2025-2026学年湘教版八年级数学上册期末阶段复习综合模拟测试题

2025-2026学年湘教版八年级数学上册期末阶段复习综合模拟测试题（附答案） 一、单选题（满分30分） 1．我国的泉州湾跨海大桥是世界首座跨海高铁大桥，其采用的“石墨烯重防腐涂装体系”，将实现30年超长防腐寿命的创新性突破．石墨烯作为本世纪发现的最具颠覆性的新材料之一，其理论厚度仅有，将用科学记数法表示为：（    ） A． B． C． D． 2．若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 3．“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（    ） A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两个底角相等的三角形是等腰三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D．如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形 4．下列说法正确的是（    ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式时， D．无论x为何值，的值总为正数 5．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 6．能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是（   ） A． B． C． D． 7．已知，，则代数式的值为（   ） A．30 B． C． D． 8．已知实数满足，那么的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 9．已知关于x的分式方程．若分式方程无解，则（   ） A．0 B． C． D．或 10．如图，在中，是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，下列结论：①；②；③；④其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二、填空题（满分30分） 11．把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式 ． 12．化简： ． 13．若等式成立，则整数 ． 14．（1）分解因式： ． （2）分解因式的结果是 ． 15．已知，则 ． 16．是物理学中的一个公式，表示并联电路中，有两个支路时电路的总电阻与分支电阻的关系，其中表示总电阻，表示分支电阻．若用表示，则 ． 17．我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积．若，，，则S的值为 ． 18．如图，在中，，，于点，点和点分别是，上的动点，连接，，则的最小值为 ． 19．如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，若，，的周长为，则的周长为 ． 20．如图，A，B分别是边长为a，b的正方形地砖，C是边长为a，b的长方形地砖．现有4块A型地砖，9块B型地砖，11块C型地砖，要拼成一个大正方形，则还缺1块 型地砖． 三、解答题（满分60分，21题12分，22题6分，23题4分，24题8分，25、26题各9分，27题12分） 21．分解因式： (1) (2) (3) (4) 22．计算： (1) (2) 23．先化简，再求值：，其中． 24．已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：________； (2)比较大小：________（填“”，“”或“”） (3)计算：； (4)若，求的值． 25．如图，在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 26．为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为米，宽为a米． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘，已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟，求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)如图，今年从该基地中截取出一个边长为a米的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜，B类蔬菜，哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． 27．【例题回顾】本学期我们学习了角平分线的性质定理及其逆定理，数学课本的例1同时运用了角平分线的性质定理及其逆定理完成了该几何问题的证明． 例1．如图1，已知，在中，、分别是、的平分线，，，垂足分别为点、． 求证：点在的平分线上． 证明：如图2，过点作，垂足为． 是的平分线，，， （角平分线的性质定理） 同理可得： 又，∴点在的平分线上（在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的角平分线上）． 【研究原图形】在例1的图2中，分别连接、、． （1）点为三条_______的交点，点为三条________的交点；（填写序号） ①边的垂直平分线；②角平分线；③高；④中线； （2）小普发现和的内角之间存在一定的数量关系，如果，那么___________．（用含的代数表示） 【解决新问题】为了方便研究，小普同学把满足例1条件的叫做的“内三角形”，点叫做“共心”． （3）已知是的“内三角形”，点是“共心”，点、、分别在边、、上，且．先画出符合条件的示意图，再过点作于点，求证：点在直线上． 参考答案 1．解：∵的小数点向右移动10位得到， ∴． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了二次根式及分式有意义的条件，代数式有意义需满足分母不为零且根号内非负，即且，即可求解． 【详解】解：∵代数式 有意义， ∴，且即， ∴且， 故选：D． 3．C 【分析】本题主要考查了求一个命题的逆命题，逆命题是将原命题的题设和结论互换，原命题题设为“三角形是等腰三角形”，结论为“两个底角相等”，故逆命题为“如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”． 【详解】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形， 而B选项中，说的是两个底角相等，则前提是该三角形已经是等腰三角形， 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了分式有意义的条件、最简公分母的确定、分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题的关键是熟练掌握分式的相关概念与性质． 判断分式有意义需分母不为零；确定最简公分母取系数最小公倍数与字母因式最高次幂的积；分式值为零需分子为零且分母不为零；判断分式值的正负需分析分母的取值范围． 【详解】解：A、分式有意义的条件是，并非，此选项不符合题意； B、分式与的最简公分母是，并非，此选项不符合题意； C、当时，由得，但即，故，此选项不符合题意； D、因，故，此选项符合题意； 故选：D． 5．D 【分析】本题考查因式分解的概念，根据因式分解的定义，判断等式右边是否为整式的积的形式，即可 【详解】解： 因式分解是将多项式化为整式的积的形式， A、右边为 ，不是积的形式，不是因式分解； B、是整式的乘法运算，不是因式分解； C、右边含有分式 ，不是整式，不是因式分解； D、 ，是因式分解， 故选D 6．A 【分析】本题考查了命题与定理，说明一个命题是假命题只需举一个反例．根据“对于任何实数a，”成立的条件是即可得答案． 【详解】解：∵时，， ∴当时，原命题不成立，故A符合题意； 当时，原命题成立，故B不符合题意， 当时，原命题成立，故C不符合题意， 当时，原命题成立，故D不符合题意， 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了因式分解的应用，求代数式的值；将代数式通过因式分解后，整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵ ， 又∵, ， ∴ 原式． 8．解：根据题意得， 解得， ， ， ， ， ， 故选：C． 9．解：∵， ∴原方程可化为： 两边同乘，得： 去括号，得：， 移项，得：， ， ， 当，即时， 方程变为，矛盾，无解； 当时，， 若，则， 解得：，此时为增根，无解． ∴或时，方程无解， 故选：D． 10．B 【分析】根据等腰直角三角形的性质，旋转的性质，证明，，后利用勾股定理解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，将绕点A顺时针旋转，得到， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∴；， ∴， ∴， ∴ 故①④正确；②③错误； 故选：B． 11．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题的改写．原命题“对顶角相等”中，条件是两个角是对顶角，结论是这两个角相等，据此改写成“如果……那么……”形式即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， 因此可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 12．2 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简式子． 【详解】解：由有意义，得，即． 化简： ∵， ∴，故：． 化简： 根据二次根式的性质，， ∴． 因此，原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质、和二次根式有意义的条件，解题关键是先确定的范围，再结合范围化简二次根式． 13．或2或0 【分析】本题考查幂的运算．考虑等式 成立的条件，分三种情况讨论：指数为零且底数不为零、底数为1、底数为且指数为偶数． 【详解】解：要使 成立，需考虑以下情况： 1. 当指数时，即，此时底数，故，成立． 2. 当底数时，即，此时指数，故，成立． 3. 当底数时，即，此时指数为偶数，故，成立． 其他情况均不满足等式，故整数的值为． 故答案为：或2或0． 14． 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解； （2）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解： 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，由得出，将变形为是解题的关键．由已知条件得出，然后代入所求表达式的分子和分母进行化简即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查分式的加减法，根据异分母分式的加减法则，求出，再取倒数即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 17． 【分析】本题考查二次根式的运算以及秦九韶公式的应用，解题的关键是正确代入公式并逐步进行有理数运算和根式化简． 将代入、中计算其值，再代入公式化简求出面积． 【详解】解：由于，，： ，，： 所以，，， ， ， ， ， 故答案为． 18． 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质及其判定定理，连接，可证明垂直平分，得到，则可推出当P、C、E三点共线，且时，有最小值，最小值为此时线段的长，可证明是等腰直角三角形，得到，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当P、C、E三点共线，且时，有最小值，最小值为此时线段的长， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 19． 【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质，解题关键是由垂直平分线的性质求得的值． 由垂直平分线的性质得，，由即可得解． 【详解】解：，分别是边，的垂直平分线， ，， ， ， ． 故答案为：． 20．C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，灵活运用完全平方公式进行因式分解是解题的关键． 先计算4块A型地砖，9块B型地砖，11块C型地砖的总面积，再结合完全平方公式和正方形的面积公式即可解答． 【详解】解：∵， ∴4块A型地砖，9块B型地砖，11块C型地砖，要拼成一个大正方形，还缺1块C型地砖． 故答案为：C． 21．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式法、公式法（如平方差公式、完全平方公式）等． （1）先提取公因式，再对二次三项式因式分解； （2）使用平方差公式分解； （3）使用平方差公式分解； （4）分组后应用完全平方公式． 【详解】（1）解：原式= （2）解：原式= （3）解：原式= （4）解：原式= ． 22．(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式与完全平方公式，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先利用平方差和完全平方公式计算，再进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先根据分式的加减法计算括号内的，再根据分式的乘除法计算，并化为最简，最后将数值代入求值即可． 【详解】解： . 当时，原式． 24．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分母有理化、比较二次根式的大小、求代数式的值，理解题意是解题的关键． （1）根据分母有理化即可求解； （2）利用二次根式的性质得到，，再比较两者的大小即可得出结论； （3）根据分母有理化将每个式子化简，再利用裂项相消法进行求和即可； （4）仿照题目的方法进行求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：， ∴ ； （4）解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 25．(1)见解析 (2)见解析 (3)．理由见解析 【分析】（1） 要证，需找到含这两条边的全等三角形，通过角的和差得到对应角相等，结合已知边相等，用证全等； （2） 要证平分，可先由(1)的全等得角相等，再通过作垂线证明到角两边距离相等，或利用角的等量代换推导； （3）当时，结合等边三角形性质与全等，构造辅助线（如截取线段），通过全等转化线段关系，确定、、的数量关系． 【详解】（1）解：（1） ， , 即. 又，， ， . （2）解：如图（1），过点作， ， ，， ， . 又，， 平分. （3）解：；理由如下： 如图（2），在线段上截取，连接 ， . 又，， ， ， ， . ， . 又平分， . 又， 是等边三角形， ，, . 【点睛】本题核心是利用全等三角形的判定（）与性质解决线段相等、角平分线及线段和差问题．第（1）问通过角的和差构造条件证全等得线段相等；第（2）问借助全等三角形面积与高的关系，结合角平分线判定定理证明；第（3）问通过构造等边三角形和全等三角形，将线段进行转化，从而确定数量关系．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． 26．(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． （1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大． 27．（1）②，①；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，中垂线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）对于：根据角平分线的性质定理以及逆定理可得点是三条角平分线交点．对于：通过证明，得出点、在线段垂直平分线上，同理证、是、垂直平分线，从而确定点是三条边垂直平分线交点； （2）先利用、，结合等腰三角形性质表示出、，进而得出与的关系．再依据、，结合四边形内角和及，求出，进而得到，最终算出 ． （3）先根据、推出，结合（2）的结论得 ．由推出，得，即点在垂直平分线上 ．证明，得出、，即是垂直平分线，从而证得点在直线上 ． 【详解】解：（1）过点作，垂足为． 是的平分线，，， （角平分线的性质定理）， 同理可得：， ， 又，， ∴点在的平分线上（在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的角平分线上）． 由于、、分别是三个角的平分线， ∴点为三条角平分线的交点． 如图所示， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴点B在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， 同理：是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， 因此，点O为三条边的垂直平分线的交点． 故答案为：②，①； （2）如图1所示， ，， ，， ， ，， ， 在和中， ，， ， 即， ， ， ，． 故答案为：； （3）示意图如图2所示． ， 由题意得，， ， 由（2）可知． ， ，， ， ， 点在的垂直平分线上． 在和中， ，，， ， ，， 是的垂直平分线， 点在直线上． 学科网（北京）股份有限公司 $