得， 所以抛物线准线方程为. 故选：B. 2. 已知数列，，，3，…，，…，则该数列的第40项是（ ） A. 8 B. 10 C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设，将代入即可. 【详解】由题可知，该数列的第40项为， 故选：C. 3. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线互相垂直得到斜率，再结合直线经过点，写出直线的点斜式，再转化为一般式即可. 【详解】由题可知，直线的斜率为，故与其垂直的直线斜率为， 又因为直线过点，故可设点斜式，整理得， 故选：A. 4. 已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对直线的斜率的取值范围进行分类讨论，利用倾斜角与斜率的关系可得出的倾斜角取值范围. 【详解】当时，；当时，；当时，. 综上所述，的倾斜角取值范围是. 故选：C. 5. 若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义计算. 【详解】由空间向量，，则向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 6. 已知等差数列的前4项和，，等比数列满足，，则（ ） A. 81 B. 243 C. 27 D. 729 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等差数列前n项和公式和通项公式基本量的运算求得，然后利用等比数列通项公式基本量的运算求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 在等差数列中，，， 所以有，故， 所以，，则，故. 故选：B 7. 已知椭圆：的离心率为，双曲线：的离心率为，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用离心率和双曲线渐近线的公式求解即可. 【详解】依题意，，， 又，所以，整理得， 所以， 所以双曲线E的渐近线方程为， 故选：B. 8. 已知直线：与圆：，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，四边形周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】求圆心到直线的距离，可得切线长，即可得四边形周长的最小值. 【详解】圆：的圆心为，半径， 圆心到直线：的距离， 因为，且， 则四边形周长， 所以四边形周长的最小值为. 故选：C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分.） 9. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】通过假设向量线性组合为零向量求解系数，或观察向量间的线性表示关系，判断各组向量是否线性无关，进而确定是否为基底. 【详解】选项A： 设，由线性无关， 得，故该组向量线性无关，是基底. 选项B： 设， 整理为. 由线性无关，得， 解得，故该组向量线性无关，是基底. 选项C： 设， 整理为. 取，满足上式且系数不全为零，故该组向量线性相关，不是基底. 选项D： 因，即该向量可由组内另外两个向量线性表示， 故该组向量线性相关，不是基底. 故选：AB 10. 若数列满足：对任意正整数，为等差数列，则称数列为“二阶等差数列”.若不是等比数列，但中存在不相同的三项可以构成等比数列，则称是“局部等比数列”.给出下列数列，其中既是“二阶等差数列”，又是“局部等比数列”的是有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用“二阶等差数列”、“局部等比数列”的定义逐项判断即可. 【详解】设， 对于A选项，，则， 所以数列为常数列，该数列为等差数列， 因为不是常数，故数列不是等比数列， 取，，，则，即、、成等比数列， 故数列既是“二阶等差数列”，又是“局部等比数列”，A选项符合题意； 对于B选项，，所以数列为常数列，该数列为等差数列， 易知数列为等比数列，且每项都相同，与题意矛盾，B选项不符合题意； 对于C选项，， 对任意的，，即数列为等差数列， 因为不是常数，故数列不是等比数列， 又因为，，，所以，即、、成等比数列， 所以数列既是“二阶等差数列”，又是“局部等比数列”，C选项符合题意； 对于D选项，， 所以不是常数， 故数列不是等差数列，故数列不是“二阶等差数列”，D选项不符合题意. 故选：AC. 11. 已知是圆：上一动点，是平面上一定点，线段的垂直平分线和直线相交于点. 当点在圆上运动时，下列判断正确的是（ ） A. 点的轨迹不可能是圆 B. 点的轨迹可能是一个定点 C. 若点坐标为，则点的轨迹方程为 D. 若点坐标为，当是直角三角形时，可能是 【答案】BCD 【解析】 【分析】当点与圆心重合或在圆上时，分析点的轨迹，即可判断选项A，B；根据圆心坐标及点坐标，结合椭圆定义及垂直平分线性质，即可得到点的轨迹方程，进而判断选项C；假设，即可求出点坐标，进而得到，即，满足条件，即可判断选项D. 【详解】圆的方程为，则圆心，半径. 因为点在线段的垂直平分线上，所以，因此 选项A：当点与圆心重合时，点轨迹为以圆心，以为半径的圆，故A错误； 选项B：当点在圆上时，线段为圆上的弦，则线段的垂直平分线经过圆心， 所以直线与直线的交点为圆心（即Q点），此时为定点，故B正确； 选项C：当点坐标为时，点在圆内，，， 因为点在线段的垂直平分线上，所以， ， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，即， 又，所以， 所以点的轨迹方程为，故C正确； 选项D：已知，，，点在上， 若，则，所以. 因点在圆上，所以，解得， 所以或. 直线方程为，即轴，， 又点在直线上，所以，即是直角三角形，满足条件， 因此当，且或，且 时，，且为直角三角形，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置上.） 12. 已知两个向量，，且，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由向量平行的坐标运算求得，可求得的值. 【详解】因为，显然，所以，解得， 所以. 故答案为： 13. 如图所示，平面与平面相互垂直，，，，，.向量与夹角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直关系可得平面，，根据空间向量数量积求得，，根据夹角公式即可得结果. 【详解】因为平面平面，， 且平面平面，平面，可得平面， 又因为平面，则， 即，，， 则，，且，，， 因为， 则， 即， 又因为， 可得， 所以向量与夹角的余弦值为. 故答案为：. 14. 抛物线的焦点为，过的直线与抛物线准线交于点，与轴负半轴交于点，截抛物线于点、，弦中点为.若，的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设出直线方程表示点坐标，与抛物线联立结合韦达定理可得到弦中点坐标，结合即可求出直线方程. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为. 设直线的方程为（因为截抛物线于点、，所以直线的斜率存在）， 则. 因为与轴负半轴交于点，所以. 设，. 联立，整理得，则，. 弦中点为的坐标为：，，即. 所以，. 由得，，解得，又，所以. 所以直线方程，即. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知圆关于轴对称且经过点和. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆交于、两点，若，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由题意，设圆的标准方程为，再将点的坐标代入求解； （2）利用直线与圆的弦长公式求解. 【小问1详解】 由圆C关于y轴对称知：圆心C在y轴上，故设圆心；   ∴设圆的标准方程为，   则解得： 故圆C的标准方程为； 【小问2详解】 由（1）知圆C的圆心为，， 因为  ，所以圆心C到直线l的距离为；   当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时，圆心C到直线l的距离为，不满足题意；     当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 即     则圆心C到直线l的距离， 解得或 此时直线l的方程为，即，或  综上所述：直线l的方程为或. 16. 如图，在正方体中，，，分别为，的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到线段的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合向量的数量积求夹角即可. （2）利用点到直线的距离公式的向量表示求解即可. 【小问1详解】 以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，因为正方体棱长， 所以，，，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，所以. 设直线与平面所成角为， 则 . 故直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 由（1）知，，， 所以点到线段的距离为： . 故点到线段的距离为. 17. 已知数列满足，且. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将取倒数，令，可得为等差数列，求解即可. （2）由（1）可得，，通过裂项相消求解即可. 小问1详解】 因为，所以，所以， 所以令，所以，所以为等差数列，因为，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列，所以， 所以，所以. 【小问2详解】 ，所以， 所以， 所以. 18. 在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线与直线的斜率之积是. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线与（1）中轨迹相交于，两点，若为线段的中点，求直线的方程. （3）在（2）的条件下，求弦长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据斜率乘积得到方程，化简即可； （2）利用点差即可得到直线的斜率，再写出点斜式化简即可； （3）联立直线与双曲线方程，再利用弦长公式即可得到答案. 【小问1详解】 因为点，点，点， 所以，， 因为直线与直线的斜率之积是，所以， 化简得，又因为直线、的斜率存在，则. 故动点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 设，由题意，显然， 则有，，两式作差可得， 即有，又为线段AB的中点， 则有，代入得， 所以，所以直线的方程为，即. 将代入双曲线方程得，， 整理得，此时， 所以直线与双曲线有两个不同的交点， 所以直线的方程为. 【小问3详解】 由（2）可得， 所以弦长 . 19. 材料一：平面内的动点到一个定点的距离与动点到不过定点的一条定直线的距离之比是一个常数，则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点称为焦点，定直线称为准线，正常数称为离心率.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.以上是圆锥曲线的第二定义，其中连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径. 材料二：在平面直角坐标系中，若点与定点（或）的距离和它到定直线：（或：）的距离的比是常数，则点的轨迹是一个椭圆，通过运算可得轨迹方程为，取，则轨迹方程为，此为焦点在轴上的椭圆第二定义.这里定点是椭圆的一个焦点，直线：称为相应于焦点的准线；定点是椭圆的另一个焦点，直线：称为相应于焦点的准线. 以焦点在轴的椭圆：为例，椭圆焦半径公式可推导如下： 如图所示，设点，由椭圆第二定义可知，，而，所以，同理. 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： （1）类比材料中椭圆的第二定义，以焦点在轴上为例，试写出双曲线的第二定义； （2）类比椭圆的焦半径公式推导方法，推导焦点在轴上的双曲线焦半径公式. （3）已知椭圆：，为的右焦点，为上一点，是否存在斜率为1的直线交于、两点，满足，且，，成等差数列？若存在，求出的直线方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题干信息类比推理即可； （2）根据题干信息类比推理即可； （3）根据题意，设出点与直线，联立直线与椭圆结合韦达定理求出在条件下的直线方程，再根据，，成等差数列，利用椭圆第二定义和等差中项结合韦达定理求出该条件下的直线方程，找到同时满足两个条件的直线即为答案. 【小问1详解】 在平面直角坐标系中，若点与定点（或）的距离和它到定直线：（或：）的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线. 【小问2详解】 设当点P在双曲线右支上时， 由双曲线第二定义可知：，而， 故，同理； 当点P在双曲线左支上时， ．同理 【小问3详解】 由椭圆方程，可得． 设，，， 联立直线与椭圆方程，得， 根据韦达定理可知， ，解得； 由题知，而，，， 代入上式易得，故，，故坐标为 而位于椭圆上，故，解得或； 根据椭圆的第二定义可知：，，， 由椭圆方程易知，故，， ，而，，成等差数列，故， 代入得，化简得， 而，代入上式可得，解得， 综上所述，满足题干条件的直线方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威宁县2024-2025学年度第一学期高中素质教育期末测试试卷 高二数学 2025.1 注意事项： 1.本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分. 3.考试过程中不得使用计算器. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上.） 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列，，，3，…，，…，则该数列的第40项是（ ） A. 8 B. 10 C. 9 D. 3. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前4项和，，等比数列满足，，则（ ） A. 81 B. 243 C. 27 D. 729 7. 已知椭圆：的离心率为，双曲线：的离心率为，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线：与圆：，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，四边形周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 16 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分.） 9. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 若数列满足：对任意正整数，为等差数列，则称数列为“二阶等差数列”.若不是等比数列，但中存在不相同的三项可以构成等比数列，则称是“局部等比数列”.给出下列数列，其中既是“二阶等差数列”，又是“局部等比数列”的是有（ ） A. B. C. D. 11. 已知是圆：上一动点，是平面上一定点，线段的垂直平分线和直线相交于点. 当点在圆上运动时，下列判断正确的是（ ） A. 点的轨迹不可能是圆 B. 点轨迹可能是一个定点 C. 若点坐标为，则点的轨迹方程为 D. 若点坐标为，当是直角三角形时，可能是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置上.） 12. 已知两个向量，，且，则值为______. 13. 如图所示，平面与平面相互垂直，，，，，.向量与夹角余弦值为______. 14. 抛物线的焦点为，过的直线与抛物线准线交于点，与轴负半轴交于点，截抛物线于点、，弦中点为.若，的方程为______. 四、解答题（本大题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知圆关于轴对称且经过点和. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆交于、两点，若，求直线的方程. 16. 如图，在正方体中，，，分别为，的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到线段的距离. 17 已知数列满足，且. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线与直线的斜率之积是. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线与（1）中轨迹相交于，两点，若为线段的中点，求直线的方程. （3）在（2）的条件下，求弦长. 19. 材料一：平面内动点到一个定点的距离与动点到不过定点的一条定直线的距离之比是一个常数，则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点称为焦点，定直线称为准线，正常数称为离心率.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.以上是圆锥曲线的第二定义，其中连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径. 材料二：在平面直角坐标系中，若点与定点（或）的距离和它到定直线：（或：）的距离的比是常数，则点的轨迹是一个椭圆，通过运算可得轨迹方程为，取，则轨迹方程为，此为焦点在轴上的椭圆第二定义.这里定点是椭圆的一个焦点，直线：称为相应于焦点的准线；定点是椭圆的另一个焦点，直线：称为相应于焦点的准线. 以焦点在轴的椭圆：为例，椭圆焦半径公式可推导如下： 如图所示，设点，由椭圆第二定义可知，，而，所以，同理. 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： （1）类比材料中椭圆的第二定义，以焦点在轴上为例，试写出双曲线的第二定义； （2）类比椭圆的焦半径公式推导方法，推导焦点在轴上的双曲线焦半径公式. （3）已知椭圆：，为的右焦点，为上一点，是否存在斜率为1的直线交于、两点，满足，且，，成等差数列？若存在，求出的直线方程；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $