三角函数的实际应用问题、新定义问题专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

三角函数的实际应用问题、三角函数新定义问题专项训练 三角函数的实际应用问题、三角函数新定义问题专项训练 考点目录 三角函数的实际应用问题 三角函数新定义问题 考点一 三角函数的实际应用问题 例1．（25-26高一上·浙江金华·月考）如图，为一个水轮的轴截面示意图，水轮的半径为1米，水轮圆心距离水面米.以圆心为坐标原点，平行于水面为轴，垂直于水面为轴建系.已知水轮每分钟逆时针转动5圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间. (1)当，点在转动过程中第一次使得时，记水轮与轴交于点，求此时的值； (2)当时，求点距离水面的高度米，表示为时间秒的函数，并求点第一次到达最高点所需要的时间. 【答案】(1) (2)，4秒 【详解】（1）由，得， ， ， 又由，则， 故. （2）水轮每分钟逆时针转动5圈，则每秒逆时针转动， 由，可得， 可知秒后点， 则点到水面的高度为， 当第一次到达最高点时，即时，， 即可得 故点第一次到达最高点所需要的时间为4秒. 例2．（2025·上海嘉定·一模）图1为转角过道的地面平面示意图.该过道由两条直道连接形成转角，由水平平坦的地面与垂直于地面的墙面共同围成，两端延伸至足够远处，且高度充足.其中，、构成地面上过道的一侧边界，；地面上过道的另一侧边界，则分别与、平行，且交于点.过道两侧平行墙面之间的距离均为3米. 0 (1)如图2，在地面有一圆，该圆与、均相切，且过点.求此圆的半径； (2)如图3，有一根长度为米的无粗细木棒紧贴地面，端点沿移动，另一端点沿移动.当木棒触碰到点时，（弧度），求关于的函数关系及的最小值； (3)如图4，某长方体家具的底面为长方形，其宽为1米，长为10米（因过道高度足够，无需考虑家具高度）.现将底面紧贴地面移动，判断该家具能否顺利通过此转角过道，并说明理由. 【答案】(1) (2)， (3)不能通过，理由见解析 【详解】（1）连接，设圆心为，过作，， 由，，，可得， 从而，， 所以，解得. （2）如图，过点作，交过道另一侧边界于点，过点作，交过道另一侧于点， 则，， 所以， 令， ， 当时，，， 所以， 所以，当且仅当时取等号，故在上严格单调递减， 并且，所以关于对称， 所以，即时，的最小值为12米. （3）设底面长方形顶点、分别在边界、上移动， 设，延长交于，交于， 则， 由， 设， 若家具可以通过转角，则对于，， 但，所以家具不能通过该转角. 例3．（25-26高一上·广东广州·月考）已知甲、乙两车间的污水瞬时排放量（单位：）关于时间单位：h）的关系均近似地满足函数．其图象如图所示：    (1)根据图象求函数解析式； (2)若甲车间先投产，1h后乙车间再投产，求两车间都投产时的最大污水排放量． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由图可得． 最小正周期， 将代入，得 又， 所求函数的解析式为． （2）设乙车间投产甲、乙两车间污水排放量之和为， 此时甲车间污水排放量为，乙车间污水排放量为， 故， ． 故两车间都投产时的最大污水排放量为． 例4．（25-26高一上·福建厦门·月考）如图，现有一块半径为2m，圆心角为的扇形铁皮，欲从其中裁剪出一块内接五边形，使点在弧上，点分别在半径和上，四边形是矩形，点在弧上，点在线段上，四边形是直角梯形．现有如下两种裁剪方案： 第一种：先使矩形的面积达到最大，在此前提下，再使直角梯形的面积也达到最大； 第二种：直接使五边形的面积达到最大． 试分别求出两种方案裁剪出的五边形的面积，并指出哪种方案原料利用率高． 【答案】第一种方案裁剪出内接五边形面积最大值为，第二种方案裁剪出内接五边形面积最大值为，比较两种方案得，第二种方案原料利用率高. 【详解】第一种方案，先求矩形PMON面积的最大值： 设，则， 当，即时，． 此时，，，． 在此前提下，过点作垂足为， 设． 在中，有，则， ． 令，，， 此时，则， 当即时，的最大值为． 故第一种方案裁剪出内接五边形面积最大值为． 第二种方案：设，则，， ，过点作垂足为，设， ． 在中，有，， ， 即. ， 当且仅当，即时等号成立． 故第二种方案裁剪出内接五边形面积最大值为． 综上，比较两种方案得，所以第二种方案原料利用率高． 变式1．（24-25高一下·广东佛山·期中）如图，宽为的走廊与另一宽为的走廊垂直相连，两走廊交汇处形成直角拐点M.细杆需保持水平状态通过拐点M，且在移动过程中两端始终与两侧墙壁保持接触.设细杆与外侧走廊的夹角，. (1)设细杆的长度为，求的表达式； (2)若，，试问：长度为5的细杆能否水平地通过拐角?请说明理由； (3)若，试问：长度为的细杆能否水平地通过拐角?请说明理由. 【答案】(1)， (2)不能，理由见解析 (3)可以，理由见解析 【详解】（1）由题意，，. 所以，. （2）因为，，所以. 当时，. 因为，所以细杆不能水平地通过拐角. （3）因为，所以. 于是. 令，则. 因为，所以，，于是. 所以. 因为函数是开口方向向上，对称轴为的二次函数，所以当时，有最小值8， 有最小值，有最小值. 所以长度为的细杆可以水平地通过拐角. 变式2．（24-25高一下·江苏连云港·月考）如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（）的池底水平铺设污水净化管道（Rt，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上．已知米，米，记． (1)试将污水净化管道的长度表示为的函数，并写出定义域； (2)若，求此时管道的长度； (3)当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度． 【答案】(1)，． (2)（米）． (3)或，污水净化效果最好，此时管道的长度为米． 【详解】（1） 根据题意，，， ． 由于，， 所以， 所以． 所以，． （2） 当时，等式两边平方得. 所以. 所以（米）． （3） 因为，设， 等式两边平方得， 则，所以． 由于，所以，． 由于在上单调递减， 所以当即或时，取得最大值米． 答：当或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米． 变式3．（24-25高一下·江西南昌·期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)若某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系可用这个函数模型近似描述，请求出该函数模型的解析式； (2)依照（1）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 【答案】(1) (2)该船可以1点进港，5点离港，或13点进港，17点离港，所以卸货最多只能用4小时时间. 【详解】（1）根据表中数据可画出如图所示的散点图， 由已知数据结合图象可得，，，， 故. 又，可取， 所以； （2）由题意可得，化简得， 所以，解得，， 又，取可得：，取，可得， 所以该船可以1点进港，5点离港，或13点进港，17点离港， 所以卸货最多只能用4小时时间. 变式4．（24-25高一下·上海奉贤·期中）奉贤中学生物创新实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：，其中，.随着人工智能的普及，该实验室引进了AI管理系统，可以根据实际需求设定参数和的取值. (1)若设定，且要求实验室一天的最大温差不超过8℃，求的最大值； (2)若设定，且要求实验室温度不高于11℃.由两个实验小组分别设定参数如下：①；②，两个小组一天需要降温的时长分别为和.请比较和的大小关系，并进行合理解释. 【答案】(1)4 (2)，合理解释见解析 【详解】（1）当时，， 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以，所以的最大值为4. （2）因为，所以. ①当时，令，即， 所以，解得，， 又，所以，所以. ②当时，，即， 所以，解得，， 又，所以，所以，所以. 解释：函数， 可以由向左平移12个单位得到.从实际意义来看， 可以把前一天中午12点到第二天中午12点看成一天，故需降温时长不变. 考点二 三角函数新定义问题 例1．（24-25高一下·上海长宁·月考）新定义：函数称为的“次三角幂函数”，同理可以定义出的“次三角幂函数”的定义.（其中） (1)是否存在整数，使得的“次三角幂函数”与图形有交点？ (2)上述四个三角函数中，有哪些“次三角幂函数”的奇偶性与有关，哪些无关？ (3)求：的“次三角幂函数”具有周期性的充要条件 【答案】(1)存在 (2)，的“次三角幂函数”的奇偶性与k的奇偶性相同，的“次三角幂函数”始终为偶函数，与无关 (3) 【详解】（1）存在，当时，的“一次三角幂函数”是函数，函数与函数有交点； （2）对于，函数的定义域为., 当为偶数时，，则，函数为偶函数； 当为奇数时，，则，函数为奇函数； 所以的奇偶性与有关。 对于，函数的定义域为. 因为,对于函数，无论是奇数还是偶数， 都满足即；所以的奇偶性与无关，恒为偶函数。 对于，函数的定义域为, 当为偶数时，，则，函数为偶函数； 当为奇数时，，则，函数为奇函数； 所以的奇偶性与有关。 对于，函数的定义域为, 当为偶数时，，则，函数为偶函数； 当为奇数时，，则，函数为奇函数； 所以的奇偶性与有关。 因此，，的“次三角幂函数”的奇偶性与k的奇偶性相同， 的“次三角幂函数”始终为偶函数，与无关 （3）的“次三角幂函数”具有周期性的充要条件是 充分性：若，其周期，是周期函数。 必要性：假设是周期函数，设周期为，则 对定义域内的恒成立。 令，则，所以。 令，则，由， 根据正弦函数的性质时，或。 若，当变化时，（根据二项式定理）不是常数。 对于正弦函数，要使恒成立， 只有当时，为常数，满足正弦函数的周期性。 所以的“次三角幂函数”具有周期性的充要条件是 例2．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）对于定义在相同定义域D上的函数以及实数k，给出如下两个关系： ①若存在使得，则称函数与具有关系，且称点和为函数和的点； ②若存在，使得，则称函数与具有关系，且称点和为函数和的点. (1)若，；，，判断与是否具有关系，是否具有关系.若具有求出相应的点或点，若不具有，说明理由； (2)若与具有关系，求k的取值范围； (3)若函数与具有关系，且距离最近的两个点的距离为，求的值. 【答案】(1)与具有关系，与不具有关系， (2) (3) 【详解】（1）与具有关系，理由如下： 当时，，， 当，，当时，， 此时，则与具有关系； 与不具有关系，理由如下： ， 所以与不具有关系； （2）， ， 因为，则当时，，则， 所以，则； （3）由题意可得，所以， 所以，，所以， 如图所示： 若，则，满足条件，所以，； 若，则，不合题意； 综上． 例3．（24-25高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数的最大值为． (1)求的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性．运用上述思想，计算的值：结果精确到小数点后位，参考数据：， 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1） ， 所以，即； （2）， 令， 即，， 所以函数的单调递减区间， （3）因为， 所以， 由泰勒公式得： 所以． 例4．（24-25高一上·福建福州·期末）定义域为R的函数满足：对任意，都有，则称具有性质P. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质和； (2)若函数具有性质P. （ⅰ）求出，的值； （ⅱ）若将函数的图象向左平移个单位长度，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的a，，当时，恒成立，求正实数m的取值范围. 【答案】(1)不具有性质，具有性质. (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）， ， 所以，所以不具有性质， ， ， 所以，所以具有性质. （2）若具有性质，则， 则，因为，所以， 则， 由得，，， 若，则存在，使得， 而，上式不成立， 故，即，因为，所以， 则，，则， 验证：当时，， 则对任意，， ， 所以等式成立， 故存在，使得具有性质. （ⅱ），所以， ，， 由，得 即， 即， 即， 即， 因为对任意的，当时，恒成立， 所以对任意的，当时，，恒成立， ，，不妨设， 则问题转化为在区间上单调递减， 所以，解得： 变式1．（24-25高一上·山西太原·期末）人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则，之间的曼哈顿距离为：.，之间的余弦距离为，其中为，之间的余弦相似度. (1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，，，且，. ①求，之间的余弦距离； ②求，之间的曼哈顿距离. 【答案】(1)曼哈顿距离为2，其余弦距离为 (2)①；② 【详解】（1）由题意得， ， 所以，之间的曼哈顿距离为2，其余弦距离为； （2）①由题意得 ，∵，∴， ∵， ∴，∴， ， ， ∴，之间的余弦距离为. ②由①可得，， ∴， ， ∴ ， ∴，之间的曼哈顿距离为 . 变式2．（24-25高一上·新疆伊犁·期末）我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取其定义域中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称为其正弦周期． (1)已知函数是周期函数，请求出它的一个周期，并指出它的最小正周期； (2)验证是以为周期的正弦周期函数； (3)已知存在这样一个函数，它是定义在上的严格增函数，值域为，且是以为周期的正弦周期函数．若，且存在唯一的，使得，求的值． 【答案】(1)是它的一个周期且是最小正周期，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1），易知是它的一个周期， 因为， 下面证明是的最小正周期， 时，是增函数， 时，是减函数， 又， ， 所以，即函数图象关于直线对称， 所以当时，不可能是函数的周期， 假设函数有小于的正周期，则，取， 与时，函数的单调性相同，但， 而在这两个区间上单调性相反，假设错误． 所以是的最小正周期． （2）因为， 所以是以为周期的正弦周期函数. 证毕. （3）因为是周期函数，是它的一个周期， ，， 又由题意，, 因为，，是严格递增函数， 所以， 又时，， ，， 因为是严格递增函数， 所以与是一一对应的， 因此，． 变式3．（24-25高一下·江苏泰州·期中）由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有 可见也可以表示成的三次多项式． (1)利用上述结论，求的值； (2)化简；并利用此结果求的值； (3)已知方程在上有三个根，记为，求证：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1），所以， 因为， 因为，， 即， 因为，解得（舍）. （2） ， 故 ； （3）证明：因为，故可令， 故由可得：． 由题意得：，因，故， 故，或，或， 即方程（*）的三个根分别为，，， 又，故， 于是， . 变式4．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知函数的图象相邻两条对称轴间的距离为，且过点. (1)若函数是偶函数，求的最小值； (2)令，记函数在上的零点从小到大依次为、、、，求的值； (3)设函数，，如果对于定义域D内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，若恒有成立，则称函数是上的级周期函数，周期为.是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级周期函数？请证明你的结论. 【答案】(1) (2) (3)存在，且满足题意，其中满足，证明见解析 【详解】（1）解：因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为， 所以，函数的最小正周期为， 因为，则，所以，， 又因为函数的图象过点，则， 因为，所以，， 因为函数为偶函数， 所以，，解得， 故当时，取最小值，且其最小值为. （2）解：由，可得， 因为，则， 令，则，所以，，， 设，如下图所示：    由图可知，直线与函数在上的图象有四个交点， 点、关于直线对称，点、关于直线对称， 点、关于直线对称， 所以，，，，即， 即，解得. （3）解：因为，所以，， 假设存在非零实数，使得函数是上的周期为的级周期函数， 即，恒有， 则，恒有成立， 则，恒有成立， 当时，，则，， 所以，，， 要使得恒成立，则有. 当时，则，即，令，其中， 则，， 且函数在上的图象是连续的， 由零点存在定理可知，函数在上有唯一的零点， 此时，恒成立，则，即； 当时，则，即，作出函数、的图象如下图所示：    由图可知，函数、的图象没有公共点， 故方程无实数解. 综上所述，存在满足题意，其中满足. 2 学科网（北京）股份有限公司 $三角函数的实际应用问题、三角函数新定义问题专项训练 三角函数的实际应用问题、三角函数新定义问题专项训练 考点目录 三角函数的实际应用问题 三角函数新定义问题 考点一 三角函数的实际应用问题 例1．（25-26高一上·浙江金华·月考）如图，为一个水轮的轴截面示意图，水轮的半径为1米，水轮圆心距离水面米.以圆心为坐标原点，平行于水面为轴，垂直于水面为轴建系.已知水轮每分钟逆时针转动5圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间. (1)当，点在转动过程中第一次使得时，记水轮与轴交于点，求此时的值； (2)当时，求点距离水面的高度米，表示为时间秒的函数，并求点第一次到达最高点所需要的时间. 例2．（2025·上海嘉定·一模）图1为转角过道的地面平面示意图.该过道由两条直道连接形成转角，由水平平坦的地面与垂直于地面的墙面共同围成，两端延伸至足够远处，且高度充足.其中，、构成地面上过道的一侧边界，；地面上过道的另一侧边界，则分别与、平行，且交于点.过道两侧平行墙面之间的距离均为3米. 0 (1)如图2，在地面有一圆，该圆与、均相切，且过点.求此圆的半径； (2)如图3，有一根长度为米的无粗细木棒紧贴地面，端点沿移动，另一端点沿移动.当木棒触碰到点时，（弧度），求关于的函数关系及的最小值； (3)如图4，某长方体家具的底面为长方形，其宽为1米，长为10米（因过道高度足够，无需考虑家具高度）.现将底面紧贴地面移动，判断该家具能否顺利通过此转角过道，并说明理由. 例3．（25-26高一上·广东广州·月考）已知甲、乙两车间的污水瞬时排放量（单位：）关于时间单位：h）的关系均近似地满足函数．其图象如图所示：    (1)根据图象求函数解析式； (2)若甲车间先投产，1h后乙车间再投产，求两车间都投产时的最大污水排放量． 例4．（25-26高一上·福建厦门·月考）如图，现有一块半径为2m，圆心角为的扇形铁皮，欲从其中裁剪出一块内接五边形，使点在弧上，点分别在半径和上，四边形是矩形，点在弧上，点在线段上，四边形是直角梯形．现有如下两种裁剪方案： 第一种：先使矩形的面积达到最大，在此前提下，再使直角梯形的面积也达到最大； 第二种：直接使五边形的面积达到最大． 试分别求出两种方案裁剪出的五边形的面积，并指出哪种方案原料利用率高． 变式1．（24-25高一下·广东佛山·期中）如图，宽为的走廊与另一宽为的走廊垂直相连，两走廊交汇处形成直角拐点M.细杆需保持水平状态通过拐点M，且在移动过程中两端始终与两侧墙壁保持接触.设细杆与外侧走廊的夹角，. (1)设细杆的长度为，求的表达式； (2)若，，试问：长度为5的细杆能否水平地通过拐角?请说明理由； (3)若，试问：长度为的细杆能否水平地通过拐角?请说明理由. 变式2．（24-25高一下·江苏连云港·月考）如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（）的池底水平铺设污水净化管道（Rt，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上．已知米，米，记． (1)试将污水净化管道的长度表示为的函数，并写出定义域； (2)若，求此时管道的长度； (3)当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度． 变式3．（24-25高一下·江西南昌·期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)若某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系可用这个函数模型近似描述，请求出该函数模型的解析式； (2)依照（1）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 变式4．（24-25高一下·上海奉贤·期中）奉贤中学生物创新实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：，其中，.随着人工智能的普及，该实验室引进了AI管理系统，可以根据实际需求设定参数和的取值. (1)若设定，且要求实验室一天的最大温差不超过8℃，求的最大值； (2)若设定，且要求实验室温度不高于11℃.由两个实验小组分别设定参数如下：①；②，两个小组一天需要降温的时长分别为和.请比较和的大小关系，并进行合理解释. 考点二 三角函数新定义问题 例1．（24-25高一下·上海长宁·月考）新定义：函数称为的“次三角幂函数”，同理可以定义出的“次三角幂函数”的定义.（其中） (1)是否存在整数，使得的“次三角幂函数”与图形有交点？ (2)上述四个三角函数中，有哪些“次三角幂函数”的奇偶性与有关，哪些无关？ (3)求：的“次三角幂函数”具有周期性的充要条件 例2．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）对于定义在相同定义域D上的函数以及实数k，给出如下两个关系： ①若存在使得，则称函数与具有关系，且称点和为函数和的点； ②若存在，使得，则称函数与具有关系，且称点和为函数和的点. (1)若，；，，判断与是否具有关系，是否具有关系.若具有求出相应的点或点，若不具有，说明理由； (2)若与具有关系，求k的取值范围； (3)若函数与具有关系，且距离最近的两个点的距离为，求的值. 例3．（24-25高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数的最大值为． (1)求的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性．运用上述思想，计算的值：结果精确到小数点后位，参考数据：， 例4．（24-25高一上·福建福州·期末）定义域为R的函数满足：对任意，都有，则称具有性质P. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质和； (2)若函数具有性质P. （ⅰ）求出，的值； （ⅱ）若将函数的图象向左平移个单位长度，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的a，，当时，恒成立，求正实数m的取值范围. 变式1．（24-25高一上·山西太原·期末）人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则，之间的曼哈顿距离为：.，之间的余弦距离为，其中为，之间的余弦相似度. (1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，，，且，. ①求，之间的余弦距离； ②求，之间的曼哈顿距离. 变式2．（24-25高一上·新疆伊犁·期末）我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取其定义域中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称为其正弦周期． (1)已知函数是周期函数，请求出它的一个周期，并指出它的最小正周期； (2)验证是以为周期的正弦周期函数； (3)已知存在这样一个函数，它是定义在上的严格增函数，值域为，且是以为周期的正弦周期函数．若，且存在唯一的，使得，求的值． 变式3．（24-25高一下·江苏泰州·期中）由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有 可见也可以表示成的三次多项式． (1)利用上述结论，求的值； (2)化简；并利用此结果求的值； (3)已知方程在上有三个根，记为，求证：. 变式4．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知函数的图象相邻两条对称轴间的距离为，且过点. (1)若函数是偶函数，求的最小值； (2)令，记函数在上的零点从小到大依次为、、、，求的值； (3)设函数，，如果对于定义域D内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，若恒有成立，则称函数是上的级周期函数，周期为.是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级周期函数？请证明你的结论. 2 学科网（北京）股份有限公司 $