高二数学上学期期末模拟卷03（人教A版选择性必修1～4章：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线+数列）高二数学上学期人教A版

11 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂)一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分） 16.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17. （15分） 18.（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教A版(2019)选择性必修第一册全部+数列。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.直线x-√3y-3=0的倾斜角为() B c. 2.在等差数列{an}中，4+4=20,4，=12，则a4=() A.5 B.6 C.7 D.8 3.直线x-2y=0被圆C:(x-4)2+(心-4)2=4截得的弦长为() A.25 B.3V5 c.4w5 D.6V5 5 5 5 4,“2<m<3”是“方程+ 一=1表示焦点在x轴上的椭圆”的()条件 74- A.充分不必要B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 5.在正三棱柱ABC-AB,C中，AB=AA=2,点P为侧面ABBA内的一点，则PC·PC的最小值为() B.2 C.32 D.22 2 6.已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,其通径长为8，动直线1过点F且与抛物线交于C,D两点， 3CF+4DF-14的最小值为() A.23 B.43 C.6W5 D.85 115 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.设数列{a,}的前n项和为3,4=-5，a,=&+20-1),n∈N,则S取最小值时：的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 8。已知双前线C后-1a>0b0的右焦点为F5,0,过F作双前线C一条新近线的重线，垂起 为点4，且与另一条渐近线交于点8，若AF=丽，则双曲线C的方程为() A,写y=1B.=1 c.上=1 D.y =1 3 43 34 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知数列{a}的前n项和为Sn,若a,=3-5,则() A.{am3}是等差数列 B.{a+am-1}不是等差数列 C.{2Sn-3n}是等差数列 D.{保3动不是等荣数列 10.设O为坐标原点，己知对任意实数a,直线1：-y+2-2a=0与圆C:(x-4)2+(y-1)2=r2(r>0)都有 两个交点M,N,则() A.直线1过定点(2,1) B.rE(5,+co) C.当r=5时，CM.cN的最小值为-25 D.当r=3时，MWe[5,6] 11 1山.已知点(-20)，见20)，曲线8上任意一点M满是网网A(20),则() A.当入=2时，曲线E经过坐标原点 B.对于不同的入值，曲线E总是关于坐标原点对称 C.当元=4时，直线y=0与曲线B的所有交点的横坐标之积为9+3W6⑤ 8 D.当元=1时，M+M的取值范围为4,2W5+2 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在空间四边形OABC中，已知空间内一点P满足OP=OA+OB+0C(1∈R),若PA,PB,PC共 39 5 215 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 面，则1=一 13.己知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线1与C交于A,B两点，和y轴交于D点，且A在B与D之间， 若|AF=2,BF=5,则△ADF与△BDF的面积之比为 14.已知椭圆C:+)=1(4>b>0)与双曲线C& 1x2y2 db =1(a2>0,b,>0)具有相同的左、右焦点耳、 F,点P为它们在第一象限的交点，动点Q在曲线C1上，若记曲线C,C,的离心率分别为e,e2,满足e·e2=1, 且直线P明与y轴的交点的坐标为0，忍 ,则∠2的最大值为 2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知数列{a}的前n项和为Sn,数列b}是公比为3的等比数列，且Sn=n,b=4. (1)求数列{a}、{b}的通项公式： (2)令Cn=(a+1)bn,求数列{Cn}的前n项和T 3/5 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.(15分)如图，四棱锥P-ABCD中，PDL平面ABCD,DP=DC,底面ABCD为正方形. G (1)证明：平面PAC⊥平面PBD (2)若E,G分别为PA,PC的中点，F是线段PB上靠近点B的三等分点，平面EFG交PD于点H. ①求阳的值： DH ②求平面EFGH与平面ABCD所成二面角的正弦值. 17.(15分)已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线：x-y-2√2=0相切. (1)过点G1,3)作直线与圆C相交，相交弦长为2√3，求此直线的方程： (2)若与直线l1垂直的直线1不过点R1,-1),且与圆C交于不同的两点P,Q,若∠PRQ为钝角，求直线1的纵 截距的取值范围. 415 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1⑧17分)已加圆8手若=a>6:0的个东方坐标花L0,宽特长是长长的 (1)求椭圆E的方程； (2)过点(0，-1)的直线I交椭圆E于C,D两点，与x轴交于P点，点C关于x轴的对称点为T,直线DT交x轴 于Q点，求证：|OPOQ|为定值； 19.(17分)己知F是抛物线T:y2=2Px(p>0)的焦点，E是抛物线T的准线与x轴的交点，EF=2. (1)求抛物线T的方程： (2)设O为坐标原点，AB为圆O:(x+4)+y2=16的一条不垂直于y轴的直径，分别延长AO,BO交抛物 线I于C、D两点 1+1为定值： ①直线OC,Q,D,CD的斜率分别为k,k,k,证明：店+k六， ②求四边形ABCD面积的最小值. 515 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C A B D A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC BC BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．/ 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）【解答】（1）因为，所以当时，， 当时，， 当时，，符合上式，所以， 又因为，数列是公比为3的等比数列，所以， 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为.（5分） （2）由（1）知，，可得， 则， ， 两式相减，可得 ， 所以.（13分） 16．（15分） 【解答】（1）在四棱锥中，由平面，平面，得， 由正方形，得，而平面， 则平面，又平面，所以平面平面.（4分） （2）①由（1）得直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    令，则，设， ，由点平面， 得，即，则， 因此，，所以.（8分） ②设平面的法向量，则，令，得， 而平面的法向量，则， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为.（15分） 17．（15分） 【解答】（1）由题意得，圆心到直线：的距离为圆的半径长， 所以 所以圆的方程为． ①当直线斜率不存在时，过点的直线为，代入圆方程可解得，所以弦长为，满足题意； ②当直线斜率存在时，设直线方程为，即 由弦长公式可得，圆心到直线的距离为. 圆心到直线的距离，解得， 此时，即. 所以所求直线方程为或；（5分） （2）因为直线的斜率为1且，所以直线的斜率为， 设直线的方程为. 与圆的方程联立，整理得． 设，，则，是方程的两个不同的根， 所以，即，解得. 所以，， ， ， 因为为钝角，所以，又，， 所以 ，解得． 当时，与反向共线，直线经过，此时，不符合题意，应舍去. 综上，直线的纵截距的取值范围是且．（15分） 18．（17分） 【解答】（1）（1）由，，，得，， 所以椭圆的方程为；（4分） （2）显然直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，，， 则点的坐标为，， 联立方程，消去整理， 则，且，， 又因为直线的方程为， 令，得Q的横坐标为 代入，，得 所以为定值.（17分） 19．（17分） 【解答】（1）由题意可得， 所以抛物线的方程为；（2分） （2）①设直线的方程为，则直线的方程为， 联立，消得，解得或， 所以， 将用替换，可得， ， 则，， 所以， 所以为定值；（7分） ②联立，消得， 解得或， 所以， 所以， 将用替换，可得， 故四边形的面积 ， 令， 则， 所以， 设， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当，即时，取得最小值，最小值为， 所以四边形面积的最小值为.（17分） 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $: 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 O (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意丰项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教A版(2019)选择性必修第一册全部+数列。 第一部分（选择题共58分） : 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.直线x-√3y-3=0的倾斜角为() A. D. : c骨 g O 2.在等差数列{a}中，4+4=20,4，=12，则a4=() A.5 B.6 C.7 D.8 3.直线x-2y=0被圆C:(x-4)2+(y-4)=4截得的弦长为() 斟 A.25 8.35 c45 D. 65 : 5 5 5 4. “2<m<3"是“方程十 =1表示焦点在x轴上的椭圆”的(）条件 拟 4-m : : A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 : 5.在正三棱柱ABC-AB,C中，AB=AA=2,点P为侧面ABBA内的一点，则PC.PC的最小值为() 3 A. B.2 2 c.32 D.2W2 : 6.已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,其通径长为8，动直线1过点F且与抛物线交于C,D两点， 3CF+4DF-14的最小值为() : : A.2W3 B.4V3 c.65 D.8W5 7.设数列a}的前n项和为3,4=-5，a=+20m-),meN,则3取最小值时2的值为() 试题第1页（共4页） .: : 可学科网·上好课 A.2 B.3 C.4 D.5 8已知双前线C若芳-a≥0b)的右焦点为F,0,过F作双陆线C一条新近线的重线，垂足 为点A,且与另一条渐近线交于点B,若AF=B,则双曲线C的方程为() A1 8若1 c若 34 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知数列{a}的前n项和为Sn,若a。=3n-5,则() A.{a2m+3}是等差数列 B.{an+a}不是等差数列 C.{2S-3m2}是等差数列 0.{侣+3动不是等差数列 10.设O为坐标原点，已知对任意实数a,直线1：ax-y+2-2a=0与圆C:(x-4)2+(y-1)2=r2(r>0)都 有两个交点M,N,则() A.直线1过定点(2,1) B.re(V5,+∞) C.当r=5时，CM.CN的最小值为-25 D.当r=3时，W∈[5,6] 11.已知点R(-2,0),R(2,0),曲线E上任意一点M满足M网+M网 11 =(2>0),则() A.当1=2时，曲线E经过坐标原点 B.对于不同的入值，曲线E总是关于坐标原点对称 C.当2=4时，直线)=0与曲线B的所有交点的横坐标之积为9+36厨 8 D.当2=1时，M+M,的取值范围为4,2V5+2] 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在空间四边形01BC中，已知空间内一点P满足OP-专Q1+号O亚+0c(a∈R),若A,历，P元共 面，则2= 13.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线I与C交于A,B两点，和y轴交于D点，且A在B与D之间， 试题第2页（共4页） 6学科网·上好课 若|AF=2,|BF=5,则△ADF与△BDF的面积之比为 14.已知联西C荐家-16>4>0)与双陆线C是若=1(4>0，么>0)只有相同的左，省生点号、 ,点P为它们在第一象限的交点，动点Q在曲线C上，若记曲线C,C,的离心率分别为e,e2,满足 马日=1，月直线P职与y轴的交点的华标为Q受）则∠0的最大位为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知数列{an}的前n项和为S,数列{b}是公比为3的等比数列，且Sn=n,b=4. (1)求数列{a}、b}的通项公式： (2)令C,=(an+1)b.,求数列{cn}的前n项和Tn. 16.(15分)如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,DP=DC,底面ABCD为正方形 H D (1)证明：平面PAC⊥平面PBD (2)若E,G分别为PA,PC的中点，F是线段PB上靠近点B的三等分点，平面EFG交PD于点H. ①求 DH的值： ②求平面EFGH与平面ABCD所成二面角的正弦值. 试题第3页（共4页） 17.(15分)已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线1：x-y-2√2=0相切. (1)过点G(1,3)作直线与圆C相交，相交弦长为2√3，求此直线的方程： (2)若与直线l垂直的直线1不过点R(L,-1),且与圆C交于不同的两点P,Q,若∠PRQ为钝角，求直线1的 纵截距的取值范围. 涨 ○ 18(17分)已知前国云爷若1ab>0)的一个焦点坐标是L0,复销长足长领长的 2 : (1)求椭圆E的方程： 游 游 (2)过点(0，-1)的直线I交椭圆E于C,D两点，与x轴交于P点，点C关于x轴的对称点为T,直线DT交x轴 于2点，求证：|OP|O01为定值： S O : 19.(17分)已知F是抛物线T:y2=2Px(p>0)的焦点，E是抛物线T的准线与x轴的交点，EF=2. (1)求抛物线T的方程： (2)设O为坐标原点，AB为圆O:(x+4)+y2=16的一条不垂直于y轴的直径，分别延长AO,B0交抛物 ..0 线T于C、D两点. 1+1为定值： ①直线Qc,Q,D,cD的斜率分别为k,k,k,证明：店+k花 ②求四边形ABCD面积的最小值. : 试题第4页（共4页） : .·.…………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册全部+数列。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．在等差数列中，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．直线被圆截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 4． “”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 5．在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 6．已知抛物线的焦点为，其通径长为8，动直线过点且与抛物线交于两点，的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．设数列的前项和为，，，，则取最小值时的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知双曲线的右焦点为，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的前项和为，若，则（   ） A．是等差数列 B．不是等差数列 C．是等差数列 D．不是等差数列 10．设为坐标原点，已知对任意实数，直线与圆都有两个交点，，则（    ） A．直线过定点 B． C．当时，的最小值为 D．当时， 11．已知点，，曲线上任意一点满足，则（    ） A．当时，曲线经过坐标原点 B．对于不同的值，曲线总是关于坐标原点对称 C．当时，直线与曲线的所有交点的横坐标之积为 D．当时，的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在空间四边形中，已知空间内一点满足，若，，共面，则 . 13．已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，和轴交于点，且在与之间，若，则与的面积之比为 ． 14．已知椭圆与双曲线（，）具有相同的左、右焦点、，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且. (1)求数列、的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 16．（15分）如图，四棱锥中，平面，，底面为正方形.    (1)证明:平面平面. (2)若E，G分别为PA，PC的中点，F是线段PB上靠近点B的三等分点，平面交PD于点H. ①求的值； ②求平面与平面所成二面角的正弦值. 17．（15分）已知圆的圆心在坐标原点，且与直线相切． (1)过点作直线与圆相交，相交弦长为，求此直线的方程； (2)若与直线垂直的直线不过点，且与圆交于不同的两点，，若为钝角，求直线的纵截距的取值范围． 18．（17分）已知椭圆的一个焦点坐标是，短轴长是长轴长的 (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定值； 19．（17分）已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，. (1)求抛物线的方程； (2)设为坐标原点，为圆的一条不垂直于轴的直径，分别延长，交抛物线于、两点. ①直线，，的斜率分别为，，，证明：为定值； ②求四边形面积的最小值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册全部+数列。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．在等差数列中，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．直线被圆截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 4． “”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 5．在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 6．已知抛物线的焦点为，其通径长为8，动直线过点且与抛物线交于两点，的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．设数列的前项和为，，，，则取最小值时的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知双曲线的右焦点为，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的前项和为，若，则（   ） A．是等差数列 B．不是等差数列 C．是等差数列 D．不是等差数列 10．设为坐标原点，已知对任意实数，直线与圆都有两个交点，，则（    ） A．直线过定点 B． C．当时，的最小值为 D．当时， 11．已知点，，曲线上任意一点满足，则（    ） A．当时，曲线经过坐标原点 B．对于不同的值，曲线总是关于坐标原点对称 C．当时，直线与曲线的所有交点的横坐标之积为 D．当时，的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在空间四边形中，已知空间内一点满足，若，，共面，则 . 13．已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，和轴交于点，且在与之间，若，则与的面积之比为 ． 14．已知椭圆与双曲线（，）具有相同的左、右焦点、，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且. (1)求数列、的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 16．（15分）如图，四棱锥中，平面，，底面为正方形.    (1)证明:平面平面. (2)若E，G分别为PA，PC的中点，F是线段PB上靠近点B的三等分点，平面交PD于点H. ①求的值； ②求平面与平面所成二面角的正弦值. 17．（15分）已知圆的圆心在坐标原点，且与直线相切． (1)过点作直线与圆相交，相交弦长为，求此直线的方程； (2)若与直线垂直的直线不过点，且与圆交于不同的两点，，若为钝角，求直线的纵截距的取值范围． 18．（17分）已知椭圆的一个焦点坐标是，短轴长是长轴长的 (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定值； 19．（17分）已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，. (1)求抛物线的方程； (2)设为坐标原点，为圆的一条不垂直于轴的直径，分别延长，交抛物线于、两点. ①直线，，的斜率分别为，，，证明：为定值； ②求四边形面积的最小值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册全部+数列。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出给定直线的斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为. 故选：A 2．在等差数列中，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质求得公差，进而求得. 【详解】， 公差， 故选：B. 3．直线被圆截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为. 故选：C. 4． “”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】先求出方程表示焦点在x轴上的椭圆的充要条件，再进行判断. 【详解】因为方程表示焦点在x轴上的椭圆， 所以，解得， 所以“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件， 故选：A 5．在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到，并求出的最小值，得到答案. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 则，，两式平方后相减可得 ，即， 其中，故， 故当取得最小值时，取得最小值， 当位于矩形的中心时，取得最小值，最小值为等边的中线长，即， 故. 故选：B 6．已知抛物线的焦点为，其通径长为8，动直线过点且与抛物线交于两点，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据通径长求出，可得，设，直线的方程为，与抛物线方程联立，得到，根据抛物线的定义可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为抛物线的通径长为8， 所以，解得， 所以抛物线，焦点. 设，直线的方程为, 联立方程组，可得， , 则,， 所以 ， 当且仅当时等号成立, 所以的最小值为. 故选:D. 7．设数列的前项和为，，，，则取最小值时的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由的关系，作差，确定为等差数列，即可求解； 【详解】由， 可得：， 则， 两式相减化简可得：， 所以为，公差为4的等差数列， 易得，， 所以当时，最小， 故选：A 8．已知双曲线的右焦点为，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过双曲线焦点得，联立渐近线与垂线方程得坐标，利用向量关系得，联立方程求解得的值，即得双曲线方程. 【详解】双曲线的右焦点，则，. 双曲线渐近线方程为，过作渐近线的垂线，其斜率为， 垂线的方程为. 由，解得，即； 由，解得，即. ，， 因，对应坐标相等，由纵坐标得：， 化简得，又，解得，， 故双曲线方程为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的前项和为，若，则（   ） A．是等差数列 B．不是等差数列 C．是等差数列 D．不是等差数列 【答案】AC 【分析】由等差数列的定义可判断A、B、C，利用等差数列的函数特性可证明D. 【详解】对于A：，因此是等差数列，故A正确； 对于B：，故是等差数列，故B错误； 对于C： ，故是等差数列，故C正确； 对于D：，，故，易知是等差数列，故D错误. 故选：AC. 10．设为坐标原点，已知对任意实数，直线与圆都有两个交点，，则（    ） A．直线过定点 B． C．当时，的最小值为 D．当时， 【答案】BC 【分析】直线过定点问题将含参数部分合并同类项，令其为零即可得到定点；判断定点与圆的位置关系结合两点间距离公式得到判断半径的范围；根据向量的数量积定义将数量积的最小值转化为求的最小值求解；利用弦长公式和圆心到直线距离的范围求解. 【详解】选项，将直线整理为， 令得，故直线过定点，故错误. 选项，由题可知直线与圆总有两个交点，则说明定点在圆内， 圆心为，半径为，可得， 因为在圆内，所以，即，故正确. 选项，当时， ， 要使最小，只需要最小即可， 圆心到直线的距离，且， 则. 由，将上式代入得 ， 整理得， 由， 解得，故最小值取， 因此最小值为， 故正确. 选项，当时， 弦长公式， 因为,则， 故,故错误. 故选： 11．已知点，，曲线上任意一点满足，则（    ） A．当时，曲线经过坐标原点 B．对于不同的值，曲线总是关于坐标原点对称 C．当时，直线与曲线的所有交点的横坐标之积为 D．当时，的取值范围为 【答案】BCD 【分析】对于A：代入检验即可判断；对于B：可得，根据方程判断对称性即可；对于C：令可得，解方程即可；对于D：可得，根据几何性质可得，换元令，结合对勾函数性质求值域即可. 【详解】因为，且点，， 设点，则. 对于选项A：当时，则， 若点为坐标原点，则，可得， 所以曲线不经过坐标原点，故A错误； 对于选项B：用替换，替换， 可得， 即点在曲线上，所以对于不同的值，曲线总是关于坐标原点对称，故B正确； 对于选项C：当时，令，可得， 即，显然， 若，则， 整理可得，解得或（舍去）； 若，则，整理可得，解得； 若，则， 整理可得，解得（舍去）或； 所以所有交点的横坐标之积为，故C正确； 对于选项D：当时，则， 可得，且，解得， 因为，即，解得， 又因为， 令，则， 由对勾函数可知在内单调递减，在内单调递增， 且，，可得， 所以的取值范围为，故D正确； 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在空间四边形中，已知空间内一点满足，若，，共面，则 . 【答案】 【分析】分析可知，，，，四点共面，根据四点共面的结论运算求解即可. 【详解】因为， 若，，共面，则，，，四点共面， 则，解得. 故答案为：. 13．已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，和轴交于点，且在与之间，若，则与的面积之比为 ． 【答案】/ 【分析】设，，根据抛物线的定义，求得，得到，求得直线l的方程，进而求得和的方程为，结合点到直线的距离公式，分别求得点和到直线的距离，进而得到答案. 【详解】因为抛物线，可得抛物线焦点为，准线方程为， 设，，因为和，且在与之间， 由抛物线的定义，可得，， 所以，，且， 所以，可得， 所以直线l的方程为，即， 令，则，所以，可得， 所以直线的方程为，即， 所以点到直线的距离，点到直线的距离， 所以. 故答案为： 14．已知椭圆与双曲线（，）具有相同的左、右焦点、，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据椭圆、双曲线的定义得，结合离心率得，在中利用余弦定理得，结合椭圆性质知：当为短轴顶点时取到最大值，分析求解即可. 【详解】由题设，又， 直线与轴的交点的坐标为，则， 中 ， 综上， ，整理得，可得或（舍）， 由，则， 由椭圆性质知：当为短轴顶点时取到最大值，此时， 由，则，即，故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且. (1)求数列、的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【解答】（1）因为，所以当时，， 当时，， 当时，，符合上式，所以， 又因为，数列是公比为3的等比数列，所以， 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为.（5分） （2）由（1）知，，可得， 则， ， 两式相减，可得 ， 所以.（13分） 16．（15分）如图，四棱锥中，平面，，底面为正方形.    (1)证明:平面平面. (2)若E，G分别为PA，PC的中点，F是线段PB上靠近点B的三等分点，平面交PD于点H. ①求的值； ②求平面与平面所成二面角的正弦值. 【解答】（1）在四棱锥中，由平面，平面，得， 由正方形，得，而平面， 则平面，又平面，所以平面平面.（4分） （2）①由（1）得直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    令，则，设， ，由点平面， 得，即，则， 因此，，所以.（8分） ②设平面的法向量，则，令，得， 而平面的法向量，则， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为.（15分） 17．（15分）已知圆的圆心在坐标原点，且与直线相切． (1)过点作直线与圆相交，相交弦长为，求此直线的方程； (2)若与直线垂直的直线不过点，且与圆交于不同的两点，，若为钝角，求直线的纵截距的取值范围． 【解答】（1）由题意得，圆心到直线：的距离为圆的半径长， 所以 所以圆的方程为． ①当直线斜率不存在时，过点的直线为，代入圆方程可解得，所以弦长为，满足题意； ②当直线斜率存在时，设直线方程为，即 由弦长公式可得，圆心到直线的距离为. 圆心到直线的距离，解得， 此时，即. 所以所求直线方程为或；（5分） （2）因为直线的斜率为1且，所以直线的斜率为， 设直线的方程为. 与圆的方程联立，整理得． 设，，则，是方程的两个不同的根， 所以，即，解得. 所以，， ， ， 因为为钝角，所以，又，， 所以 ，解得． 当时，与反向共线，直线经过，此时，不符合题意，应舍去. 综上，直线的纵截距的取值范围是且．（15分） 18．（17分）已知椭圆的一个焦点坐标是，短轴长是长轴长的 (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定值； 【解答】（1）（1）由，，，得，， 所以椭圆的方程为；（4分） （2）显然直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，，， 则点的坐标为，， 联立方程，消去整理， 则，且，， 又因为直线的方程为， 令，得Q的横坐标为 代入，，得 所以为定值.（17分） 19．（17分）已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，. (1)求抛物线的方程； (2)设为坐标原点，为圆的一条不垂直于轴的直径，分别延长，交抛物线于、两点. ①直线，，的斜率分别为，，，证明：为定值； ②求四边形面积的最小值. 【解答】（1）由题意可得， 所以抛物线的方程为；（2分） （2）①设直线的方程为，则直线的方程为， 联立，消得，解得或， 所以， 将用替换，可得， ， 则，， 所以， 所以为定值；（7分） ②联立，消得， 解得或， 所以， 所以， 将用替换，可得， 故四边形的面积 ， 令， 则， 所以， 设， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当，即时，取得最小值，最小值为， 所以四边形面积的最小值为.（17分） 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 粉 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][CD] 5[A][B][C[D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C[D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C[D] 4[A[B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A[B][C]D] 10 [A][B][C][D] 前 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 的舸 12. 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) G A D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) B A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）