第03讲 同角三角函数的关系及诱导公式（思维导图+2知识点+8大题型+过关检测）（寒假预习讲义）高一数学人教B版

第03讲 同角三角函数的关系及诱导公式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 题型01：知一求二 题型02：正余弦齐次式的运算 题型03：，关系的应用 题型04：化简、求值 题型05：诱导公式——给角求值 题型06：诱导公式——化简求值 题型07：利用互补互余关系求值 题型08：证明恒等式 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系:. （2）商数关系:. 这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切. 温馨提示:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如成立,但是就不一定成立. （3）是的简写,读作“的平方”,不能将写成,前者是的正弦的平方,后者是的正弦. （4）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,对一切恒成立,而仅对成立. 知识点2：三角函数的诱导公式 诱导公式一：，，，其中 诱导公式二：，，，其中 诱导公式三：，，，其中 诱导公式四：，．，，其中 知识点诠释：（1）要化的角的形式为（为常整数）； （2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”； （3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； （4）；． 【题型01：知一求二】 1．已知，则“”是“”的（　　） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若，则（   ） A． B． C． D． 3．若，则（   ） A． B． C． D． 4．已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 5．已知角的终边与单位圆交于第二象限的点，则 . 6．已知是第三象限的角，则 ． 【题型02：正余弦齐次式的运算】 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．若，则（    ） A． B． C． D． 9．已知，则 . 10．若，则= . 11．如果角的终边在直线上，则 12．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为 . 【题型03：，关系的应用】 13．若，则 ． 14．（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 15．如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积是，则 ． 16．角为的内角，且，则 17．已知，. (1)求的值. (2)求的值. (3)求的值. 18．已知，，求证：. 【题型04：化简、求值】 19．已知，则 （    ） A． B． C． D． 20．已知集合，且A=B，则（     ） A．－1 B．0 C．1 D．±1 21．已知，且，其中，则 ． 22．若，且，则 ． 23．（多选）已知角A为的内角，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型05：诱导公式——给角求值】 24．设函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 25．（   ） A． B． C． D． 26．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（　　） A． B． C． D． 27．（多选）下列各式子的值等于1的有（   ） A． B． C． D． 28． . 29． ． 【题型06：诱导公式——化简求值】 30．已知，则（    ） A． B． C． D．2 31．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 32．化简得（    ） A． B． C． D． 33．“” 是 “” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 34．若为第二象限角，且，则 ． 35．角顶点为原点，始边在轴非负半轴，终边上的一点，，. (1)求，的值； (2)角逆时针旋转得到角，，求的值. 【题型07：利用互补互余关系求值】 36．若为第二象限角，且，则＝（   ） A． B． C． D． 37．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 38．已知，则 ． 39．已知则 . 40．若，当时， . 41．已知 (1)化简; (2)若，求的值． 【题型08：证明恒等式】 42．求证： (1)； (2)． 43．求证：. 44．证明下列恒等式： (1)； (2)． 45．求证：. 46．求证： (1)； (2)； (3). 一、单选题 1．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．设甲：，乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若 ，则 的最小值是（    ） A． B．4 C． D．3 6．已知是定义在上的偶函数，在上是增函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知，正确的是（   ） A． B． C． D． 8．已知，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 9．下列命题，其中正确的命题有（   ） A．若角的终边经过点，则 B．若，则 C．若，且为第四象限角，则 D．若，且，则 三、填空题 10．已知，，其中，则的值为 . 11．为锐角的内角，且，则 12．已知是三角形的内角，，则的取值范围是 ． 四、解答题 13．（1）已知，且x是第四象限角，求，的值； （2）已知，，求，的值． 14．已知，且为第三象限角． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 15．在单位圆中，已知锐角的终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点按照逆时针方向旋转，交单位圆于点，点关于轴的对称点为． (1)若，求的值； (2)若，求． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第03讲同角三角函数的关系及诱导公式 Q内容导航 一预习三步曲 第一步：学 析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型强知识：核心题型举一反三精准练 题型01：知一求二 题型02：正余弦齐次式的运算 题型03：sina±cosa,sina cosa关系的应用 题型04：化简、求值 题型05：诱导公式—给角求值 题型06：诱导公式一化简求值 题型07：利用互补互余关系求值 题型08：证明恒等式 第二步：记 串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01析教材学知识 ☑知识点1：同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2a+cos2a=1. (2)商数关系：tana= sina cosa 这就是说，同一个角a的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角Q的止切Q≠π+，k€2 温馨提示(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在使函数有意义的前提 下)都成立，即与角的表达形式无关，如sin23a+cos23a=1成立，但是sin2o+cos2B=1就不一定成立 (3)sin2a是(sino)2的简写，读作“sina的平方”，不能将sin2a写成sina2,前者是o的正弦的平方，后者 1/30 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 是α2的正弦 (4)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，si2a+cos2a=1对一切o∈R 成立而tanc=一仅对c≠)+Kπk∈Z)成 cosa ☑知识点2：三角函数的诱导公式 诱导公式一：sin(a+2kπ)=sina,cos(a+2kπ)=cosa,tan(a+2kπ)=tana,其中keZ 诱导公式二：sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana,其中keZ 诱导公式三：sin[(a+(2k+l)π]=-sina,cos[a+(2k+l)π]=-cosa,tan[a+(2k+)π]=tana,其中 keZ 诱导公式四：sin k∈Z 知识点诠释：(1)要化的角的形式为k.90°±α(k为常整数)； (2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”； (3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； 02 练题型强知识 题型01：知一求二 题型02：正余弦齐次式的运算 题型o3:sina±cosa,sinacosa关系的应用 题型04：化简、求值 同角三角函数的关系 及诱导公式 题型05：诱导公式—给角求值 题型06：诱导公式一化简求值 题型07：利用互补互余关系求值 题型08：证明恒等式 【题型01：知一求二】 1.已知e小，则=号是s-考的(） A.充分必要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 2/30 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)因为xe(0,π，所以sinx>0, 16 区cosx气由smr+cosx=1,可得sin中 25 所以sinx=5 (2)因为xe(0,x,又sinr=4 1 当x0}时，cosr>0,由snx+eos=,可得os 25’此时cosr=3 当xe径时，cosx<0,由snx+eos2x=1,可得os2x= 25,此时cosr=-3 家上，xe0,,则cosx=。是sinx 4的充分不必要条件， 故选：C 2.若sin20°=m,则tan20°=() m A.- V1-m2 B.-m C. √1-m2 1-m2 m m 【答案】B 【详解】因为20°是第一象限角，余弦值为正数， 所以c0s20°=V1-sin220°=V1-m2, 则tan20°= sin20 m cos20°V1-m 故选：B 3.若sina2 ，则tana=() 1-cosa 3 A.2W2 B.-2√2 C.±22 D.±V2 【答案】C 【详解】因为，sina=-cosa=1+cosa= 1-cosa 1-cosa F,则cosa=- 3, 2V 所以sina=±V1-cos2a=± 2,则tana=sina=±2√2 3 cosa 故选：C 4.已知锐角a满足5cosa=1,则2tana+3sina=() A.126 B.26 C.26v6 D.6V6 5 5 5 5 【答案】C 3/30 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 2v6 【详解】由锐角a满足5c0sa=l,即cosa=亏，所以sna=-cosa= 5 所以ana=s加a=26,所以2ana+3sina=2×26+3×3 2W6_26√6 cosa 5 5 故选：C 5.已知角a的终边与单位圆交于第二象限的点4cosa,写，则ana= 【答案】-2 【详解】因为角a的终边与单位圆交于第二象限的点4〔cosa,},所以cos2a+。-1, 0 解得cosa=± 2√2 因为A在第二象限，所以cosa= 2W2 3 3 1 3 所以tanc= 2W2 4 3 故答案为： √2 4 6.已知tana= ,a是第三象限的角，则sina= 5 【答案】12 【详解】因为a是第三象限的角，所以sina<0, 12 因为tana= 所以sina12 5 cosa 5 sina 12 联立方程组 cosa 5 12 ,解得sina=- (正根舍去)， 13 cos a+sin'a =1 故答案为： 12 13 【题型02：正余弦齐次式的运算】 7.已知sina-2cosa_1 sina+cosa=2’则tana=() A.-3 B. C.8 D.5 3 【答案】D 4/30 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 sina -2cosa sina-2cosa tana-2 1 【详解】 cosa sina +cosa sina +cosa tana+1 2' cosa 解得tana=5. 故选：D, 8.若2sina-cosa3 cosa +2sina 5' 2sinacosa +3cos2a=( 7 A. 5 B. 1 5 C.7 5 D. 5 【答案】A 【详解】因为2sina-cosa 2tana-1 3 cosa 2sina 1+2tana 5,所以ana=2, 可得2 sinacosa+3cos2a= 2sinacosa +3cos'a 2tana+3 2x2+3 7 sin'a +cos'a tan2a+1 4+1 5 故选：A 9.已知sina+cosg-3,则sin2'a-3= sina-cosa 【答案】5 【详解】由sina+cosa =3, sina-cosa 可得ana+!3,解得tana=2, tana-1 sin'a-3sina cosa-sin'a-3sina cosa=tan'a-3tana4-6_2 sin-a +cosa tan2a+14+15 故答案为： 5 1+3sin0cosθ 10.若tan0=-5,则 sin-0-cos-0 【答案】 24 【详解】1+3sin9cos0_sin0+cos0+3sin6cos0_=tan20+1+3tan0_25+1-15_11 sin20-cos20 sin20-cos20 tan20-1 25-124 故答案为： 11 24 11.如果角a的终边在直线y=2x上，则5sin2a+3 sinacosa-2=- 【答案】9 【详解】因为角o的终边在直线y=2x上，所以设直线y=2x上一点(m,2m)(m≠0)， 5/30 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 可得ana-2m-=2. 5sin'a+3sinacosa-2=5sin2a+3sinacosa-2(sin2a+cos2a) =3sinacosa+3sina-2cos3sinacosa+3sina-2cosa sin a+cos a 3tana+3tan2a-2_3×2+3×22-216 tan'a+l 22+1 Γ5 故答案为3 ,16 12.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若 下图中所示的角为a(0<a<),且小正方形与大正方形面积之比为1：5，则tana的值为 a 【答案】05 【详解】大正方形的边长为a,则小正方形的边长为a(cosa-sina), 依题意， 立(oa-snaf-l-2 inco写即inos0-2 a" s, 2 由 tan52tana-Stana+2-0. Sin2a+cos2a-5，得ana2】 sinacosa 1 由0<a<4,得0<iana<l,所以tana=2, 故答案为： 【题型03：sina±cosa,sina cosa关系的应用】 13.若sinx-cosx= 4'则sinxcosx=_ 【答案】 32 【详解】因为sinr-cosr=4' 1 1 两边平方得(sinx-cosx)2=, 16 1 sin2x-2sinxcosx cos2x=1-2sinxcosx= 161 6/30 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得sinxcosx= 15 32 故答案为： 15 32 14.(多选)已知9∈(0，元，sin0+cos9=, =5,则下列结论正确的是() A.0e 7 B.sin-cos= 5 C.cos0=_3 D.tan0=_3 4 【答案】ABC 【i详解】由sin0+cos0=得(sin0+cos02=sin20+2sin6cos0+cos20=1+2sin6cos0= 25, sin0 cos0 = ，又0e,,sm8>0,所以cos0<0,所以0e,动，A正确： 12 因为sin0>0,cos0<0,所以sin0-cos0>0,所以 sin-cos-(sin0-cos0)-2sin0cos0-2x(-12 7 =，B正确； 5-5 结合sin0+c0s9=可得sim6,cos8=3 4 5 5,C正确， tan0=sin cos0 =3,D不正确. 故选：ABC. 15.如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的， 由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形中较小的内角为，大正 方形的面积为1，小正方形的面积是3则sina+cosa= 【答案】5/5 33 【详解】直角三角形中较小的内角为α，斜边为1， 则直角三角形的两条直角边分别为sina,cosa, 7/30 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以小正方形的边长为cosa-sina,即(cosa-sina=3' 21 1 2 也即1-2 sin cos=3,可得2 sin0sa= 3 (cosa+sina)=1-2sina cosa=1+2=5 33 因a为锐角，则sina+cosa= 3 故答案为： V15 3 6,角A为ABC的内角，且cosA-sinA三则sin AcosA 【答案】25 2 【详解】由cos1-sn4=号两边平方得(cos4-sin42 25 cos?4-2sin Acos4+sin4=1-2sin Ac0s4-25 1 12 sin Acos A= 25 故答案为： 12 25 17.已知sina+cosa= 0<a<π (I)求sina cosa的值 (2)求V-cos2a+V-sin'a的值. (3)求 1-sina 1-cos0的值 V1+sina V1+cosa 【信案10君 e 号 【分析】 1 【详解】(1)因为sina+cosa= (sina +cosa)2=sin2a+cos2a+2sina cosa=1+2sina cosa= 4 8/30 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以sina cosa=- (2)因为0<a<π，sina cosa=- ,所以sina>0,cosa<0, 所以原式-sina+-cosa=sina-cosa=sina-cosa)' =v1-2sina cosa 2 (3)由(2)得sina>0,cosa<0, 1-sina 1-cosa (1-sina)2 (1-cosa)2 V1+sina \1+cosa (1+sina)(1-sina) V(1+cosa)(1-cosa)】 (1-sina)2 (1-cosa)2 1-sina 1-cosa sina(1-sina)+cosa(1-cosa) cos-a sin-a -cosa sina sina cosa 1 -1 sina+cosa-1 2 4 sina cosa 3 3 8 18.已知sm0+cos0-号sm0+cos0-分求证：d-27a+2b=0 b 【答案】证明见解析 【详解】sin0+cosi29=-(sin6+cos6)川sin9-sin9cos0+cos20)-1-sin6cos0), lsn0+co0f-写，得sn06co0-ig 18 整理，得：2b=a27-a2), ∴.2b=27a-a3,.a3-27a+2b=a3-27a+27a-a3=0, 原等式成立 【题型04：化简、求值】 19.已知1-sina=V2cosa,ae22' ππ 则tana=() A.2 B. √2 C.2W2 D.-2W2 4 4 【答案】B 【详解】由题意1-sina=√2cosa,所以√2cosa+sina)=1=cos2a+sin2a, 化简得ewsa+25cas如a=0,因为ue(受引 所以c0sa≠0， 9/30 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以22tana+1=0,解得tana=- √2 4 故选：B 20.已知集合A={sina,cosa,l},B={sin'a,sina+cosa,0,且A=B,则sin2023u+cos2023au=(） A.-1 B.0 C.1 D.±1 【答案】A 【详解】因为A=B,又sin2a≠0即sina≠0，所以cosa=0, 则sin2a=1-cos2u=1,又sina≠1，所以sina=-1, 所以sin2023a+c0s2023a=-1. 故选：A 21.已知tana= 且ini+oao明-号其中ae0引Be0小，则oasf-— 2 【答案】- 1/-0.25 4 【详解】因为ana=sina-4①，a∈0， ,sin2a+cos2a=1②， cosa 3 2 联立02解得sma-5cosu=子，故号smB+号cosB--cosp)+3cosB= 4 3 4 3 41 3 5 整理得到：4cos2B-3cosβ-1=0， 解得cosB=-子或osB=l,又Be0,,故cosB=-} 4 啦答案为： 22.若0<a<π，且3sina=1+cosa,则tana= 【答案】3/0.75 4 【详解】因为0<a<元，所以sina>0, 又3sina=1+cosa即cos=3sina-1, 故由平方和关系cos2u+sin2u=1得(3sinu-12+sin2a=1即10sin2u-6 sin=0, 所以10sina-6=0即sina三，故cosa=3x3lL=4 55 3 所以tana= 5 敢答案为：4 23.(多选)已知角A为ABC的内角，若sinA-3cosA=-1,则下列说法正确的是() 10/30