6.3 二项式定理（2知识点+9考点+过关检测）（寒假预习讲义）高二数学人教A版

6.3 二项式定理 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：二项式定理 1、二项式定理的定义 ，这个公式叫做二项式定理． （1）二项展开式： （2）二项式系数：各项的系数叫做展开式的二项式系数 （3）二项式通项：叫做二项展开式的通项，用表示， 即通项为展开式中的第项，可记为： （4）在二项式定理中，若设，，则得到公式． 2、二项展开式的特点 （1）展开式共有项； （2）各项的次数和都等于二项式的幂指数； （3）字母的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到为0，字母的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为． 注意： （1）通项公式是的展开式中的第项，这里； （2）二项式的第项和的展开式第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的与不能随便交换位置． （24-25高二下·广东·月考）二项式展开式中的第3项为（    ） A． B．15 C． D．20 知识点2：二项式定理的性质 1、对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即，，…， 事实上，这一性质可直接由公式得到．直线将函数的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴． 2、增减性与最大值 （1）增减性：因为，即， 所以当时，随的增加而增大．由对称性知，当时，随的增加而减小． （2）最大值： ①如果二项式的幂指数是偶数，中间项时第项，其二项式系数最大； ②如果二项式的幂指数是奇数，中间项有两项，即为第项和第项，它们的二项式系数和相等且最大． 3、各二项式系数的和 ①已知， 令得． 这就是说，二项展开式的各二项式系数的和为． ②奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，且都等于． 在二项式定理中，令，则， 即． （24-25高二下·山西太原·月考）若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则的取值不可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型一：二项式定理的正用和逆用 例1．（24-25高二下·江苏镇江·期中）的值是（    ） A． B．1 C．0 D．22024 【变式1-1】（24-25高二下·贵州贵阳·月考）化简，其结果等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·甘肃白银·月考）已知，若，则 ． 【变式1-3】（24-25高二下·河北沧州·月考）若对恒成立，其中，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 题型二：二项展开式的特定项问题 例2.（24-25高二下·浙江湖州·月考）的展开式中第四项是（    ） A．-20 B．20 C．-160 D．160 【变式2-1】（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）二项式的展开式中常数项为（    ） A． B．540 C．15 D． 【变式2-2】（24-25高二下·江苏南通·月考）的展开式中的系数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-3】（24-25高二下·山西长治·月考）二项式的展开式中，共有有理项是 项 题型三：三项展开式的特定项问题 例3.（24-25高二下·云南昆明·月考）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．60 D．30 【变式3-1】（25-26高二上·江西鹰潭·月考）的展开式中的系数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式3-2】（24-25高二下·河北邯郸·月考）在的展开式中，的系数是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二下·浙江·月考）的展开式中的系数为 . 题型四：多个多项式相乘问题 例4.（24-25高二下·山东·月考）的展开式中的系数为（    ） A．30 B．10 C． D． 【变式4-1】（25-26高三上·河北沧州·月考）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二下·广东中山·月考）的展开式中常数项为（    ） A．120 B．-120 C．180 D．-180 【变式4-3】展开后的系数为 ． 题型五：二项式系数最大问题 例5.（24-25高二下·广东深圳·月考）在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 【变式5-1】（24-25高二下·天津河北·月考）已知 的展开式中，二项式系数之和是，则展开式中二项式系数最大的项为（    ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【变式5-2】（24-25高二下·四川成都·月考）已知的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则项的系数为 （    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高二下·江苏·期中）设，展开式中二项式系数的最大值为x，展开式中二项式系数的最大值为y，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型六：展开式系数最大问题 例6.（24-25高三上·云南昆明·月考）若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【变式6-1】（23-24高二下·江苏南通·月考）在的二项展开式中，系数最大的项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第5项和第6项 【变式6-2】（24-25高二下·天津·期中）若，则取最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式6-3】（24-25高三上·重庆长寿·期末）设，则中最大的是（    ） A． B． C． D． 题型七：利用赋值法解系数问题 例7.（24-25高二下·贵州贵阳·月考）在的展开式中，各项二项式系数的和与各项系数的和之比为，则（    ） A．8 B．4 C．6 D．2 【变式7-1】（24-25高二下·江苏南京·月考）已知，则下列描述正确的是（    ） A． B． C． D．除以5所得的余数是1 【变式7-2】（24-25高二下·山东·月考）若，则的值为（    ） A．－121 B．－122 C．121 D．122 【变式7-3】（25-26高二上·山东潍坊·月考）若，则 . 题型八：利用二项式定理解决整除与求余问题 例8.（25-26高二上·上海浦东新·月考）若是正整数，则除以8的余数是 ． 【变式8-1】（24-25高二下·江苏连云港·月考）若能被7整除，则的最小正整数取值为 . 【变式8-2】（24-25高二下·河南·月考）除以8的余数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式8-3】（24-25高二下·江苏连云港·月考）今天是星期四，小美在参加数学考试，那么再过天后是星期（    ） A．一 B．二 C．三 D．日 题型九：利用二项式定理近似计算 例9.（24-25高二下·安徽·期中）的小数点后第三位数字为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24高二下·江苏苏州·期末）最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【变式9-2】（23-24高二上·江西九江·期末）实数精确到的近似值为 . 【变式9-3】（23-24高二下·江苏南通·月考）的计算结果精确到0.001的近似值是 . 一、单选题 1．（24-25高二下·四川南充·月考）的展开式的第3项的系数为（    ） A．10 B． C．40 D． 2．（24-25高二下·云南昆明·月考）在的展开式中，常数项为（    ） A．8 B．24 C．60 D．160 3．（2025·湖南·三模）的展开式中的常数项是（    ） A．12 B．8 C． D． 4．（24-25高二下·湖北宜昌·期中）化简：（    ） A．2 B．1 C．0 D． 5．（23-24高二下·重庆·月考）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 6．（24-25高二下·江苏南京·月考）对于的二项展开式，以下判断中正确的有（    ） A．展开式中有常数项 B．展开式中没有常数项 C．展开式中没有的三次项 D．展开式中有的三次项 7．（24-25高二下·福建福州·期中）关于的展开式，下列结论正确的是（    ） A．二项式系数和为64 B．所有项的系数之和为1 C．第三项的二项式系数最大 D．系数最大值为240 8．（25-26高二上·辽宁·月考）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（24-25高二下·河北·月考）在的展开式中，的系数为 . 10．（24-25高二下·陕西宝鸡·月考）在的展开式中，常数项为 . 11．（24-25高二下·江苏无锡·月考）展开式中含项的系数为 ． 四、解答题 12．（25-26高二上·河南驻马店·月考）已知的展开式中第项为，，且第三项和第九项的二项式系数相等． (1)求第四项的二项式系数与系数； (2)求二项式系数的最大值及展开式系数的最大值． 13．（24-25高二下·山东菏泽·期末）已知的展开式中第三项的系数是第二项系数的2倍． (1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求的展开式中含项的系数（结果用数值表示）． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3 二项式定理 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：二项式定理 1、二项式定理的定义 ，这个公式叫做二项式定理． （1）二项展开式： （2）二项式系数：各项的系数叫做展开式的二项式系数 （3）二项式通项：叫做二项展开式的通项，用表示， 即通项为展开式中的第项，可记为： （4）在二项式定理中，若设，，则得到公式． 2、二项展开式的特点 （1）展开式共有项； （2）各项的次数和都等于二项式的幂指数； （3）字母的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到为0，字母的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为． 注意： （1）通项公式是的展开式中的第项，这里； （2）二项式的第项和的展开式第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的与不能随便交换位置． （24-25高二下·广东·月考）二项式展开式中的第3项为（    ） A． B．15 C． D．20 【答案】A 【解析】因为展开式中的通项为，， 所以.故选：A. 知识点2：二项式定理的性质 1、对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即，，…， 事实上，这一性质可直接由公式得到．直线将函数的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴． 2、增减性与最大值 （1）增减性：因为，即， 所以当时，随的增加而增大．由对称性知，当时，随的增加而减小． （2）最大值： ①如果二项式的幂指数是偶数，中间项时第项，其二项式系数最大； ②如果二项式的幂指数是奇数，中间项有两项，即为第项和第项，它们的二项式系数和相等且最大． 3、各二项式系数的和 ①已知， 令得． 这就是说，二项展开式的各二项式系数的和为． ②奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，且都等于． 在二项式定理中，令，则， 即． （24-25高二下·山西太原·月考）若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则的取值不可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】在二项式展开式中， 对于A，当时，展开式中二项式系数为1,3,3,1， 第3项与第2项的二项式系数为3，同为最大值； 对于B，当时，展开式中二项式系数为1,4,6,4,1， 第3项的二项式系数6为最大值； 对于C，当时，展开式中二项式系数为1,5,10,10,5,1， 第3项与第4项的二项式系数为10，同为最大值； 对于D，当时，展开式中二项式系数为1,6,15,20,15,6,1， 第3项的二项式系数15小于第4项的二项式系数20， 第3项的二项式系数不最大.故选：D. 题型一：二项式定理的正用和逆用 例1．（24-25高二下·江苏镇江·期中）的值是（    ） A． B．1 C．0 D．22024 【答案】A 【解析】由二项式定理得 .故选：A. 【变式1-1】（24-25高二下·贵州贵阳·月考）化简，其结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设． 根据组合数的性质，则． 由二项式定理可知， 即． 那么， 因为，所以． 即，则．故选：A． 【变式1-2】（24-25高二上·甘肃白银·月考）已知，若，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以，解得． 【变式1-3】（24-25高二下·河北沧州·月考）若对恒成立，其中，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】 ， ，即.故选：D 题型二：二项展开式的特定项问题 例2.（24-25高二下·浙江湖州·月考）的展开式中第四项是（    ） A．-20 B．20 C．-160 D．160 【答案】C 【解析】由题意得展开式的第四项为.故选：C. 【变式2-1】（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）二项式的展开式中常数项为（    ） A． B．540 C．15 D． 【答案】B 【解析】二项式的展开式的通项为， 由，得， 所以二项式的展开式中常数项为.故选：B. 【变式2-2】（24-25高二下·江苏南通·月考）的展开式中的系数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】多项式的展开式中含的项为， 所以的系数是4.故选：C. 【变式2-3】（24-25高二下·山西长治·月考）二项式的展开式中，共有有理项是 项 【答案】1012 【解析】二项式的展开式，， 展开式中有理项即为为整数，为偶数， 又，则符合条件的有1012个， 所以共有有理项1012项. 题型三：三项展开式的特定项问题 例3.（24-25高二下·云南昆明·月考）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．60 D．30 【答案】A 【解析】表示5个的乘积， 在这5个因式中，有2个因式选，2个因式选， 剩下的1个因式选−2，即可得到含的项， 故含的项的系数为，故选：A． 【变式3-1】（25-26高二上·江西鹰潭·月考）的展开式中的系数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【解析】的通项公式， 令，则，所以的系数为故选：B 【变式3-2】（24-25高二下·河北邯郸·月考）在的展开式中，的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意的系数可以成从6个含有的括号中， 其中3个选，剩下3个里1个选，剩下2个选， 所以，故选：A. 【变式3-3】（24-25高二下·浙江·月考）的展开式中的系数为 . 【答案】 【解析】因为， 的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以的展开式通项为， 由可得或或或， 因此，展开式中的系数为 . 题型四：多个多项式相乘问题 例4.（24-25高二下·山东·月考）的展开式中的系数为（    ） A．30 B．10 C． D． 【答案】A 【解析】由题意知的展开式的通项为. 令，得的展开式中的系数为； 令，得的展开式中的系数为， 所以的展开式中的系数为.故选：A. 【变式4-1】（25-26高三上·河北沧州·月考）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在的展开式中，的系数为，的系数为， 所以的展开式中，的系数为，故选：B. 【变式4-2】（24-25高二下·广东中山·月考）的展开式中常数项为（    ） A．120 B．-120 C．180 D．-180 【答案】D 【解析】 展开式的通项为:，. 不存在的值使得，所以的展开式中没有常数项； 当且仅当时，的展开式可取到常数项， 则的常数项为. 综上所述：的展开式中常数项为-180.故选：D. 【变式4-3】展开后的系数为 ． 【答案】 【解析】因为， 故展开后含的项为， 故系数为． 题型五：二项式系数最大问题 例5.（24-25高二下·广东深圳·月考）在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 【答案】D 【解析】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则， 的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是， 则，即，解得， 而，因此或，，， 所以展开式中系数最大的项是第3或4项.故选：D. 【变式5-1】（24-25高二下·天津河北·月考）已知 的展开式中，二项式系数之和是，则展开式中二项式系数最大的项为（    ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【答案】B 【解析】因为 的展开式中，二项式系数之和是，可得， 故展开式中二项式系数最大的项为第项.故选：B. 【变式5-2】（24-25高二下·四川成都·月考）已知的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则项的系数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为的展开式中只有第3项的二项式系数最大， 则为偶数，最大项为，则 所以，又因为二项展开式的通项公式为：， 令，得，所以项的系数为：.故选：C 【变式5-3】（23-24高二下·江苏·期中）设，展开式中二项式系数的最大值为x，展开式中二项式系数的最大值为y，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】由题意可得或， 故，解得，故选：D 题型六：展开式系数最大问题 例6.（24-25高三上·云南昆明·月考）若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】C 【解析】由的展开式中第2项与第8项的系数相等， 由的展开式的二项式系数和项的系数相等， 所以，所以， 则展开式中共有9项，系数最大的项为第5项，故选：C． 【变式6-1】（23-24高二下·江苏南通·月考）在的二项展开式中，系数最大的项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第5项和第6项 【答案】B 【解析】的通项公式为, 根据二项式系数的性质可知，第5项和第6项的二项式系数最大， 第6项时，展开式的系数为负，因此第5项，展开式系数最大故选：B 【变式6-2】（24-25高二下·天津·期中）若，则取最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解析】令，，且， 解得，，且， 所以时，， 而，， 所以，且， 故取最大值时的值为9．故选：B． 【变式6-3】（24-25高三上·重庆长寿·期末）设，则中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为展开式的通项公式为， 所以展开式各项的系数与二项式系数相等或互为相反数， 又由二项式系数的性质知，二项式系数最大的项为第五、第六项，即，， 所以中最大的是.故选：B. 题型七：利用赋值法解系数问题 例7.（24-25高二下·贵州贵阳·月考）在的展开式中，各项二项式系数的和与各项系数的和之比为，则（    ） A．8 B．4 C．6 D．2 【答案】B 【解析】的展开式中各项二项式系数的和为， 令得二项展开式中各项系数和为，， 即，解得.故选：B. 【变式7-1】（24-25高二下·江苏南京·月考）已知，则下列描述正确的是（    ） A． B． C． D．除以5所得的余数是1 【答案】D 【解析】， 令，可得，再令，可得， ，故A错误． 因为， 所以， 所以，故B错误． 由于为展开式各项系数和， 故，，故C错误． 由题意，， 显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除， 除以5所得的余数是1，故D确．故选：D 【变式7-2】（24-25高二下·山东·月考）若，则的值为（    ） A．－121 B．－122 C．121 D．122 【答案】A 【解析】由， 令，得①， 令，得②， ①+②得，， 所以.故选：A 【变式7-3】（25-26高二上·山东潍坊·月考）若，则 . 【答案】49 【解析】中， 令得， 中， 令得，即， 解得. 题型八：利用二项式定理解决整除与求余问题 例8.（25-26高二上·上海浦东新·月考）若是正整数，则除以8的余数是 ． 【答案】7 【解析】根据二项式定理可知，， 又 所以除以8的余数为7. 【变式8-1】（24-25高二下·江苏连云港·月考）若能被7整除，则的最小正整数取值为 . 【答案】5 【解析】因为，而，所以. 根据二项式定理，将展开可得 除了最后一项外，其余各项都含有因数，都能被整除. 所以 （其中为整数）. 因为能被整除， 14k能被整除，所以只要能被整除即可. 当时，，此时取最小正整数. 【变式8-2】（24-25高二下·河南·月考）除以8的余数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【解析】， 又， 所以， 所以除以8的余数为3.故选：B. 【变式8-3】（24-25高二下·江苏连云港·月考）今天是星期四，小美在参加数学考试，那么再过天后是星期（    ） A．一 B．二 C．三 D．日 【答案】A 【解析】 ， ，能被整除， 又，再过天后是星期一.故选：A. 题型九：利用二项式定理近似计算 例9.（24-25高二下·安徽·期中）的小数点后第三位数字为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ， 因此，的小数点后第三位数字为.故选：A. 【变式9-1】（23-24高二下·江苏苏州·期末）最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【答案】C 【解析】由题意得， 由二项式定理得， 而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可， 所以我们得到， 则其与1.22更接近，故C正确.故选：C 【变式9-2】（23-24高二上·江西九江·期末）实数精确到的近似值为 . 【答案】 【解析】因为 ， 将精确到，故近似值为. 【变式9-3】（23-24高二下·江苏南通·月考）的计算结果精确到0.001的近似值是 . 【答案】 【解析】由 . 一、单选题 1．（24-25高二下·四川南充·月考）的展开式的第3项的系数为（    ） A．10 B． C．40 D． 【答案】C 【解析】写出的通项，，第三项，即令，则 ， 所以第三项的系数为40.故选：C 2．（24-25高二下·云南昆明·月考）在的展开式中，常数项为（    ） A．8 B．24 C．60 D．160 【答案】D 【解析】的展开式通项为， 令，解得， 所以展开式中的常数项为.故选:D. 3．（2025·湖南·三模）的展开式中的常数项是（    ） A．12 B．8 C． D． 【答案】B 【解析】的通项公式为， 当时，．当时，， 故的展开式中常数项的值为．故选：B． 4．（24-25高二下·湖北宜昌·期中）化简：（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【解析】因为， ，所以.故选：C. 5．（23-24高二下·重庆·月考）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由题意二项式系数仅最大，故，所以二项式为， 其通项公式为， 设二项式展开式中第项的系数最大， 则有，，即， 故，经经验符合题意， 所以展开式中系数最大的项是第3项.故选：B. 二、多选题 6．（24-25高二下·江苏南京·月考）对于的二项展开式，以下判断中正确的有（    ） A．展开式中有常数项 B．展开式中没有常数项 C．展开式中没有的三次项 D．展开式中有的三次项 【答案】BD 【解析】的展开式通项为， 令，解得，故展开式中没有常数项，A错B对； 令，解得，故展开式中有的三次项，C错D对.故选：BD. 7．（24-25高二下·福建福州·期中）关于的展开式，下列结论正确的是（    ） A．二项式系数和为64 B．所有项的系数之和为1 C．第三项的二项式系数最大 D．系数最大值为240 【答案】ABD 【解析】对A，二项式系数和为，正确； 对B，令，，所以所有项的系数之和为1，正确； 对C，二项式系数最大的是第四项，错误； 对D，通项公式为， 所以，， ，， ，， ,， 所以系数最大值为240，正确.故选：ABD 8．（25-26高二上·辽宁·月考）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A项，令，则，A项正确； 对于B项，令，则，B项正确； 对于C项，令，则，结合B项得，C项错误； 对于D项，，，则，D项正确．故选：ABD 三、填空题 9．（24-25高二下·河北·月考）在的展开式中，的系数为 . 【答案】 【解析】， 令，则，即的系数为. 10．（24-25高二下·陕西宝鸡·月考）在的展开式中，常数项为 . 【答案】20 【解析】由题意有：， 令得，所以常数项为. 11．（24-25高二下·江苏无锡·月考）展开式中含项的系数为 ． 【答案】 【解析】展开式中含项的为，则其系数为. 四、解答题 12．（25-26高二上·河南驻马店·月考）已知的展开式中第项为，，且第三项和第九项的二项式系数相等． (1)求第四项的二项式系数与系数； (2)求二项式系数的最大值及展开式系数的最大值． 【答案】(1)第四项的二项式系数为；系数为；(2)二项式系数的最大值为；系数最大值为 【解析】（1）已知的展开式中第项，，且第三项和第九项的二项式系数相等． 即，故； 又展开式的通项为，故， 所以第四项的二项式系数为，系数为； （2）因为是偶数，故二项式系数的最大值为， 因为，故， 因为， 令，得：， 因为是正整数，故时，； 时，， 所以第8项的系数最大，最大值为． 13．（24-25高二下·山东菏泽·期末）已知的展开式中第三项的系数是第二项系数的2倍． (1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求的展开式中含项的系数（结果用数值表示）． 【答案】(1)；(2)和；(3)219 【解析】（1）的展开式的通项为， 因为第三项的系数是第二项系数的2倍， ，解得，因为，所以； （2）由知展开式共有10项，二项式系数最大的项为第5项和第6项， 由（1）知第5项为，第6项为， 所以二项式系数最大的项为和； （3）由（1）知展开式中的系数为 ， 所以展开式中含项的系数为219. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $