专题03 平行线的性质（六大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年浙教版七年级数学下册《知识解读·题型专练》

专题03 平行线的性质（六大题型） 【题型1 利用平行线性质求角度】.......................................................................................1 【题型2 利用平行线性质解决三角板问题】........................................................................2 【题型3 利用平行线性质解决折叠问题】............................................................................4 【题型4 根据平行线的性质探究角的关系】........................................................................5 【题型5 平行线性质的实际应用】.......................................................................................6 【题型6 利用平行线的判定与性质的综合】........................................................................8 【题型1 利用平行线性质求角度】 1．如图所示，直线被直线c所截．若，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知直线，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向北偏东．若两地同时开工，要使公路准确接通，则的度数应为（   ） A． B． C． D． 4．如图，，直线与直线，分别交于点E，F，直线与直线交于点G．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，由点引出的两条射线分别交直线，于点和，若且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用平行线性质解决三角板问题】 1.如图，一块一个含角直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．把一块含角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线，且分别与直线 l交于点A，B，把一块含 30°角的三角尺按如图所示的位置摆放．若∠1=45°，则∠2 的度数是（    ） A．95° B．100° C．105° D．115° 4．将一副三角板如图摆放，斜边，与相交于点，，，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 5．如图，直线，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，，一副三角尺按如图所示的位置放置，若，则为（   ） A． B． C． D． 【题型3 利用平行线性质解决折叠问题】 1．把一张长方形纸条按如图方式折叠，，则的度数为 ． 2．如图，将长方形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，延长交于点．为上一点，连接，若，平分，则 ． 3．将一条两边互相平行的纸带折叠（如图），若，则 度． 4．如图，将三角形沿平行于的直线折叠，折痕为，点A落在点M处，若，则的度数为 ． 5．图1是一张足够长的纸条，其中，点分别在上，如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕，若记，则 ．    6．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，，则的度数是 ． 7．如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，交于点，再沿折叠成图，点落在点的位置，若，则的度数为 ． 【题型4 根据平行线的性质探究角的关系】 1．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为 ． 2．如图，，，，表示图中三个角的角度，则，，三者之间的数量关系是 ． 3．如图，已知，且∠C=110°，则∠1与∠2的数量关系为 . 4．如图，则图中，，，的数量关系是 ． 5．如图，，．点P是射线上一动点(与点A不重合)，平分交于点C，平分交于点D．    （1）则 ； （2）当点P运动时，与之间的数量关系是 ． 6．把一块含角的直角三角尺（其中，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间．若三角尺的直角顶点落在上，角的顶点落在上，则与的数量关系是 ． 【题型5 平行线性质的实际应用】 1．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若平行光线由水中射向空气时所形成的，则为（　　） A． B． C． D． 3．如图，某人骑自行车自沿正东方向前进，第一次在处拐弯，两次拐弯后，仍沿正东方向行驶，两次拐弯的角度可能是（　　） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次右拐，第二次左拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次左拐 4．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 5.如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为 ． 6．如图，学生使用的小刀，刀身是长方形，刀片的上下边沿是平行的，刀片转动时会形成∠1和∠2，则 ． 7．图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架、为固定支撑杆，灯体是，其中垂直地面于点，过点作射线与地面平行（即），已知两个支撑杆之间的夹角，灯体与支撑杆之间的夹角，则的度数为 ．    【题型6 利用平行线的判定与性质的综合】 1．如图，已知，．求证：．   2．阅读下列文字，完成下列推理过程． 如图，，求证：． 证明：， ．（_______） ， _______，（等量代换） ．（_______） 3．如图，，，． (1)试说明：； 根据题图，在下列解答中，给①、②处填上适当的理由． 解：（已知）， （① ）， （已知）， （等式的性质）， （已知）， （等量代换）， （② ）． (2) 若平分，求的度数． 4．如图，点D、E在上，点F、G分别在、上，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 5．已知：如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，，求的度数． 6．如图，已知，． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若平分，于点A，，求的度数． 7．【课题学习】平行线的“等角转化”．如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作， ∴_____，（ ） ______， 又∵． ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程，并在括号中的横线上写出这一步的推理依据． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数． （3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系． 1．将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 2．如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，，，则，和的关系是（   ） A． B． C． D． 4．如图，，则与的数量关系是(   )    A． B． C． D． 5．如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足． (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． (3)若射线绕点顺时针先转动15秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 6．如图 ① ，直线，直线EF和直线分别交于C、D两点，点A、B分别在直线上，点P在直线上，连接、．    (1)猜想：如图①，若点P在线段上，，，求的大小 (2)探究：如图 ① ，若点P在线段上，写出、、之间的数量关系并说明理由． (3)拓展：如图 ② ，若点P在射线上或在射线上时，写出、、之间的数量关系并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平行线的性质（六大题型） 【题型1 利用平行线性质求角度】.......................................................................................1 【题型2 利用平行线性质解决三角板问题】........................................................................4 【题型3 利用平行线性质解决折叠问题】............................................................................8 【题型4 根据平行线的性质探究角的关系】........................................................................13 【题型5 平行线性质的实际应用】.......................................................................................17 【题型6 利用平行线的判定与性质的综合】.......................................................................22 【题型1 利用平行线性质求角度】 1．如图所示，直线被直线c所截．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质，结合平角的定义，对顶角相等，求出每个角的度数，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，； 故选B． 2．如图，已知直线，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线定义，由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，再由即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．如图，在两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向北偏东．若两地同时开工，要使公路准确接通，则的度数应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平行线的性质，方位角．根据两直线平行，同旁内角互补列式进行计算即可得解． 【详解】解：如图： 由题意得，， ∴， ∴ 故选：C． 4．如图，，直线与直线，分别交于点E，F，直线与直线交于点G．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，角的和差．根据平行线的性质得到，进而根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B 5．如图，由点引出的两条射线分别交直线，于点和，若且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，利用平行线的性质可得，得，，从而得，，从而可求解； 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ，， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补． 【题型2 利用平行线性质解决三角板问题】 1.如图，一块一个含角直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出，．根据平行线的性质和直角的定义解答即可． 【详解】解：如图，作，则，    ∴，， ∵， ∴， 故选B． 2．把一块含角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，计算即可得解，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图： 由题意可得：， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，直线，且分别与直线 l交于点A，B，把一块含 30°角的三角尺按如图所示的位置摆放．若∠1=45°，则∠2 的度数是（    ） A．95° B．100° C．105° D．115° 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，理解并掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质可得，根据平角的性质即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 4．将一副三角板如图摆放，斜边，与相交于点，，，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示：过点作根据平行线的性质可得即可得出结果． 【详解】解：如图所示：过点作 ， 故选： 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 5．如图，直线，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题以及平行线的性质，根据得出，进一步得，即可求解； 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A 6．如图，，一副三角尺按如图所示的位置放置，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，根据题意可得的度数，再由平行线的性质可得的度数，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 【题型3 利用平行线性质解决折叠问题】 1．把一张长方形纸条按如图方式折叠，，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据折痕是角平分线，结合平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：如图，∵， ∴，， 由折叠的性质得到， ∴， ∴． 故答案为：． 2．如图，将长方形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，延长交于点．为上一点，连接，若，平分，则 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查折叠的性质，角平分线的性质，平行线的性质，先由折叠的性质得到，再由角平分线的性质得，进而可得，再由长形的性质和平行线的性质得，即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是长方形， ∴， ∴． 故答案为：． 3．将一条两边互相平行的纸带折叠（如图），若，则 度． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，现根据对顶角得到，然后利用平行线得到，然后根据折叠得到，最后利用平角的定义得到的度数即可解题． 【详解】∵将一条两边互相平行的纸带折叠（如图）， ∴，， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 4．如图，将三角形沿平行于的直线折叠，折痕为，点A落在点M处，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质并熟练应用是解题的关键．根据平行线的性质得到，由折叠得，再根据求出度数． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得， ∴， 故答案为：． 5．图1是一张足够长的纸条，其中，点分别在上，如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕，若记，则 ．    【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角线段，在图1中，由平行线的性质得到，在图2中，由对顶角线段得到，则由平行线的性质可得． 【详解】解：如图1所示， ∵， ∴， ∴如图2所示，， ∵， ∴， 故答案为：． 6．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，，则的度数是 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．由折叠的性质可得，从而求得，再根据平行线的性质定理求出，最后再根据平行线性质定理求出． 【详解】解：如图，由折叠的性质，可得， ∵纸带对边互相平行 ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 7．如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，交于点，再沿折叠成图，点落在点的位置，若，则的度数为 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质和角的和差，根据平行线的性质、折叠的性质和角的和差解答即可． 【详解】解：由题意可得， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴ ； 故答案为：． 【题型4 根据平行线的性质探究角的关系】 1．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为 ． 【答案】/32度 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意，得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．如图，，，，表示图中三个角的角度，则，，三者之间的数量关系是 ． 【答案】 【解析】略 3．如图，已知，且∠C=110°，则∠1与∠2的数量关系为 . 【答案】 【分析】过点C作，则，根据平行线的性质可得角之间的关系，从而∠1与∠2的数量关系即可求解. 【详解】解：过点C作，如图： 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是作出平行线，利用平行线的性质得出角之间的关系. 4．如图，则图中，，，的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．过点作，过点作，则，，再由可知，故，据此可得出结论． 【详解】解：如图，过点作，过点作，则，， ， ， ， ， 即． 故答案为：． 5．如图，，．点P是射线上一动点(与点A不重合)，平分交于点C，平分交于点D．    （1）则 ； （2）当点P运动时，与之间的数量关系是 ． 【答案】 120° 【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补即可求出答案； （2）由平行线的性质可得，，由角平分线的定义可得，从而可得与之间的关系． 【详解】解：（1）∵，∴， 故答案为：； （2）∵， ，， 平分， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质及角平分线的定义，解题关键是熟知平行线的性质． 6．把一块含角的直角三角尺（其中，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间．若三角尺的直角顶点落在上，角的顶点落在上，则与的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等，是解题的关键．根据平行线的性质得出，根据，得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型5 平行线性质的实际应用】 1．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键． 首先求出和，再根据平行线的性质求出和即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 故选：B． 2．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若平行光线由水中射向空气时所形成的，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质．根据两直线平行，同位角相等可求出的度数，根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，某人骑自行车自沿正东方向前进，第一次在处拐弯，两次拐弯后，仍沿正东方向行驶，两次拐弯的角度可能是（　　） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次右拐，第二次左拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次左拐 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，理解题意，根据题意作图，利用数形结合的思想，掌握平行线的判定是解答本题的关键． 根据题意，作正确的图形，然后根据平行线的判定定理，选出答案． 【详解】解： ， ， 故第一次右拐，第二次左拐， 故选：． 4．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据物理学原理可知：，再根据平行线的性质求出和，从而求出，最后根据对顶角相等求出答案即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5.如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为 ． 【答案】/66度 【分析】本题考查了平行线的性质．根据，可得，根据，可得，由此可得，即可得解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故答案为：． 6．如图，学生使用的小刀，刀身是长方形，刀片的上下边沿是平行的，刀片转动时会形成∠1和∠2，则 ． 【答案】90° 【分析】画出示意图如图，过点M作MN//a，因为a//b，所以MN//b，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，得∠1=∠AMN，∠2=∠BMN，又根据∠AMB=90°，即可求解． 【详解】画出示意图如图，过点M作MN//a， ∵a//b， ∴MN//b， ∴∠1=∠AMN，∠2=∠BMN， ∵∠AMB=90°， ∴∠1+∠2=∠AMB = 90° 故答案为：90° 【点睛】本题考查结合背景中的两直线的平行关系及平行线的性质，解题的关键是根据实际问题画出几何图形，将实际问题转化为数学问题． 7．图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架、为固定支撑杆，灯体是，其中垂直地面于点，过点作射线与地面平行（即），已知两个支撑杆之间的夹角，灯体与支撑杆之间的夹角，则的度数为 ．    【答案】/30度 【分析】过点作．先利用平行线的性质和垂直的定义、角的和差关系求出，再利用平行线的性质和角的和差关系求得结论． 【详解】解：过点作． ， ． ． ， ． ， ． ． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质和角的和差关系是解决本题的关键． 【题型6 利用平行线的判定与性质的综合】 1．如图，已知，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定及性质，可证得，进而可求得，即可求得答案． 【详解】∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 2．阅读下列文字，完成下列推理过程． 如图，，求证：． 证明：， ．（_______） ， _______，（等量代换） ．（_______） 【答案】两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行． 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质的三个方面：同位角、内错角及同旁内角的内容是解决问题的关键． 由，根据两直线平行，内错角相等得到，进而可得，最后由同位角相等，两直线平行得到． 【详解】证明：， ．（两直线平行，内错角相等） ， ，（等量代换） ．（同位角相等，两直线平行） 故答案为：两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行． 3．如图，，，． (1)试说明：； 根据题图，在下列解答中，给①、②处填上适当的理由． 解：（已知）， （① ）， （已知）， （等式的性质）， （已知）， （等量代换）， （② ）． (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)①两直线平行，同旁内角互补；②内错角相等，两直线平行； (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键. （1）根据平行线的判定和性质即可得到答案； （2）根据角平分线的定义得到，继而得到 【详解】（1）解：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， （等式的性质）， （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①两直线平行，同旁内角互补；②内错角相等，两直线平行； （2）解：平分，， ， ， ． 4．如图，点D、E在上，点F、G分别在、上，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）欲证明，只要证明即可． （2）由和，可知，求出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质与判定，垂直的定义，解题的关键正确识别角之间的关系． 5．已知：如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)；理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质，是解题的关键； （1）根据可得，从而证明，根据平行线的判定即可证明结论； （2）根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，最后根据平行线的性质得出． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 6．如图，已知，． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若平分，于点A，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、垂线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由同位角相等，两直线平行得出，再由平行线的性质可得，结合题意得出，即可得证； （2）由角平分线的定义结合平行线的性质可得，再由垂线的定义可得，即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：平分，， ， ， ， ， ， ． 7．【课题学习】平行线的“等角转化”．如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作， ∴_____，（ ） ______， 又∵． ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程，并在括号中的横线上写出这一步的推理依据． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数． （3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是平行线的性质和判定定理． （1）由平行线得到，，然后等量代换求解即可； （2）过点E作，得到，证明出，得到，进而求解即可； （3）过点P作，得到，然后证明出，得到，然后等量代换求解即可． 【详解】解：（1）过点A作， ∴，（两直线平行，内错角相等） ， 又∵， ∴， （2）过点E作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）， 理由：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 1．将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质、角的和差，解答本题的关键掌握平行线的性质． 方法一：根据平行线的性质，可以得到，再根据折叠的性质，即可得到，最后根据平角的性质即可得解； 方法二：根据折叠可得，求出，再根据平行线的性质即可得解． 【详解】解：方法一：∵四边形是长方形纸片， ，， ， 由题意知， ， ； 方法二：由题意知， ，， ， ， ， ． 故选：D． 2．如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，平行线的传递性，添加平行线是解题的关键．过点C作，根据平行线的性质可求得，从而，再根据平行线的传递性可得，最后根据平行线的性质，即得答案． 【详解】解：如图，过点C作， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A 3．如图，，，则，和的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，，然后根据可得①，根据可得②，将②代入①即可得． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴①， ∵， ∴，即②， 将②代入①得：， 故选：B． 4．如图，，则与的数量关系是(   )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质，注意整体思想的运用．过点作，令与交于点，先设角，利用平行线的性质表示出待求角，再利用整体思想即可求解． 【详解】解：设 则，，， 过点作，令与交于点， ∵， ∴， ∴，，， ∴ ； ； ∴ 故选：D． 5．如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足． (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． (3)若射线绕点顺时针先转动15秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 【答案】(1)8；2 (2)9秒 (3)6秒或10秒 【分析】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解方程的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0． （1）依据非负数的性质即可得到，的值； （2）依据，，即可得到射线、射线第一次互相垂直的时间； （3）分两种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线、射线互相平行时的时间． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ，， ，， 故答案为：8；2； （2）解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直． 如图，设旋转后的射线、射线交于点，则， ， ， ， ， 又，， ， ， ∴至少旋转9秒时，射线、射线互相垂直； （3）解：设射线再转动秒时，射线、射线互相平行． 如图，射线绕点顺时针先转动15秒后，转动至的位置，则， ∴； 分两种情况： ①当时，，， ∵， ∴， ，， 当时，， ∴， 解得； ②当时，，， ，， 当时，， 此时，， 解得； 综上所述，射线再转动6秒或10秒时，射线、射线互相平行． 6．如图 ① ，直线，直线EF和直线分别交于C、D两点，点A、B分别在直线上，点P在直线上，连接、．    (1)猜想：如图①，若点P在线段上，，，求的大小 (2)探究：如图 ① ，若点P在线段上，写出、、之间的数量关系并说明理由． (3)拓展：如图 ② ，若点P在射线上或在射线上时，写出、、之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握好平行线的性质是解本题的关键是． （1）根据平行线的性质和，即可得的大小． （2）过点P作 ，根据平行线的性质可得，，即可得出、、之间的数量关系． （3）如图②所示：分两种情况画出图形，当点P在延长线上时或当点P在延长线 【详解】（1）如图①所示：过点P作    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）猜想： 如图①所示：过点P作 ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ； （3）①当点P在延长线上时，有．理由如下：    过点P作， ， ②当点P在延长线上时，有．理由如下：    过点P作， ， ，， ∴综上所述：当点P不在线段DC上时， 或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $