第05讲 平面向量的应用：正弦﹑余弦定理讲义（知识解读+题型归纳+随堂测试）-2025-2026学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版必修第二册）

本讲义聚焦平面向量应用的核心知识点，系统梳理余弦定理（文字表述、公式及变形）、正弦定理（含外接圆半径关系），以及向量在平面几何（几何法与坐标法）和物理（力与速度向量）中的应用，构建从定理到实际应用的学习支架。 资料通过典例与变式分层设计题型，结合易错点分析（如三角形形状判断、多解问题），融入测量距离、物理受力等实际案例，培养学生用数学眼光抽象问题、用数学思维推理运算、用数学语言解决问题的能力，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

第05讲 平面向量的应用-正弦﹑余弦定理 知识点一 余弦定理 知识点二 正弦定理 知识点一 余弦定理 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos_A， b2＝a2＋c2－2accos_B， c2＝a2＋b2－2abcos_C 变形 cos A＝； cos B＝； cos C＝ 【题型1 余弦定理解三角形】 【典例1】在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由余弦定理计算求解即可. 【详解】在中，，，， 由余弦定理得， 所以. 故选：B. 【变式1】的内角的对边分别为，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】利用已知条件先求的值，再根据余弦定理求解即可. 【详解】因为， 所以， 又，， 则， 所以，即， 故答案为：. 【变式2】在中，角的对边分别为，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据条件及余弦定理得，再由数量积的定义，即可求解. 【详解】由余弦定理可知， 由，得， 即，所以， 故答案为：. 【变式3】在中，，，，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由余弦定理运算得解. 【详解】由余弦定理，可得，即， 整理得，解得. 故选：A. 【题型2 余弦定理边角互化的应用】 【典例2】在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知，应用余弦边角关系求，即可得角的大小. 【详解】由题设，则， 所以，又，可得. 故选：C 【变式1】在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【分析】由已知条件，利用余弦定理角化边即可得到关系式. 【详解】因为，由余弦定理知， 所以， 整理得， 即的形状是直角三角形. 故选：B. 【变式2】记的内角、、的对边分别为、、，已知，求. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理角化边，再利用余弦定理求出. 【详解】在中，由及余弦定理 得，化简得， 由余弦定理得，而， 所以. 【变式3】设的内角所对的边分别为． (1)证明：； (2)若，，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）直接使用余弦定理即可证明； （2）先得到，然后分情况讨论的取值. 【详解】（1）由余弦定理即得. （2）由已知有，故. 若，则； 若，则，解得或（舍去）. 所以或. 知识点二 正弦定理 1在△ABC中，.＝＝＝2R.（R为△ABC外接圆的半径） 变形：sin A＝，a＝2Rsin A；sin B＝，b＝2Rsin B；sin C＝，c＝2Rsin C． 【题型3 正弦定理解三角形】 【典例3】在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分析可知，即，利用正弦定理求出的值，即可得出的大小. 【详解】在中，因为，，，且，故， 由正弦定理可得， 又因为，故或. 故选：D. 【变式1】在中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合三角形内角和可得，再根据正弦定理可得，进而可得. 【详解】由，且，所以， 由正弦定理可得，解得， 又，∴，∴，故 故选：A 【变式2】已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助正弦定理计算即可得. 【详解】由正弦定理可得， 则、， 则. 故选：C. 【变式3】在中，，，，则（   ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】先根据同角三角函数得出，再应用正弦定理计算求解. 【详解】在中，，所以， 又因为，则由正弦定理得，解得. 故选：D. 【题型4 正弦定理求外接圆半径】 【典例4】在中，，，则的外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理计算可得外接圆的半径，再利用圆的面积公式计算即可. 【详解】由正弦定理得的外接圆的半径， 所以的外接圆的面积. 故选：A. 【变式1】已知的内角所对的边分别为，若，则的外接圆的半径为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由正弦定理即可得解. 【详解】设的外接圆的半径为， 因为， 所以，解得. 故选：D. 【变式2】（多选题）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则（    ） A． B． C．的外接圆半径为8 D．的外接圆半径为4 【答案】ABD 【分析】根据正弦定理即可判断选项. 【详解】根据正弦定理得，则. 所以的外接圆半径为4，所以C错误D正确； 根据正弦定理可得， 所以，所以A,B正确； 故选：ABD. 【变式3】已知△ABC的面积为，且，则△ABC外接圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的面积公式得，由正弦定理的边角互化以及余弦定理可得，再利用正弦定理即可求解. 【详解】记内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 所以， 所以， 又， 由正弦定理得， 由余弦定理可得， 所以△ABC外接圆的半径为． 故选：B． 【题型5 三角形面积公式及其应用】 【典例5】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角； (2)若的面积，，求边的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）由面积公式求出，即可求出、，再由余弦定理计算可得. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， ∴， ∴， 在中，，得， ，， ，. （2），又， ，所以，得， 又∵，∴或， 由余弦定理得， 所以. 【变式1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理得，再利用余弦定理求出，最后利用面积公式即可. 【详解】由正弦定理化简得， 再由余弦定理结合题干信息可得，， 得，， 则的面积是. 故选：B 【变式2】在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用三角形的面积公式和余弦定理计算易得. 【详解】由题意，，可得； 由余弦定理，， 代入条件，可得，解得. 故选：B. 【变式3】记的内角，，的对边分别为，，，已知，的面积为，且，则的周长为（    ） A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】由正弦定理边化角，结合辅助角公式得到，再结合三角形面积公式及余弦定理求得，即可求解. 【详解】由正弦定理得， ，， ，， ，又， . ， ，由，， 得， 则 故， 周长为. 故选：C 【题型6 正弦和余弦定理的综合应用】 【典例6】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求C； (2)若的平分线交于D，且，求的值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）利用余弦定理以及正弦定理，结合两角和的正弦公式对已知等式化简，即可求得答案； （2）由题意可利用等面积法求出，结合已知等式即可求得答案. 【详解】（1）由，得, 即，则, 则，即， 由于，故， ，故； （2）由的平分线交于D，可得, 即， 即，则， 结合，得. 【变式1】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角B； (2)若，△ABC的面积为1，求△ABC的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，即，由，可得； （2）由三角形面积公式得到，由余弦定理得到，求出周长. 【详解】（1）因为，所以. 又，所以， 则，因为，所以， 即. 由，可得. （2）因为△ABC的面积为1，所以，得. 由余弦定理可知， 则， 所以，故△ABC的周长为. 【变式2】在中，内角所对的边分别为， (1)求角C； (2)若，求b. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将等式展开化简，根据正弦定理和余弦定理可求出. （2）先求出的值，然后根据和差的正弦函数求出，然后根据正弦定理求出. 【详解】（1）因为， 所以， 化简得， 所以由正弦定理得：， 所以由余弦定理可得， 所以， 因为，所以. （2）由，又，解得， 因为，所以， 所以 ， 在中，由正弦定理得， 所以. 【变式3】在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)已知为边上一点，若，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理可得，再结合余弦定理可得，继而即可求解； （2）利用等面积法，结合面积公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 又， 所以， 即， 由余弦定理得，， 所以， 因为，所以； （2）由， 得 ， 因为，，所以， 所以， 解得. 易错一 三角形形状的判断 【典例9】已知在中，，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】先求出，再利用余弦定理可得，从而可得答案. 【详解】因为，所以， 则，即， 所以，所以，所以为等腰三角形，又， 所以为等边三角形． 故选：C． 【变式1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C.已知，则的形状一定是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】利用余弦定理变形，再结合余弦函数的性质判断即可. 【详解】在中，由余弦定理得，整理得， 而，函数在上单调递减，因此， 所以是等腰三角形. 故选：C 易错二 三角形的多个解问题 【典例10】已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出三角形有两解的充要条件，进而求出的范围. 【详解】 如图：三角形中，，， 则有两解的充要条件为：， 即. 故选：D. 【变式1】（多选题）在中，，．若有两个解，则的取值可能为（   ） A．9 B．8 C．10 D．11 【答案】ACD 【分析】根据有两个解，可得，解不等式即可得解. 【详解】在中，，， 因为有两个解，所以， 即，故，结合选项可知ACD符合题意． 故选：ACD 【变式2】在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的内角和定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，由正弦定理，可得， 则这样的三角形不存在，所以A错误； 对于B中，由，可得， 又由，则这样的三角形是唯一的，所以B不符合题意； 对于C中，由余弦定理，可得， 所以，则这样的三角形是唯一的，所以C不符合题意； 对于D中，由正弦定理，可得， 因为，可得，所以或，则这样的三角形有两个，所以D符合题意. 故选：D. 1．已知的内角的对边分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理计算易得. 【详解】由正弦定理可得. 故选：A. 2．在中，，则a等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理直接计算即可得出结论. 【详解】由余弦定理，可得， 解得. 故选：A 3．在中，已知，，则的外接圆直径为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理可直接求出外接圆直径. 【详解】因为， 根据正弦定理得，其中为三角形外接圆半径. 所以三角形外接圆直径为. 故选：A. 4．在中，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【分析】由余弦定理整理化简等式，可得答案. 【详解】由余弦定理可得，则. 故选：A. 5．在中，，且的面积为，则角B的大小为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】利用面积公式得，利用特殊角的函数值求解即可. 【详解】的面积，解得， 因为，所以角的大小为或. 故选：B. 6．如图，某区域地面有四个5G基站，分别为，，，.已知，两个基站建在河的南岸，距离为，基站，在河的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过和分别用正弦定理求出、的长度，再在中用余弦定理求出的长度. 【详解】在中，， 由正弦定理，即，得 km. 在中，，，故， 由正弦定理，即，得 km. 在中，由余弦定理， 代入得，故 km. 故选：A 7．（多选题）已知角，，是的三个内角，下列结论一定成立的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则是直角三角形 【答案】BC 【分析】利用三角形内角和定理，诱导公式即可计算可判断AB；利用正弦定理角化边计臬可判断C；取，，，可判断D． 【详解】对于A，因为，所以，A错误； 对于B，因为，所以，B正确； 对于C，设的外接圆半径为，，可得，即，所以，C正确； 对于D，如在中，，，，符合，但该三角形不是直角三角形，D错误； 故选：BC. 8．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 【答案】 【分析】根据正弦定理可得三边比值，利用勾股定理即可得解. 【详解】由和正弦定理可知，， 设， 因为，所以. 故答案为： 9．智能机器人已开启快递代取服务，某机器人现从某点出发开始工作，先沿正北方向前行，然后沿北偏西方向继续前行了，则此时机器人与出发点的距离为 . 【答案】 【分析】由余弦定理即可求解. 【详解】如图所示，由余弦定理可得所求为：. 故答案为：. 10.在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的长的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据条件，利用正弦定理判断三角形解的个数的方法，即可求解. 【详解】如图，过作垂直所以直线于， 因为，则， 又有两解，则， 故答案为：. 11.已知分别为三个内角的对边，满足 (1)求; (2)若的周长为，面积为 求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理得，得到，再由辅助角公式求出答案； （2）根据题中条件得到的关系式，结合余弦定理解得的值 【详解】（1）由正弦定理得， 其中， 故， 因为，所以，故， 即，所以， 因为，所以， 故，解得； （2）因为的周长为，面积为 所以，即 由余弦定理得，即 结合方程化简得，解得 12．如图，在中，，. (1)若，求； (2)若，且，求AB. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理列式求解. （2）根据给定条件，利用余弦定理列出方程求解即得. 【详解】（1）在中，，由，得，又， 在中，由余弦定理得， 因此，所以. （2）令，则，因此，， 在中，由余弦定理得， 则，解得， 所以. 13．在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，，求及的面积． 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理及同角公式化简求得角. （2）由正弦定理求出即得，再利用两角和的正弦公式及三角形的面积公式求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， 则，而，所以. （2）由（1）知，而，由正弦定理得， 由，得，则， ， 所以的面积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 平面向量的应用-正弦﹑余弦定理 知识点一 余弦定理 知识点二 正弦定理 知识点一 余弦定理 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos_A， b2＝a2＋c2－2accos_B， c2＝a2＋b2－2abcos_C 变形 cos A＝； cos B＝； cos C＝ 【题型1 余弦定理解三角形】 【典例1】在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】的内角的对边分别为，已知，，，则 ． 【变式2】在中，角的对边分别为，若，则 ． 【变式3】在中，，，，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【题型2 余弦定理边角互化的应用】 【典例2】在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式2】记的内角、、的对边分别为、、，已知，求. 【变式3】设的内角所对的边分别为． (1)证明：； (2)若，，，求． 知识点二 正弦定理 1在△ABC中，.＝＝＝2R.（R为△ABC外接圆的半径） 变形：sin A＝，a＝2Rsin A；sin B＝，b＝2Rsin B；sin C＝，c＝2Rsin C． 【题型3 正弦定理解三角形】 【典例3】在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 【变式1】在中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【变式3】在中，，，，则（   ） A．4 B．3 C． D．2 【题型4 正弦定理求外接圆半径】 【典例4】在中，，，则的外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知的内角所对的边分别为，若，则的外接圆的半径为（   ） A．4 B． C．2 D． 【变式2】（多选题）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则（    ） A． B． C．的外接圆半径为8 D．的外接圆半径为4 【变式3】已知△ABC的面积为，且，则△ABC外接圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【题型5 三角形面积公式及其应用】 【典例5】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角； (2)若的面积，，求边的大小. 【变式1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2】在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】记的内角，，的对边分别为，，，已知，的面积为，且，则的周长为（    ） A．15 B．16 C．18 D．20 【题型6 正弦和余弦定理的综合应用】 【典例6】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求C； (2)若的平分线交于D，且，求的值. 【变式1】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角B； (2)若，△ABC的面积为1，求△ABC的周长. 【变式2】在中，内角所对的边分别为， (1)求角C； (2)若，求b. 【变式3】在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)已知为边上一点，若，求的长. 知识点三 向量在平面几何中的应用 1.用向量法解决平面几何问题的两种方法 (1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算． (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 【题型7 向量在平面几何中的应用问题】 【典例7】两座灯塔和与海洋观察站的距离分别为，，灯塔在观察站的北偏东方向上，灯塔在观察站的南偏东方向上，则灯塔与的距离为 km. 【变式1】3月31日，2025年“广西三月三八桂嘉年华”开幕式暨全国“四季村歌”活动在南宁民歌湖举行，主舞台设在南宁民歌湖边.小明在湖对岸，现想测量与主舞台的距离，如右图所示，A（小明），B（主舞台）两点在湖的两岸，通过确定与A同侧的湖岸边一点C，测出A，C的距离为100m，，，计算出A，B两点的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午太阳高度角为，夏至正午太阳高度角为，表高42厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50厘米，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】一艘轮船从处出发，以海里/小时的速度沿西偏南的方向直线航行，分钟后到达处.在处有一座灯塔，轮船在处观察灯塔，其方向是东偏南，在处观察灯塔，其方向是北偏东，则，两点间的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 知识点四 平面向量在物理中的应用 (1)求力向量、速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解． (2)用向量方法解决物理问题的步骤： ①把物理问题中的相关量用向量表示； ②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决； ③结果还原为物理问题． 【题型8 向量在物理中的应用问题】 【典例8】（多选题）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 【变式1】已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 【变式2】冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ） A． B． C．17 D．10 【变式3】一条东西方向的河流两岸平行，河宽800m，水流的速度为向东.河南岸有一码头A，码头A正对面有一货站B（AB与河的方向垂直），B的正西方向且与B相距600m另有货站C，已知一货船匀速航行，当货船自码头A航行到货站C航程最短时，合速度为. (1)求货船航行速度的大小； (2)若货船从A出发垂直到达正对岸的货站B处，求货船到达B处所需时间. 易错一 三角形形状的判断 【典例9】已知在中，，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C.已知，则的形状一定是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 易错二 三角形的多个解问题 【典例10】已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（多选题）在中，，．若有两个解，则的取值可能为（   ） A．9 B．8 C．10 D．11 【变式2】在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 1．已知的内角的对边分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 2．在中，，则a等于（    ） A． B． C． D． 3．在中，已知，，则的外接圆直径为（    ） A．2 B． C． D． 4．在中，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 5．在中，，且的面积为，则角B的大小为（   ） A． B．或 C．或 D． 6．如图，某区域地面有四个5G基站，分别为，，，.已知，两个基站建在河的南岸，距离为，基站，在河的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为（   ） A． B． C． D． 7．（多选题）已知角，，是的三个内角，下列结论一定成立的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则是直角三角形 8．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 9．智能机器人已开启快递代取服务，某机器人现从某点出发开始工作，先沿正北方向前行，然后沿北偏西方向继续前行了，则此时机器人与出发点的距离为 . 10.在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的长的取值范围是 . 11.已知分别为三个内角的对边，满足 (1)求; (2)若的周长为，面积为 求. 12．如图，在中，，. (1)若，求； (2)若，且，求AB. 13．在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，，求及的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $