解分式方程、分式方程的应用问题专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学上册

解分式方程、分式方程的应用问题专项训练 解分式方程、分式方程的应用问题专项训练 考点目录 解分式方程 分式方程的应用：行程问题 分式方程的应用：工程问题 分式方程的应用：经济问题 考点一 解分式方程 例1．（25-26八年级上·山东临沂·月考）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)无解 【详解】（1）解：， 两边同乘以，得， 解得：， 经检验，是原方程的根； （2）解：， 方程两边都乘以，得， 解得， 经检验，是分式方程的增根， 所以原方程无解． 例2．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）解方程：． 【答案】 【详解】解：去分母可得， 解得， 检验：把代入最简公分母，得， 所以，原分式方程的解是． 例3．（25-26八年级上·重庆·月考）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)方程无解 【详解】（1）解： 检验，把代入， 得， ∴是方程的解． （2）解： 检验，把代入， 得， ∴是方程的增根， 原方程无解． 变式1．（25-26八年级上·贵州黔东南·期末）解分式方程：． 【答案】 【详解】解：原方程可化为， 去分母得， 解得， 检验：当时，， 是原方程的根． 变式2．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【详解】（1）解： ， 经检验：当时，则， 故是原分式方程的解； （2）解： ， 经检验：当时，则， 故是原分式方程的增根， ∴此方程无解． 变式3．（25-26八年级上·江苏南京·月考）解方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【详解】（1）解：， 去分母，得， 解得， 检验：将代入， ∴原方程无解； （2）解：， 去分母得，， 解得， 检验：将代入， ∴原方程的解为． 考点二 分式方程的应用：行程问题 例1．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）用电脑程序控制两辆小型赛车进行比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入决赛，比赛前的练习中，两辆车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差，“畅想号”的平均速度是． (1)求“和谐号”的平均速度； (2)如果两车重新开始比赛，“畅想号”从起点向后退4m，两车同时出发，两车能否同时到达终点？若能，求出两车到达终点的时间；若不能，请重新调整一辆车的速度，使两车能同时到达终点．（写出一种即可） 【答案】(1) (2)不能，调整“和谐号”的车速为可使两车能同时到达终点或调整后“畅想号”的平均速度为可使两车能同时到达终点 【详解】（1）解：设“和谐号”的平均速度为，由题意得， ， 解得：， 经检验是原方程的解． 答：“和谐号”的平均速度． （2）解：不能同时到达， （秒）， （秒）， ， ∴不能同时到达； 设调整“和谐号”的平均速度为， ， 解得：． 设调整“畅想号”的平均速度为， 解得， 答：调整“和谐号”的车速为可使两车能同时到达终点或调整“畅想号”的平均速度为可使两车能同时到达终点． 例2．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）呼和浩特车站是内蒙古地区重要的现代化综合交通枢纽，集高铁、普速铁路与城市轨道交通于一体．站内高峰时段客流量显著，为提升旅客通行效率，站厅配备了多组智能通道闸机，采用对称式扇形双翼设计，通过人脸识别或票卡感应实现快速验票通行，极大缩短了乘客进站等待时间．如图1是车站的一组智能通道闸机，实际运行中，闸机双翼成轴对称，旅客通过身份验证后，双翼自动收回到两侧闸机箱内，形成无障碍通道．图2是双翼展开时的截面结构，扇形和是闸机的“圆弧翼”，和均垂直于地面，双翼边缘的端点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱侧壁的夹角． (1)求当双翼完全收起时，可以通过闸机的最大宽度； (2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 【答案】(1)最大宽度 (2)约为人 【详解】（1）解：连接，并向两方延长，分别交于，如图所示： 由点在同一条水平线上，均垂直于地面，可知， 的长度就是与之间的距离， 在中，，则， 在中，，， ， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度； （2）解：设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人， 则， ， 则， 解得， 经检验，是原方程的根， 当时，， 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数约为人． 例3．（25-26八年级上·贵州黔东南·期末）题目如下：“学校师生去距学校的快乐农场开展活动，张老师骑自行车先行后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达，若，求张老师骑自行车的速度和其余师生乘汽车的速度”． (1)阴影部分为被墨迹弄污的条件，根据下框中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是______． 解：设张老师骑车的速度为，依题意，得 (2)请写出完整的解题过程． 【答案】(1)其余师生乘汽车的速度是张老师骑自行车的速度的3倍 (2)见解析 【详解】（1）解：∵张老师骑自行车先行后，其余师生乘汽车出发， ∴表示张老师骑车用的时间，表示其余师生乘汽车用的时间， ∴被墨迹弄污的条件应是：其余师生乘汽车的速度是张老师骑自行车的速度的3倍． 故答案为：其余师生乘汽车的速度是张老师骑自行车的速度的3倍． （2）解：设张老师骑车的速度为，则其余师生乘汽车的速度是， 依题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 由，得． 答：张老师骑自行车的速度和其余师生乘汽车的速度分别是和． 变式1．（25-26八年级上·吉林·期末）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，甲、乙两校分别组织学生去中国人民抗日战争纪念馆参观．甲校距纪念馆，乙校距纪念馆．两校学生同时从学校出发，甲校学生乘坐中巴车，乙校学生乘坐大巴车，结果两校学生同时到达纪念馆．已知中巴车的平均速度比大巴车的平均速度快．求大巴车行驶的时间．请将以下解题过程补充完整． (1)解法一：设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为．根据题意可列方程： ； (2)解法二：设大巴车行驶的时间为．根据题意可列方程，得： ． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为， 根据题意可列方程，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：大巴车行驶的时间为， 故答案为：； （2）解：设大巴车行驶的时间为， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：大巴车行驶的时间为， 故答案为：． 变式2．（25-26八年级上·宁夏固原·期末）固原地处陕甘宁三角中心，旅游资源丰富，开通了围绕红色文化、丝路历史、自然风光和乡村民俗等特色资源的旅游专线，包括须弥山石窟(北魏至隋唐石窟群)、火石寨国家地质公园（丹霞地貌）和泾河源旅游区（清凉避暑胜地）、单趟全程大约90千米．出租车的行驶速度是旅游大巴车速度的1.5倍，如果乘坐出租车，单趟时间会缩短半小时，求出租车的速度． 【答案】出租车的速度为． 【详解】解：设旅游大巴车速度为，则出租车速度为， ， 解得，， 经检验，是原方程的解， ∴出租车速度为． 答：出租车的速度为． 变式3．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）【教材呈现】 （1）①两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的平均攀登速度是第二组的倍，他们比第二组早到达顶峰，求这两个小组的平均攀登速度各是多少？（单位：） ②如果山高为，第一组的平均攀登速度是第二组的倍（其中），并且比第二组早到达顶峰，直接写出第二组的平均攀登速度为 ；（结果用含、、的式子表示） 【拓展延伸】 （2）如果山高为，第一组准备一半路程以的平均速度攀登，另一半路程以的平均速度攀登（）；第二组准备全程以的平均速度攀登，请判断哪一组先到达顶峰，并说明理由． 【答案】（1）①：第一组平均攀登速度为第二组为；②：第二组的平均攀登速度为 ；（2）第二组先到达顶峰 【详解】解：（1）①设第二组的平均攀登速度为，则第一组的平均攀登速度为 根据题意，得 化简得 即 解得 答：第一组平均攀登速度为，第二组为 ②设第二组的平均攀登速度为，则第一组的平均攀登速度为 根据题意，得 化简得 解得 所以第二组的平均攀登速度为 解：（2）第一组总时间 第二组总时间 ∵ ， ∴，且, ,， ∴，即 ∴第二组先到达顶峰 答：第二组先到达顶峰 考点三 分式方程的应用：工程问题 例1．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末） 机器人是人工智能与机器人技术()的结合体．它不仅仅是能执行重复任务的机械臂，而是具备了“感知、思考、决策、行动”能力的智能体．某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等． (1)求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； (2)该公司计划采购 A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进A型号AI机器人多少台？ 【答案】(1)A型每小时搬运，B型每小时搬运 (2)至少购进A型机器人14台 【详解】（1）解：设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 此时． 答：A型每小时搬运，B型每小时搬运； （2）解：设购进A型a台，B型台，由题意得： ， 解得，， ∵a为整数， ∴a的最小值为14， 答：至少购进14台A型机器人． 例2．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）中国吉林地处“世界三大黄金玉米带”之一的核心种植区，为了提高玉米收割效率，计划引进甲、乙两种类型收割机． (1)若在相同时间内，1台甲型收割机能收割100公顷地，1台乙型收割机能收割120公顷地．1台乙型收割机比1台甲型收割机每天多收割公顷地，求甲、乙两种类型收割机每台每天收割的玉米地各是多少公顷． (2)若1台甲型收割机每天可以收割a公顷地，1台乙型收割机每天可以收割b公顷地，（其中）．现在要收割一块面积为S公顷的玉米试验田，有两种收割方案： 方案一：一半的面积由1台甲型收割机收割，另一半的面积由1台乙型收割机收割； 方案二：完成整个收割工作的前一半时间由1台甲型收割机收割，后一半时间由1台乙型收割机收割． ①小贺同学选择方案一，列了这样一个式子：， 化简后可得方案一所用时间是______天； 小蔓同学选择方案二，设t天可以完成，列方程， 解得所用时间是______天．（用含a、b、S的式子表示） ②请你判断哪种方案所用时间少，并说明理由． 【答案】(1)甲、乙两种类型收割机每台每天收割的玉米地分别是4公顷和公顷 (2)①；；②方案二所用时间少，见解析 【详解】（1）解：设甲型收割机每台每天收割的玉米地是公顷， 则有：， 解得． 检验，当时，， ∴原分式方程的解为， 乙型收割机：（公顷）， 答：甲、乙两种类型收割机每台每天收割的玉米地分别是4公顷和公顷． （2）解：①方案一所用时间是：， 方案二：设共用了t天，由题意得， ， 解得． 故答案为：，， ②方案二所用时间少 理由：， 由题意知：，，，且， ∴，， ∴， ∴， ∴方案二所用时间少． 例3．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）某一工程在招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案：甲队单独完成这项工程，刚好如期完成； 方案：乙队单独完成这项工程，比规定工期多用5天； 方案：若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． 求规定的工期是多少天？ 【答案】 20天 【详解】解：设规定工期为x天，则甲队单独完成需x天，乙队单独完成需天， 根据方案C，甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做正好完成，可列方程： ， 方程两边同乘，得：， 化简得：， 即，解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， 答：规定的工期是20天． 变式1．（25-26八年级上·云南玉溪·月考）某工厂计划生产文创产品“穿楼积木”套，安排甲、乙两车间完成任务，甲车间生产套，乙车间生产套“穿楼积木”、在生产过程中，乙车间每天生产“穿楼积木”的数量是甲车间每天生产“穿楼积木”数量的倍，两个车间同时生产，结果甲车间比乙车间提前2天完成任务，求甲车间每天生产多少套“穿楼积木”？ 【答案】甲车间每天生产套“穿楼积木” 【详解】解：设甲车间每天生产套“穿楼积木”，则乙车间每天生产套“穿楼积木”， 由题意得，， 即 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， 答：甲车间每天生产套“穿楼积木”． 变式2．（25-26八年级上·西藏昌都·期末）为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了型自动分拣流水线，一条型自动分拣流水线每小时分拣的包裹量是名工人每小时分拣包裹量的倍，分拣件包裹，用一条型自动分拣流水线分拣比名工人分拣少用小时．一条型自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？ 【答案】一条型自动分拣流水线每小时能分拣件包裹． 【详解】解：设名工人每小时分拣件包裹，则一条型自动分拣流水线每小时能分拣件包裹， 依题意得， 解得，    经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 即一条型自动分拣流水线每小时能分拣件包裹． 答：一条型自动分拣流水线每小时能分拣件包裹． 变式3．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）某市需要铺设一段排水管道，甲施工队单独完成需要天，乙施工队单独完成需要天．现安排两队合作完成此项工程． (1)若两队合作施工，多少天可以完成？ (2)实际施工中，甲队先单独工作若干天后，乙队加入，两队再共同工作天恰好完成任务．求甲队先单独工作了多少天？ 【答案】(1)天 (2)天 【详解】（1）解：甲施工队单独完成需要天，乙施工队单独完成需要天， 甲施工队每天完成，乙施工队每天完成， 设两队合作施工天可以完成， 则， 解得：， 答：若两队合作施工，天可以完成． （2）解：由（1）得，甲施工队每天完成，乙施工队每天完成， 设甲队先单独工作了天， 则， 解得：， 答：甲队先单独工作了天． 考点四 分式方程的应用：经济问题 例1．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年某百货超市计划购进春联和灯笼两种商品，已知每个灯笼的进价比每副春联的进价多15元，超市用420元购进的灯笼数量和用240元购进的春联数量相同，求每个灯笼和每副春联的进价． 【答案】每个灯笼的进价是35元，每副春联的进价是20元 【详解】解：设每副春联的进价是元，则每个灯笼的进价是元， 根据题意得：，          解得：，        检验：当时，，所以原分式方程的解为． ，       答：每个灯笼的进价是35元，每副春联的进价是20元． 例2．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）“兴华”商店欲购进A、B两种商品，已知每件A种商品比每件B种商品多6元，且用320元购进的A种商品是用150元购进的B种商品的倍． (1)求每件A种商品与每件B种商品进价各是多少元？ (2)商店购进这两种商品恰好用880元，且A种商品以每件20元出售，B种商品提价出售，若两种商品全部售出后，所获利润不少于320元，求至少购进B种商品多少件？ 【答案】(1)每件A种商品的进价为16元，每件B种商品的进价为10元 (2)至少购进B种商品40件 【详解】（1）解：设每件B种商品进价为x元，则每件A种商品进价为元，由题意得： ， 解得， 经检验是分式方程的解且符合题意． ∴． 答：每件A种商品的进价为16元，每件B种商品的进价为10元． （2）解：设购进B种商品m件，由题意得： ． 解得． 答：至少购进B种商品40件． 例3．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）2024年11月12日第十五届中国国际航空航天博览会在珠海开幕，这激发了航模小组对新款无人机模型的极大兴趣和购买欲望，于是他们去模型商店了解后知道：一架A款无人机模型的价格比一架B款无人机模型的价格贵600元，用9000元购买A款无人机模型的数量与用5400元购买B款无人机模型的数量相同．求A款无人机模型和B款无人机模型的单价． 【答案】A款无人机模型的单价为1500元，B款无人机模型的单价为900元 【详解】解：设A款无人机模型的单价为x元，则B款无人机模型的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A款无人机模型的单价为1500元，B款无人机模型的单价为900元． 变式1．（25-26八年级上·云南昆明·月考）列分式方程解应用题 小明同学今年参加学校组织的劳动实践活动．了解苹果的生长过程，和果农们一起采摘苹果，在劳动实践过程中，小明了解到如下信息： 阿着底村隶属于石林彝族自治县长湖镇宜政村委会，地处石林县东南部．距县城24公里，“阿着底”系彝族撒尼语，是“美丽富饶的地方”的意思，传说是阿诗玛出生、生长的地方．阿着底贯彻一村一品发展思路，在这片美丽富饶的土地上，家家户户种苹果，种植总面积超过千亩，阿着底苹果个头饱满、脆甜多汁、色泽鲜艳、营养丰富，实属馈赠佳品．苹果已经成了村民创收的“顶梁柱”之一． 今年阿着底苹果市场平均售价比去年每千克增加2元，同等品质下，去年售出1000元的苹果和今年售出1200元的苹果质量相等． 根据以上信息，回答下列问题： 求：今年阿着底苹果的市场平均售价为多少元/千克？ 【答案】12元/千克 【详解】解：设今年阿着底苹果的市场平均售价为元/千克， 根据题意，得， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， 答：今年阿着底苹果的市场平均售价为12元/千克． 变式2．（25-26八年级上·河北沧州·月考）野生木耳是本市著名特产之一，某土特产专卖店经销，两种品牌的野生木耳，进价和售价如表所示： 品牌 A B 进货（元/袋） x 销售（元/袋） 80 100 (1)第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同，请结合表中的数量关系，求，两种品牌野生木耳的进价． (2)第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进，两种品牌共180袋，销售时、两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润不低于3600元． 【答案】(1)A品牌野生木耳的进价为60元，B品牌野生木耳的进价为76元； (2)至少购进B品牌100袋． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 解得． 经检验：是原方程的解． （元）． 答：A品牌野生木耳的进价为60元，B品牌野生木耳的进价为76元； （2）解：设购进B品牌为m袋，A品牌为袋， 由题意，得， 解得． 答：至少购进B品牌100袋． 变式3．（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）为了提前准备六一活动，哪吒受陈塘关幼儿园园长之托，到厂家选购“乾坤圈”牌和“混天绫”牌的儿童服装．每套“乾坤圈”牌服装进价比“混天绫”牌服装每套进价多25元，已知哪吒用2000元购进“乾坤圈”牌服装的数量是用750元购进“混天绫”牌服装数量的2倍． (1)求“乾坤圈”、“混天绫”两种品牌服装每套进价分别为多少元？ (2)“乾坤圈”牌服装每套售价为130元，“混天绫”牌每套售价为95元，陈塘关的服装店老板决定，购进“混天绫”牌服装的数量比购进“乾坤圈”牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，可使总的获利不少于2000元，则最少购进“乾坤圈”牌的服装多少套？ 【答案】(1)“乾坤圈”品牌服装每套进价为100元，“混天绫”品牌服装每套进价为75元 (2)至少购进“乾坤圈”牌的服装28套 【详解】（1）解：设“乾坤圈”品牌服装每套进价为x元，则“混天绫”品牌服装每套进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， ∴； 答：“乾坤圈”品牌服装每套进价为100元，“混天绫”品牌服装每套进价为75元； （2）解：设购进“乾坤圈”牌的服装a套，则购进“混天绫”牌服装套， 由题意得：， 解得：， ∵a为整数， ∴a的最小值为28， 答：至少购进“乾坤圈”牌的服装28套． 2 学科网（北京）股份有限公司 $解分式方程、分式方程的应用问题专项训练 解分式方程、分式方程的应用问题专项训练 考点目录 解分式方程 分式方程的应用：行程问题 分式方程的应用：工程问题 分式方程的应用：经济问题 考点一 解分式方程 例1．（25-26八年级上·山东临沂·月考）解方程： (1)． (2)． 例2．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）解方程：． 例3．（25-26八年级上·重庆·月考）解下列方程： (1) (2) 变式1．（25-26八年级上·贵州黔东南·期末）解分式方程：． 变式2．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）解方程： (1)； (2)． 变式3．（25-26八年级上·江苏南京·月考）解方程： (1) (2) 考点二 分式方程的应用：行程问题 例1．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）用电脑程序控制两辆小型赛车进行比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入决赛，比赛前的练习中，两辆车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差，“畅想号”的平均速度是． (1)求“和谐号”的平均速度； (2)如果两车重新开始比赛，“畅想号”从起点向后退4m，两车同时出发，两车能否同时到达终点？若能，求出两车到达终点的时间；若不能，请重新调整一辆车的速度，使两车能同时到达终点．（写出一种即可） 例2．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）呼和浩特车站是内蒙古地区重要的现代化综合交通枢纽，集高铁、普速铁路与城市轨道交通于一体．站内高峰时段客流量显著，为提升旅客通行效率，站厅配备了多组智能通道闸机，采用对称式扇形双翼设计，通过人脸识别或票卡感应实现快速验票通行，极大缩短了乘客进站等待时间．如图1是车站的一组智能通道闸机，实际运行中，闸机双翼成轴对称，旅客通过身份验证后，双翼自动收回到两侧闸机箱内，形成无障碍通道．图2是双翼展开时的截面结构，扇形和是闸机的“圆弧翼”，和均垂直于地面，双翼边缘的端点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱侧壁的夹角． (1)求当双翼完全收起时，可以通过闸机的最大宽度； (2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 例3．（25-26八年级上·贵州黔东南·期末）题目如下：“学校师生去距学校的快乐农场开展活动，张老师骑自行车先行后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达，若，求张老师骑自行车的速度和其余师生乘汽车的速度”． (1)阴影部分为被墨迹弄污的条件，根据下框中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是______． 解：设张老师骑车的速度为，依题意，得 (2)请写出完整的解题过程． 变式1．（25-26八年级上·吉林·期末）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，甲、乙两校分别组织学生去中国人民抗日战争纪念馆参观．甲校距纪念馆，乙校距纪念馆．两校学生同时从学校出发，甲校学生乘坐中巴车，乙校学生乘坐大巴车，结果两校学生同时到达纪念馆．已知中巴车的平均速度比大巴车的平均速度快．求大巴车行驶的时间．请将以下解题过程补充完整． (1)解法一：设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为．根据题意可列方程： ； (2)解法二：设大巴车行驶的时间为．根据题意可列方程，得： ． 变式2．（25-26八年级上·宁夏固原·期末）固原地处陕甘宁三角中心，旅游资源丰富，开通了围绕红色文化、丝路历史、自然风光和乡村民俗等特色资源的旅游专线，包括须弥山石窟(北魏至隋唐石窟群)、火石寨国家地质公园（丹霞地貌）和泾河源旅游区（清凉避暑胜地）、单趟全程大约90千米．出租车的行驶速度是旅游大巴车速度的1.5倍，如果乘坐出租车，单趟时间会缩短半小时，求出租车的速度． 变式3．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）【教材呈现】 （1）①两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的平均攀登速度是第二组的倍，他们比第二组早到达顶峰，求这两个小组的平均攀登速度各是多少？（单位：） ②如果山高为，第一组的平均攀登速度是第二组的倍（其中），并且比第二组早到达顶峰，直接写出第二组的平均攀登速度为 ；（结果用含、、的式子表示） 【拓展延伸】 （2）如果山高为，第一组准备一半路程以的平均速度攀登，另一半路程以的平均速度攀登（）；第二组准备全程以的平均速度攀登，请判断哪一组先到达顶峰，并说明理由． 考点三 分式方程的应用：工程问题 例1．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末） 机器人是人工智能与机器人技术()的结合体．它不仅仅是能执行重复任务的机械臂，而是具备了“感知、思考、决策、行动”能力的智能体．某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等． (1)求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； (2)该公司计划采购 A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进A型号AI机器人多少台？ 例2．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）中国吉林地处“世界三大黄金玉米带”之一的核心种植区，为了提高玉米收割效率，计划引进甲、乙两种类型收割机． (1)若在相同时间内，1台甲型收割机能收割100公顷地，1台乙型收割机能收割120公顷地．1台乙型收割机比1台甲型收割机每天多收割公顷地，求甲、乙两种类型收割机每台每天收割的玉米地各是多少公顷． (2)若1台甲型收割机每天可以收割a公顷地，1台乙型收割机每天可以收割b公顷地，（其中）．现在要收割一块面积为S公顷的玉米试验田，有两种收割方案： 方案一：一半的面积由1台甲型收割机收割，另一半的面积由1台乙型收割机收割； 方案二：完成整个收割工作的前一半时间由1台甲型收割机收割，后一半时间由1台乙型收割机收割． ①小贺同学选择方案一，列了这样一个式子：， 化简后可得方案一所用时间是______天； 小蔓同学选择方案二，设t天可以完成，列方程， 解得所用时间是______天．（用含a、b、S的式子表示） ②请你判断哪种方案所用时间少，并说明理由． 例3．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）某一工程在招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案：甲队单独完成这项工程，刚好如期完成； 方案：乙队单独完成这项工程，比规定工期多用5天； 方案：若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． 求规定的工期是多少天？ 变式1．（25-26八年级上·云南玉溪·月考）某工厂计划生产文创产品“穿楼积木”套，安排甲、乙两车间完成任务，甲车间生产套，乙车间生产套“穿楼积木”、在生产过程中，乙车间每天生产“穿楼积木”的数量是甲车间每天生产“穿楼积木”数量的倍，两个车间同时生产，结果甲车间比乙车间提前2天完成任务，求甲车间每天生产多少套“穿楼积木”？ 变式2．（25-26八年级上·西藏昌都·期末）为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了型自动分拣流水线，一条型自动分拣流水线每小时分拣的包裹量是名工人每小时分拣包裹量的倍，分拣件包裹，用一条型自动分拣流水线分拣比名工人分拣少用小时．一条型自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？ 变式3．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）某市需要铺设一段排水管道，甲施工队单独完成需要天，乙施工队单独完成需要天．现安排两队合作完成此项工程． (1)若两队合作施工，多少天可以完成？ (2)实际施工中，甲队先单独工作若干天后，乙队加入，两队再共同工作天恰好完成任务．求甲队先单独工作了多少天？ 考点四 分式方程的应用：经济问题 例1．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年某百货超市计划购进春联和灯笼两种商品，已知每个灯笼的进价比每副春联的进价多15元，超市用420元购进的灯笼数量和用240元购进的春联数量相同，求每个灯笼和每副春联的进价． 例2．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）“兴华”商店欲购进A、B两种商品，已知每件A种商品比每件B种商品多6元，且用320元购进的A种商品是用150元购进的B种商品的倍． (1)求每件A种商品与每件B种商品进价各是多少元？ (2)商店购进这两种商品恰好用880元，且A种商品以每件20元出售，B种商品提价出售，若两种商品全部售出后，所获利润不少于320元，求至少购进B种商品多少件？ 例3．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）2024年11月12日第十五届中国国际航空航天博览会在珠海开幕，这激发了航模小组对新款无人机模型的极大兴趣和购买欲望，于是他们去模型商店了解后知道：一架A款无人机模型的价格比一架B款无人机模型的价格贵600元，用9000元购买A款无人机模型的数量与用5400元购买B款无人机模型的数量相同．求A款无人机模型和B款无人机模型的单价． 变式1．（25-26八年级上·云南昆明·月考）列分式方程解应用题 小明同学今年参加学校组织的劳动实践活动．了解苹果的生长过程，和果农们一起采摘苹果，在劳动实践过程中，小明了解到如下信息： 阿着底村隶属于石林彝族自治县长湖镇宜政村委会，地处石林县东南部．距县城24公里，“阿着底”系彝族撒尼语，是“美丽富饶的地方”的意思，传说是阿诗玛出生、生长的地方．阿着底贯彻一村一品发展思路，在这片美丽富饶的土地上，家家户户种苹果，种植总面积超过千亩，阿着底苹果个头饱满、脆甜多汁、色泽鲜艳、营养丰富，实属馈赠佳品．苹果已经成了村民创收的“顶梁柱”之一． 今年阿着底苹果市场平均售价比去年每千克增加2元，同等品质下，去年售出1000元的苹果和今年售出1200元的苹果质量相等． 根据以上信息，回答下列问题： 求：今年阿着底苹果的市场平均售价为多少元/千克？ 变式2．（25-26八年级上·河北沧州·月考）野生木耳是本市著名特产之一，某土特产专卖店经销，两种品牌的野生木耳，进价和售价如表所示： 品牌 A B 进货（元/袋） x 销售（元/袋） 80 100 (1)第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同，请结合表中的数量关系，求，两种品牌野生木耳的进价． (2)第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进，两种品牌共180袋，销售时、两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润不低于3600元． 变式3．（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）为了提前准备六一活动，哪吒受陈塘关幼儿园园长之托，到厂家选购“乾坤圈”牌和“混天绫”牌的儿童服装．每套“乾坤圈”牌服装进价比“混天绫”牌服装每套进价多25元，已知哪吒用2000元购进“乾坤圈”牌服装的数量是用750元购进“混天绫”牌服装数量的2倍． (1)求“乾坤圈”、“混天绫”两种品牌服装每套进价分别为多少元？ (2)“乾坤圈”牌服装每套售价为130元，“混天绫”牌每套售价为95元，陈塘关的服装店老板决定，购进“混天绫”牌服装的数量比购进“乾坤圈”牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，可使总的获利不少于2000元，则最少购进“乾坤圈”牌的服装多少套？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $