6.3.2 第1课时 二项式系数的性质-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦二项式系数的性质这一核心知识点，系统梳理对称性、增减性与最大值及各二项式系数和等内容，通过观察n=1到8展开式规律引入，结合问题链引导探究，构建从具体到抽象的学习支架，衔接二项式定理与应用。 以问题驱动探究，通过观察展开式培养数学眼光，用赋值法推导系数和发展数学思维，典例结合教材原题强化迁移。课中助力教师引导学生主动建构，课后分层作业帮助学生查漏补缺，提升数学运算与抽象能力。

6.3.2　二项式系数的性质 第1课时　二项式系数的性质 [学习目标]　1．理解二项式系数的性质并灵活运用．(数学运算) 2．掌握“赋值”法并会灵活应用．(数学抽象) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．(a＋b)n的展开式的二项式系数是什么？ 问题2．观察(a＋b)n，当n＝1，2，…，8时的展开式的二项式系数，你能发现什么规律？ 问题3．(a＋b)n的展开式的二项式系数有什么性质？ (对应学生用书第28页) 探究1　二项式系数的性质 问题1　根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1，2，3，4，5，6)的展开式的二项式系数．可以写成如下形式： (1)每一行中，与首末两端等距离的二项式系数有怎样的关系？ (2)当n＝6时，你能否写出展开式的二项式系数？ (3)观察上图，推理二项式系数的最大值有怎样的规律？ [提示]　(1)相等． (2)分别是1，6，15，20，15，6，1． (3)n为偶数时，中间一项最大；n为奇数时，中间两项最大． [新知生成] 1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即＝． 2．增减性与最大值 (1)若n为奇数，当k≤时，，此时递增，当k≥时，此时递减；若n为偶数，当k≤时，，此时递增，当k≥时，，此时递减． (2)当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． 【教用·微提醒】　二项式系数取得最大值的项，其系数不一定是最大的． 　对称性 [典例讲评]　1．已知(a＋b)2n的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则(2x－1)n的展开式中x3的系数为(　　) A．80　　　 B．40　　 C．－40　　　 D．－80 A　[由题意知，＝，所以3＋7＝2n，解得n＝5， 则(2x－1)5的展开式的通项为 Tk＋1＝(2x)5－k(－1)k＝(－1)k25－kx5－k， 由5－k＝3，得k＝2， 所以x3的系数为(－1)2××23＝80．] 　当题目中给出不同项的二项式系数相等的条件时，一般根据二项式系数的对称性建立等式，求解等式中的未知参数． 　二项式系数的增减性与最大值 [典例讲评]　2．(1)在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为(　　) A．－126 　 B．－70　 C．－56 　 D．－28 (2)(2024·全国甲卷)的展开式中，各项系数中的最大值为________． (1)C　(2)5　[(1)因为只有第5项的二项式系数最大，所以n＝8，的展开式的通项为Tk＋1＝(k＝0，1，2，…，8)， 要使系数(－1)k最小，k为奇数，取1，3，5，7，经过检验，当k＝3或5时，系数(－1)k最小，即展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为＝－56． (2)二项展开式的通项为 Tk＋1＝xk，0≤k≤10且k∈N， 设展开式中第k＋1项系数最大， 则⇒ 即，又k∈N，故k＝8， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为＝5．] 　(1)二项式系数最大的项的求法 求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论． ①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大． ②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)展开式中系数最大的项的求法 求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用解出k，即得出系数最大的项． [学以致用]　1．在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是(　　) A．第n－k项 　 B．第n－k－1项 C．第n－k＋1项 　 D．第n－k＋2项 D　[第k项的二项式系数是，由于＝，故第n－k＋2项的二项式系数与第k项的二项式系数相同．] 2．【链接教材P38复习参考题6T1(7)】 在(3x－2y)20的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项； (3)系数最大的项． [解]　(1)因为n＝20，所以二项式系数最大的项是第11项． T11＝×310×(－2)10x10y10＝×610x10y10． (2)设系数绝对值最大的项是第k＋1项， 于是 化简得 解得． 因为k∈N，所以k＝8， 即T9＝×312×28x12y8是系数绝对值最大的项． (3)由于系数为正的项为奇数项，且第9项的系数的绝对值最大， 所以T9＝×312×28x12y8是系数最大的项． 【教材原题·P38复习参考题6T1(7)】 (1＋x)2n的展开式中，系数最大的项是第________项． [答案]　n＋1 探究2　各二项式系数和 问题2　在二项展开式(a＋b)n＝an＋an－1b＋an－2b2＋…＋an－kbk＋…＋bn中，令a＝b＝1，可得到什么结论？令a＝1，b＝－1，可得到什么结论？ [提示]　＋＋＋…＋＝2n； ＋＋＋…＝＋＋＋…＝2n－1． [新知生成] 1．＋＋＋…＋＝2n； 2．＋＋＋…＝＋＋＋…＝2n－1． [典例讲评]　【链接教材P33例3】 3．(1)的展开式中，所有二项式系数的和是________；展开式中所有偶数项的二项式系数和是________．(用数字作答) (2)已知(x－my)n的展开式中，二项式系数之和为64，x3y3的系数为－160，则实数m＝__________． (1)256　128　(2)2　[(1)的展开式中，所有二项式系数的和是28＝256，展开式中所有偶数项的二项式系数和是27＝128． (2)由题意得，2n＝64，解得n＝6，而(x－my)6的展开式的通项为Tk＋1＝x6－k(－my)k，0≤k≤6，k∈N，所以x3y3的系数为(－m)3＝－160，解得m＝2．] 【教材原题·P33例3】 例3　求证：在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． [分析]　奇数项的二项式系数的和为 ＋＋＋…， 偶数项的二项式系数的和为 ＋＋＋…． 由于(a＋b)n＝an＋an－1b＋an－2b2＋…＋bn中的a，b可以取任意实数，因此我们可以通过对a，b适当赋值来得到上述两个系数和． [证明]　在展开式 (a＋b)n＝an＋an-1b＋an-2b2＋…＋bn中，令a＝1，b＝－1，则得 (1－1)n＝＋…＋(－1)k＋…＋(－1)n． 即(＋…)－(＋…)＝0． 因此，＋…＝＋…， 即在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 　所有项二项式系数的和为2n，奇数项二项式系数的和与偶数项二项式系数的和相等，都等于2n－1． [学以致用]　3．已知(n∈N*)的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4 096． (1)求(n∈N*)的展开式中的常数项； (2)在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)2+n的展开式中，求x3项的系数． [解]　因为(n∈N*)的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4 096， 所以＋＋…＋＝2n＝4 096＝212， 可得n＝12， (1)即的展开式的通项是 Tk＋1＝＝(k＝0，1，2，3，…，12)， 令＝0，得k＝3， 所以常数项是T4＝＝． (2)(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)2+n，即(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)14， (1＋x)3，(1＋x)4，…，(1＋x)14展开式中x3项的系数分别为，，…，， 所以(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)14的展开式中x3项的系数为 ＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋ ＝＋＋…＋＝…＝＋＝＝1 365． 探究3　二项展开式的各项系数的和 [典例讲评]　4．已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，求下列各式的值． (1)a0＋a1＋a2＋…＋a5； (2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|； (3)a1＋a3＋a5． [解]　(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1． (2)令x＝－1，得(－3)5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5． 由(2x－1)5的展开式的通项Tk＋1＝(－1)k25－kx5－k知a1，a3，a5为负值， 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5| ＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243． (3)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， －a0＋a1－a2＋…＋a5＝(－3)5， 得2(a1＋a3＋a5)＝1－35， 所以a1＋a3＋a5＝＝－121． [母题探究]　(变设问)在本例条件下，求下列各式的值． (1)a0＋a2＋a4； (2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5； (3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4． [解]　(1)因为a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， －a0＋a1－a2＋…＋a5＝(－3)5， 所以a0＋a2＋a4＝＝122． (2)因为a0是(2x－1)5展开式中x5的系数， 所以a0＝25＝32， 又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， 所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31． (3)因为(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5， 所以两边求导数， 得10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4． 令x＝1，得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10． 　(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)若f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f (x)的展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝． [学以致用]　4．若(2x－1)n的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn．(n∈N*) (1)求x2的系数a2； (2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|的值． [解]　(1)因为展开式中第3项与第9项的二项式系数相等， 则＝，解得n＝10． 所以(2x－1)10的展开式中x2项为(2x)2(－1)8＝180x2，所以a2＝180． (2)由(1)知，(2x－1)10的展开式中， (2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a10x10， 当x＝0时，a0＝1， 由二项展开式可得，an＝×2n×(－1)10－n， 所以a0，a2，a4，a6，a8，a10都是正数，a1，a3，a5，a7，a9都是负数， 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10， 当x＝－1时，a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝(－3)10＝310， 所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝310－1． (对应学生用书第31页) 1．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是(　　) A．第15项 　 B．第16项 C．第17项 　 D．第18项 B　[第6项的二项式系数为，又＝，所以第16项符合条件．] 2．在(3－5x)7的展开式中，二项式系数的最大值为(　　) A．　　B．　　C．　　D．－ B　[(3－5x)7的展开式中共有8项，中间的两项为第4项和第5项，这两项的二项式系数相等且最大，为．] 3．若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　) A．－40 　 B．40 C．41 　 D．82 C　[根据(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0， 令x＝1，得(2－1)4＝1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0， 令x＝－1，得34＝a4－a3＋a2－a1＋a0， 所以a0＋a2＋a4＝＝41． 故选C．] 4．(教材P38复习参考题6T3(5)改编)(ax＋1)n的展开式中，二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则a＝________． 2　[依题意知2n＝32，得n＝5． 令x＝1，得各项系数之和为(a＋1)5＝243， 所以a＋1＝3，故a＝2．] 1．知识链： 2．方法链：二项式系数的性质的应用策略、赋值法． 3．警示牌：不能正确理解系数与二项式系数的区别致误，注意中间项的个数，含绝对值的系数问题． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．怎样确定二项式系数的最大值？ [提示]　当n为偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，展开式中间两项的二项式系数，最大． 2．在项的系数均为正的前提下怎样求项的系数的最大值？ [提示]　设第k＋1项的系数最大，则 课时分层作业(九)　二项式系数的性质 (对应学生用书第129页) 一、选择题 1．已知的二项展开式中，第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为(　　) A．212　　　 B．312　　 C．310　　　 D．210 C　[因为的二项展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，所以＝，解得n＝10，令x＝1，得所有项的系数之和为310．] 2．已知的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72，则该展开式中的常数项为(　　) A． 　 B． C． 　 D． A　[由的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72， ＝， 故2＝72，解得n＝9(负值舍去)． 所以的展开式的通项为Tk＋1＝··x9－3k(k＝0，1，…，9)， 当k＝3时，该展开式中的常数项为·＝． 故选A．] 3．已知(x2－x－1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a1＋a2＋…＋a10＝(　　) A．1 　 B．2 C．3 　 D．5 B　[由题意令x＝1，则a0＝(1－1－1)5＝－1， 令x＝2，则a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(4－2－1)5＝1， 所以a1＋a2＋…＋a10＝1－(－1)＝2． 故选B．] 4．(多选)关于的展开式，下列说法正确的是(　　) A．展开式的所有项系数和为64 B．展开式的第4项二项式系数最大 C．展开式中不含x3项 D．展开式中的常数项为240 BD　[对于A，令x＝1，则展开式的所有项系数和为(1－2)6＝1，故A错误； 对于B，因为展开式共有7项，则展开式的第4项二项式系数最大，故B正确； 对于C，展开式的通项为Tk＋1＝·(－2)k·x3k－12， 令3k－12＝3，即k＝5，即展开式中含x3项，故C错误； 对于D，展开式中的常数项为·(－2)4＝240，故D正确． 故选BD．] 5．(多选)在(a是常数)的展开式中，各项的二项式系数中只有第4项最大，且的系数为160，则(　　) A．n＝6 B．a＝2　 C．展开式中的常数项为240 D．各项系数的和为26 AC　[在(a是常数)的展开式中，各项的二项式系数中只有第4项最大， 则＋1＝4，即n＝6，又的系数为160， 则·(－a)3＝160，即a＝－2，故A正确，B错误； 展开式中的常数项为·24＝240，故C正确； 令x＝1，则各项系数的和为(1＋2)6＝729，即D错误． 故选AC．] 二、填空题 6．若的展开式中二项式系数和为32，则展开式中最高次项的系数为________． 243　[由已知可得2n＝32，即n＝5． ＝，其展开式的通项为Tk＋1＝(3x)5－k＝(－1)k·35－kx5－2k． 最高次项为k＝0时的项． 当k＝0时，该项的系数为(－1)0·35＝243． 所以最高次项的系数为243．] 7．(2024·上海卷)在(x＋1)n的二项展开式中，若各项系数和为32，则x2项的系数为________． 10　[由题意，展开式中各项系数的和是(1＋1)n＝32，所以n＝5， 则该二项展开式的通项是Tk＋1＝·x5－k·1k，k＝0，1，…，5， 令5－k＝2，解得k＝3，故x2项的系数为＝10．] 8．(1＋3x)15的二项展开式中，系数最大的项是第________项． 12和13　[(1＋3x)15的二项展开式的通项为 Tk＋1＝(3x)k＝3kxk(k＝0，1，2，…，15)，项的系数为3k， 由得11≤k≤12， ∴系数最大的项是第12项和第13项．] 三、解答题 9．在的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)奇数项的二项式系数和； (3)系数绝对值最大的项． [解]　展开式的通项为Tk＋1＝6－k＝·26－k·(－1)kx3－k，k＝0，1，…，6． (1)由通项可得第3项的二项式系数为＝15，系数为·24·(－1)2＝240． (2)奇数项的二项式系数和为25＝32． (3)展开式的各项的系数的绝对值为Sk＋1＝·26－k，k＝0，1，…，6， 设第k＋1项的系数绝对值最大，则 解得，则k＝2， 所以系数的绝对值最大的项为T3＝·24(－1)2x＝240x． 10．若(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的展开式中的各项系数和为243，则＝(　　) A．32 　 B．31 C．16 　 D．15 B　[因为(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的展开式中的各项系数和为243， 令x＝1可得a0＋a1＋a2＋…＋an＝(2＋1)n＝243， 解得n＝5， 令x＝0，可得a0＝1， 令x＝，可得a0＋＝＝32， 所以＝31． 故选B．] 11．(多选)关于的展开式的说法中，正确的是(　　) A．各项的系数之和为－1 B．二项式系数的和为64　 C．展开式中无常数项 D．第4项的系数最大 AC　[对于的展开式， 令x＝1，得各项的系数之和为(1－2)5＝－1，A正确； 二项式系数的和为25＝32≠64，B错误； 展开式的通项为Tk＋1＝·(－2)k·x5－2k，k＝0，1，2，…，5， 令5－2k＝0，求得k＝2.5∉N，故展开式中无常数项，C正确； 在的展开式中，第1，3，5项的系数均为正，第4项的系数为(－2)3＝－80＜0，D错误． 故选AC．] 12．(多选)若(1－2x)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025，则(　　) A．a0＝1　 B．a0＋a1＋a2＋…＋a2 025＝1　 C．|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 025|＝32 025 D．＝0 AC　[由于(1－2x)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025， 对于A，令x＝0，整理得a0＝1，故A正确； 对于B，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2 025＝(1－2)2 025＝－1，故B错误； 对于C，令x＝－1，得|a0|＋|a1|＋…＋|a2 025|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024－a2 025＝32 025，故C正确； 对于D，令x＝，得a0＋＝0，故＝－1，故D错误． 故选AC．] 13．在2 024的二项展开式中，设含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S＝________． －23 035　[由题得2 024＝a0x2 024＋a1x2 023＋…＋a2 023x＋a2 024， 所以当x＝时，0＝2 024a0＋2 023a1＋…＋a2 023＋a2 024，① 当x＝－时，2 024＝2 024a0＋…－a2 023＋a2 024，② 所以①－②，得－23 036＝2×2 023a1＋2×2 021a3＋…＋2a2 023＝2S， 故S＝－＝－23 035．] 14．已知． (1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数； (2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项． [解]　(1)由已知得2＝＋， 即n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14． 当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是第4项和第5项， ∵T4＝(2x)3＝x3， T5＝(2x)4＝70x4， ∴第4项的系数是，第5项的系数是70； 当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是第8项，它的系数为×27＝3 432． (2)由已知得＋＋＝79， 即n2＋n－156＝0，解得n＝－13(舍去)或n＝12． 设Tk＋1项的系数最大， ∵＝(1＋4x)12， 由 解得9.4≤k≤10.4， 又∵0≤k≤12，k∈N，∴k＝10， ∴展开式中系数最大的项是第11项， 即T11＝××410×x10＝16 896x10． 15．(多选)若(2－3x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024，则下列选项正确的有(　　) A．a0＝22 024 B．|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 024|＝1 C．＝－22 024 D．a1＋2a2＋3a3＋…＋2 023a2 023＋2 024a2 024＝6 072 ACD　[(2－3x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024， 令x＝0，则a0＝22 024，故A正确； 令x＝－1，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 024|＝52 024，故B错误； 令x＝，则a0＋＝， 故＝－22 024，故C正确； (2－3x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024，求导可得，－6 072(2－3x)2 023＝a1＋2a2x＋…＋2 024a2 024x2 023，① 令①中的x＝1， 故a1＋2a2＋3a3＋…＋2 023a2 023＋2 024a2 024＝6 072，故D正确． 故选ACD．] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $