三角函数的图像与性质专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

三角函数的图像与性质专项训练 三角函数的图像与性质专项训练 考点目录 正弦函数的图像与性质 余弦函数的图像与性质 正切函数的图像与性质 考点一 正弦函数的图像与性质 例1．（25-26高一上·福建莆田·月考）已知函数. (1)利用“五点法”完成表格，并在图中画出函数在区间上的图象； (2)当时，求不等式的解集； (3)若不等式对恒成立，求及. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)， 【详解】（1）五点法填表如下： 0 0 1 0 0 1 3 1 1 函数在区间上的图象如下：    （2）令，即， 可得， 所以不等式的解集为； （3）因为对恒成立， 可知为的最小值，则， 则，所以. 例2．（25-26高一上·云南玉溪·月考）已知函数，. (1)求的最小正周期和对称中心； (2)求的单调递增区间； (3)当时，求的值域. 【答案】(1)最小正周期为；对称中心为； (2)； (3). 【详解】（1），，的最小正周期为； 令，解得， 则的中心对称点为； （2）当时，是单调递增函数， 由，解得， 即时，是单调递增函数， 故的单调递增区间为； （3），， 当时，即时，取得最小值， 则取最小值为； 当时，即时，取得最大值， 则取最大值为； 故，即当时，的值域为. 例3．（2026·陕西咸阳·一模）已知函数，. (1)求函数的最大值及所对应的值； (2)若方程在上有两个不同的实根，求的取值范围及的值. 【答案】(1)当时，. (2)，. 【详解】（1）由， ，则， 当，即时，. （2），则， 由正弦函数在上的图象如下， 所以方程在上有两个不同实根，则， 由对称性知，，解得：. 例4．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数的最小正周期是． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的最大值和最小值，以及取得最值时的的值； (3)若关于的不等式对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)的单调递减区间为 (2)，此时；，此时 (3) 【详解】（1）由题可知， 展开化简得：， 由二倍角公式可得：， 故 由辅助角公式可得：， 故，最小正周期：， 代入得：， 的单调递减区间为：，， 化简可得，故， 故单调递减区间为： （2）设，则：， ，故， 故的最大值在，最小值在 最大值为， 最小值为， （3）， 令，则， 则恒成立， 为开口向上的二次函数，对称轴， 对称轴（即）： 最小值为，与矛盾，无解， 对称轴（即）, 最小值为， ， 结合，得， 对称轴（即）： 最小值为， 结合得， 综上，的取值范围是. 变式1．（25-26高一上·山东菏泽·月考）已知函数， (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若，求函数的最值及其相应的值． 【答案】(1) (2) (3)时，函数有最大值，时，函数有最小值 【详解】（1）函数的最小正周期； （2）由，， 得， 所以函数的单调递增区间为； （3），，， 当，即时，函数有最大值， 当时，即时，函数有最小值 变式2．（25-26高一上·广东珠海·月考）已知函数. (1)若，且，求的值； (2)求函数的最小正周期和最小值并写出取最小值时自变量x的取值集合； (3)若，使不等式能成立，求实数m的取值集合. 【答案】(1) (2)最小正周期为，最小值为，取最小值时x的取值集合为. (3) 【详解】（1）由题意知，所以， 所以或，， 解得或，， 又，所以. （2）最小正周期. 由可得，当时，函数取得最小值， 此时，，即，. 故函数的最小值为，且取最小值时x的取值集合为. （3），使不等式能成立，即（）. 因为，所以，因函数在上单调递减， 故，即， 则的最大值为. 因此，解得. 所以实数m的取值集合为. 变式3．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）已知函数. (1)求函数的单调递减区间及图象的对称轴; (2)求函数在区间上的值域. 【答案】(1)单调递减区间为，直线. (2) 【详解】（1）由已知可得， 所以由，可得， 所以函数的单调递减区间为. 由，得， 所以函数的图象的对称轴为直线. （2）当时，，则， 因此函数在区间上的值域为. 变式4．（25-26高一上·吉林·期末）已知函数． (1)求的最小正周期，并求的最大值以及取得最大值时的集合； (2)若，求的值． 【答案】(1)；1； (2) 【详解】（1）由题意， 所以的最小正周期， 由正弦函数的图象和性质可得当，即，时，取得最大值1， 综上的最小正周期为，最大值为1，取最大值时的集合为. （2）由（1）可得，且， 所以，余弦值为负， 所以， 所以 ， 即. 考点二 余弦函数的图像与性质 例1．（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知函数，. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值． 【答案】(1)，； (2)当时，，当时，最小值为. 【详解】（1）函数的最小正周期 ， 由，得， 所以函数的单调递增区间是. （2）由，得， 则当，即时，， 当 ，即时，， 所以函数在上的最大值为，此时；最小值为，此时. 例2．（24-25高二上·贵州遵义·月考）函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调性及值域； 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由函数的部分图象可知， 设该函数的最小正周期为， 所以有， 所以，因为， 所以， 即函数， 又，所以， 解得，因为，所以令，可得， 所以. （2）函数的图象先向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象， 所以， 令， 因为， 所以当时，函数单调递减， ， 所以当时，单调递减， 当时，函数单调递增， ， 所以当时，单调递增， ， ， 所以， 综上所述：当时，单调递减，当时，函数单调递增，值域为. 例3．（25-26高三上·河南·期中）已知函数的部分图象如图所示，. (1)求的解析式； (2)若，求函数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）观察图象得，，函数的最小正周期，解得， 由，得，而，则， 所以的解析式为. （2）由（1）知，， 当时，，因此当时，，当时，， 所以所求值域为. 变式1．（24-25高一下·四川自贡·期末）已知函数 (1)求函数的单调递减区间； (2)函数在上的值域； (3)求在的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），令 解得， 所以函数的单调递减区间为． （2），因为，所以， 可得，则， 即函数在上的值域为． （3）由题设，即 因为，所以， 所以，可得． 所以不等式解集为． 变式2．（24-25高一下·四川成都·期中）已知函数. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若，求的最小值及取得最小值时对应的的取值. 【答案】(1)；，. (2)；. 【详解】（1）因为， 由，则的周期为， 令，解得， 所以的单调减区间为，. （2）由（1）知 由，得， 当，即时，单调递增； 当，即时，单调递减； ，， 所以， 即在处取得最小值. 变式3．（24-25高一下·广东·月考）已知函数. (1)求函数的周期； (2)求在上的单调区间与最值； (3)若对，不等式恒成立，试求的取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增，上单调递减；最大值3，最小值 (3) 【详解】（1）法一： ， 所以； 法二：， 所以； （2）法一：，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，上单调递减， 又，，， 所以的最大值为3，最小值为； 法二：，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，上单调递减， ，，， 所以的最大值为3，最小值为； （3）原不等式可化为，而恒成立， 所以， 故当取得最大值3时，有最大值为，所以， 所以． 考点三 正切函数的图像与性质 例1．（24-25高一上·天津·期末）已知函数. (1)求的定义域、值域； (2)求的最小正周期，奇偶性和单调区间. 【答案】(1)定义域为；值域为. (2)最小正周期；函数为非奇非偶函数；函数的递增区间为，没有递减区间. 【详解】（1）令，则， ∴的定义域为. ∵函数的值域为， ∴的值域为. （2）∵函数中，∴函数的最小正周期. 令，则， 即函数关于点中心对称， ∴函数为非奇非偶函数. 令，∴， 且函数中，. ∴函数的递增区间为，没有递减区间. 例2．（25-26高三上·辽宁抚顺·月考）已知函数的最小正周期为，且． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)设函数，若，求t的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为最小正周期．所以，解得． 因为， 所以，则． 解得． 由，得，从而. （2）因为，所以， 所以，即在上的值域． （3）由（1）知． 因为，所以， 所以，解得， 因为，所以当时，的最小值为． 例3．（24-25高一下·辽宁·月考）已知函数在区间上有定义． (1)求的最大值； (2)若曲线在区间上至少有两个对称中心，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）令， 依题意可得，， 所以， ， 又因为，所以当且仅当时符合题意，此时， 所以. 故的最大值为1. （2）令， 由在区间上的对称中心依次为：,,, 所以依题意只需， 此时可得，即， 又由第一问可知. 故的取值范围为：. 变式1．（24-25高一上·安徽淮北·期末）设函数. (1)求函数的定义域； (2)求函数的单调递增区间； (3)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）函数中， 令，，解得，， 所以函数的定义域为； （2）由， 所以函数的单调递增区间为 ， （3）不等式可化为， 解得，， 即，； 所以不等式的解集为， 变式2．（25-26高一下·陕西·月考）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)求函数的单调区间； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)的递增区间为，无递减区间 (3) 【详解】（1）由题意得：，解得：， 的定义域为. （2）令，解得：， 的递增区间为，无递减区间. （3）由，得， 解得：， 不等式的解集为. 变式3．（25-26高一下·河南南阳·月考）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)设函数，对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）不等式，即，则， 从而， 解得， 故不等式的解集为. （2）因为，所以，所以， 所以，即. 设，则. 设函数，则. 当，即时，在上单调递增， 则，解得，又，所以，即不符合题意. 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得， 又，所以. 当，即时，在上单调递减， 则，解得， 又，所以. 综上，的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $三角函数的图像与性质专项训练 三角函数的图像与性质专项训练 考点目录 正弦函数的图像与性质 余弦函数的图像与性质 正切函数的图像与性质 考点一 正弦函数的图像与性质 例1.(25-26高一上·福建莆田月考)已知函数f(x=2sinr+1. (1)利用“五点法”完成表格，并在图中画出函数(x)在区间[0,2π上的图象： (2)当x∈R时，求不等式f(x)>0的解集； (3)若不等式f(x)≤fx)对xeR恒成立，求x及f(2x). 例2.226商一上云南玉溪月考)已知函数f到=方m2x-》eR (1)求f(x)的最小正周期和对称中心： (2)求f(x)的单调递增区间： 元 ③)当x4时，求/（的值域 三角函数的图像与性质专项训练 例3.(206陕西姨一模)已期隔数f国=sn3x+5naar方x0码 (I)求函数∫(x)的最大值及所对应的x值； ②若方程(y=k在[0上有两个不同的实根，，求k的取值范围及x+,的值。 例4.(25-26高一上黑龙江哈尔滨期末)已知函数f(x)=2cos 2 V3sin x 0x -cos 2 的最小正周期是刀. (I)求函数f(x)的单调递减区间： ②求函数f(在，1π 2'12 上的最大值和最小值，以及取得最值时的x的值； (3)若关于x的不等式[f(x)+mf(x)+6≥0对xeR恒成立，求m的取值范围. 2 三角函数的图像与性质专项训练 6,xER 变式1.(25-26高一上山东菏泽·月考)已知函数f(x)=sim2x+ (1)求函数∫(x)的最小正周期： (2)求函数∫x)的单调递增区间： 若x0,2 求函数∫(x)的最值及其相应的x值. 变式2.(2526高一上旷广东珠海月考)已知函数f=2sm2x+写}- 0者f1a)=0,且a[径x求a的值， (2)求函数f(x)的最小正周期和最小值并写出f(x)取最小值时自变量x的取值集合； (3)若3x∈ 4'2,使不等式f(,>m+1能成立，求实数m的取值集合 ππ 三角函数的图像与性质专项训练 变式3.(25-26高一上：安徽阜阳月考)已知函数fx)=sin0sx-V5cos'x+5 2 (1)求函数∫(x)的单调递减区间及图象的对称轴； (2)求函数∫(x)在区间 元π 64 上的值域 变式4.(25-26高一上·吉林期末)已知函数f(x)=V5 sin xcosx-sin'x+ (I)求f(x)的最小正周期，并求(x)的最大值以及取得最大值时x的集合； 回若[任引录m红君)的做 三角函数的图像与性质专项训练 考点二 余弦函数的图像与性质 例1.(2526高一上·内蒙古锡林郭勒期未)已知函数f)=V2c0s(2x-孕-1，x∈R (1)求函数∫(x)的最小正周期和单调递增区间； ②求函数在区及，上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值 例2.(2425高二上：贵州遂义月考)函数f)=4cos@x+p4>0,@>0,o<的部分图象如图所示 11匹 12 匹 6 2 (1)求函数∫(x)的解析式： (②)将函数f(x)的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的；（纵坐标不变），得到函数8x的 图象，求g在126 ππ 上的单调性及值域； 5 三角函数的图像与性质专项训练 例3.(25-26高三上·河南·期中)已知函数f(x)=Acos(@x+p)(A>0,0>0,-元<p<0)的部分图象如图所示， IOM HON 8 (1)求f(x)的解析式： ②若xe0,2否1，求函数g)=V)-f令+)的取值范围 变式1.(2425商一下-四川自贡期末)已知函数f1)=2c0s2x+号 (1)求函数∫(x)的单调递减区间； (2)函数f(x)在 o. 上的值域； (3)求f(x)<-1在[-元，π的解集. 6 三角函数的图像与性质专项训练 变式2.(24-25高一下·四川成都期中)已知函数f(x)=V3cos2x-sin2x-√5sin2x (1)求∫(x)的最小正周期和单调递增区间： [ππ ②若x引 求∫(x)的最小值及取得最小值时对应的x的取值. 变式3.(24-25高一下广东月考)已知函数f(x)=2cos2x+2V3 sinxcosx. (1)求函数∫(x)的周期； ②求f0在[等引上的单调区同与绿值： (3)若对xeR,不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立，试求n的取值范围. 三角函数的图像与性质专项训练 考点三 正切函数的图像与性质 例1.(2425商一上天津期末)已知函数=3m行-到引 (1)求f(x)的定义域、值域： (2)求f(x)的最小正周期，奇偶性和单调区间. 例2.(2526高=上辽宁抚最月考)已知函数=aox+。>0例引的最小正月期为。且 5. (1)求f(x)的解析式： ②求f在102 7ππ 上的值域： 国设雨数g=+小，>0，若--小，求的设小值， 8 三角函数的图像与性质专项训练 例3.2425商一下-辽宁月考)已知函数f八y=amox+写引o>0在区间-)上有定义. (1)求ω的最大值： (②)若曲线y=∫(x在区间(0，π上至少有两个对称中心，求⊙的取值范围. 变式1.(24-25高一上：安徽准北期末)设函数（到=am2x-胃） (I)求函数fx)的定义域： (2)求函数∫x)的单调递增区间： (3)求不等式f(x)≤√3的解集 9 三角函数的图像与性质专项训练 变式2.(25-26高一下·陕西月考)已知函数f(x)=tan X_ 23 (I)求函数(x)的定义域： (2)求函数∫x)的单调区间； (3)求不等式f(x≤V5的解集。 变式3.(2526高一下-河南南月考)已知函数f)=2a2x++1. (1)求不等式f(x)≥1的解集； (②设函数g-[f(+)-2m+},无任意的xe-吾0，g≥0恒成立，求m的取值范图 4 ⊙