第02讲 向量的数乘运算、数量积 讲义（知识解读+题型归纳+随堂测试）-2025-2026学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版必修第二册）

本讲义聚焦向量的数乘运算、共线定理、数量积及投影、模的问题等核心知识点，从线性运算的定义与运算律入手，递进至共线定理的应用，再延伸到数量积的计算、投影向量及模的求解，构建完整的向量运算学习支架。 资料以“知识点+题型+变式+易错点”设计，通过典例（如共线定理证明、数量积计算）培养数学思维，用符号表达与几何意义体现数学语言，课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过练习巩固知识、查漏补缺。

第02讲 向量的数乘运算、数量积 知识点一 向量的线性运算 知识点二 向量共线定理 知识点三 向量数量积的计算及投影 知识点四 与向量模有关的问题 知识点一 向量的线性运算 1.向量的数乘运算 (1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． (2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb. (3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 【题型1 向量的线性运算综合】 【典例1】化简：（1）； （2）. 【变式1】化简： (1)； (2)； (3) 【变式2】化简下列向量线性运算： (1)； (2)； (3)． 【变式3】计算： (1)； (2)． 知识点二 向量共线定理 1.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 2. 证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． (2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1. 3．利用向量共线求参数的方法 判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，解方程从而求得λ的值． 【题型2 向量共线定理及有关运算】 【典例2】设是不共线的两个非零向量． (1) 若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数k的值． 【变式1】已知是两个不共线的向量，且向量与共线，则 ． 【变式2】设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】设，是两个不共线的向量，，，． (1)求证：三点共线； (2)试确定的值，使与共线． 知识点三 向量数量积的计算及投影 1．两向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． (2)特例：①当θ＝0时，向量a，b同向． ②当θ＝π时，向量a，b反向． ③当θ＝时，向量a，b垂直，记作a⊥b. 2．平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.特别地，零向量与任何向量的数量积等于0. 3．投影向量 设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足 分别为A1，B1，得到，这种变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量． 4.求投影的两种方法： (1)b在a方向上的投影为|b|cos θ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cos θ. (2)b在a方向上的投影为，a在b方向上的投影为. 【题型3 向量的数量积的有关运算】 【典例3】若向量，满足，与的夹角为60°，则等于（   ） A． B． C． D．2 【变式1】已知是等边三角形，边长为4，则（   ） A． B．8 C． D． 【变式2】已知向量，满足，，，则 . 【题型4 投影的有关运算】 【典例4】已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知：，则在方向上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A．0 B．1 C．8 D．4 【变式3】已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则 . 知识点四 与向量模有关的问题 1.向量的模：a·a＝a2＝|a|2或|a|＝， 2.一些常见的等式，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等 3.求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化 【题型5 与向量模有关运算】 【典例5】已知平面向量，满足：，，． (1)求； (2)当时，求实数k的值． 【变式1】已知，与的夹角是60°， (1)计算，； (2)求和的夹角的余弦值. 【变式2】已知向量与的夹角为，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)求向量与向量的夹角. 【变式3】已知向量，，. (1)求向量，的夹角； (2)求的值； 易错 用共线向量定理证三点共线 【典例6】设，是不共线的两个非零向量． (1)若，，，求证：A，B，C三点共线； (2)若与共线，求实数的值． 【变式1】已知向量不共线，与共线，则实数的值为（    ） A． B．2 C．6 D． 【变式2】已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C．或2 D．2 【变式3】已知为非零不共线向量，向量与共线，则（    ） A． B． C． D．8 1．已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．已知为单位向量，当它们的夹角为时，在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量满足且单位向量在方向上的投影向量为，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 4．若向量满足，则（   ） A． B．2 C． D．4 5．已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 6．已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，的夹角为，，，则= . 8．已知向量与不平行，与平行，则实数 ． 9．已知，，，则在方向上的投影是 ． 10．已知向量满足，，则 11．如图，在中，点是线段上动点，且，则的最小值为 ． 12．（1）已知向量不共线，．若，求； （2）已知，，．若，且，求． 13．已知向量，满足，，且． (1)求向量，的夹角； (2)若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 向量的数乘运算、数量积 知识点一 向量的线性运算 知识点二 向量共线定理 知识点三 向量数量积的计算及投影 知识点四 与向量模有关的问题 知识点一 向量的线性运算 1.向量的数乘运算 (1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． (2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb. (3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 【题型1 向量的线性运算综合】 【典例1】化简：（1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）（2）根据平面向量的线性运算化简整理即可求出结果. 【详解】（1）； （2）. 【变式1】化简： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 【变式2】化简下列向量线性运算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由向量的线性运算可得结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）应用向量的运算律化简即可. 【详解】（1）原式． （2）原式. 知识点二 向量共线定理 1.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 2. 证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． (2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1. 3．利用向量共线求参数的方法 判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，解方程从而求得λ的值． 【题型2 向量共线定理及有关运算】 【典例2】设是不共线的两个非零向量． (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数k的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可. （2）由共线性质求出参数即可. 【详解】（1）由， 得, , 所以，且有公共点B， 所以三点共线. （2）由与共线， 则存在实数，使得， 即，又是不共线的两个非零向量， 因此，解得，或， 实数k的值是 【变式1】已知是两个不共线的向量，且向量与共线，则 ． 【答案】 【分析】由，结合平面向量基本定理即可求解. 【详解】向量与共线， 所以， 所以，解得， 故答案为： 【变式2】设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量平行得到方程，求出答案. 【详解】向量与向量共线， 设，故，解得. 故选：B 【变式3】设，是两个不共线的向量，，，． (1)求证：三点共线； (2)试确定的值，使与共线． 【答案】(1)证明见解析. (2). 【分析】（1）证明和共线即可证三点共线； （2）由向量共线定理求解即可． 【详解】（1）由题意， 且， 所以, 所以和共线，故三点共线. （2）因为与共线， 所以存在实数，使得， 又因为不共线， 所以，解得或. 所以. 知识点三 向量数量积的计算及投影 1．两向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． (2)特例：①当θ＝0时，向量a，b同向． ②当θ＝π时，向量a，b反向． ③当θ＝时，向量a，b垂直，记作a⊥b. 2．平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.特别地，零向量与任何向量的数量积等于0. 3．投影向量 设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足 分别为A1，B1，得到，这种变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量． 4.求投影的两种方法： (1)b在a方向上的投影为|b|cos θ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cos θ. (2)b在a方向上的投影为，a在b方向上的投影为. 【题型3 向量的数量积的有关运算】 【典例3】若向量，满足，与的夹角为60°，则等于（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】借助数量积公式计算即可得. 【详解】. 故选：A. 【变式1】已知是等边三角形，边长为4，则（   ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的数量积的定义求解即可. 【详解】因为是等边三角形，边长为4， 所以. 故选：A. 【变式2】已知向量，满足，，，则 . 【答案】3 【分析】利用数量积的定义求出，再利用数量积的运算律求解. 【详解】依题意，，所以. 故答案为：3 【题型4 投影的有关运算】 【典例4】已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求，根据投影向量的定义得，代入即可求解. 【详解】由题意有， 所以在方向上的投影向量是， 故选：C. 【变式1】已知：，则在方向上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义，在方向上的投影向量为，代入计算即可. 【详解】根据定义，在方向上的投影向量为. 故选：B. 【变式2】已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A．0 B．1 C．8 D．4 【答案】C 【分析】根据向量的投影向量的定义，列式求解，即可得答案. 【详解】由于向量在向量上的投影向量为， 故可得，即，所以， 故选：C 【变式3】已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则 . 【答案】/ 【分析】根据数量投影的计算公式得到，故，得到答案. 【详解】在上的数量投影为1， 则，即， 故，即， 所以， 又，所以. 故答案为： 知识点四 与向量模有关的问题 1.向量的模：a·a＝a2＝|a|2或|a|＝， 2.一些常见的等式，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等． 3.求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化 【题型5 与向量模有关运算】 【典例5】已知平面向量，满足：，，． (1)求； (2)当时，求实数k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积可得，再根据模长的平方关系结合数量积的运算律求解； （2）根据向量垂直的可得，结合数量积的运算律求解. 【详解】（1）因为，，，则， 又因为，所以． （2）因为，则， 可得， 即，解得. 【变式1】已知，与的夹角是60°， (1)计算，； (2)求和的夹角的余弦值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用向量数量积的定义和运算律求解即得； （2）利用向量数量积的运算律和两向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）依题意，， . （2）因， 设和的夹角为， 则. 【变式2】已知向量与的夹角为，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)求向量与向量的夹角. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，利用向量的数量积的定义即可求解； （2）根据题意，利用向量的数量积的运算律，直接计算，即可求解； （3）根据题意，利用向量的夹角公式，直接计算，即可求解. 【详解】（1）因为向量与的夹角为，且， 则. （2）因为向量与的夹角为，且，且. 可得. （3）设向量与向量的夹角为， 可得， 因为，可得，所以向量与向量的夹角为. 【变式3】已知向量，，. (1)求向量，的夹角； (2)求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据模长公式即可求解，即可根据夹角公式求解， （2）根据数量积的运算律即可求解. 【详解】（1）由可得， 故， 故， 由于，故， （2） 易错 用共线向量定理证三点共线 【典例6】设，是不共线的两个非零向量． (1)若，，，求证：A，B，C三点共线； (2)若与共线，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可； （2）由共线向量定理求出参数即可. 【详解】（1）证明：， 而， 与共线，且有公共点， ，B，C三点共线． （2）与共线， 存在实数，使得，即． 与不共线，，解得， ． 【变式1】已知向量不共线，与共线，则实数的值为（    ） A． B．2 C．6 D． 【答案】A 【分析】由向量共线得到，求解即可. 【详解】因为与共线， 所以， 解得：， 故选：A 【变式2】已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C．或2 D．2 【答案】C 【分析】根据向量共线的线性表示，可得，使，在利用向量相等的条件构建方程组，解方程组即可. 【详解】因为向量，不共线，所以， 又向量与共线， 所以，使， 则，解得或2. 故选：C. 【变式3】已知为非零不共线向量，向量与共线，则（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】根据平行，设，从而得到方程组，求出. 【详解】设， 故，解得. 故选：C 1．已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的夹角计算公式即可求解. 【详解】由已知，，， 设则与的夹角为，则余弦值， 又因为，所以. 故选：C. 2．已知为单位向量，当它们的夹角为时，在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量定义计算即可. 【详解】因为为单位向量，则， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：B. 3．已知向量满足且单位向量在方向上的投影向量为，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意，由投影向量的计算公式可得. 【详解】因为在方向上的投影向量为，所以， 可得，即； 因为，为单位向量，所以，所以. 故选：A． 4．若向量满足，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】将平方，利用数量积的运算律即可求解． 【详解】， ， ． 故选：B． 5．已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【分析】将点共线转化成向量共线，结合条件，利用两向量共线的充要条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，，则， 若，则，又为不共线的非零向量， 则，无解，则不共线，所以三点不共线，故A错误， 对于B，因为，，，则， 所以，则三点共线，故B正确， 对于C，，，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以C错误， 对于D，由选项A知，又，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以D错误， 故选：B. 6．已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用投影向量的定义，结合向量的运算求解即可. 【详解】由于向量，满足，，， 所以，解得， 则在方向上的投影向量为. 故选：B 7．已知向量，的夹角为，，，则= . 【答案】 【分析】由数量积的运算和运算律计算可得. 【详解】. 故答案为：. 8．已知向量与不平行，与平行，则实数 ． 【答案】/ 【分析】根据向量平行可列出方程组，即可求解. 【详解】由于与平行，故设， 即，而向量与不平行， 故，解得， 故答案为： 9．已知，，，则在方向上的投影是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量投影的定义求解. 【详解】依题意，由，得 所以在方向上的投影为. 故答案为： 10．已知向量满足，，则 【答案】 【分析】运用数量积的运算律求解即可. 【详解】因为，， 所以， 所以， 所以 故答案为： 11．如图，在中，点是线段上动点，且，则的最小值为 ． 【答案】16 【分析】由已知条件结合平面向量共线的推论可得，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】由，且三点共线， 则，由题意得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为16. 故答案为：16. 12．（1）已知向量不共线，．若，求； （2）已知，，．若，且，求． 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）由向量不共线和向量相等即可求解； （2）先由题设求出，再由题设得即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 因为向量不共线，所以； （2）由题可得， 所以由且得， 所以. 13．已知向量，满足，，且． (1)求向量，的夹角； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据，求得，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）根据，利用向量模的计算公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：由向量，满足，，且． 可得，可得， 设向量与的夹角为，可得， 因为，所以，即向量与的夹角为. （2）解：因为，可得， 即，解得或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $