2025-2026学年高一上学期期末模拟数学练习（1）

2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷（1） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，全集和集合．若，则可能正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ） A． B． C． D． 3．函数的图象为（   ） A． B． C． D． 4．若矩形的周长为4，则的最小值为（    ） A．8 B．4 C．9 D．4.5 5．从半径为r的圆中剪下圆心角为弧度，半径为r的扇形，此扇形的周长为，剩余部分扇形的周长为，若，则（    ） A． B． C． D． 6．几何证明中的“终极优雅”是通过极简的图形构造等方式，让复杂定理在几何图形中展现．如图所示的矩形便能达到正弦和余弦的二倍角公式的“终极优雅”证明，根据图中条件可推导（    ） A． B． C． D． 7．我们把具有相同定义域的函数称为“同域函数”．若函数与 是“同域函数”，则的值域为（   ） A． B． C． D． 8．设，下列关于的说法正确的是（   ） A．是偶函数，是奇函数 B．的零点相同，都是 C．的单调递增区间是 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设表示不超过的最大整数，如，，则当时，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，如图是直线与曲线的三个交点，其横坐标分别是，则正确的有（   ） A．若，则 B．若，则的单调减区间为 C．若，则 D．若，且，点的横坐标为，则 11．已知定义域为，，且，当时，.则下列说法正确的有（    ） A．直线是的对称轴 B．在上单调递减 C． D．设与图象的第i个交点为（），若与的图象有个交点，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 13．已知实数为常数，对于幂函数，甲说：是奇函数；乙说：在上单调递增；丙说：的定义域是．甲、乙、丙三人关于幂函数的论述只有一人是正确的，则的取值为 ． 14．已知函数与的图象上存在关于原点对称的点，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（1）若，求的值； （2）求值：. 16．(15分)设全集为，集合． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 17．（15分）静脉注射是一种常见的医疗方法，即把药液、营养液等液体物质直接注射到人体静脉中.而药物在人体内的含量会随着时间的增加而变化，通过一些技术手段我们可以测得药物在患者体内的含量，再根据不同药物在体内起效的最低含量，决定何时需要再次用药.现给某患者在1小时内静脉注射了某种药物75mg，在注射过程中，患者体内的药物含量逐渐增加；停止注射后，患者体内的药物含量随时间而衰减（如图）.为了描述该种药物在此患者体内药物含量（mg）与时间t（小时）的关系，现有以下五种函数模型供选择： ①；②；③；④；⑤； (1)根据题图，选出你认为最符合实际的两个函数模型，用于描述患者体内的药物含量在不同时间的变化情况，给出理由；并求出相应的函数解析式； (2)如果这种药物在患者体内的含量需保持在10mg及以上时才有疗效.为保证有疗效，那么第一次注射结束后，最迟应在什么时候再向该患者补充注射这种药物? 参考数据：，，，，，. 18．（17分）已知函数为奇函数，其中为实数． (1)求实数的值； (2)若时，用定义证明在定义域内单调递增； (3)在（2）的条件下，已知不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 19．（17分）已知函数，，恒成立. (1)求的值及的解析式； (2)，当时，有两个零点，，求的取值范围； (3)已知，且以，，为边能够组成三角形，对于任意满足上述条件的，，，若以，，为边也能够组成三角形，求的最大值. 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷（1） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，全集和集合．若，则可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合的运算可得. 【详解】因为集合，， 所以， 综合选项判断可得B正确. 故选：B. 2．若，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，当时，，故A不符题意； 对于B，当时，，故B不符题意； 对于C，当时，，故C不符题意； 对于D，因为，所以， 若，则， 所以“”的一个充分不必要条件可以是，故D符合题意. 故选：D. 3．函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数定义域，进而得到为奇函数，结合特殊点函数值，得到答案. 【详解】的定义域为， ，所以为奇函数，排除A； ，，，显然，故， 故BC错误，D正确. 故选：D 4．若矩形的周长为4，则的最小值为（    ） A．8 B．4 C．9 D．4.5 【答案】D 【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式求最值可得. 【详解】由矩形的周长为4，得，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立. 则的最小值为. 故选：D. 5．从半径为r的圆中剪下圆心角为弧度，半径为r的扇形，此扇形的周长为，剩余部分扇形的周长为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用扇形的弧长公式，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，圆心角为弧度，半径为r的扇形，此扇形的周长为，剩余部分扇形的周长为， 可得，，故，解得． 故选：C． 6．几何证明中的“终极优雅”是通过极简的图形构造等方式，让复杂定理在几何图形中展现．如图所示的矩形便能达到正弦和余弦的二倍角公式的“终极优雅”证明，根据图中条件可推导（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意、结合直角三角形中三角函数的定义，准确化简，即可求解. 【详解】在中，因为,可得, 在直角中，可得 在直角中，可得, 所以. 故选：C. 7．我们把具有相同定义域的函数称为“同域函数”．若函数与 是“同域函数”，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目条件函数的新定义结合函数的定义域和值域分析判断选项. 【详解】由，解得或， 所以的定义域为， 故的定义域, 令，则或， 所以函数可转化为， 函数的对称轴为， 当时，；当时，， 故的值域为． 故选：D 8．设，下列关于的说法正确的是（   ） A．是偶函数，是奇函数 B．的零点相同，都是 C．的单调递增区间是 D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性、零点、复合函数单调性以及值域等相关概念，通过对函数和的性质分析来判断各个选项的正误. 【详解】已知，其定义域为，关于原点对称. 且，所以是奇函数. ，，所以是偶函数，故A选项错误. 令，即，也就是，因为，所以，解得，则的零点是. 令，则，由前面计算可知，所以的零点也是. 函数的零点是一个数，而不是一个点，所以B选项错误. 令，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，则在上单调递增. ，当时，单调递增. 当时，，且在上单调递增， 所以且单调递增，根据复合函数“同增异减”的原则， 在上单调递增，故C选项错误. 令，则，那么. 将进行配方可得， 所以，成立，故D选项正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设表示不超过的最大整数，如，，则当时，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据新定义判断A选项；B、C举出反例；D选项，首先设，，然后对和分别讨论即得. 【详解】对于A，因为表示不超过的最大整数，所以，故A对； 对于B，取，则，得， ，故B不成立. 对于C，取，， ，得，故C不成立. 对于D，设，， 则，而； 当时，，此时， 当时，，此时， 综上：，故D对. 故选：AD 10．已知函数，如图是直线与曲线的三个交点，其横坐标分别是，则正确的有（   ） A．若，则 B．若，则的单调减区间为 C．若，则 D．若，且，点的横坐标为，则 【答案】ABD 【分析】求出周期判断A；求出最值点判断B；举例说明判断C；利用图象，结合给定条件求出解析式计算判断D. 【详解】对于A，观察图象知，函数的最小正周期，因此，A正确； 对于B，函数的一个最大值点为，右侧相邻最小值点， 则函数的最小正周期为，单调减区间为，B正确； 对于C，，当时，由，得， 由或或，得或或， 而均在区间内，C错误； 对于D，由，得，由并结合图象得 ，则，解得，， 又，且在的一个减区间内，则，解得， 因此，，D正确. 故选：ABD 11．已知定义域为，，且，当时，.则下列说法正确的有（    ） A．直线是的对称轴 B．在上单调递减 C． D．设与图象的第i个交点为（），若与的图象有个交点，则 【答案】ACD 【分析】依据题意判断函数的奇偶性，对称性，周期性，然后依据性质逐一判断即可. 【详解】由题可知：，可知函数关于对称，又，可知函数为奇函数， 所以，则， 即，所以4为函数的一个周期. 对A，由函数关于对称，且4为函数的一个周期，故是的对称轴，正确； 对B，，所以函数在的单调性与函数在单调性相同， 由，，且函数为上的奇函数，所以函数在单调递增，错误； 对C, ，则 又，所以，正确； 对D，函数为上的奇函数，函数也为上的奇函数，所以可知两函数图象在轴的左右两边交点个数相同， 且对应交点的横坐标互为相反数，且都过原点，所以，正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域的求法，内层函数必须包含于外层函数的定义域之中. 【详解】令，则， 因为函数的定义域为， 所以， 所以函数的定义域为， 所以，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13．已知实数为常数，对于幂函数，甲说：是奇函数；乙说：在上单调递增；丙说：的定义域是．甲、乙、丙三人关于幂函数的论述只有一人是正确的，则的取值为 ． 【答案】-1 【分析】利用幂函数的定义可求得的值，根据的值分类讨论即可. 【详解】由是幂函数，得，解得或, 当时，，此时函数是奇函数，在上单调递减，定义域为，此时乙和丙的论述是错误的，甲的论述是正确的，符合题意； 当时，，此时函数是偶函数，在上单调递增，定义域为R，此时乙和丙的论述是正确的，甲的论述是错误的，故不符合题意； 综上所述，的取值为， 故答案为： 14．已知函数与的图象上存在关于原点对称的点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意得方程在上有解，即在有解，转化成函数图象有交点来做即可. 【详解】由题意当即时，方程有解，即， 即当且仅当在有解， 因为在上单调递减，所以由复合函数单调性可知在上单调递减， 所以在上单调递增， 又在上单调递增， 所以在上单调递增， 且当时，， 所以若在有解，则只需， 则的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：将原问题等价转化为函数方程有解，分离参数即可顺利求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（1）若，求的值； （2）求值：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用完全平方公式结合给定条件求值即可. （2）利用指数和对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）由题意得，则， 可得，解得. （2）由题意得 . 16．(15分)设全集为，集合． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 ； (2) 【分析】（1）根据集合利用集合的交集、并集、补集的运算即可求得结果； （2）由可知实数需满足，即可解得实数的取值范围． 【详解】（1）由，可得； 或，或 所以； 或； （2）因为，， 若，则，解得， 所以实数的取值范围是. 17．（15分）静脉注射是一种常见的医疗方法，即把药液、营养液等液体物质直接注射到人体静脉中.而药物在人体内的含量会随着时间的增加而变化，通过一些技术手段我们可以测得药物在患者体内的含量，再根据不同药物在体内起效的最低含量，决定何时需要再次用药.现给某患者在1小时内静脉注射了某种药物75mg，在注射过程中，患者体内的药物含量逐渐增加；停止注射后，患者体内的药物含量随时间而衰减（如图）.为了描述该种药物在此患者体内药物含量（mg）与时间t（小时）的关系，现有以下五种函数模型供选择： ①；②；③；④；⑤； (1)根据题图，选出你认为最符合实际的两个函数模型，用于描述患者体内的药物含量在不同时间的变化情况，给出理由；并求出相应的函数解析式； (2)如果这种药物在患者体内的含量需保持在10mg及以上时才有疗效.为保证有疗效，那么第一次注射结束后，最迟应在什么时候再向该患者补充注射这种药物? 参考数据：，，，，，. 【答案】(1)选择模型①和③，理由见详解；. (2)应该在第一次注射后小时再次注射. 【分析】（1）根据曲线过点和代入各个模型运算验证排除；再利用待定系数法分别求解和的解析式； （2）当时，令，利用指数函数单调性和对数的运算得解. 【详解】（1）由图可知患者体内的药物含量不过点，故排除模型②； 图中曲线过点，对于模型④，故排除模型④； 对模型⑤，图中曲线过点，代入得，解得，但此时，不合题意，排除模型⑤； 所以可选择模型①和模型③来描述患者体内的药物含量在不同时间的变化情况. 因为图中曲线过点，代入，可求得，此时满足图中曲线时的变化； 代入，即，得， 所以，又符合图象过点， 此时满足图中曲线时的变化； 所以. （2）由（1），当时，，得， 又，所以，得， 又第一次注射用时1小时，故为保证有疗效，那么第一次注射结束后小时需再次注射. 18．（17分）已知函数为奇函数，其中为实数． (1)求实数的值； (2)若时，用定义证明在定义域内单调递增； (3)在（2）的条件下，已知不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由奇函数的性质可得，化简整理，结合恒等式的性质，可求得的值； （2）直接利用函数单调性的定义证明即可； （3）首先判断函数为奇函数，且在上单调递增，由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，运用换元法和指数函数的单调性，结合对勾函数的单调性，分段讨论求得不等式右端最大值，进而得到所求范围． 【详解】（1）因为函数为奇函数， 所以，即， 化简整理可得，因为所以，解得； （2）证明：若时，可得，则， 则取任意，且， 可得， 由，可得，即有， 即， 即， 所以在上单调递增； （3）因为在上为奇函数， 所以不等式在上恒成立， 等价于在上恒成立， 由可得在上单调递增， 所以不等式在上恒成立， 等价于在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 设， 即有在恒成立， 当时，，即； 当时，， 由在递减， 可得，， 可得，即； 在时，， 由在递减， 可得，即有， 可得，即， 综上可得，的取值范围是． 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 19．（17分）已知函数，，恒成立. (1)求的值及的解析式； (2)，当时，有两个零点，，求的取值范围； (3)已知，且以，，为边能够组成三角形，对于任意满足上述条件的，，，若以，，为边也能够组成三角形，求的最大值. 【答案】(1)， (2) (3). 【分析】（1）令代入计算求出，再结合三角恒等变换求出的解析式； （2）结合复合函数的单调性得出在上有两个不同的解即可； （3）借助正弦函数的性质及三角恒等变换，利用三角形三边关系分类讨论. 【详解】（1）， 当， , 故， ，故 代入上式子则有 此式若恒成立， 则，， 即，所以， 故. （2）当，在单调递增，， 令， 故有两个不同的解，且， 故， ， . （3）易知当时，为负数，决不能构成三角形，故， 因为的值域为，考虑到两边之和大于第三边，临界值， 即故考虑到，， 由于要求的最大值，先考虑. （i）若，取，，，则这三个数可作为一个三角形的三边长， 但，，，此时，两边之和等于第三边，不能作为任何一个三角形的三边长，故不满足题意； （ii）当时，对任意三角形的三边，，，若，则分类讨论如下： ①当时，，同理， ，故，， 同理可证， ，，可作为某个三角形的三边长. ②当时，，可得如下两种情况： 当时，由得， 由在上单调递增可得， 当时，， 由在上单调递增可得， 综上得，， 又由及余弦函数在上单调递减， 得 ， 同理可证其余两式，所以，，也是某个三角形的三边长. 故时，满足题意. 综上，的最大值为. 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $