第01讲 平面向量的概念讲义（知识解读+题型归纳+随堂测试）-2025-2026学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版必修第二册）

本讲义聚焦平面向量的概念，系统梳理向量的有关概念（零向量、单位向量等）、表示方法（几何与字母表示）、相等与共线向量辨析，以及加法法则（三角形、平行四边形）、运算律和减法运算，构建从概念到运算的完整学习支架。 资料特色在于结合物理情境（如速度、力的向量判断）培养数学眼光，通过几何图形（正六边形、矩形）中的向量问题发展数学思维，利用典例与变式题强化数学语言表达。课中助力教师分层教学，课后易错点及练习题帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

第01讲 平面向量的概念 知识点一 向量的有关概念 知识点二 向量的表示及应用 知识点三 相等向量和共线向量 知识点四 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 知识点五 向量加法运算律的应用 知识点六 向量减法的运算及简单应用 知识点一 向量的有关概念 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量 向量a，b平行，记作a∥b 规定：零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量 向量a与b相等，记作a＝b 【典例1】下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据向量的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】质量、密度、功是标量，不是向量； 速度、力、加速度、位移是向量； 所以向量共有个. 故选：A 【变式1】对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（    ） A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 【答案】D 【分析】由向量的概念逐个判断即可； 【详解】路程，时间，体积，长度只有大小，没有方向，是数量； 速度，重力既有大小又有方向，是向量， 故选：D. 【变式2】下列量中是向量的为（    ） A．长度 B．宽度 C．频数 D．摩擦力 【答案】D 【分析】利用向量的定义判断即可． 【详解】向量是既有大小，又有方向的量， 因为长度，宽度，频数只有大小，没有方向，摩擦力既有大小，又有方向， 所以摩擦力是向量. 故选：D 【变式3】下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【答案】A 【分析】根据向量有大小有方向的特点逐项判断. 【详解】对于A，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确； 对于B，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误； 对于C，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误； 对于D，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误； 故选:A． 知识点二 向量的表示及应用 1.向量的两种表示方法 (1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点． (2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用2.表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如，，等． 【典例2】如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方． (1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）； (2)求的模． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）根据行走方向和单位长度即可确定各点在坐标系中的位置，即可做出所有向量； （2）由题意可知，四边形是平行四边形，则可求得的模. 【详解】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为， 又因为D点在B点的正北方，所以， 又，所以，即D、 C两点在坐标系中的坐标为，； 即可作出、、如下图所示. （2）如图，作出向量， 由题意可知，且， 所以四边形是平行四边形， 则， 所以的模为 【变式1】如图所示，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方. （1）作出向量，，（图中1个单位长度表示100m）； （2）求向量的模. 【答案】（1）作图见解析（2） 【分析】（1）根据题意直接画图即可； （2）根据（1）的作图，可以通过平行四边形的性质、勾股定理得到向量的模. 【详解】解：（1）如图，即为所求. （2）如图，作向量，由题意可知，四边形是平行四边形， ∴. 【点睛】本题考查了在直角坐标系内画出向量，考查了利用勾股定理求向量的模，属于基础题. 【变式2】某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 【答案】(1)作图见解析； (2)米. 【分析】（1）根据给定条件，作出图形. （2）借助几何图形，利用勾股定理求出模长. 【详解】（1）作出向量，如图：    （2）依题意，，向量相当于从点A出发向东走15米，再向正北走10米， 所以（米）. 知识点三 相等向量和共线向量 1.相等向量：长度相等且方向相同的向量。向量a与b相等，记作a＝b． 2.共线向量：方向相同或相反的向量。 共线向量与平行向量 (1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别； (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同； (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同． 3.相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些同向共线． (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． 【典例3】已知O为正六边形的中心，在图所标出的向量中：      (1)试找出与共线的向量； (2)确定与相等的向量； (3)与相等吗？ 【答案】(1)和； (2)； (3)不相等. 【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，利用正六边形的性质，结合共线向量、相等向量的意义判断作答. 【详解】（1）由O为正六边形的中心，得与共线的向量有和. （2）由于与长度相等且方向相同，所以. （3）显然，且，但与的方向相反，所以这两个向量不相等. 【变式1】如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与的相反向量； (3)写出与模相等的向量. 【答案】(1)， (2)， (3)，，，，，， 【分析】（1）根据相等向量的定义直接求解即可； （2）根据相反向量的定义直接求解即可； （3）根据模相等向量的定义求解即可. 【详解】（1）由题意，． （2）由题意，与的相反向量为：，． （3）由题意，与模相等的向量为：，，，，，，． 【变式2】如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 【答案】(1)与相反的向量有，，；与相反的向量有， (2)相等的向量为，，相等的向量为 【分析】运用相等向量，相反向量概念可解. 【详解】（1）方向相反，大小相等的向量互为相反向量. 与相反的向量有，，；与相反的向量有，. （2）方向相同，大小相等的向量是相等向量. 则，与方向相同，且长度相等， 故与相等的向量为，. 同理，与相等的向量为. 知识点四 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝A＋＝. 平行四边形法则 已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，以，为邻边作▱ABCD，则对角线上的向量＝a＋b. 【注意】 (1)三角形法则对于两个向量共线时也适用．要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量； (2)两个向量的和向量仍是一个向量． (3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量． 【典例4】如图，在正六边形中，是其中心．则： ① ； ② ； ③ ． 【答案】 【分析】根据几何图形的加法及运算律化简求值即可. 【详解】①． ②． ③． 故答案为：；；. 【变式1】化简向量运算： ． 【答案】 【分析】根据向量加法的运算法则即可求解. 【详解】. 故答案为：. 【变式2】向量化简后等于 【答案】 【分析】直接根据向量的加法法则写出结果即可. 【详解】由向量加法的运算法则，可得 . 故答案为： 【变式3】如图所示， （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【答案】 【分析】运用向量加法的三角形法则可解. 【详解】由图知道，， ，，. 故答案为：，，，. 知识点五 向量加法运算律的应用 向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 【典例5】化简或计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用向量加法的运算律计算求解； （2）应用向量加法的运算律计算求解； 【详解】（1）． （2）． 【变式1】化简下列各式: (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）应用向量加法运算律化简即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 【变式2】化简等于 . 【答案】 【分析】运用向量运算律计算即可. 【详解】 故答案为：. 【变式3】等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量加法的运算律计算可得； 【详解】解： 故选：B 知识点六 向量减法的运算及简单应用 1.相反向量 (1)定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量． (2)性质：①－(－a)＝a.②对于相反向量有：a＋(－a)＝0. ③若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0. 2．向量的减法 (1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． (2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量＝a－b，如图所示． 常用方法 【解题技巧】 向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和． (2)起点相同且为差． 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用． 【典例6】化简 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量减法运算法则计算即可； （2）根据向量加法运算法则计算即可. 【详解】（1） . （2） . 【变式1】化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的加减法运算即可得答案； （2）由向量的加减法运算即可得答案. 【详解】（1）． （2）. 【变式2】化简： ； 【答案】 【分析】利用相反向量的概念，结合向量加法的三角形法则化简即可. 【详解】因为 . 故答案为： 【变式3】化简 ． 【答案】 【分析】应用向量的加减法则化简即可. 【详解】 . 故答案为： 易错 零向量方向任意、共线向量 【典例7】下列向量的概念错误的是（   ） A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B．零向量和任何向量都是共线向量 C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D．，，则 【答案】D 【分析】根据零向量，相等向量，共线向量的定义即可求解. 【详解】对于A, 零向量的长度为0，且方向是任意的，故A正确， 对于B，规定零向量与任意向量共线，故B正确， 对于C，相等向量的模长和方向都相同，故相等向量一定是共线向量，但共线向量是方向相同或者相反的两个向量，模长不一定相等，故共线向量不一定相等，C正确， 对于D，当为零向量时，此时不一定能得到，故D错误， 故选：D 【变式1】下列说法中，正确的是（   ） A．模为的向量与任意向量共线 B．单位向量只有一个 C．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 D．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 【答案】A 【分析】根据零向量的定义可判断A选项；利用单位向量的定义可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用向量的定义可判断D选项. 【详解】对A，模为的向量为零向量，零向量与任意向量共线，故A正确； 对B，单位向量的模为，但方向为任意方向，故B错误； 对C，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故C错误； 对D，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故D错误． 故选：A． 【变式2】下列命题正确的是（   ） A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量 【答案】C 【分析】根据单位向量、零向量、共线向量的定义判断即可. 【详解】对于A：单位向量大小相等都是，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误； 对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误． 对于C：模为的向量为零向量，零向量与任非零意向量共线，故C正确； 对于D：模相等的两个共线向量可能是相同的向量也可能是相反向量，故D错误. 故选：C． 【变式3】（多选题）下列说法正确的是（   ） A．质量是向量 B．相等向量的起点不一定相同 C．物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量 D．若某质点受到的作用处于平衡状态，则 【答案】BCD 【分析】根据向量的定义易判断A；根据相等向量的概念易判断B；根据共线向量的规定易判断C；根据物理上关于质点受力处于平衡状态的描述易判断D. 【详解】对于A，因质量没有方向，故不是向量，即A错误； 对于B，相等向量只规定了大小相等，方向相同，起点可以不同，故B正确； 对于C，物理学中的作用力与反作用力是两个大小相等，方向相反的两个向量，故是一对共线向量，即C正确； 对于D，根据物理上关于质点受力处于平衡状态的描述，易得，故D正确. 故选：BCD. 1．下列各量中是向量的是（   ） A．时间 B．路程 C．加速度 D．温度 【答案】C 【分析】由向量的定义判断即可. 【详解】因为时间、路程、温度只有大小没有方向，故是数量，加速度既有大小，又有方向，故是向量. 故选：C. 2．下列有关向量的说法正确的是（   ） A．向量又称有向线段 B．平行向量一定相等 C．平行向量一定共线 D．平面直角坐标系xOy中的x轴，y轴均为向量 【答案】C 【分析】根据向量、有向线段、平行向量、相等向量等相关概念，对每个选项进行逐一分析判断. 【详解】向量可以用有向线段来表示，但向量与有向线段是不同的概念.有向线段有起点、方向和长度，而向量只有大小和方向，没有固定的起点.所以不能说向量又称有向线段，选项错误. 平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行.而相等向量不仅要求方向相同，还要求大小相等.所以平行向量不一定相等，选项错误. 平行向量也叫共线向量，这是向量的基本概念.所以平行向量一定共线，选项正确. 向量是既有大小又有方向的量，而平面直角坐标系xOy中的轴、轴是具有方向的直线，它们没有大小，不满足向量的定义，所以轴、轴不是向量，选项错误. 故选：C. 3．下列关于向量说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．所有单位向量都相等 C．向量的模是一个正实数 D．相反向量的模一定相等 【答案】D 【分析】利用零向量、单位向量和相反向量的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为零向量的方向是任意的，所以A错误； 对于B，单位向量是长度为一个单位的向量，方向可以是任意方向，所以B错误， 对于C，因为的模长为，所以C错误， 对于D，因为相反向量是模长相等，方向相反的两个向量，所以D正确， 故选：D. 4．已知四边形，则“四边形是平行四边形”是“”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据相等向量的定义，结合充要条件的定义判断即可. 【详解】若四边形是平行四边形， 则，所以； 若，则，则四边形是平行四边形. 所以“四边形是平行四边形”是“”的充要条件. 故选：A. 5．以下说法中正确的是（   ） A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量 B．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 C．单位向量都是共线向量 D．零向量的长度为0，没有方向 【答案】B 【分析】根据向量的定义判断． 【详解】对于A，如果两个向量的起点，终点不在同一直线上，它们不是共线向量，A错； 对于B，向量既有大小又有方向，因此两个向量不能比较大小，而它们的模是表示它们的有向线段的长度，是非负实数，可以比较大小，B正确； 对于C，单位向量可以垂直，它们不一定是共线向量，C错； 对于D，零向量的长度（大小）为0，方向是任意的，D错， 故选：B． 6．下列说法错误的是（ ） A．加速度是向量B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段 【答案】BD 【分析】根据向量的有关定义依次判断即可. 【详解】对于A，由向量的定义知，加速度是向量，故A正确； 对于B，两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故B错误； 对于C，由零向量的定义知，零向量的方向是任意的，故C正确； 对于D，向量可以用有向线段表示，但两者不同，故D错误． 故选：BD． 7．下列说法正确的是（   ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的长度都为0 D．两个单位向量的长度相等 【答案】ACD 【分析】根据题意，由向量的概念逐一判断，即可得到结果. 【详解】向量与向量互为相反向量，所以模长相等，故A正确； 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误； 零向量的模都是0，故C正确； 单位向量的长度都是1，故D正确； 故选：ACD 8．与向量方向相反的单位向量为 ． 【答案】 【分析】由相反向量及单位向量的定义可得. 【详解】向量方向相反的单位向量. 故答案为：. 9．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 个.    【答案】3 【分析】根据相等向量的定义及正六边形的性质即可求解. 【详解】根据正六边形的性质和相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，，共3个. 故答案为：3 10．如图，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则＝ ． 【答案】2 【分析】由向量的加法原则求解即可. 【详解】因为， 因为正六边形ABCDEF是由6个全等的等边三角形构成，所以， 所以. 故答案为：2. 11．如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 【答案】(1)， (2)，，，，，，． 【分析】（1）根据向量相等的概念直接求解；（2）根据共线向量的概念直接求解即可. 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，四边形是矩形， 所以，又，所以 ， 与向量相等的向量有，. （2）与共线的向量有，，，，，，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 平面向量的概念 知识点一 向量的有关概念 知识点二 向量的表示及应用 知识点三 相等向量和共线向量 知识点四 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 知识点五 向量加法运算律的应用 知识点六 向量减法的运算及简单应用 知识点一 向量的有关概念 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量 向量a，b平行，记作a∥b 规定：零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量 向量a与b相等，记作a＝b 【典例1】下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（    ） A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 【变式2】下列量中是向量的为（    ） A．长度 B．宽度 C．频数 D．摩擦力 【变式3】下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 知识点二 向量的表示及应用 1.向量的两种表示方法 (1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点． (2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用2.表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如，，等． 【典例2】如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方． (1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）； (2)求的模． 【变式1】如图所示，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方. （1）作出向量，，（图中1个单位长度表示100m）； （2）求向量的模. 【变式2】某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 知识点三 相等向量和共线向量 1.相等向量：长度相等且方向相同的向量。向量a与b相等，记作a＝b． 2.共线向量：方向相同或相反的向量。 共线向量与平行向量 (1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别； (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同； (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同． 3.相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些同向共线． (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． 【典例3】已知O为正六边形的中心，在图所标出的向量中：      (1)试找出与共线的向量； (2)确定与相等的向量； (3)与相等吗？ 【变式1】如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与的相反向量； (3)写出与模相等的向量. 【变式2】如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 知识点四 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝A＋＝. 平行四边形法则 已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，以，为邻边作▱ABCD，则对角线上的向量＝a＋b. 【注意】 (1)三角形法则对于两个向量共线时也适用．要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量； (2)两个向量的和向量仍是一个向量． (3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量． 【典例4】如图，在正六边形中，是其中心．则： ① ； ② ； ③ ． 【变式1】化简向量运算： ． 【变式2】向量化简后等于 【变式3】如图所示， （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 知识点五 向量加法运算律的应用 向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 【解题技巧】 向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和． (2)起点相同且为差． 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用． 【典例5】化简或计算： (1)； (2)． 【变式1】化简下列各式: (1) (2) 【变式2】化简等于 . 【变式3】等于（    ） A． B． C． D． 知识点六 向量减法的运算及简单应用 1.相反向量 (1)定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量． (2)性质：①－(－a)＝a.②对于相反向量有：a＋(－a)＝0. ③若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0. 2．向量的减法 (1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． (2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量＝a－b，如图所示． 常用方法 【解题技巧】 向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和． (2)起点相同且为差． 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用． 【典例6】化简 (1)； (2)． 【变式1】化简下列各式： (1)； (2)． 【变式2】化简： ； 【变式3】化简 ． 易错 零向量方向任意、共线向量 【典例7】下列向量的概念错误的是（   ） A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B．零向量和任何向量都是共线向量 C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D．，，则 【变式1】下列说法中，正确的是（   ） A．模为的向量与任意向量共线 B．单位向量只有一个 C．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 D．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 【变式2】下列命题正确的是（   ） A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量 【变式3】（多选题）下列说法正确的是（   ） A．质量是向量 B．相等向量的起点不一定相同 C．物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量 D．若某质点受到的作用处于平衡状态，则 1．下列各量中是向量的是（   ） A．时间 B．路程 C．加速度 D．温度 2．下列有关向量的说法正确的是（   ） A．向量又称有向线段 B．平行向量一定相等 C．平行向量一定共线 D．平面直角坐标系xOy中的x轴，y轴均为向量 3．下列关于向量说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．所有单位向量都相等 C．向量的模是一个正实数 D．相反向量的模一定相等 4．已知四边形，则“四边形是平行四边形”是“”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．以下说法中正确的是（   ） A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量 B．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 C．单位向量都是共线向量 D．零向量的长度为0，没有方向 6．（多选题）下列说法错误的是（ ） A．加速度是向量B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段 7．（多选题）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的长度都为0 D．两个单位向量的长度相等 8．与向量方向相反的单位向量为 ． 9．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 个.    10．如图，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则＝ ． 11．如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 1 学科网（北京）股份有限公司 $