第03讲 平面向量基本定理及坐标表示讲义（知识解读+题型归纳+随堂测试）-2025-2026学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版必修第二册）

本高中数学讲义聚焦平面向量基本定理及坐标表示，以基底概念理解为起点，通过平面向量基本定理掌握向量表示方法，衔接坐标表示及运算，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料通过“知识点-题型-变式-易错点”分层设计，典例与变式训练引导学生推理辨析，坐标表示实现几何问题代数化强化模型观念。课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固提升，弥补知识盲点。

第03讲 平面向量基本定理及坐标表示 知识点一 对基底的理解 知识点二 用基底表示向量 知识点三 平面向量的坐标表示 知识点四 平面向量的坐标运算 知识点一 对基底的理解 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 【题型1 基底的概念及辨析】 【典例1】（多选题）设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，能作为基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1】若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】已知是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基的一组向量是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列关于基底的说法正确的序号是（    ） ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量； ③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 知识点二 用基底表示向量 平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 {e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 【技巧】 用基底表示向量的三个依据和两个“模型” (1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；②向量减法的几何意义；③数乘向量的几何意义． (2)模型： 【题型2 用基底表示向量】 【典例2】如图，在中，，为线段的中点，且，，为实数，记，． (1)请用和表示； (2)求． 【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【题型3 平面向量基本定理的应用】 【典例3】在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，点是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】在中，为CD中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在中，为BC的中点，是线段AD上的一点，若，则（   ） A． B． C． D． 知识点三 平面向量的坐标表示 1.平面向量的坐标表示： 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示． 2.向量坐标与点的坐标之间的联系 在平面直角坐标系中，以原点O为起点作＝a，设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标． 【题型4 用坐标表示平面向量】 【典例4】已知点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，若向量，则点A的坐标为 ． 【变式2】已知知两点，，且点P为线段AB的中点.则的坐标为 ． 【变式3】如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（   ） A． B．1 C．5 D． 知识点四 平面向量的坐标运算 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有： 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 重要结论 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＝(x2－x1，y2－y1) 【技巧】平面向量坐标(线性)运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. 【题型5 平面向量线性运算】 【典例5】已知点，，，设，，，且，． (1)求； (2)求点M，N的坐标及向量的坐标． 【变式1】已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，． (1)若，求，； (2)若，求点的坐标． 【变式3】已知，，求： (1)； (2)； (3). 易错一 基底的判断 【典例6】若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（   ） ①和                ②和 ③和                    ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【变式1】（多选题）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2】已知是平面内的一个基底，若向量与共线，则 ． 【变式3】已知、是平面内的一组基底，，，，若、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 易错二 求向量坐标 【典例7】若，，则的坐标为（ ）. A． B． C． D． 【变式1】已知，则 ． 【变式2】在平行四边形中，为对角线，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知，，，若，则等于（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 1．如图，在矩形中，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，是平面上两个不共线的向量，以下可以作为平面向量一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．如图，在平面内，不共线向量与构成的四边形中，E，F分别是，的中点.若，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 4．如图，为的边上的中线，且，那么为（    ） A． B． C． D． 5．已知，记的相反向量为，则（   ） A． B． C． D． 6．已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．已知向量，则（   ） A． B． C． D． 9．已知，，则（    ） A．2 B． C．4 D．8 10．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则另一个顶点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）已知，，下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（多选题）如图，在正方形ABCD中，Q为BC上一点，AQ交BD于E，且E，F为BD的两个三等分点，则（    ）      A． B． C． D． 13．（多选题）已知点为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A．的坐标为 B．，其中 C．线段的中点坐标为 D． 14．与同向的单位向量为 ． 15．已知，点P在线段AB上，且，则P的坐标为 ． 16．设点，，，若，则的值为 . 17．已知平行四边形的三个顶点为，，. (1)求点的坐标； (2)求在上的投影向量的坐标. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 平面向量基本定理及坐标表示 知识点一 对基底的理解 知识点二 用基底表示向量 知识点三 平面向量的坐标表示 知识点四 平面向量的坐标运算 知识点1 对基底的理解 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 【题型1 基底的概念及辨析】 【典例1】（多选题）设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，能作为基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】ABD 【分析】根据向量基底的定义逐一分析即可判断. 【详解】对于：由可得和不共线， 所以和能作为基底，故正确； 对于：由可得和不共线， 所以和能作为基底，故正确； 对于：由，可得， 所以和共线，故不能作为基底，故错误； 对于：由可得和不共线， 所以和能作为基底，故正确. 故选：. 【变式1】若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案. 【详解】因为，是平面内一组不共线的向量， 设，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以A选项错误； 设，则，无解，不平行，能作为平面内所有向量的一组基底，所以B选项错误； 设，则，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以C选项错误； ， ，不能作为平面内所有向量的一组基底，D选项正确； 故选：D. 【变式2】已知是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基的一组向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可以作为一组基底的条件为两个向量不共线，分别判断选项中的向量是否共线即可. 【详解】对于A，，故共线，故A错误； 对于B，，故共线，故B错误； 对于C，，故共线，故C错误； 对于D，设，，则， 所以，无解，故不共线，故D正确. 故选：D. 【变式3】下列关于基底的说法正确的序号是（    ） ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量； ③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】由基底的定义可逐项判断. 【详解】对于①，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底（只要不共线就行），正确； 对于②，零向量和任何一个向量都平行，不能作为基底，错误； 对于③，由平面向量基本定理知，基底确定，分解形式也唯一确定，正确, 所以①③正确. 故选：B 知识点二 用基底表示向量 平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 {e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 【技巧】 用基底表示向量的三个依据和两个“模型” (1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；②向量减法的几何意义；③数乘向量的几何意义． (2)模型： 【题型2 用基底表示向量】 【典例2】如图，在中，，为线段的中点，且，，为实数，记，． (1)请用和表示； (2)求． 【答案】(1) (2)2 【分析】根据向量的线性运算分别得解. 【详解】（1）由已知， 即， 所以； （2）为线段的中点， ， 又，, , 又， 所以， 即. 【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，利用向量的线性运算即可求得. 【详解】由图知，. 故选：C. 【变式2】如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算可得答案. 【详解】由，可得， 所以. 故选：D. 【变式3】如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形和条件，利用向量的加减数乘等运算，将所求向量用基底表示即可. 【详解】由图知， . 故选：D. 【题型3 平面向量基本定理的应用】 【典例3】在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理，和平面向量运算方法，用基底表示目标向量. 【详解】 如图所示，. 故选：D. 【变式1】如图，在中，点是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理得到答案. 【详解】点是的中点，， ． 故选：D． 【变式2】在中，为CD中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，根据平面向量线性运算即可求解. 【详解】由题意有：，所以， 故选：B. 【变式3】如图，在中，为BC的中点，是线段AD上的一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，借助向量线性运算与可得，结合题目所给条件计算即可得. 【详解】设，则 ， 则有，解得. 故选：C. 知识点三 平面向量的坐标表示 1.平面向量的坐标表示： 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示． 2.向量坐标与点的坐标之间的联系 在平面直角坐标系中，以原点O为起点作＝a，设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标． 【题型4 用坐标表示平面向量】 【典例4】已知点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用坐标表示向量即可. 【详解】由点，，得. 故选：D 【变式1】在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，若向量，则点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】设点A的坐标为，根据向量坐标等于向量终点坐标减去向量起点坐标列出式子，再利用向量相等列出方程，计算即可求出点A的坐标. 【详解】设点A的坐标为，因为点B的坐标为， 所以向量， 向量，所以，解得， 所以点A的坐标为. 故答案为： 【变式2】已知知两点，，且点P为线段AB的中点.则的坐标为 ． 【答案】 【分析】由中点坐标以及向量坐标，可得答案. 【详解】点P为线段AB的中点，所以，则， 故答案为：. 【变式3】如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（   ） A． B．1 C．5 D． 【答案】B 【分析】利用向量的坐标表示求解即得. 【详解】由，，得，由，得， 因此，所以. 故选：B 知识点四 平面向量的坐标运算 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有： 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 重要结论 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＝(x2－x1，y2－y1) 【技巧】平面向量坐标(线性)运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. 【题型5 平面向量线性运算】 【典例5】已知点，，，设，，，且，． (1)求； (2)求点M，N的坐标及向量的坐标． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）应用向量的坐标表示的线性运算即可； （2）根据向量的坐标运算结合已知计算即得. 【详解】（1）由已知得，，． ； （2）设为坐标原点． ，，， 又，， ，． 【变式1】已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以， 故选：C 【变式2】已知，，． (1)若，求，； (2)若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示可得，即可求解； （2）设 ，根据平面向量线性运算的坐标表示和建立关于x、y的方程组即可求解. 【详解】（1）依题意得，， 则，所以， 所以，． （2）由（1）知，，所以． 设点的坐标为，则， 因为，所以，， 所以，，故点的坐标为． 【变式3】已知，，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据平面向量的坐标的线性运算可得. 【详解】（1） （2） （3） 易错一 基底的判断 【典例6】若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（   ） ①和                ②和 ③和                    ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的共线定理，以及基底向量的定义，逐个判定，即可求解. 【详解】对于①中，由和，可得， 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量； 对于②中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于③中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于④中，设，可得，解得 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量. 故选：B. 【变式1】（多选题）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】CD 【分析】由共线定理和基底定义逐一分析即可得解. 【详解】对于A，假设，则使得， 则因为不共线得且，则无解，故不共线可作为一组基底，故A不正确； 对于B，假设，则使得， 则因为不共线得且，则无解，故不共线可作为一组基底，故B不正确； 对于C，因为，所以不能作为基底，故C正确. 对于D，因为，所以不能作为基底，故D正确. 故选：CD 【变式2】已知是平面内的一个基底，若向量与共线，则 ． 【答案】1 【分析】 利用向量共线的条件得到关于的方程即可得到. 【详解】 因为与共线，所以存在实数t，使， 即， 所以，解得． 故答案为：1. 【变式3】已知、是平面内的一组基底，，，，若、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出向量、的表达式，由题意可知存在，使得，结合平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得实数的值. 【详解】因为，，， 所以， ， 又因为、、三点共线，所以存在，使得， 即， 因为、是平面内的一组基底，所以，解得，． 故选：D． 易错二 求向量坐标 【典例7】若，，则的坐标为（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量减法的坐标运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 【变式1】已知，则 ． 【答案】 【分析】设向量，得到，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】设向量，因为，可得， 因为，所以，解得，所以. 故答案为：. 【变式2】在平行四边形中，为对角线，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，由此求出，再求结论. 【详解】因为四边形是平行四边形， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 【变式3】已知，，，若，则等于（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】运用向量的坐标运算法则进行求解. 【详解】由题意可得，， 所以，， 所以，解得 故选：C. 1．如图，在矩形中，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量加法的三角形法则结合向量的数乘运算即可. 【详解】在矩形中,， 因为为的中点，所以， 则 故选：A. 2．已知，是平面上两个不共线的向量，以下可以作为平面向量一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据基底的定义结合平面向量共线定理判断各个选项中两向量是否共线即可. 【详解】对于A，因为，所以不可以作为平面向量一组基底，故A不符题意； 对于B，因为，所以， 所以不可以作为平面向量一组基底，故B不符题意； 对于C，假设，则存在唯一实数，使得，即， 所以，无解， 所以向量不共线，所以可以作为平面向量一组基底，故C符合题意； 对于D，因为，所以， 所以不可以作为平面向量一组基底，故D不符题意. 故选：C. 3．如图，在平面内，不共线向量与构成的四边形中，E，F分别是，的中点.若，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】利用平面向量基本定理和向量的运算即可求解. 【详解】由题意有 所以. 故选：C. 4．如图，为的边上的中线，且，那么为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由为中点，则，根据平面向量基本定理即可求解. 【详解】由， 所以， 故选：A. 5．已知，记的相反向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标表示和相反向量的概念进行求解即可. 【详解】因为，所以， 所以它的相反向量. 故选：A. 6．已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入进行线性运算即可. 【详解】， 则在基下的坐标为. 故选：A. 7．已知向量，，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的减法法则和坐标运算法则求解即可. 【详解】由向量的减法法则得， 且，，则，故C正确. 故选：C 8．已知向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由坐标表示向量的加法可得. 【详解】因为，所以. 故选：D. 9．已知，，则（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据向量的坐标表示和向量的模进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 所以. 故选：B. 10．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则另一个顶点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，按平行四边形的对角线情况分类，结合向量的坐标运算得解. 【详解】记点分别为，第4个顶点为， 当线段为平行四边形对角线时，，则点，B是； 当线段为平行四边形对角线时，，则点，D是； 当线段为平行四边形对角线时，，则点，C是. 故选：BCD 11．（多选题）已知，，下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据向量坐标表示的线性运算即可得出答案. 【详解】解：因为，， 所以，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误. 故选：AB. 12．（多选题）如图，在正方形ABCD中，Q为BC上一点，AQ交BD于E，且E，F为BD的两个三等分点，则（    ）      A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】建系如图，不妨设正方体的边长为，设，则根据题意可得： ，，，，，，, , ，，，,,, 由于,所以，故, 对于A, ,故A正确， 对于B，,故B正确， 对于C，,故C正确， 对于D，，,故D错误， 故选：ABC      13．（多选题）已知点为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A．的坐标为 B．，其中 C．线段的中点坐标为 D． 【答案】ABD 【分析】根据向量线性运算的坐标表示以及向量模长计算公式判断每个选项. 【详解】由向量的坐标表示可得，A正确； ，， 所以，B正确； 的中点坐标为，故C错误； 因为，所以，D正确. 故选：ABD 14．与同向的单位向量为 ． 【答案】 【分析】求出，故与其同方向的单位向量. 【详解】由题得:, 所以与向量同向的单位向量. 故答案为：. 15．已知，点P在线段AB上，且，则P的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求解. 【详解】由点P在线段AB上，，得， 设点，又，则， 于是，， 所以P的坐标为. 故选： 16．设点，，，若，则的值为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得，根据，列出方程组，求得的值，即可得到答案. 【详解】由，，，可得， 因为，可得，解得，所以. 故答案为：. 17．已知平行四边形的三个顶点为，，. (1)求点的坐标； (2)求在上的投影向量的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的相等满足的坐标关系即可求解， （2）根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】（1）设，由题意得，， 由可得得 故点的坐标为. （2）由（1）得， 则， ， 所以在上的投影向量的坐标为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $